Matlab materiały do projektów

MATLAB - materiaªy do

-projektów

(wersja robocza)

Piotr Jacek Suchomski

3 czerwca 2007

Rozdziaª 1

Modelowanie ukªadów

dynamicznych

•

Prosze zamodelowa¢ wybrany ukªad dynamiczny, w miar¦ mo»liwo±ci

zªo»ony z kilku elementów funkcjonalnych (np. silnik steruj¡cy za-

worem, ukªad nap¦du windy, lokomotywa mozol¡ca si¦ z wagonami

('a tych wagonów jest ze czterdzie±ci...'), sterowanie suwnic¡, zawór

dopªywu pary do radiatora w komorze termicznej itp).

•

Prosz¦ pami¦ta¢ tak»e wymuszeniach losowych (zakªóceniach).

•

Prosz¦ o uwzgl¦dnienie obecno±ci elementów nieliniowych (nasycenia,

strefy martwe, histerezy, nieliniowo±ci charakterystyk statycznych, ste-

rowanie typu przeka¹nikowego itp). Pamietajmy, »e w przypadku mod-

eli nieliniowych symulacja powinna si¦ zasadniczo opiera¢ na rozwi¡-

zaniu stosownych nieliniowych równa« ró»niczkowych.

•

Prosz¦ wykona¢ stosowne symulacje (wzruszaj¡c przy okazji kol. belfra

perfekcyjn¡ znajomosci¡ MATLABowych narz¦dzi gracznych!)

•

Zadanie dla prymusów: prosz¦ zaprojektowa¢ ukªad zamkni¦ty, rozwa-

»aj¡c mo»liwo±¢ syntezy sygnaªu wymuszaj¡cego (podawanego na mod-

elowany obiekt) w oparciu o dost¦pny sygnaª wyj±ciowy tego obiektu.

W ten sposób speªnia si¦ sªodki sen ka»dego automatyka o (stabilnej)

zamkni¦tej p¦tli sterowania!

•

Oczekuj¦ te» na rozwi¡zania podanych wcze±niej zagadek (adresowanie,

algebra liniowa, efektywno±¢ w programowaniu, numeryczna dokªad-

no±¢, caªkownie, szukanie zer i ekstremów funkcji, i pewnie co± tam

jeszcze).

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

•

Niezb¦dne jest dostarczenie odpowiedniego raportu z precyzyjnym i

lapidarnym opisem tego, co zostaªo wykonane w ramach projektu (mo-

tywacja, rozwi¡zanie, wnioski).

•

Pami¦tajcie te», »e ka»dy projekt trzeba 'obroni¢' w trakcie ±wiatlej

dyskusji. Aby unikn¡¢ nu»¡cych monologów, dopuszczamy dwuosobowe

grupy projektantów.

1.1 Modelowanie elementów ukªadów sterowania

Przykªad 1.1 Okre±l matematyczny model idealnej przekªadni z¦batej.

Podaj ukªad elektryczny o analogowym charakterze.

Rozwi¡zanie Modelowana przekªadnia (rys. 1) jest przekªadni¡ ide-

aln¡. Oznacza to, i» nieodksztaªcalne koªa z¦bate tej przekªadni nie maj¡

wªasnej bezwªadno±ci, oraz »e w ruchu przekªadni nie wyst¦puj¡ luzy i po-

±lizgi.

Rys. 1. Schemat idealnej przekªadni

Niech rozwa»ana przekªadnia skªada si¦ z dwóch kóª z¦batych o pro-

mieniach odpowiednio r

oraz r

. Konsekwencjami przyj¦tego zaªo»enia s¡

nast¦puj¡ce relacje (proporcje): r

(t) = r

(t)

oraz τ

(t)/r

= τ

(t)/r

gdzie przez ϑ

(t)

oraz ϑ

(t)

oznaczono przemieszczenie k¡towe pierwszego

oraz drugiego koªa z¦batego, za± τ

(t)

oraz τ

(t)

s¡ stosownymi momentami

obrotowymi zwi¡zanymi z pierwszym oraz drugim koªem z¦batym. Pierwsza

z wymienionych relacji opisuje równo±¢ liniowych dróg wykonywanych przez

odpowiednie punkty na obwodzie kóª z¦batych, za± relacja druga wynika

z równo±ci siª wyznaczaj¡cych rozwa»ane momenty. Zakªadaj¡c, »e liczba

z¦bów (N

oraz N

)

ka»dego koªa z¦batego przekªadni jest proporcjonalna

do jego promienia, otrzymuje si¦ nast¦puj¡ce zale»no±ci:

(t) = N

(t) oraz

(t)

(1.1)

1.1. ELEMENTY (PJS)

Oznaczmy przez ω

(t) = ˙ϑ

(t)

oraz ω

(t) = ˙ϑ

(t)

pr¦dko±ci k¡towe

odpowiednich kóª. Jak ªatwo zauwa»y¢, pr¦dko±ci te powi¡zane s¡ równo±ci¡
N

(t) = N

(t)

Analogowym ukªadem elektrycznym jest idealny transformator o prze-

kªadni N

: N

(rys. 2).

Rys. 2. Schemat idealnego transformatora

Z zasady zachowania mocy chwilowej uzyskuje si¦ równanieu

(t)i

(t) =

(t)i

(t)

, gdzie u

(t)

oraz i

(t)

oznacza napi¦cie oraz pr¡d w uzwojeniu

wej±ciowym (pierwotnym), za± u

(t)

oraz i

(t)

w uzwojeniu wyj±ciowym

(wtórnym). Z zasady zachowania strumienia magnetycznego wynika równo±¢
N

(t) = N

(t)

. Na tej podstawie wnioskujemy, »e u

(t)/N

= u

(t)/N

Jak zatem widzimy, parami wielko±ci analogowych s¡ odpowiednio moment

obrotowy i napi¦cie oraz przemieszczenie k¡towe i pr¡d. ImpedancjaZ

, ob-

ci¡»aj¡ca wtórne uzwojenie idealnego transformatora, jest nast¦puj¡co trans-

formowana do obwodu uzwojenia pierwotnego:

· Z

Rozwa»aj¡c równanie ruchu waªu wtórnego J

(t) = τ

(t)

, po uzgl¦d-

nieniu modelu idealnej przekªadni (1.1), swierdzamy, »e(N

· ¨

(t) =

) · τ

(t)

. Równo±ci tej nada¢ mo»na równowa»n¡ form¦

· ¨

(t) = τ

(t)

z której wynika, »e moment bezwªadno±ciJ

walu wtórnego jest nast¦puj¡co

transformowany na waª pierwotny:

· J

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

Przykªad 1.2 Wyznacz model zaworu hydraulicznego (rys. 3), przyjmuj¡c

jako wielko±¢ wej±ciow¡ zmian¦ ci±nienia p

(t)

, za± jako wielko±¢ wyj±ciow¡

zmian¦ nat¦»enia przepªywu q(t) nie±ci±liwej cieczy.

Rys. 3. Schematyczne przedstawienie zaworu hydraulicznego

Równanie opisuj¡ce przepªyw cieczy przez dany przekrój poprzeczny dane

jest wzorem

q(t) = k

(t) − p

(t),

(t) ≥ p

(t)

(1.2)

w którym wspóªczynnikk ma warto±¢ staª¡, wynikaj¡c¡ z konstrukcji zaworu.

Zakªada si¦ ponadto, »e p

(t) = ¯

, gdzie ¯p

odpowiada przyj¦temu punktowi

pracy (ustalonemu przepªywowi).

Rozwi¡zanie Charakterystyka zaworu (wzór (1.2)) jest nieliniow¡ funkcj¡

argumentu p

(t)

. Linearyzuj¡c t¦ funkcj¦ w otoczeniu punktu ¯p

, dla p

(t) =

+ ∆p

(t)

uzyskujemy formuª¦

+ ∆p

(t) − ¯

≈ k

√

− ¯

1 +

∆p

(t)

2(¯

− ¯

)

= ¯

q + ∆q(t)

gdzie ¯q = k

√

− ¯

odpowiada nat¦»eniu przepªywu dla punktu ¯p

, za±

∆q(t) =

√

− ¯

· ∆p

(t)

jest zmian¡ tego nat¦»enia wywoªan¡ przez zmian¦∆p

(t)

ci±nienia p

(t)

∆Q(s)

∆P

(s)

√

− ¯

Liczb¦ R = 2

√

− ¯

, zale»n¡ od punktu linearyzacji czyli od

warunków ustalonego przepªywu cieczy przez dany przekrój nazywamy

rezystancj¡ hydrauliczn¡ tego przekroju.

