Egzamin z matematyki dla student´
ow chemii, 8 lutego 2007, 10:10 – 12:45
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza
,
cego, jego nr. indeksu
oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia .
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elektronicznych;
je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore zosta ly udowod-
nione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
1. Zdefiniowa´c log
p
q pamie
,
taja
,
c o za lo˙zeniach o p i q .
Wykaza´c, ˙ze 6 log
10
5 > 4 log
10
11 > 9 log
10
2 + log
10
27 .
2. Poda´c definicje
,
kosinusa i sinusa dowolnego ka
,
ta. Rozwia
,
za´c nier´owno´s´c: | cos t + sin t| <
1+
√
3
2
. Zilustrowa´c
jej rozwia
,
zanie na okre
,
gu x
2
+ y
2
= 1 .
3. Niech f (x) =
3
p
(x + 2)
5
(x
2
− 1) .
Dla x 6= −2, ±1 zachodza
,
r´owno´sci
f
0
(x) =
1
3
(x + 2)
2/3
(x
2
− 1)
−2/3
(7x
2
+ 4x − 5) oraz
f
00
(x) =
2
9
(x + 2)
−1/3
(x
2
− 1)
−5/3
(14x
4
+ 16x
3
− 27x
2
− 32x − 7) .
Wielomian 7x
2
+ 4x − 5 ma dwa pierwiastki: x
1
=
1
7
(−2 −
√
39) ≈ −1,18 i x
2
=
1
7
(−2 +
√
39) ≈ 0,61 .
Wielomian 14x
4
+ 16x
3
− 27x
2
− 32x − 7 ma cztery pierwiastki rzeczywiste x
3
≈ −1,57 , x
4
≈ −0,70 ,
x
5
≈ −0,31 i x
6
≈ 1,45 .
Poda´c definicje
,
pochodnej funkcji f w punkcie p i wyja´sni´c, w jakich punktach funkcja f jest r´o˙zniczkowalna
(tzn. ma sko´
nczona
,
pochodna
,
I rze
,
du)?
Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f maleje, na kt´orych ro´snie.
Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest wypuk la, na kt´orych jest wkle
,
s la.
Obliczy´c granice funkcji f przy x −→ ±∞ , oraz granice f
0
w ko´
ncach przedzia l´ow, na kt´orych funkcja f
jest r´o˙zniczkowalna.
Znale´z´c takie liczby a, b , ˙ze lim
x→∞
[f (x) − (ax + b)] = 0 , o ile istnieja
,
lub wykaza´c, ˙ze takich liczb a, b nie ma.
Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .
4. Niech A :=
0
1
1
7
−4 −3
−16
12
9
, ~v =
1
2
−1
.
Poda´c definicje
,
wektora w lasnego i warto´sci w lasnej.
Obliczy´c A · ~v .
Znale´z´c wyznacznik macierzy A , jej warto´sci w lasne (nierzeczywiste te˙z) i odpowiadaja
,
ce im wektory w lasne.
Znale´z´c macierze A
−1
i A
T
oraz ich wyznaczniki.
Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A
2
.
5. Niech A = (1, 1, 2) , B = (9, 1, 1) , C = (1, 3, 1) , O = (0, 0, 0) .
Znale´z´c obje
,
to´s´c czworo´scianu OABC .
Znale´z´c jakikolwiek wektor ~v 6= ~0 =
−−−−→
[0, 0, 0] prostopad ly do p laszczyzny ABC .
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta ABC .
Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny ABC .
Znale´z´c kosinusy obu ka
,
t´ow utworzonych przez p laszczyzne
,
ABC i p laszczyzne
,
o r´ownaniu x + y + z = 1 .
6. Znale´z´c sto˙zek o najwie
,
kszej obje
,
to´sci spo´sr´od sto˙zk´ow wpisanych w kule
,
o promieniu 1 .
Informacje po˙zyteczne lub zbe
,
dne: 5
5
= 3125 , 5
7
= 78125 , 11 = 10 + 1 , 2
10
= 1024 , 6
5
= 7776 , (a + b)
2
=
=a
2
+ 2ab + b
2
, (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
, (a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4
.