MO

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

1

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

Z2/14.1. Zadanie 14

Wyznaczyć analitycznie reakcje w przegubach rzeczywistych A i B oraz prętach podporowych numer 

1 i 2 układu trójprzegubowego przedstawionego na rysunku Z2/14.1.

1

A

2

B

3,0

6,0

4,0

2,0

4,0

6,

0

3,

0

4,

0

5,

0

[m]

6,0 kN

16,0 kN

8,0 kN

20,0 kN

II

I

Rys. Z2/14.1. Układ trójprzegubowy

Z2/14.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego

Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody. 

Dwa przeguby rzeczywiste A i B oraz dwa pręty podporowe numer 1 i 2 odbierają razem także sześć stopni 
swobody. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4).

1

A

2

B

II

I

C

∞

AB

Rys. Z2/14.2. Układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi A i B oraz przegubem fikcyjnym C

Pręty podporowe numer 1 i 2 tworzą przegub fikcyjny C znajdujący się pionowo w nieskończoności. 

Przedstawia to rysunek Z2/14.2. Dwa przeguby rzeczywiste A i B leżą na prostej ukośnej natomiast przegub 
fikcyjny C leży na prostej pionowej. Możemy więc stwierdzić, że wszystkie trzy przeguby nie leżą na jednej 
prostej. Został tym samym spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

2

Ponieważ   układ   trójprzegubowy   przedstawiony   na   rysunku   Z2/14.1   spełnia   warunek   konieczny  i 

dostateczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie 
wyznaczalnym. 

Z2/14.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego

W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej 

musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym 
na dwie składowe: poziomą i pionową. Założone zwroty składowych reakcji w przegubie rzeczywistym A 
przedstawia rysunek Z2/14.3.

W   pręcie   podporowym   kierunek   reakcji   pokrywa   się   z   kierunkiem   tego   pręta.   Rysunek   Z2/14.3 

przedstawia założone zwroty reakcji w prętach podporowych numer 1 i 2.

1

A

2

B

3,0

6,0

4,0

2,0

4,0

6,

0

3,

0

4,

0

5,

0

[m]

6,0 kN

16,0 kN

8,0 kN

20,0 kN

II

I

V

A

H

A

R

1

R

2

X

Y

D

E

Rys. Z2/14.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubie rzeczywistym A i prętach podporowych numer 1 i 2

Rysunek   Z2/14.4   przedstawia   założone   zwroty   reakcji   działających   na   tarczę   sztywną   numer   I. 

Rysunek Z2/14.5 przedstawia założone zwroty reakcji działających na tarczę sztywną numer II. Rysunek 
Z2/14.6 przedstawia założone zwroty reakcji działających w przegubie rzeczywistym B.

Poziomą   składową   reakcji   w   przegubie   rzeczywistym  A  wyznaczymy   z   równania   sumy   rzutów 

wszystkich   sił   działających   na   cały  układ   trójprzegubowy  na   oś   poziomą   X.   Jako  dodatni   przyjmiemy 
kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.3 równanie to będzie miało postać

 X

=

H

A

−

6,0



20,0

=

0

H

A

=−

14,0 kN

.

(Z2/14.1)

Składowa ta ma więc zwrot przeciwny do założonego.

Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym A wyznaczymy z równania sumy momentów 

wszystkich sił działających tarczę sztywną numer I względem punktu B. Dodatni moment będzie kręcił 
zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.4 równanie to będzie miało postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

3

A

B

3,0

6,0

6,

0

3,

0

6,0 kN

16,0 kN

I

V

A

H

A

V

B

(I)

H

B

(I)

X

Y

[m]

Rys. Z2/14.4. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na tarczę sztywną numer I

1

2

B

4,0

2,0

4,0

4,

0

5,

0

[m]

8,0 kN

20,0 kN

II

R

1

R

2

V

B

(II)

H

B

(II)

X

Y

Rys. Z2/14.5. Założone zwroty składowych reakcji w przegubie B oraz w prętach podporowych numer 1 i 2 działające 

na tarczę sztywną numer II

V

B

(I)

H

B

(I)

B

V

B

(II)

H

B

(II)

Rys. Z2/14.6. Założone zwroty reakcji w przegubie rzeczywistym B

 M

B



I



=V

A

⋅9,0−H

A

⋅9,06,0⋅6,0−16,0⋅6,0=0

V

A

⋅9,0−



−14,0



⋅9,06,0⋅6,0−16,0⋅6,0=0

V

A

=−7,333 kN

.

(Z2/14.2)

Pionowa składowa reakcji w przegubie rzeczywistym A ma więc w rzeczywistości zwrot przeciwny do 
założonego.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

4

Reakcję w pręcie podporowym numer 1 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił 

działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu E przedstawionego na rysunku Z2/14.3. Punkt 
ten jest punktem przecięcia się kierunków reakcji w pręcie podporowym numer 2 i poziomej składowej 
reakcji w przegubie A. Momenty od tych reakcji będą więc wynosiły zero. Dodatni moment będzie kręcił 
zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.3 równanie to będzie miało postać

 M

E

=R

1

⋅4,0V

A

⋅19,0−16,0⋅16,0−6,0⋅3,0−8,0⋅8,020,0⋅5,0=0

R

1

⋅4,0



−7,333



⋅19,0−16,0⋅16,0−6,0⋅3,0−8,0⋅8,020,0⋅5,0=0

R

1

=94,33 kN

.

(Z2/14.3)

Reakcja ta ma więc zwrot zgodny z założonym.