1.1. ELEMENTY (PJS)

Rys. 4. Schemat zbiornika przepªywowego

Przykªad 1.3 Na rys. 4 pokazano uproszczony schemat zbiornika przepªy-

wowego. Zakªadaj¡c, »e do zbiornika wpªywa i wypªywa ze« nie±ci±liwa ciecz,

przekrój poprzeczny zbiornika ma powierzchni¦ S, za± ±ciany zbiornika s¡

sztywne, znajd¹ zale»no±¢ pomi¦dzy ci±nieniem p(t) a nat¦»eniami obj¦to±-

ciowych przepªywów odpowiednio wej±ciowegoq

(t)

oraz wyj±ciowego q

(t)

Rozwi¡zanie Z warunku ci¡gªo±ci rozwa»anych strumieni wynika, »e

S ·

dh(t)

= q

(t) − q

(t)

gdzie przez h(t) oznaczono poziom cieczy w zbiorniku. Ci±nienie p(t) zwi¡-

zane jest z poziomem cieczy nast¦puj¡c¡ zale»no±ci¡: p(t) = ρgh(t), gdzie
ρ

oznacza g¦sto±¢ cieczy, za± g jest przyspieszeniem ziemskim. Na tej pod-

stawie wnioskujemy, »e dp(t)/dt = (ρg/S) · (q

(t) − q

(t))

, co oznacza, i»

obowi¡zuje formuªa

p(t) − p(t

) =

ρg

(τ ) − q

(τ ))dτ .

Jak widzimy, rozwa»any zbiornik mo»na traktowa¢ jako element caªku-

j¡cy. Wielko±¢ C = S/(ρg) nazywana jest pojemno±ci¡ hydrauliczn¡.

Przykªad 1.4 Zakªadaj¡c zlinearyzowany opis dynamiki zbiornika ze swo-

bodnym wypªywem (rys. 5). Opisz ten obiekt dynamiczny w relacji we/wy:

zmiana nat¦»enia przepªywu ∆q

(t)

cieczy dopªywaj¡cej zmiana nat¦»enia

przepªywu ∆q

(t)

cieczy wypªywaj¡cej ze zbiornika (przez q

(t)

oraz q

(t)

oznaczono odpowiednie nat¦»enia przepªywów obj¦to±ciowych).

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

Rys. 5. Schemat zbiornika ze swobodnym wypªywem

Rozwi¡zanie Nat¦»enie przepªywu q

(t)

cieczy wypªywaj¡cej ze zbior-

nika zale»y od ró»nicy ci±nie« p

(t) − p

(t)

po obu stronach zaworu:

(t) = k

(t) − p

(t),

(t) ≥ p

(t), ∀t

gdzie k jest wspóªczynnikiem zale»nym mi¦dzy innymi od przekroju zaworu.

Z zaªo»enia o swobodnym wypªywie wynika, »e jako ró»nic¦ ci±nie«p

(t) −

(t)

nale»y przyj¡¢ hydrostatyczne ci±nienie gρh(t), zale»ne od poziomu

cieczy w zbiorniku (wysoko±ci h(t) sªupa cieczy) oraz g¦sto±ci ρ tej cieczy;
g

oznacza przyspieszenie ziemskie. Zachodzi zatem równo±¢q

(t) = k

√

gρ ·

h(t)

. Poziom h(t) wyznacza si¦ z bilansu obj¦to±ci v(t) cieczy w zbiorniku.

W tym celu rozwa»a si¦ równanie ró»niczkowe dv(t)/dt = q

(t) − q

(t)

warunkiem pocz¡tkowym v(t

) = ¯

. Pochodn¡ dv(t)/dt mo»na wyrazi¢ jako

dv(t)

dv(h)

dh(t)

gdzie dv(h)/dh charakteryzuje ksztaªt danego zbiornika (warto±¢ tej pochod-

nej równa jest powierzchni przekroju poprzecznego zbiornika na wysoko±ci
h

). Zaªó»my, »e dla rozwa»anego zbiornika zachodzi dv(h)/dh = S, gdzie

przez S oznaczono powierzchni¦ poprzecznego przekroju niezale»n¡ od h.

Na tej podstawie otrzymujemy równanie

S ·

dh(t)

= q

(t) − k

√

gρ ·

h(t).

(1.3)

Punkt pracy (stan równowagi) rozwa»anego obiektu deniuj¡ wielko±ci:

) = ¯

, q

) = ¯

oraz h(t

) = ¯h

, przy czym ¯q

= ¯

= k

gρ¯h ≡ ¯

Oznacza to, »e dla przyrostów odpowiednich sygnaªów obowi¡zuj¡ relacje:
q

(t) = ¯

+ ∆q

(t)

, q

(t) = ¯

+ ∆q

(t)

oraz h(t) = ¯h + ∆h(t). Linearyzacja

równania (1.3) w otoczeniu punktu (¯q, ¯h) przebiega w nast¦puj¡cy sposób:

S ·

d∆h(t)

= ¯

q + ∆q

(t) − k

√

gρ ·

¯h + ∆h(t)

1.1. ELEMENTY (PJS)

≈ ¯

q + ∆q

(t) − k

gρ¯h ·

1 +

∆h(t)

2¯h

Przykªad 1.5 Niech pr¡dnica nap¦dzana ze staª¡ pr¦dko±ci¡ k¡tow¡ (rys.

6a) pracuje przy idealnym biegu jaªowym. Zakres zmian pr¡du wzbudzenia
i

(t)

jest tego rodzaju, »e punkt pracy znajduje si¦ pomi¦dzy−I

i +I

(rys. 6b). W takim przypadku pomijaj¡c wpªyw histerezy obwodu magne-

tycznego mo»emy oczekiwa¢, »e pr¡dnica pracuje na prostoliniowej cz¦±ci

charakterystyki e = f(i

)

, gdzie e oznacza siª¦ elektromotoryczna pr¡dnicy

(rys. 6b).

Rys. 6. Schemat dziaªania (a) oraz charakterystyka statyczna (b) pr¡dnicy

Rozwi¡zanie Siªa elektromotoryczna pr¡dnicye(t) jest w rozwa»anych

warunkach proporcjonalna do pr¡du wzbudzeniae(t) = k

(t)

, przy czym

= tan α

(rys. 6b). Indukcyjno±¢ obwodu wzbudzenia L

mo»emy trak-

towa¢ jako staª¡, zatem przy zasilaniu tego obwodu napi¦ciemu

(t)

obow-

i¡zuje zale»no±¢

(t) + L

(t)

= u

(t)

gdzie R

oznacza rezystancj¦ obwodu wzbudzenia. Na tej podstawie otrzy-

mujemy równo±¢

e(t) +

˙e(t) = u

(t).

Pr¡dnic¦ obcowzbudn¡ mo»na zatem modelowa¢ czªonem inercyjnym.

Przykªad 1.6 Zakªadaj¡c linearyzacj¦ odpowiednich charakterystyk, wy-

prowad¹ równania dynamiki obcowzbudnego silnika pr¡du staªego, sterowanego

od strony twornika (rys. 7).

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

Rys. 7. Schemat silnika pr¡du staªego sterowanego od strony twornika

Rozwi¡zanie Wielko±ci wyst¦puj¡ce na rys. 7 oznaczaj¡: e

(t)

napi¦cie wej±ciowe w obwodzie twornika, i

(t)

pr¡d w obwodzie twornika,

(t)

siªa przeciwelektromotoryczna, τ(t) moment mechaniczny silnika,

ϑ(t)

poªo»enie k¡towe waªu silnika, J moment bezwªadno±ci sprowadzo-

ny do waªu silnika, b wspóªczynnik tarcia lepkiego sprowadzony do waªu

silnika.

