6/ 1
6. Prawa zachowania (5 stron)
Prawa zachowania to prawa, stwierdzające, że w układzie odosobnionym pewne wielkości
fizyczne nie ulegają zmianie w czasie, mając zawsze tę samą wartość liczbową.
Najważniejsze prawa zachowania dotyczą pędu, energii, momentu pędu, ładunku
elektrycznego, liczby barionowej, liczby leptonowej. Wielkości te są stałe w każdym układzie
odosobnionym, bez względu na to jakie procesy zachodzą wewnątrz tego układu. Są to
wielkości zachowywane bezwzględnie.
Istnienie praw zachowania jest wyrazem niezniszczalności materii w różnych jej postaciach
oraz rozmaitych form jej ruchu.
Zasady zachowania pozwalają wydedukować wiele własności układu fizycznego bez
rozwiązywania równań ruchu tego układu (równań Newtona, Maxwella czy Schrödingera).
6.1. Zasada zachowania pędu
1. Zasada zachowania pędu dla pojedynczej cząstki wynika z II zasady dynamiki,
gdy
0
=
F
0
=
t
d
p
d
czyli
p
const
=
Gdy na cząstkę nie działa żadna siła lub suma działających sił jest równa zeru to pęd
cząstki pozostaje stały.
2.
Zasada zachowania pędu dla układu n ciał, najlepiej punktów materialnych.
Za punkt materialny możemy uznać obiekt o określonej masie i rozmiarach na tyle małych, że nie
mają one wpływu, lub mają bardzo mały (zaniebywalny) wpływ, na rozpatrywane zjawisko
fizyczne.
Na każdy punkt materialny rozpatrywanego układu mogą działać siły wewnętrzne i siły
zewnętrzne. Siły wewnętrzne to siły działające na dany punkt w wyniku oddziaływania z innymi
punktami materialnymi tego samego układu. Siły zewnętrzne to wszystkie pozostałe siły.
Jeżeli na układ nie działają żadne siły zewnętrzne, lub
∑
=
=
n
1
i
)
z
(
i
0
F
, to
∑
=
=
n
i
i
dt
p
d
1
0
Wynik ten dotyczy układu jako całości. Będzie on bardziej użyteczny jeżeli wprowadzimy
pojęcie środka masy.
•
Środek masy układu punktów materialnych definiujemy jako punkt, którego położenie
wyznaczone jest wektorem
R
takim, że
∑
∑
=
=
=
n
1
i
i
n
1
i
i
i
m
r
m
R
np. dla dwóch mas
2
1
2
2
1
1
m
m
m
r
r
m
R
+
+
=
gdzie
i
r
wektory położenia punktów materialnych układu.
6/ 2
Prędkość środka masy:
dt
R
d
V
=
oznaczając masę całego układu przez
∑
=
i
m
M
otrzymujemy pęd środka masy
∑
=
=
=
n
1
i
i
p
V
M
:
P
Pęd środka masy jest równy całkowitemu pędowi wszystkich punktów materialnych wchodzących
w skład układu.
Środek masy porusza się w taki sposób, jak gdyby w nim była skupiona masa całego
układu i do niego była przyłożona suma wszystkich sił działających na układ.
Jeżeli
0
)
(
=
∑
z
i
F
, to
.
st
n
co
P
=
Zasada zachowania pędu:
Jeżeli suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru
to pęd układu nie ulega zmianie.
Ś
rodek masy porusza się wówczas ruchem jednostajnym prostoliniowym.
6.2. Zasada zachowania momentu pędu
Momentem pędu punktu materialnego względem punktu 0, leżącego w początku układu
współrzędnych, nazywa się iloczyn wektorowy wektora położenia tego punktu przez wektor pędu
J
r
p
= ×
[ ]
J
kg m
s
=
⋅
2
0
0
6/ 3
Momentem siły względem punktu 0 nazywa się iloczyn wektorowy wektora położenia punktu
materialnego przez wektor siły działającej na ten punkt
F
r
M
×
=
2
2
s
m
kg
]
M
[
⋅
=
Momentem pędu układu punktów materialnych nazywa się sumę momentów pędu wszystkich
punktów, oczywiście względem tego samego punktu 0
∑
=
=
n
i
i
J
J
1
Można pokazać, że:
∑
=
=
n
i
z
i
M
dt
J
d
1
)
(
gdzie
)
(
)
(
z
i
i
z
i
F
r
M
×
=
Wszystkie momenty sił muszą być liczone względem tego samego punktu !
Zasada zachowania momentu pędu :
Jeżeli całkowity moment sił zewnętrznych działających na układ jest równy zeru
to moment pędu układu nie ulega zmianie.
Dotyczy to układów, w których spełniona jest III zasada dynamiki Newtona, czyli takich, w których
siły działające między dowolną parą cząstek są skierowane wzdłuż łączącej je prostej i spełniają
zasadę równej akcji i reakcji. W takim przypadku momenty sił znoszą się nawzajem.
Moment pędu układu punktów materialnych względem dowolnego, ustalonego punktu można
traktować jako sumę momentu pędu środka masy J
SM
względem tego punktu i momentu pędu
wszystkich punktów względem środka masy J’.
'
J
J
J
SM
+
=
(Moment pędu układu zależy od wyboru punktu względem którego jest liczony.)
6.3. Zasada zachowania energii
Istnieje pewna wielkość, zwana energią, nie ulegająca zmianie podczas różnorodnych
przemian, które zachodzą w przyrodzie.
Energia może występować w różnych postaciach. Mamy energię potencjalną, energię kinetyczną,
grawitacyjną, sprężystą, cieplną, elektryczną, chemiczną, promienistą, jądrową i energię masy.
6/ 4
1. Energia potencjalna
Polem nazywa się obszar przestrzeni, w którym każdemu punktowi P jest jednoznacznie
przyporządkowana pewna wielkość A(P).
Pole jest stacjonarne jeżeli nie zmienia się w czasie.
Pole sił - obszar przestrzeni w którym każdemu punktowi przyporządkowany jest pewien wektor
określający, jaka siła działałaby na dane ciało gdyby umieszczono je w tym punkcie.
Praca wykonana przez siłę
→
F
przy przesunięciu ciała o element przyrostu drogi
→
s
d
:
gdzie
→
s
d jest na tyle małe, że
.
const
F
=
→
Jednostką pracy jest 1 Joule [1J =1Nm]
Całkowita praca przy przesunięciu ciała z punktu A do punktu B
W ogólnym przypadku praca ta zależy od drogi po której przemieszcza się ciało: W
s1
≠
W
s2
≠
W
s3
.
Siły których praca zależy tylko od położenia punktu początkowego i końcowego, a nie zależy od
drogi po jakiej została wykonana, nazywamy siłami zachowawczymi, a odpowiadające im pola
polami zachowawczymi. Przykładami sił zachowawczych są siły grawitacyjne i elektrostatyczne.
W zachowawczym polu sił praca po drodze zamkniętej jest równa zeru.
Ponieważ praca jest wielkością skalarną a jej wartość zależy tylko od współrzędnych punktów
początkowego i końcowego, to możemy określić pewną funkcję skalarną V określoną we
wszystkich punktach pola taką, że
)
(
)
(
→
→
−
=
B
A
AB
r
V
r
V
W
lub w uproszczeniu W
AB
= V
A
- V
B
oraz
∫
=
−
B
A
B
A
s
d
r
F
V
V
)
(
Dla punktów bardzo blisko położonych dW=
−
dV czyli
dV
Fds
= −
podstawiając
dz
z
dy
y
dx
x
s
d
ˆ
ˆ
ˆ
+
+
=
→
otrzymuje się:
dV = - ( F
x
dx + F
y
dy + F
z
dz )
stąd
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
z
V
z
y
V
y
x
V
x
F
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
→
lub w postaci operatorowej
V
z
z
y
y
x
x
F
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
→
→
→
=
s
d
F
dW
∫
=
→
→
→
0
)
(
s
d
r
F
∫
→
→
=
B
A
AB
s
d
r
F
W
)
(
6/ 5
Operator,
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
z
z
y
y
x
x
grad
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≡
∇
≡
, nazywany gradientem, przetwarza funkcje skalarną
w funkcję wektorową.
Mamy zatem
)
(
)
(
→
→
→
−
=
r
V
grad
r
F
Wielkość
)
(
→
r
V
nazywamy energią potencjalną, a siłę
)
(
)
(
→
→
→
−
=
r
gradV
r
F
siłą potencjalną.
Energia potencjalna jest określona z dokładnością do stałej. Jeżeli do energii potencjalnej we
wszystkich punktach dodamy dowolną stałą V’ = V + A to V
A
’ - V
B
’ = V
A
- V
B
i V’ też spełnia
równanie
AB
B
A
W
V
V
=
−
'
'
.
Ż
eby energia potencjalna była określona jednoznacznie trzeba ustalić jej wartość w którymś
punkcie, np. przyjąć , że V(
∞
)= 0, wówczas energia potencjalna w punkcie A wynosi:
∫
∞
=
A
A
s
d
r
F
V
)
(
2. Energia kinetyczna
Jeżeli ciało o masie m porusza się z prędkością v to związana jest z tym pewna energia, nazywana
energią kinetyczną.
2
1
2
T
mv
=
Zasada zachowania energii mechanicznej
Jeżeli siły działające na każdy z punktów materialnych układu odizolowanego są siłami
zachowawczymi to całkowita energia mechaniczna układu, E = T + V, nie ulega zmianie.
Gdzie T- oznacza sumę energii kinetycznych wszystkich punktów układu, a V sumę energii
potencjalnych.
Istnieje wiele sił dla których nie można określić potencjału:
•
siła Lorenza,
→
→
→
×
=
B
v
q
F
, jest zawsze prostopadła do kierunku ruchu cząstki nie wykonuje więc
ż
adnej pracy
•
siły niepotencjalne (siły tarcia i oporu ośrodka), które powodują straty energii mechanicznej.