1
METODY STATYSTYCZNE I
ĆWICZENIA 3, 4
Zad. 1
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej
(
)
Y
X ,
dana jest wzorem
( )
(
)
⎩
⎨
⎧
>
>
−
−
=
poza.
,
0
,
0
,
0
dla
,
3
2
exp
,
y
x
y
x
a
y
x
f
a) Wyznaczyć stałą a.
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe.
c) Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.
d) Wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej losowej X przy warunku
y
Y
= .
e) Obliczyć
(
)
3
0
,
2
1
<
<
<
<
Y
X
P
.
Zad. 2
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej
(
)
Y
X ,
dana jest wzorem
( )
(
)
⎩
⎨
⎧
>
>
−
−
=
poza.
,
0
,
0
,
0
dla
,
exp
,
y
x
y
x
a
y
x
f
a) Wyznaczyć stałą a.
b) Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.
c) Obliczyć
(
)
2
1
,
2
1
<
<
<
<
Y
X
P
.
Zad. 3
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej
(
)
Y
X ,
dana jest wzorem
( )
⎩
⎨
⎧
+
<
<
−
<
<
−
=
poza.
,
0
,
2
,
0
1
dla
,
,
x
y
x
x
a
y
x
f
a) Wyznaczyć stałą a.
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe.
Zad. 4
Wyznaczyć dystrybuantę dwuwymiarowej zmiennej losowej
(
)
Y
X ,
, której gęstość dana jest
wzorem
( )
⎩
⎨
⎧
≤
≤
≤
≤
=
poza.
,
0
,
1
0
,
2
0
dla
,
,
y
x
xy
y
x
f
Zad. 5
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej
(
)
2
1
, X
X
dana jest wzorem
(
)
⎩
⎨
⎧
<
<
<
<
+
=
poza.
,
0
,
1
0
,
1
0
dla
,
,
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
f
a) Wyznaczyć gęstości brzegowe.
b) Wyznaczyć gęstości warunkowe.
c) Wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych oraz macierz kowariancji.
2
Zad. 6
Wiedząc, że wektor losowy
X ma rozkład normalny
(
)
Σ
µ,
3
N
, znaleźć rozkład
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
3
2
2
1
X
X
X
X
.
Zad. 7
Wiedząc, że wektor losowy X ma rozkład normalny
(
)
Σ
µ,
5
N
, znaleźć rozkład
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
4
2
X
X
.
Zad. 8
Dany jest wektor losowy
X o rozkładzie normalnym
(
)
Σ
µ,
3
N
, gdzie
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2
0
0
0
3
1
0
1
4
Σ
.
a) Czy zmienne losowe
1
X
i
2
X
są niezależne?
b) Czy niezależne są
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
X
X
i
3
X ?
Zad. 9
Dany jest wektor losowy
[
]
T
X
X
X
X
4
3
2
1
=
X
o rozkładzie normalnym
(
)
Σ
µ,
N
z parametrami
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
µ
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
4
1
2
3
1
2
1
1
2
1
4
2
3
1
2
3
Σ
a)
Wyznaczyć
rozkład wektora
[
]
T
X
X
X
4
2
1
.
b)
Wyznaczyć
rozkład warunkowy
2
1
| X
X
, gdzie
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
1
1
X
X
X
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
3
2
3
4
2
X
X
X
.
c)
Wyznaczyć
rozkład warunkowy
2
1
| X
X
, gdzie
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2
4
1
1
X
X
X
X
,
[ ] [ ]
1
3
2
=
= X
X
.
d)
Wyznaczyć
rozkład wektora
b
AX
Y
+
=
, gdzie
[
]
0
2
1
0
=
A
,
[ ]
3
=
b
.
Zad. 10
Dany jest wektor losowy
[
]
T
X
X
X
3
2
1
=
X
o rozkładzie normalnym
(
)
Σ
µ,
N
z parametrami
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
µ
,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2
1
4
1
2
3
Σ
a)
Wyznaczyć
rozkład wektora
[
]
T
X
X
3
1
.
b)
Wyznaczyć
rozkład warunkowy
2
1
| X
X
, gdzie
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
2
1
X
X
X
,
[ ] [ ]
1
3
2
=
= X
X
.
3
c)
Wyznaczyć
rozkład wektora
AX
Y
=
, gdzie
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
1
0
2
0
1
A
.
Zad. 11
W badaniu miesięcznych wydatków (w zł.) na energię (zmienna
1
X
), telefon (zmienna
2
X
),
gaz (zmienna
3
X ) dla próby 30 rodzin otrzymano, że średnie wydatki w złotych wynoszą
odpowiednio
130
1
=
x
,
85
2
=
x
,
95
3
=
x
,
macierz kowariancji
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
300
120
150
50
70
450
~
S
Wiedząc, że rozkład wektora losowego
[
]
T
X
X
X
3
2
1
=
X
jest normalny, czy można
przypuszczać, że te wydatki wynoszą średnio
[
]
T
100
100
120
? Przyjąć poziom istotności
01
,
0
=
α
.