Linearyzuj¡c charakterystyk¦ statyczn¡τ(i

)

w otoczeniu przyj¦tego punktu

pracy (zakªada si¦, »e pole wzbudzenia ma warto±¢ staª¡), otrzymuje si¦ za-

le»no±¢ ∆τ(t) = k · ∆i

(t)

, gdzie k jest wspóªczynnikiem nachylenia tej

charakterystyki. Siªa przeciwelektromotoryczna indukowana w obwodzie

twornika jest proporcjonalna do pr¦dko±ci k¡towej, co oznacza przyj¦cie mo-

delu w postaci równo±ci ∆e

(t) = k

∆ ˙ϑ(t)

. Wspóªczynniki k oraz k

stanowi¡

indywidualne charakterystyki danego silnika. Równanie spadków napi¦¢ w

obwodzie twornika ma przeto posta¢

∆e

(t) = R

∆i

(t) + L

d∆i

(t)

+ k

d∆ϑ(t)

(1.4)

za± równanie dynamiki waªu mo»na zapisa¢ jako

∆ϑ(t)

= k∆i

− b

d∆ϑ(t)

(1.5)

Zlinearyzowany model rozwa»anego silnika jest wi¦c modelem trzeciego

rzedu. Je»eli indukcyjno±¢ L

w obwodzie twornika ma pomijalnie maª¡

warto±¢, wówczas otrzymujemy odpowiedni model rz¦du drugiego

d∆ϑ(t)

+ T

∆ϑ(t)

= k

· ∆e

(t)

(1.6)

gdzie

+ bR

oraz T

+ bR

Wielko±¢ T

okre±lana jest mianem elektromechanicznej staªej czasowej sil-

nika. Z kolei k

to wzmocnienie pr¦dko±ciowe tego silnika. Zauwa»my, »e

1.1. ELEMENTY (PJS)

zale»y od obcia»enia silnika! Ponadto, ze wzoru (1.6) wynika, »e taki

uproszczony model silnika odpowiada szeregowemu poª¡czeniu czªonu caªku-

j¡cego oraz odpowiedniego czªonu inercyjnego.

Przykªad 1.7 Rozpatrzmy prosty zlinearyzowany model procesów wymia-

ny ciepªa, ograniczaj¡c si¦ do opisu przybli»onego w kategoriach ukªadów o

staªych skupionych. Zaªó»my zatem (zob. rys. 8), »e w komorze termicznej

znajduje si¦ ¹ródªo strumienia energii cieplnej o warto±ci q(t). Wyznacz

model tej komory, który opisuj¡ce wpªyw wielko±ci dostarczanego strumienia

energii cieplnej oraz wpªyw temperatury otoczenia na temperatur¦ w ko-

morze.

Rys. 8. Schematyczne przedstawienie komory termicznej

Rozwi¡zanie Niech T

(t)

oznacza temperatur¦ panuj¡c¡ w komorze,

(t)

temperatur¦ ±cian komory, za± T

(t)

temperatur¦ otoczenia.

Strumie« energii cieplnej przepªywaj¡cej mi¦dzy wn¦trzem komory a jej

±cianami opisuje wzór

(t) =

(t) − T

(t)

gdzie przez R

oznaczono odpowiedni¡ rezystancj¦ ciepln¡. Bilans energe-

tyczny dla wn¦trza komory ma posta¢ równo±ci

(t)

= q(t) −

(t) − T

(t)

gdzie C

oznacza pojemno±¢ ciepln¡ komory. Modeluj¡c proces wymiany

ciepªa mi¦dzy ±cianami komory a otoczeniem, otrzymujemy równania:

(t) =

(t) − T

(t)

(t) − T

(t)

−

(t) − T

(t)

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

w których R

oznacza odpowiedni¡ rezystancj¦ ciepln¡, za± C

jest pojem-

no±ci¡ ciepln¡ ±cian komory.

Z bilansu energetycznego dla wn¦trza komory ªatwo jest zatem wyznaczy¢

poszukiwany model (równanie ró»niczkowe).

Przykªad 1.8 Schematy ukªadów aplikacyjnych wzmacniacza operacyjne-

go dane s¡ na rys. 9. Przyjmuje si¦ idealizowany model wzmacniacza oper-

acyjnego co oznacza, »e pr¡dy polaryzacyjne wzmacniacza maj¡ warto±ci

zerowe, za± potencjaªy e

oraz e

punktów oznaczonych odpowiednio jakoA

oraz B s¡ jednakowe. Dla ka»dego z rozwa»anych przypadków (a, b) nale»y

wyznaczy¢ stosowne modele rozwa»anych obiektów dynamicznych.

Rys. 9. Ukªad wzmacniacza operacyjnego

Przykªad 1.9 Wyznacz model silnika pr¡du staªego sterowanego od strony

wzbudzenia (rys. 10). Przyjmij, »e wielko±ci¡ wej±ciow¡ jest zmiana napi¦cia

wzbudzenia u

(t)

, za± wielko±¢ wyj±ciow¡ stanowi zmiana k¡towego poªo»e-

nia waªu silnika ϑ(t). Obci¡»enie silnika opisane jest momentem bezwªad-

no±ci J oraz wspóªczynnikiem tarcia lepkiego b.

Rys. 10. Schemat dziaªania silnika pr¡du staªego sterowanego od strony wzbudzenia

1.1. ELEMENTY (PJS)

Rozwi¡zanie Wobec przyj¦tych zaªo»e«, ruch waªu silnika opisany jest

równaniem

J ¨

ϑ(t) = τ (t) − b ˙ϑ(t)

(1.7)

gdzie przez ϑ(t) oznaczono poªo»enie k¡towe waªu, za± τ(t) jest momentem

obrotowym dostarczanym przez silnik. Moment ten zale»y od strumienia

wzbudzenia Φ

(t)

oraz od pr¡du w obwodzie twornika i

(t)

, co zapisujemy

jako τ(t) = k

(t)i

(t)

. Równanie spadków napi¦¢ w obwodzie wzbudzenia

ma posta¢

(t) + k

˙Φ

(t) = u

(t)

za± odpowiednie równanie dla obwodu twornika przedstawia si¦ nast¦puj¡co:

(t) + k

˙Φ

(t) + e

(t) = u

(t)

gdzie ˙Φ

(t)

oznacza strumie« magnetyczny tego obwodu, za± e

(t)

jest siª¡

przeciwelektromotoryczn¡. Siªa ta zale»y od sprz¦»enia magnetycznegoΨ

(t)

obwodu twornika ze strumieniem wzbudzenia oraz od pr¦dko±ci k¡towej:
e

(t) = k

(t) ˙ϑ(t)

. Zakªada si¦ przy tym, i» napi¦cie u

(t)

ma warto±¢

staª¡ oraz »e wspóªczynniki k

, k

oraz k

, charakteryzuj¡ce dany silnik,

tak»e przyjmuj¡ staªe warto±ci. Linearyzacja równania obwodu wzbudzenia

prowadzi do nast¦puj¡cej relacji:

∆i

(t) + L

d∆i

(t)

= ∆u

(t)

(1.8)

gdzie przez L

oznaczono indukcyjno±¢ obwodu wzbudzenia, zale»n¡ od

liczby zwojów tego obwodu oraz od nominalnej warto±ci pr¡du wzbudzenia
I

, zdeterminowanej przyj¦tym punktem pracy(I

, I

)

. Zakªada si¦ bowiem,

»e pr¡d w obwodzie wzbudzenia ma posta¢ i

(t) = I

+ ∆i

(t)

, za± pr¡d w

obwodzie twornika mo»na opisa¢ jako i

(t) = I

+ ∆i

(t)

, gdzie I

, podob-

nie jak poprzednio, oznacza nominaln¡ warto±¢ tego pr¡du.

Linearyzacja równania τ(t) = k

(t)i

(t)

w punkcie pracy pozwala na

uzale»nienie przyrostu momentu od dwóch zmiennych

∆τ (t) = k

∆i

(t) + I

∆i

(t))

(1.9)

gdzie k

jest wspóªczynnikiem charakteryzuj¡cym dany silnik. Linearyzuj¡c

równanie obwodu twornika, uzyskujemy nast¦puj¡cy wzór:

∆i

(t) + L

d∆i

(t)/dt = −k

(Ω

∆i

(t) + I

d∆θ(t)/dt)

(1.10)

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

w którym przez L

oznaczono indukcyjno±¢ obwodu twornika (zale»n¡ mi¦dzy

innymi od liczby zwojów tego obwodu oraz od warto±ci pr¡dui

)

, Ω

jest

pr¦dko±ci¡ k¡tow¡ dla punktu pracy (I

, I

)

silnika, za± k

jest odpowied-

nim wspóªczynnikiem proporcjonalno±ci.

Zauwa»my ponadto, »e w przypadku, w którym wpªyw tarcia lepkiego

mo»na zaniedba¢, model rozwa»anego silnika odpowiada szeregowemu poª¡cze-

niu dwóch czªonów caªkuj¡cych i czªonu inercyjnego.

Przykªad 1.10 Na rys. 11 pokazany jest uproszczony schemat siªownika

hydraulicznego, w którym olej wykorzystywany jest jako ciecz robocza.

Rys. 11. Schemat siªownika hydraulicznego

Poszczególne symbole oznaczaj¡: x(t) przesuni¦cie suwaka steruj¡cego

wzgl¦dem punktu równowagi ¯x = 0, y(t) przesuni¦cie tªoka siªownika,
q(t)

nat¦»enie masowego przepªywu oleju, p

(t)

i p

(t)

ci±nienie oleju

w odpowiednich komorach cylindra siªownika, m mas¦ obci¡»enia, b

wspóªczynnik tarcia lepkiego hamuj¡cego ruch masy m, S powierzchni¦

tªoka siªownika, ρ g¦sto±¢ oleju oraz d i D ±rednice suwaka i tªoka (D > d).

Traktuj¡c x(t) jako wej±cie, za± y(t) jako wyj±cie siªownika, nale»y wyznaczy¢

stosowny model.

Rozwi¡zanie Zaªó»my, »e mo»na zaniedba¢ bezwªadno±¢ suwaka steru-

j¡cego oraz tªoka siªownika, a ponadto »e olej jest ciecz¡ nie±ci±liw¡, za±

kanaªy dopªywowe oleju do komór cylindra siªownika maj¡ jednakowy przekrój.

W stanie równowagi zachodzi: q(t) = ¯q = 0 oraz p

(t) = ¯

= p

(t) = ¯

Funkcja q = f(x, ∆p) jest w ogólno±ci funkcj¡ nieliniow¡. Dokonuj¡c lin-

earyzacji tej funkcji w punkcie odpowiadaj¡cym równowadze(x = 0, ∆p =
0)

, uzyskuje si¦ nast¦puj¡cy wzór:

1.1. ELEMENTY (PJS)

q(t) = k

x(t) − k

∆p(t),

(1.11)

w którym

∂f (x, ∆p)

∂x

(0,0)

oraz k

= −

∂f (x, ∆p)

∂∆p

(0,0)

Przyj¦to przy tym, »e k

oraz k

s¡ liczbami wi¦kszymi od zera. Rozwa»a-

j¡c przepªyw oleju w przedziale czasu dt, mo»na zapisa¢ nast¦puj¡cy wzór,

okre±laj¡cy mas¦ przemieszczonego oleju: Sρdy(t) = qdt. Ze wzoru (1.11)

uzyskujemy poni»sz¡ prost¡ zale»no±¢ na ró»nic¦ ci±nie« ∆p(t) mi¦dzy ko-

morami cylindra siªownika:

∆p(t) =

x(t) −

Sρ

˙y(t).

Wyst¡pienie niezerowej ró»nicy ci±nie«∆p(t) powoduje odpowiednie prze-

suwanie si¦ tªoka siªownika siªa f(t), która przykªadana jest do masy m

obci¡»enia, dana jest wzorem

f (t) = S∆p(t) =

x(t) − Sρ ˙y(t)).

Równanie ruchu tej masy przyjmuje zatem posta¢

m¨

y(t) = −b ˙y(t) +

x(t) − Sρ ˙y(t)).

z której wynika poszukiwany model

˙y(t) + T

y(t) = k

x(t)

przy czym

ρ + bk

oraz T

ρ + bk

Model ten, wi¡»¡cy przesuni¦cia suwaka steruj¡cego i tªoka siªownika, odpo-

wiada szeregowemu poª¡czeniu czªonu caªkuj¡cego oraz czªonu inercyjnego.

W przypadku, w którym mo»na pomin¡¢ wpªyw masy obci¡»eniam, model

siªownika hydraulicznego przybli»a odpowiedni czªon caªkuj¡cy.

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

Rys. 12. Schemat ukªadu mechanicznego

Zadanie 1.1 Napisz równania ruchu dla ukªadu pokazanego na rys. 12.

Wyznacz analogowy model elektryczny tego ukªadu mechanicznego. Za-

kªadaj¡c, »e na mas¦ m

dziaªa zewn¦trzna siªa f

(t)

, znajd¹ model opisuj¡cy

wpªyw tej siªy na przesuniecie masy m

Odpowied¹ Oznaczmy przez x

(t)

oraz x

(t)

przesuni¦cia rozwa»anych

mas wzgl¦dem odpowiednich punktów równowagi. Niech ponadtok

oraz k

oznaczaj¡ wspóªczynniki sztywno±ci spr¦»yn wyst¦puj¡cych w ukªadzie, za±
b

oraz b

wspóªczynniki tªumienia odpowiednich tªumików. Równania

ruchu mas m

oraz m

maj¡ posta¢ nast¦puj¡c¡:

(t) = −b

˙x

(t) − b

( ˙x

(t) − ˙x

(t)) − k

(t) − k

(t) − x

(t))

(t) = −b

( ˙x

(t) − ˙x

(t)) − k

(t) − x

(t)).

Równania powy»sze, wraz z warunkami pocz¡tkowymix

(0)

, ˙x

(0)

, x

(0)

oraz ˙x

(0)

, opisuj¡ zachowanie si¦ autonomicznego ukªadu mechanicznego,

to znaczy ukªadu, który nie podlega wymuszeniom zewn¦trznym. Poszuku-

j¡c analogowego modelu elektrycznego, wygodnie jest skorzysta¢ z danych

zawartych w tabeli 1.

Zakªadaj¡c analogi¦ typu siªa-napi¦cie, uzyskuje si¦ równania:

(t) + R

˙q

(t) + R

( ˙q

(t) − ˙q

(t)) +

(t)

(t) − q

(t)

= 0

(t) + R

( ˙q

(t) − ˙q

(t)) +

(t) − q

(t)

= 0

z warunkami pocz¡tkowymi q

(0)

, ˙q

(0)

, q

(0)

oraz ˙q

(0)

. Oznaczaj¡c ˙q

(t)

jako i

(t)

, za± ˙q

(t)

jako i

(t)

, otrzymuje si¦ poszukiwany schemat analo-

gowego modelu elektrycznego przedstawiony na rys. 13.

1.1. ELEMENTY (PJS)

Tabela 1. Analogiczne wielko±ci mechaniczne i elektryczne

Wielko±¢ mechaniczna

Wielko±¢ elektryczna

Analogia: siªa - napi¦cie Analogia: siªa - pr¡d

Siªa i moment siªy

Napi¦cie

Pr¡d

Masa i moment bezwªadno±ci

Indukcyjno±¢

Pojemno±¢

Tarcie lepkie

Rezystancja

Odwrotno±¢ rezystancji

Spr¦»ysto±¢

Odwrotno±¢ pojemno±ci

Odwrotno±¢ indukcyjno±ci

Przesuniecie liniowe i k¡towe

adunek elektryczny

Strumie« magnetyczny

Pr¦dko±¢ liniowa i k¡towa

Pr¡d

Napi¦cie

Rys. 13. Schemat analogowego obwodu elektrycznego

Zadanie 1.2 Okre±l równanie ruchu masy m w ukªadzie pokazanym na

rys. 14, gdzie u(t) oraz y(t) oznaczaj¡ przyrostowe przesuni¦cia liniowe.

Rys. 14. Schemat ukªadu mechanicznego

Zakªadaj¡c, »e platforma, na której spoczywa masa m, jest niewa»ka,

wyznacz stosowny model.

Odpowied¹ Równanie ruchu ma posta¢

m¨

y(t) = −b( ˙y(t) − ˙u(t)) − k(y(t) − u(t)).

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

Zadanie 1.3 Przyjmuj¡c zlinearyzowane modele ukªadów mechanicznych

pokazane na rys. 15, podaj odpowiednie równania siª.

Rys. 15. Schematy ukªadów mechanicznych

Traktuj¡c siª¦ f

(t)

jako wielko±ci¡ wej±ciow¡, za± siª¦ reakcji spr¦»yny

(t)

jako wielko±¢ wyj±ciow¡, okre±l odpowiednie modele dynamiczne. Po-

daj analogiczne obwody elektryczne, wykorzystuj¡c analogi¦ siªa-napiecie.

Odpowied¹

a) Równanie równowagi siª ma posta¢

(t) − b ˙x(t) − kx(t) = 0.

Analogowy obwód elektryczny pokazano na rys. 16a (u

(t) ≡ f

(t)

(t) ≡ f

(t)

, i(t) ≡ ˙x(t), R ≡ b oraz C ≡ 1/k).

Rys. 16. Schematy analogowych obwodów elektrycznych

b) Równania równowagi siª dane s¡ wzorami:

(t) − b

˙x(t) − k(x(t) − y(t)) = 0

−b

˙y(t) − k(y(t) − x(t)) = 0.

1.1. ELEMENTY (PJS)

Analogowy obwód elektryczny pokazano na rys. 2.16 (u

(t) ≡ f

(t)

(t) ≡ f

(t)

, i

(t) ≡ ˙x(t)

, i

(t) ≡ ˙y(t)

, R

≡ b

, R

≡ b

oraz

C ≡ 1/k)

Zadanie 1.4 Na rys. 17 przedstawiono model ukªadu przeniesienia nap¦du,

przy czym przez τ

(t)

oznaczono moment obrotowy dostarczany do ukªadu.

Rys. 17. Schematyczne przedstawienie ukªadu przeniesienia nap¦du

Wyznacz odpowiednie równania ruchu. Nast¦pnie, przyjmuj¡c jako wiel-

ko±¢ wej±ciow¡ pr¦dko±¢ k¡tow¡ ϑ

(t)

, za± jako wielko±¢ wyj±ciow¡ pr¦d-

ko±¢ k¡tow¡ ϑ

(t)

, okre±l odpowiedni¡ model. Podaj analogowe obwody

elektryczne modeluj¡ce rozwa»any ukªad mechaniczny.

Odpowied¹ Ruch rozwa»anego ukªadu opisany jest równaniami:

J ¨

(t) = −k

(ϑ

(t) − ϑ

(t)) − b

˙ϑ

(t) − b

˙ϑ

(t)

0 = τ

(t) − k

(ϑ

(t) − ϑ

(t)) − b

˙ϑ

(t)

z warunkami pocz¡tkowymi ϑ

(0)

, ϑ

(0)

oraz ˙ϑ

(0)

Analogowe modele elektryczne przedstawiono na rys. 2.18. W przypadku

analogii typu moment siªy-napi¦cie (rys. 18a) otrzymujemy nast¦puj¡ce pary

odpowiednich wielko±ci: u

(t) ≡ τ

(t)

, i

(t) ≡ ˙ϑ

(t)

, i

(t) ≡ ˙ϑ

(t)

, R

≡ b

, R

≡ b

, C ≡ 1/k

oraz L ≡ J. W przypadku analogii typu

moment siªy-pr¡d (rys. 18b) obowi¡zuj¡ nast¦puj¡ce przyporz¡dkowania:
i

(t) ≡ τ

(t)

, u

(t) ≡ ˙ϑ

(t)

, u

(t) ≡ ˙ϑ

(t)

, R

≡ 1/b

, R

≡ 1/b

, R

≡ 1/b

L ≡ 1/k

oraz C ≡ J.

Zadanie 1.5 Podaj równanie równowagi siª dla ukªadu mechanicznego,

którego schemat pokazano na rys. 19a.

Wskazówka: rozwa»any ukªad posiada struktur¦ szeregowo-równolegª¡.

Aby opisa¢ oddziaªywanie elementów ukªadu skªadaj¡cych si¦ na fragment

szeregowy tej struktury (spr¦»yna o sztywno±cik

oraz tªumik o wspóªczyn-

niku tªumienia b

), niezb¦dne jest uwzgl¦dnienie przemieszczenia x

(t)

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

Rys. 2.18. Analogowe schematy elektryczne

Rys. 19. Schemat ukªadu mechanicznego

Odpowied¹ Równania siª maj¡ posta¢:

( ˙x

(t) − ˙x

(t)) + k

(t) − x

(t)) − b

( ˙x

(t) − ˙x

(t)) = 0

( ˙x

(t) − ˙x

(t)) − k

(t) = 0.

Zadanie 1.6 Na rys. 20 pokazano schemat dwustopniowej przekªadni.

Rys. 20. Schemat dwustopniowej przekªadni

Symbole wyst¦puj¡ce na tym rysunku oznaczaj¡: τ

moment dostar-

czany do ukªadu, τ

moment przekazywany do kolejnych stopni ukªadu

(moment obci¡»enia), (ϑ

, ϑ

)

poªo»enia k¡towe poszczególnych waªów,

: N

, N

: N

)

przeªo»enia przekªadni, (J

, J

)

momenty

1.1. ELEMENTY (PJS)

bezwªadno±ci waªów, (b

, b

)

wspóªczynniki tªumienia wywoªanego tarciem

lepkim. Zakªadaj¡c idealny charakter rozwa»anej przekªadni, wyprowad¹

równanie ruchu dla waªu wej±ciowego.

Odpowied¹ Równanie ruchu wej±ciowego waªu przekªadni dane jest

wzorem

(t) = τ

(t) − b

˙ϑ

(t) − τ

l eq

(t)

przy czym:

= J

= b

l eq

¶ µ

(t).

Zadanie 1.7 Przyjmuj¡c idealizowany model wzmacniacza operacyjnego,

okre±l model dynamiczny nast¦puj¡cych ukªadów z takim wzmacniaczem

(rys. 21).

Rys. 21. Schemat ukªadu ze wzmacniaczem operacyjnym

Zadanie 1.8 Rozwa»my dziaªanie nieobci¡»onego siªownika hydrauliczne-

go, pracuj¡cego w nast¦puj¡cym ukªadzie z ujemnym sprz¦»eniem zwrotnym

(rys. 22). Suwak steruj¡cy oraz tªok siªownika poª¡czone s¡ za pomoc¡

niewa»kiej i idealnie sztywnej d¹wigni swobodnej, której ramiona maj¡ dªu-

go±¢ odpowiednio a oraz b. D¹wignia ta umo»liwia sprz¦»enie przesuni¦cia

tªoka siªownika z przesuni¦ciem suwaka steruj¡cego. Ruch suwaka mo»na

tak»e uzyska¢ w sposób 'niezale»ny', wymuszaj¡c przesuni¦cie punktu A.

Rozwa»aj¡c odpowiednio maªe przesuniecia, wyznacz model rozwa»anego

ukªadu. Jak powinny by¢ dobrane parametry tego ukªadu, by mo»na byªo

uwa»a¢ go za czªon bezinercyjny?

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

Rys. 22. Ukªad siªownika hydraulicznego

Odpowied¹ Traktuj¡c przemieszczenia u(t) oraz y(t) ko«ców A i C

d¹wigni swobodnej jako sygnaªy wej±ciowe, za± przemieszczeniex(t) punktu
B

tej d¹wigni jako sygnaª wyj±ciowy, dla maªych warto±ci tych przemiesz-

cze« zapisa¢ mo»na nast¦puj¡cy model:

x(t) =

a + b

u(t) −

a + b

y(t).

Je»eli zachodzi (a + b)/(ak

) ¿ 1

, wtedy uzyskuje si¦ czªon bezinercyjny o

charakterystyce zale»nej tylko od parametrów d¹wigni: y(t) ≈ (b/a)u(t).

1.2 Modelowanie prostych ukªadów regulacji

Przykªad 2.1 Na rys. 23 pokazany jest przykªad prostego hydraulicznego

ukªadu regulacji, sªu»¡cego stabilizacji poziomu cieczy w zbiorniku przepªy-

wowym, przy wahaniach strumienia zasilaj¡cego.

Rys. 23. Schemat dziaªania ukªadu stabilizacji poziomu cieczy

Sterowania poziomem cieczy dokonuje si¦ poprzez pªywak, poª¡czony

±rub¡ nastawcz¡ i mechanizmem d¹wigniowym z zaworem na dopªywie cieczy.

1.2. UKADY (PJS)

Niech q

, q

i h

oznaczaj¡ warto±ci strumienia wpªywaj¡cego, strumienia

wypªywaj¡cego oraz poziomu cieczy w zbiorniku w stanie równowagi. Niech
q

(t)

, q

(t)

i h(t) oznaczaj¡ odpowiednio maªe zmiany tych wielko±ci wzgl¦-

dem stanu równowagi, za± q

(t)

niech reprezentuje zakªócenia przepªywu w

strumieniu dopªywaj¡cym. Wyznacz zlinearyzowany model tego ukªadu.

Rozwi¡zanie Dla maªych zaburze« mo»na przyj¡¢, »e z(t) zmiana

poªo»enia zaworu przepªywowego wynosiz(t) = ah(t)/b, podczas gdy q

(t) =

−c

z(t)

, gdzie c

> 0

. Znak minus w powy»szym wzorze wskazuje na to,

»e kiedy z(t) ro±nie, odpowiedni przepªyw maleje, i na odwrót. Równanie

bilansu strumieni ma posta¢

dh(t)

= q

(t) + q

(t) − q

(t)

gdzie A jest powierzchni¡ przekroju poprzecznego zbiornika. Poniewa»q

(t)

= ρgh(t)/R

, gdzie R

jest rezystancj¡ hydrauliczn¡ otworu wylotowego,

deniuj¡c τ

= AR

/(ρg)

, ostatecznie otrzymujemy równanie

ρg

h(t) + τ

dh(t)

= q

(t) + q

(t)

b¦d¡ce poszukiwanym modelem zlinearyzowanego ukªadu.

Przykªad 2.2 Na rys. 24 pokazany jest schemat pewnego ukªadu stabi-

lizacji poziomu cieczy.

Obiekt regulacji skªada si¦ z dwóch zbiorników, z których pierwszy ma

pojemno±¢ C

, za± drugi C

. Pªywakowy czujnik poziomu cieczy w drugim

zbiorniku za po±rednictwem d¹wigni oddziaªuje na poªo»enie suwaka steru-

j¡cego siªownika hydraulicznego. Przemieszczenie tªoka tego siªownika po-

woduje zmian¦ poªo»enia zaworu Z, steruj¡cego wielko±ci¡ strumienia cieczy

dopªywaj¡cej do drugiego zbiornika. Zakªada si¦, »e w rozpatrywanym u-

kªadzie regulacji wyst¦puje zakªócenie w postaci strumieniaq

(t)

(zob. rys.

24). Przyjmuj¡c zlinearyzowane (idealne) modele elementów tworz¡cych ten

ukªad, podaj stosowny opis tego ukªadu.

Rozwi¡zanie Na wst¦pie nale»y okre±li¢ model sterowanego obiektu.

W stanie ustalonym do drugiego zbiornika dopªywa oraz z niego wypªywa

strumie« cieczy o warto±ci ¯q czemu odpowiada ten sam poziom cieczy ¯h

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

Rys. 24. Schemat ukªadu stabilizacji poziomu cieczy

w obu zbiornikach. Oznaczmy przez q(t) oraz q

(t)

zaburzenia strumieni

wej±ciowych (dopªywaj¡cych), przez h

(t)

oraz h

(t)

zaburzenia poziomów

cieczy w pierwszym oraz drugim zbiorniku (odpowiednio), za± przez q

(t)

zaburzenie strumienia wyj±ciowego (wypªywaj¡cego). Dla pierwszego zbiornika

obowi¡zuje równanie

(t)

= q

(t)

przy czym wyró»niony kierunek przepªywu cieczy zaznaczono na rys. 2.24.

Dla drugiego zbiornika mamy równanie

(t)

= q(t) − q

(t) − q

(t)

odpowiadaj¡ce modelowi nominalnemu, w którym zakªada si¦, »eq

(t) = 0

Nat¦»enie przepªywu cieczy mi¦dzy zbiornikami opisuje równanie

(t) − h

(t)

= q

(t)

za± nat¦»enie wypªywu cieczy z drugiego zbiornika dane jest wzorem

(t)

= q

(t)

1.2. UKADY (PJS)

w którym przez R

oraz R

oznaczono hydrauliczne rezystancje odpowied-

nich zaworów.

Zaburzenie poziomu h

(t)

za po±rednictwem d¹wigni przenosi si¦ na zmia-

n¦ poªo»enia x(t) suwaka steruj¡cego siªownika hydraulicznego, zgodnie ze

wzorem

x(t) =

a + b

(t).

Zmianie tej towarzyszy odpowiednie przesuni¦cie y(t) tªoka tego siªownika.

Na podstawie wyników z przykªadu 1.10 mo»na bowiem zapisa¢ równo±¢
y(t) = ·k

x(τ )dτ

, gdzie k

jest wspóªczynnikiem charakteryzuj¡cym dany

siªownik. Traktuj¡c zawór Z jako czªon proporcjonalny (por. przykªad 1.2),

uzyskuje si¦ zale»no±¢ q(t) = −k

y(t)

, przy czym k

oznacza wspóªczynnik

proporcjonalno±ci, za± wyst¦puj¡cy tu znak minus odpowiada takiej 'po-

laryzacji' zaworu, przy której wzrost poziomu cieczy w drugim zbiorniku

wywoªuje zmniejszenie strumienia dopªywaj¡cej do« cieczy co odpowiada

ujemnemu sprz¦»eniu zwrotnemu.

Przykªad 2.3 Rozwa»my przedstawiony na rys. 25 schemat sterowa-

nia pr¦dko±ci¡ lokomotywy spalinowej z silnikiem dieslowskim. Sprawno±¢

takiego silnika w istotnym stopniu zale»y od jego pr¦dko±ci k¡towej odpo-

wiedni punkt pracy nale»y zatem wybiera¢ dla takiej pr¦dko±ciω

= const

dla której sprawno±¢ ta osi¡ga maksimum. W rozwa»anym ukªadzie sil-

nik dieslowski nap¦dza pr¡dnic¦, zasilaj¡c¡ silnik elektryczny pr¡du staªego

(silnik taki pracuje efektywnie w szerokim zakresie pr¦dko±ci k¡towych)

zadaniem tego ostatniego jest poruszanie lokomotywy. Nale»y okre±li¢ schemat

strukturalny rozwa»anego ukªadu sterowania.

Rys. 25. Schemat dziaªania ukªadu sterowania pr¦dko±ci¡ lokomotywy spalinowej

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

Rozwi¡zanie Potencjometr wielko±ci zadanej pozwala na uzyskanie

napi¦cia odniesienia e

(t)

proporcjonalnego do zadanej pr¦dko±ci k¡towej

(t)

silnika pr¡du staªego: e

(t) = c

(t)

, wielko±ci¡ sterowan¡ jest bowiem

pr¦dko±¢ k¡towa ω

(t)

tego silnika. Tachopr¡dnica umieszczona na wale sil-

nika dostarcza napi¦cia e

(t)

proporcjonalnego do ω

(t)

, co zapisujemy jako:

(t) = c

(t)

. Napi¦cie ró»nicowe e

(t) − e

(t)

podawane jest na wz-

macniacz mocy, o wyj±ciowym napi¦ciu e

(t)

zgodnym ze wzorem e

(t) =

(t) − e

(t))

. Napi¦cie to wpªywa na warto±¢ pr¡du i

(t)

w obwodzie

wzbudzenia pr¡dnicy, zgodnie z równaniem

(t) + L

(t)

= e

(t).

Zakªadaj¡c zlinearyzowany model takiej pr¡dnicy (por. przykªad 1.5),

mo»na przyj¡¢, »e napi¦cie e

(t)

generowane na jej zaciskach wyj±ciowych

dane jest wzorem e

(t) = k

(t)

, przy czym wspóªczynnik k

jest propor-

cjonalny do pr¦dko±ci k¡towej ω

silnika dieslowskiego. Zlinearyzowane rów-

nanie obwodu twornika obcowzbudnego silnika pr¡du staªego (por. przykªad

1.6) zapisujemy jako

(t) + L

(t)

= e

(t) − e

(t)

gdzie przez i

(t)

oznaczono pr¡d w obwodzie twornika, za± przez e

(t)

siª¦ przeciwelektromotoryczn¡ indukowan¡ w tym obwodzie; zachodzi przy

tym e

(t) = k

(t)

. Moment obrotowy τ(t) dostarczany przez silnik pr¡du

staªego, τ(t) = k

(t)

, sªu»y do pokonywania bezwªadno±ci obci¡»enia J,

tarcia lepkiego b oraz zakªóce« τ

(t)

. Odpowiednie równanie ruchu ma w

tym przypadku posta¢ nast¦puj¡c¡:

dω

(t)

= τ (t) − bω

(t) − τ

(t).

Zadanie 2.1 Na rys. 26 przedstawiono schemat dziaªania ukªadu sterowa-

nia obcowzbudnym silnikiem pr¡du staªego. Ruch pierwotnego waªu o bez-

wªadno±ci J

poprzez przekªadni¦ 1 : N przekazywany jest na waª wyj±-

ciowy, którego wªasno±ci dynamiczne opisane s¡ momentem bezwªadno±ci
J

oraz wspóªczynnikiem tarcia lepkiego b

. Na wale pierwotnym umie-

szczony jest czujnik pr¦dko±ci k¡towej (tachopr¡dnica), dostarczaj¡cy napi¦-

cia proporcjonalnego do tej pr¦dko±ci: u

(t) = k

˙ϑ

(t)

. Czujnik poªo»enia

waªu wyj±ciowego dostarcza napi¦cia proporcjonalnego do tego poªo»enia:

1.3. MODELOWANIE UKADÓW W PRZESTRZENI STANU

(t) = k

ϑ(t)

. Wielko±ci¡ wej±ciow¡ jest zmiana ∆u

(t)

napi¦cia zada-

j¡cego u

(t)

, wielko±ci¡ wyj±ciow¡ zmiana ∆ϑ(t) poªo»enia k¡towego ϑ(t).

Okre±l model takiego ukªadu sterowania.

Rys. 26. Schemat ukªadu sterowania silnikiem pr¡du staªego

Zadanie 2.2 Schemat ideowy pewnego ukªadu stabilizacji poziomu cieczy

w zbiorniku pokazany jest na rys. 27.

Opisz dynamik¦ tego ukªadu w postaci jego uproszczonego zlinearyzowa-

nego modelu. Przed przyst¡pieniem do rozwi¡zywania zadania nale»y zapoz-

na¢ si¦ z przykªadami: 1.2 (zawór), 1.4 (zbiornik) oraz 1.10 (siªownik hy-

drauliczny). Wszystkie zmienne wielko±ci wyst¦puj¡ce w powy»szym schema-

cie (liniowe przemieszczenia oraz strumie« q(t)) odnosz¡ si¦ do punktu rów-

nowagi, wyznaczonego warto±ci¡ strumienia ¯q lub poziomem cieczy ¯h. Stru-

mie« q

(t)

modeluje niemierzalne zakªócenia. Wielko±ci¡ regulowan¡ jest

poziom h(t) cieczy w zbiorniku, zatem w zadaniu stabilizacji tego poziomu

nale»y przyj¡¢ zerow¡ wielko±¢ zadan¡ h

(t)

1.3 Modelowanie ukªadów w przestrzeni stanu

Przykªad 3.1 Dany jest ukªad dynamiczny jak na rys. 28, zªo»ony z

liniowego obwodu elektrycznego, ¹ródªa napi¦cia zasilaj¡cegou(t) i ampero-

mierza mierz¡cego pr¡d wyj±ciowy i(t) = y(t).

Nale»y poda¢ model w przestrzeni stanu tego ukªadu.

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

Rys. 27. Schemat ideowy ukªadu stabilizacji poziomu cieczy

Rys. 28. Schemat ukªadu dynamicznego

Rozwi¡zanie Zachowanie si¦ rozwa»anego ukªadu, w dowolnej chwili

czasu t, determinuj¡ trzy wielko±ci: pr¡d pªyn¡cy przez cewk¦i

(t)

, napi¦-

cie na kondensatorze u

(t)

oraz napi¦cie wej±ciowe u(t); dwie pierwsze z

wymienionych wielko±ci podsumowuj¡ caª¡ przeszªo±¢ ukªadu, s¡ wi¦c par¡

zmiennych stanu tego ukªadu: x(t) = [ x

(t) x

(t) ]

= [ i

(t) u

(t) ]

Z równa« Kirchoa

u(t) = L

(t)

+ u

(t),

(t) = C

(t)

otrzymujemy równania stanu

(t)

= −

(t) +

u(t),

(t)

(t) −

(t).

Natomiast odpowiednie równanie wyj±cia zapisujemy jako

y(t) = i

(t) =

(t).

1.3. MODELE W PRZESTRZENI STANU (PJS)

W notacji wektorowo-macierzowej równania te maj¡ posta¢:

˙x(t) = Ax(t) + bu(t) =

−1/L

1/C −1/(RC)

x(t) +

1/L

u(t)

y(t) = c

x(t) = [ 0 1/R ]x(t).

Przykªad 3.2 Na rys. 29 dany jest schemat silnika pr¡du staªego sterowanego

od strony twornika. Zakªada si¦, »e staªe pole elektromagnetyczne wzbudzenia

wytwarzane jest przez magnes trwaªy.

Rys. 29. Schemat silnika pr¡du staªego

Przyj¦to nast¦puj¡ce oznaczenia: e

(t)

napi¦cie wej±ciowe w obwodzie

twornika, i

(t)

pr¡d w obwodzie twornika, R

rezystancja obwodu tworni-

ka, L

indukcyjno±¢ obwodu twornika, e

(t)

siªa przeciwelektromotorycz-

na indukowana w obwodzie wej±ciowym, τ(t) moment obrotowy silnika

dostarczany do obci¡»enia, ϑ(t) poªo»enie k¡towe wirnika, J moment

bezwªadno±ci sprowadzony (zredukowany) do osi wirnika,b wspóªczynnik

tarcia lepkiego sprowadzony do osi wirnika.

Wyznacz model w przestrzeni stanu tego obiektu dynamicznego.

Rozwi¡zanie Zakªadaj¡c staªe pole wzbudzenia, mo»na zapisa¢, »e

∆τ (t) = k

Φ∆i

(t)

, gdzie Φ oznacza strumie« magnetyczny pola wzbudzenia,

za± k

jest odpowiednim wspóªczynnikiem proporcjonalno±ci. Siª¦ przeciw-

elektromotoryczn¡ ∆e

(t)

okre±la wzór ∆e

(t) = k

Φ∆ ˙ϑ(t)

, w którym k

jest wspóªczynnikiem proporcjonalno±ci. Równanie spadków napi¦¢ w ob-

wodzie twornika dane jest wzorem ∆e

(t) = R

∆i

(t) + L

∆˙i

(t) + ∆e

(t)

Jako ostatnie z rozwa»anych równa« przyjmuje si¦ równanie ruchu wirnika
J∆ ¨

ϑ(t) = ∆τ (t) − b∆ ˙ϑ(t)

. Na tej podstawie zapisa¢ mo»na nast¦puj¡ce

zale»no±ci:

∆i

(t) + L

∆˙i

(t) + k

Φ∆ ˙ϑ(t) = ∆e

(t)

(1.12)

J∆ ¨

ϑ(t) − k

Φ∆i

(t) + b∆ ˙ϑ(t) = 0.

(1.13)

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

Ze wzoru (1.13) wynika, »e znajomo±¢ warunków pocz¡tkowych(∆ϑ(0),

∆ ˙ϑ(0))

oraz przebiegu ∆i

(t)

pozwala wyznaczy¢ rozwi¡zanie ∆ϑ(t), t ≥

. Z kolei, ze wzoru (1.12) wynika, »e na podstawie znajomo±ci warunku

pocz¡tkowego ∆i

(0)

oraz pary przebiegów (∆e

(t), ∆ ˙ϑ(t)

) mo»na okre±li¢

rozwi¡zanie ∆i

(t)

, t ≥ 0. Jednoznaczny opis dynamiki rozwa»anego ukªadu

uzyskuje si¦, przyjmuj¡c wektor stanu x(t) = [ ∆ϑ(t) ∆ ˙ϑ(t) ∆i

(t) ]

Na podstawie wzorów (1.12) oraz (1.13) ªatwo otrzymujemy elementy rów-

nania stanu ˙x(t) = Ax(t) + b∆e

(t)

A =





−b/J

Φ/J

0 −k

Φ/L

−R



 , b =





0
0

1/L



 .

