Fizyka statystyczna 15
STATYSTYCZNY OPIS UKºADU
Stan uk»adu moóe by opisany przez dwa rodzaje wielkoÑci:
- makroskopowe
-
np. temperatura, objtoÑ, ciÑnienie,
potencja» chemiczny,
- mikroskopowe
-
np. prdkoÑ czstki, pd czstki, energia
czstki, po»oóenie czstki.
Statystyczna
funkcja rozk»adu
- zwizek midzy tymi dwoma rodzajami wielkoÑci.
Jest to funkcja parametryczna. Jej parametrami s
paramertry termodynamiczne, np. temperatura i
potencja» chemiczny . Argumentami tej funkcji s
wspó»rzdne i sk»adowe pdu czstki.
Pe»na
statystyczna
funkcja rozk»adu
- funkcja
, taka, óe pomnoóona przez
wyraóa liczb czstek uk»adu, których energie
zawarte s w przedziale
bdziemy w skrócie oznaczali
moóna przedstawi w postaci
- gstoÑ stanów
-
funkcja rozk»adu (prawdopodobie½stwo zajÑcia danego stanu,
odpowiednik Ñredniej liczby czstek w danym stanie)
Fizyka statystyczna 16
Funkcja rozk»adu dla gazu doskona»ego niezwyrodnia»ego
Dla gazu niezwyrodnia»ego
, dlatego w tym przypadku musi
zachodzi
.
Funkcja rozk»adu
dla gazu niezwyrodnia»ego nazywana jest rozk»adem
Maxwella-Boltzmanna i ma posta
- potencja» chemiczny,
- sta»a Boltzmanna
Pe»na funkcja rozk»adu
Fizyka statystyczna 17
Potencja» chemiczny gazu niezwyrodnia»ego
Potencja» chemiczny gazu niezwyrodnia»ego moóna wyliczy z warunku
unormowania pe»nej funkcji rozk»adu
Wiedzc, óe
otrzymujemy
Std dla gazu niezwyrodnia»ego
Poniewaó dla gazu niezwyrodnia»ego
(kryterium niezwyrodnienia)
wic potencja» chemiczny gazu niezwyrodnia»ego jest zawsze ujemny.
Fizyka statystyczna 18
Funkcja rozk»adu Maxwella-Boltzmanna
Znaleziona posta potencja»u chemicznego dla gazu niezwyrodnia»ego
pozwala zapisa pe»n funkcj rozk»adu i rozk»ad Maxwella-Boltzmanna w
postaci jawnie zaleónej od parametrów uk»adu.
Dla pe»nej funkcji rozk»adu Maxwella-Boltzmanna
Dla rozk»adu Maxwella-Boltzmanna
W ostatnim wzorze wprowadziliÑmy koncentracj czstek
.
Fizyka statystyczna 19
Efektywna liczba stanów
Funkcj rozk»adu Maxwella-Boltzmanna
moóemy zapisa w postaci
gdzie
z
- efektywna gstoÑ stanów
efektywna gstoÑ stanów dla
.
Uóywajc
warunek niezwyrodnienia gazu doskona»ego
lub
dla dowolnej energii
moóna zapisa w innej postaci
Fizyka statystyczna 20
Rozk»ad czstek wzgldem prdkoÑci i pdów
OtrzymaliÑmy
Znajc
spróbujmy otrzyma
W podobny sposób moóna otrzyma rozk»ad czstek wzgldem pdów
Fizyka statystyczna 21
Funkcja rozk»adu gazu zwyrodnia»ego fermionów
Przyk»adem gazu zwyrodnia»ego fermionów jest gaz elektronowy w
metalach. Funkcj rozk»adu dla takiego gazu jest funkcja Fermiego-Diraca
- energia kinetyczna czstki
- potencja» chemiczny
Dla porównania funkcja rozk»adu gazu niezwyrodnia»ego mia»a posta
Prawo rozk»adu fermionów wzgldem energii
Dla elektronów
, wic wtedy
Fizyka statystyczna 22
Rozk»ad Fermiego-Diraca w temperaturze zera bezwzgldnego
Dla elektronów swobodnych metal jest swego rodzaju jam potencja»u
Poziom
Fermiego
- poziom energetyczny , na
którym znajduje si elektron
o najwikszej energii
kinetycznej w temperaturze
0 K.
Energia
Fermiego
- energia kinetyczna
elektronu na poziomie
Fermiego
W temperaturze zera bezwzgldnego wszystkie stany o energii
s
obsadzone, a stany o energii
s puste.
Aby otrzyma ten wynik z rozk»adu Fermiego-Diraca, naleóy przyj