Zad. 12
Zbadano pot 20 kobiet pod względem trzech składowych:
1
X
- wskaźnik potu,
2
X
- zawartość sodu,
3
X - zawartość potasu. Otrzymano następujące wyniki:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
965
,
9
400
,
45
640
,
4
x
,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
628
,
3
640
,
5
810
,
1
640
,
5
788
,
199
010
,
10
810
,
1
010
,
10
879
,
2
S
.
Wiedząc, że rozkład wektora losowego
X jest normalny
(
)
Σ
µ
,
3
N
, zweryfikować hipotezę
[
]
T
H
10
50
4
:
0
=
µ
wobec
[
]
T
H
10
50
4
:
1
≠
µ
? Przyjąć poziom istotności
1
,
0
=
α
.
Zad. 13
Zbadano losowo wybranych 30 studentów matematyki i 20 studentów fizyki pod względem
ocen z języka angielskiego (zmienna
1
X
) i niemieckiego (zmienna
2
X
). Otrzymano
następujące wyniki:
Studenci matematyki:
1
,
4
1
=
x
,
85
,
3
2
=
x
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
56
,
0
35
,
0
35
,
0
5
,
0
~
S
.
Studenci fizyki:
2
,
4
1
=
x
,
95
,
3
2
=
x
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
45
,
0
25
,
0
25
,
0
65
,
0
~
S
.
Zakładając normalność wektora losowego
X sprawdzić, czy średnie ocen uzyskanych
przez studentów obu kierunków są takie same. Przyjąć poziom istotności 05
,
0
=
α
.
4
Zad. 14
W badaniu struktury miesięcznych wydatków studentów i studentów uwzględniono wydatki
na żywność (zmienna
1
X
), wydatki na książki (zmienna
2
X
) i wydatki na ubrania (zmienna
3
X ). Dla losowo wybranych 30 studentek i 20 studentów otrzymano następujące średnie
w zł.:
Studentki:
280
1
=
x
,
85
2
=
x
,
250
3
=
x
,
Studenci:
320
1
=
x
,
85
2
=
x
,
200
3
=
x
.
Odwrotność uśrednionej macierzy kowariancji dla tej próby wyniosła:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
20
,
0
02
,
0
15
,
0
05
,
0
15
,
0
25
,
0
~
1
*
S
.
Wiedząc, że rozkład wektora losowego
[
]
T
X
X
X
3
2
1
=
X
jest normalny, czy można
stwierdzić, że struktury wydatków studentek i studentów są takie same.
Zad. 15
Zweryfikować hipotezę, czy macierz wariancji – kowariancji w populacji generalnej
o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym
(
)
Σ
µ,
N
jest równa
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
1
1
3
, jeśli dla 100
elementowej próby pobranej z tej populacji obciążona macierz wariancji – kowariancji
ma postać
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
2
2
3
. Przyjąć poziom istotności
01
,
0
=
α
.
Zad. 16*
Zbadano losowo wybranych 20 studentów ze względu na wzrost (zmienna
1
X
) i wagę
(zmienna
2
X
), otrzymano odpowiednio następujące wyniki:
172 89
160 54
166 83
158 71
187 82
160 83
163 108
177 82
153 85
159 85
169 75
168 80
171 97
188 85
171 69
174 79
168 77
177 85
183 78
172 82
Wiedząc, że rozkład wektora losowego
[
]
T
X
X
2
1
=
X
jest normalny, czy można
przypuszczać, że te średnie wynoszą odpowiednio
[
]
T
83
167
? Przyjąć poziom istotności
05
,
0
=
α
.
5
Zad. 17*
Zbadano losowo wybranych pracowników z wykształceniem wyższym, z dwóch firm F1 i F2
(15 pracowników z pierwszej firmy i 10 z drugiej), pod względem wynagrodzenia (zmienna
1
X
), średniej ocen na świadectwie maturalnym (zmienna
2
X
) oraz średniej ocen na studiach
(zmienna
3
X ). Otrzymano następujące wyniki odpowiednio dla firmy F1 i firmy F2:
1531.09 3.20 3.35 5664.44 3.39 4.89
2726.67 3.53 4.38 4601.96 5.15 4.16
5228.50 3.75 3.85 4927.52 3.94 5.00
1763.96 3.98 5.00 4350.83 3.71 3.31
3502.66 4.92 5.00 2600.26 3.42 4.68
2706.50 3.31 4.10 4710.56 3.03 3.94
5525.26 3.68 3.83 3197.18 4.93 4.66
5920.71 3.88 5 .00 4412.57 4.17 4.31
3604.19 4.82 4.39 4324.51 3.61 4.27
5942.44 3.74 4.23 2708.78 4.57 5.00
5481.81 4.48 5.00
2499.85 3.18 4.38
3275.49 4.48 4.37
3724.04 4.04 5.00
3818.33 4.99 3.63
Wiedząc, że rozkład wektora losowego
[
]
T
X
X
X
3
2
1
=
X
jest normalny, zweryfikować
hipotezę zerową o równości rozważanych wektorów wartości oczekiwanych w obu
populacjach. Przyjąć poziom istotności
01
,
0
=
α
.