Reakcję w pręcie podporowym numer 2 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił 

działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu D przedstawionego na rysunku Z2/14.3. Punkt 
ten jest punktem przecięcia się kierunków reakcji w pręcie podporowym numer 1 i poziomej składowej 
reakcji w przegubie A. Momenty od tych reakcji będą więc wynosiły zero. Dodatni moment będzie kręcił 
zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.3 równanie to będzie miało postać

 M

D

=−R

2

⋅4,0V

A

⋅15,0−16,0⋅12,0−6,0⋅3,0−8,0⋅4,020,0⋅5,0=0

−R

2

⋅4,0



−7,333



⋅15,0−16,0⋅12,0−6,0⋅3,0−8,0⋅4,020,0⋅5,0=0

R

2

=−63,00 kN

.

(Z2/14.4)

Reakcja ta ma więc zwrot przeciwny do założonego.

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na cały 

układ  trójprzegubowy  na   oś   pionową  Y.   Jako  dodatni   przyjmiemy  kierunek  zgodny  ze   zwrotem  osi  Y. 
Zgodnie z rysunkiem Z2/14.3 równanie to będzie miało postać

 Y =V

A

R

1

R

2

−16,0−8,0=−7,33394,33−63,0−24,0=−0,003≈0

.

(Z2/14.5)

Równanie (Z2/14.5) zostało spełnione. Możemy więc stwierdzić, że reakcje w przegubie rzeczywistym A 
oraz w prętach podporowych numer 1 i 2 zostały wyznaczone prawidłowo.

Rysunek   Z2/14.7   przedstawia   prawidłowe   wartości   i   zwroty   składowych   reakcji   w   przegubie 

rzeczywistym A oraz w prętach podporowych numer 1 i 2. Reakcje te oraz siły czynne działające na obie 
tarcze sztywne znajdują się w równowadze.

Aby  wyznaczyć   poziomą   składową   reakcji   w   przegubie   B  działającą   na   tarczę   sztywną   numer   I 

zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś poziomą X. Jako dodatni 
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.4 składowa ta będzie miała 
wartość

 X



I



=−H

B



I



H

A

−6,0=0

−H

B



I



−14,0−6,0=0

H

B



I



=−20,0 kN

.

(Z2/14.6)

Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I zasto-

sujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś pionową Y. Jako dodatni przyj-
miemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.4 składowa ta będzie miała wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

5

1

A

2

B

3,0

6,0

4,0

2,0

4,0

6,

0

3,

0

4,

0

5,

0

[m]

6,0 kN

16,0 kN

8,0 kN

20,0 kN

II

I

14,0 kN

7,333 kN

94,33 kN

63,0 kN

Rys. Z2/14.7. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubie rzeczywistym A oraz w prętach 

podporowych numer 1 i 2

 Y



I



=V

B



I



V

A

−16,0=0

V

B



I



−7,333−16,0=0

V

B



I



=23,33 kN

.

(Z2/14.7)

Pionowa składowa reakcji w przegubie B ma zwrot zgodny z założonym natomiast pozioma ma zwrot 

przeciwny   do   założonego.   Rysunek   Z2/14.8   przedstawia   prawidłowe   zwroty   składowych   reakcji   w 
przegubie rzeczywistym B działające na tarczę sztywną numer I.

Składowe reakcji w przegubie B działające na tarczę sztywną numer II mają takie same wartości ale 

przeciwne zwroty jak te same składowe działające na tarczę sztywną numer I. Wynika to bezpośrednio z 
równowagi   założonych   zwrotów   składowych   reakcji   w   przegubie   rzeczywistym   B   przedstawionych   na 
rysunku Z2/14.6. Możemy więc napisać, że

H

B



II



=H

B



I



=−20,0 kN

,

(Z2/14.8)

V

B



II



=V

B



I



=23,33 kN

.

(Z2/14.9)

W celu sprawdzenia obliczeń składowych reakcji w przegubie B zastosujemy równania sumy rzutów 

wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II na osie: poziomą X i pionową Y. Jako dodatnie 
przyjmiemy kierunki zgodne ze zwrotami osi X i Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.5 równanie sumy rzutów na 
oś X ma postać

 X



II



=H

B



II



20,0=−20,020,0=0

.

(Z2/14.10)

Zgodnie z rysunkiem Z2/14.5 równanie sumy rzutów na oś Y ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

6

 Y



II



=−V

B



II



R

1

R

2

−8,0=−23,3394,33−63,0−8,0=0

.

(Z2/14.11)

Równania równowagi (Z2/14.10) i (Z2/14.11) zostały spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome i 
pionowe składowe reakcji w przegubie B zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek   Z2/14.8   przedstawia   prawidłowe   wartości   i   zwroty   składowych   reakcji   w   przegubach 

rzeczywistych A i B oraz w prętach podporowych numer 1 i 2. Reakcje te oraz siły czynne działające na 
każdą z tarcz sztywnych znajdują się w równowadze. 

A

B

3,0

6,0

6,

0

3,

0

6,0 kN

16,0 kN

I

14,0 kN

7,333 kN

20,0 kN

23,33 kN

1

2

B

4,0

2,0

4,0

4,

0

5,

0

[m]

8,0 kN

20,0 kN

II

94,33 kN

63,0 kN

20,0 kN

23,33 kN

Rys. Z2/14.8. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i B oraz w prętach 

podporowych numer 1 i 2

Rysunek   Z2/14.9   przedstawia   prawidłowe   wartości   i   zwroty   składowych   reakcji   działających   w 

przegubie rzeczywistym B.

B

20,0 kN

23,33 kN

20,0 kN

23,33 kN

Rys. Z2/14.9. Składowe reakcji działających w przegubie rzeczywistym B

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni