Mechanika płynów 1
MECHANIKA PŁYNÓW
Płyn - Każda substancja, która może płynąć, tj. pod wpływem
znikomo małych sił dowolnie zmieniać swój kształt w
zależności od naczynia, w którym się znajduje, oraz może
swobodnie się przemieszczać (przepływać), np. być
przepompowywana przez rury.
Pojęcia płynu nie należy utożsamiać tylko z cieczą, gdyż płynami są nie
tylko ciecze, ale także wszystkie gazy, a nawet takie mieszaniny różnych
faz fizycznych jak piana, emulsja, zawiesina i pasta.
Mierzalną cechą płynów jest ich lepkość, czyli miara oporu
wewnętrznego, jaki stawia płyn poddawany naprężeniom ścinającym
zmuszającym go do przepływu. Tej właściwości płynów jednak nie
weźmiemy pod uwagę w naszych rozważaniach.
W płynach siły nie występują przy deformacji kształtu, ale tylko przy
zmianie objętości. Dlatego siły działające na dowolnie usytuowaną
powierzchnię w płynie, zwane siłami parcia, są do niej prostopadłe.
Parcie - Siła nacisku, jaką płyn wywiera na daną powierzchnię.
Ciśnienie - Stosunek siły parcia na dowolną powierzchnię w płynie do
wielkości tej powierzchni.
Jednostki ciśnienia
paskal
bar
at
atm
Tr
paskal (Pa),
2
1 Pa 1 N/m
=
1
5
10
−
5
1,02 10
−
×
5
0,987 10
−
×
3
7,5 10
−
×
bar,
5
1 bar 10 Pa
=
5
10
1
1,02 0,987
750
atmosfera techniczna (at),
2
1 at 1 kG/cm
=
5
0,981 10
×
0,981
1
0,968
736
atmosfera fizyczna (atm),
1 atm 760 Tr
=
5
1,013 10
×
1,013
1,033
1
760
tor, 1 Tr 1 mm Hg
=
133
3
1,33 10
−
×
3
1,36 10
−
×
3
1,32 10
−
×
1
Mechanika płynów 2
Prawo Pascala
Ciśnienie zewnętrzne wywierane na płyn jest przenoszone we
wszystkich kierunkach jednakowo.
Ciśnienie na pewnej głębokości w cieczy znajdującej się w polu
grawitacyjnym
Grawitacja wywołuje zmianę ciśnienia w zależności od głębokości - im
niżej tym większe ciśnienie. Wzrost ciśnienia wywołujany jest naciskiem
(ciężarem) ze strony słupa cieczy położonego nad punktem pomiaru.
Przyjmijmy:
ρ
- gęstość cieczy
g - przyspieszenie ziemskie
0
p - ciśnienie na poziomie górnym
p - ciśnienie na głębokości
h
Zachodzi:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
F l
F
l
S
l
g h
F
p S
p
p
g h
F
p S
S l
S
l
ρ
ρ
∆ − ∆ = ∆
=
⇒ = +
=
∆ = ∆
Prawo Archimedesa
Siły działające na boczne ścianki cylindra są
skierowane prostopadle do ścianek i znoszą
się. Siły działające na dolną i górną
powierzchnię:
2
0
2
(
)
S p
S p
gh
ρ
=
+
1
0
1
(
)
S p
S p
gh
ρ
=
+
Mechanika płynów 3
Prawo Archimedesa, cd.
2
0
2
(
)
S p
S p
gh
ρ
=
+
,
1
0
1
(
)
S p
S p
gh
ρ
=
+
Siła wypadkowa:
0
2
0
1
(
)
(
)
W
S p
gh
S p
gh
gV
ρ
ρ
ρ
=
+
−
+
=
,
2
1
(
)
V
S h
h
=
−
Na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu równa ciężarowi
wypartej przez to ciało cieczy.
Przepływ (ruch) płynów
Strumień, struga - Uporządkowany ruch cząstek płynu poruszających
się jednym kierunku
Przepływ
-
laminarny
Przepływ jest laminarny, jeśli strumień płynu może
być rozłożony na warstwy, w których wektor
prędkości jest równoległy do kierunku przepływu.
Tory sąsiednich warstw płynu są w tym przypadku
równoległe. Nie występuje mieszanie się sąsiednich
warstw płynu.
Przepływ
-
turbulentny
W przepływie turbulentnym zachodzi mieszanie się
poszczególnych warstw płynu.
Przepływ ustalony,-
(stacjonarny)
W danym punkcie przestrzeni prędkość
przepływającego płynu nie zależy od czasu.
Równanie ciągłości dla cieczy nieściśliwych
Załóżmy, że przepływ jest stacjonarny.
Przez przekrój "1" i "2" w czasie
dt
przepływają te same objętości cieczy.
1 1
2
2
S
dt
S
dt
υ
υ
=
⇒
1
2
2
1
S
S
υ
υ
=
Prędkości cieczy w strudze są odwrotnie proporcjonalne do
powierzchni przekrojów strugi.
Mechanika płynów 4
Prawo Benoulliego
Załóżmy, że przepływ cieczy doskonałej (w której nie występują siły
lepkości) następuje od przekroju
1
S do przekroju
2
S
Siły parcia:
1
1
1
F
p S
=
2
2
2
F
p S
=
Obliczmy pracę sił parcia w odcinku czasu
dt
1 1
2
2
1
1 1
2
2
2
1
2
(
)
p
dA
F
dt
F
dt
p S
dt
p S
dt
p
p
dV
υ
υ
υ
υ
=
−
=
−
=
−
W nieobecności sił lepkości praca ta równa jest zmianie energii
kinetycznej i potencjalnej mas
dm
cieczy zawartej między przekrojami
1
1
i
S
S
′
oraz
2
2
i
S
S
′
,
p
k
p
dA
dE
dE
=
+
, czyli
2
2
2
1
1
2
2
1
(
)
2
2
dm
dm
p
p
dV
dm g h
dm g h
υ
υ
−
=
−
+
−
Uwzględniając, że
dm
dV
ρ
=
, gdzie
ρ
jest gęstością cieczy, otrzymujemy
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
p
g h
p
g h
ρυ
ρυ
ρ
ρ
+
+
=
+
+
Ogólnie możemy więc napisać
2
const
2
p
gh
ρυ
ρ
+
+
=
równanie
Bernoulliego
Suma ciśnienia oraz energii kinetycznej i potencjalnej jednostki
objętości ustalonego przepływu cieczy doskonałej jest wielkością
stałą.
Mechanika płynów 5
Prawo Bernoulliego, cd.
Otrzymaliśmy
2
const
2
p
gh
ρυ
ρ
+
+
=
W przypadku pomijalnie małych zmian wysokości przepływu zachodzi:
2
0
const
2
p
p
ρυ
+
=
=
(inna postać równania Bernoulliego)
p -
ciśnienie statyczne
2
2
ρυ
- ciśnienie dynamiczne
0
p -
ciśnienie całkowite
Pomiar ciśnienia dynamicznego i statycznego
Pomiary tych ciśnień wykonuje się za pomocą układu rurek Pitota.
Rurki są zgięte pod kątem prostym, a części rurek zanurzone w cieczy są
ustawione wzdłuż strumienia. Powierzchnia otworu rurki a , służącej do
pomiaru ciśnienia całkowitego, jest skierowana prostopadle do wektora
prędkości przepływającej cieczy. Powierzchnia otworu rurki
b
jest do tego
wektora równoległa. Różnica wysokości H
∆
wskazań obu rurek
umożliwia wyznaczenie ciśnienia dynamicznego
2
0
2
p
p
g H
ρυ
ρ
=
− =
∆
Można stąd wyznaczyć prędkość przepływającej cieczy:
2 g H
υ
=
∆
.