Je»eli indukcyjno±¢ w obwodzie twornika mo»e by¢ pomini¦ta, rozwa»any

ukªad daje si¦ opisa¢ równaniem stanu w przestrzeni dwuwymiarowej. Dla

wektora stanu ¯x(t) = [ ∆ϑ(t) ∆ ˙ϑ(t) ]

macierz stanu ¯

oraz wektor wyj±¢

¯b odpowiedniego równania przyjmuj¡ posta¢

A =

−k

−

¯b =

Traktuj¡c ∆ϑ(t) jako wyj±cie, dla L

6= 0

mamy ∆ϑ(t) = [ 1 0 0 ]x(t),

za± dla L

= 0

zachodzi ∆ϑ(t) = [ 1 0 ]¯x(t).

Przykªad 3.3 Obiekt sterowania opisany jest równaniem ró»niczkowym

y(t) + a

˙y(t) + a

y(t) = u(t)

w którym u(t) oznacza wej±cie, za± y(t) wyj±cie rozwa»anego obiektu.

Okre±laj¡c zmienne stanu jako zmienne fazowe, podaj odpowiedni model

w przestrzeni stanu tego obiektu.

Rozwi¡zanie Przyjmuj¡c y(t) jako pierwsz¡ wspóªrz¦dn¡ wektora sta-

nu, x

(t) = y(t)

, mamy odpowiednio: x

(t) = ˙x

(t) = ˙y(t)

, x

(t) = ˙x

(t) =

y(t)

oraz ˙x

(t) = −a

(t) − a

(t) + u(t)

. Zatem, kªad¡c

x(t) = [ x

(t) x

(t) ]

, równania te mo»emy zapisa¢ w standar-

dowej postaci

˙x(t) =





−a



 x(t) +





0
0
1



 u(t)

y(t) = [ 1 0 0 ]x(t)

zwanej kanoniczn¡ form¡ sterowaln¡.

1.3. MODELE W PRZESTRZENI STANU (PJS)

Przykªad 3.4 Na rys. 30 pokazany jest uproszczony model obiektu dy-

namicznego okre±lanego jako tak zwane ódwrócone wahadªo". Model ten

obejmuje: wózek o masie m poruszany przykªadan¡ do« siª¡ f

(t)

oraz mas¦

zamocowan¡ przegubowo do wózka za pomoc¡ niewa»kiego sztywnego

ramienia o dªugo±ci l.

Rys. 30. Obiekt dynamiczny wózek-wahadªo

Zakªada si¦, »e masa m mo»e porusza¢ si¦ tylko wzdªu» osi x, za± ruch

masy m

odbywa si¦ tylko w pªaszczy¹nie x − y (rys. 30). W pierwszej

kolejno±ci nale»y okre±li¢ nieliniowe równanie stanu rozwa»anego obiektu

oraz wyznaczy¢ zlinearyzowan¡ posta¢ tego równania, podaj¡c warunki, przy

których taka linearyzacja jest dopuszczalna. Nast¦pnie

Rozwi¡zanie Rozwa»my na wst¦pie równania opisuj¡ce energi¦ kine-

tyczn¡ T (t) oraz energi¦ potencjaln¡ V (t) badanego obiektu dynamicznego:

T (t) =

1
2

m ˙x

(t) +

1
2

"µ

(x(t) + l sin α(t))

(l cos α(t))

(1.14)

1
2

m ˙x

(t) +

1
2

( ˙x(t) + l ˙α(t) cos α(t))

+ (l ˙α(t) sin α(t))

V (t) = V

+ m

gl cos α(t),

(1.15)

gdzie x(t) jest poªo»eniem wózka, α(t) jest k¡tem odchylenia ramienia od

pionu, V

oznacza niezmienny skªadnik energii potencjalnej rozwa»anego

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

obiektu, za± g jest przyspieszeniem ziemskim. Funkcja Lagrange'a L(t) =
T (t) − V (t)

tego obiektu dana jest zatem wzorem

L(t) =

1
2

m ˙x

(t) +

1
2

( ˙x(t) + l ˙α(t) cos α(t))

+ (l ˙α(t) sin α(t))

−V

− m

gl cos α(t).

W analizowanym przypadku, zgodnie z zasad¡ Hamiltona, ruch obiektu

przebiega w ten sposób, aby speªnione byªy odpowiednie równania Lagrange'a,

sformuªowane dla wektora stanu, zdeniowanego w nast¦puj¡cy sposób:

x(t) =

(t) x

(t)

(1.16)

α(t)

˙α(t) x(t)

˙x(t)

x(t) ∈ R

(1.17)

Równania Lagrange'a maj¡ posta¢:

∂L

∂ ˙x

−

∂L

∂x

= −b ˙x(t) + f

(t)(

suma siª zewn¦trznych) (1.18)

∂L
∂ ˙α

−

∂L
∂α

= 0(

brak siª zewn¦trznych)

(1.19)

przy czym przez b oznaczono wspóªczynnik lepkiego tarcia, za± f

(t)

jest

zewn¦trzn¡ siª¡ przyªo»on¡ do wózka. Bior¡c pod uwag¦, »e zachodzi

∂L/∂x = 0
∂L/∂ ˙x = m ˙x(t) + m

( ˙x(t) + l ˙α(t) cos α(t))

a tak»e

d(∂L/∂ ˙x)/dt = m¨x(t) + m

x(t) + m

l ¨

α(t) cos α(t) − m

l ˙α

(t) sin α(t)

na podstawie równania (1.18) otrzymujemy

(m + m

)¨

x(t) = m

l ˙α

(t) sin α(t) − m

l ¨

α(t) cos α(t) − b ˙x(t) + f

(t).

(1.20)

Z kolei, uwzgl¦dniaj¡c ªatwe do wykazania zale»no±ci:

∂L/∂α = m

gl sin α(t) − m

l ˙x(t) ˙α(t) sin α(t)

∂L/∂ ˙α = m

˙α(t) + m

l ˙x(t) cos α(t)

d(∂L/∂ ˙α)/dt = m

l¨

x(t) cos α(t) − m

l ˙x(t)

˙α(t) sin α(t) + m

α(t)

1.3. MODELE W PRZESTRZENI STANU (PJS)

z równania (1.19) otrzymujemy, »e

x(t) cos α(t) + l ¨

α(t) − g sin α(t) = 0.

(1.21)

Wyprowad¹my nieliniowe równanie stanu rozwa»anego obiektu:

˙x(t) = f (x(t), f

(t)),

x(0).

Na podstawie wzorów (1.20) oraz (1.21) otrzymujemy

(m + m

sin

α(t))¨

x(t) = m

l ˙α

(t) sin α(t)

(1.22)

−m

g sin α(t) cos α(t) − b ˙x(t) + f

(t).

Bior¡c pod uwag¦ przyj¦t¡ denicj¦ wektora stanu (1.16), ªatwo wypro-

wadzamy nast¦puj¡ce formuªy:

˙x

(t) =

(t) sin x

(t)

m + m

sin

(t)

−

g sin x

(t) cos x

(t)

m + m

sin

(t)

(1.23)

−

(t)

m + m

sin

(t)

m + m

sin

(t)

˙x

(t) =

g(m + m

) sin x

(t)

l(m + m

sin

(t))

−

(t) sin x

(t) cos x

(t)

m + m

sin

(t)

(1.24)

(t) cos x

(t)

l(m + m

sin

(t))

−

cos x

(t)

l(m + m

sin

(t))

(t)

które, ª¡czanie ze wzorami ˙x

(t) = x

(t)

oraz ˙x

(t) = x

(t)

stanowi¡ poszuki-

wane równania nieliniowego modelu w przestrzeni stanu. Wyznaczmy teraz

odpowiednie zlinearyzowane równania stanu, zakªadaj¡c, »e∀t k¡t α(t) oraz

jego zmiany s¡ dostatecznie "maªe": α(t) ≈ 0 oraz ˙α(t) ≈ 0. Wynika st¡d,

i» sin α(t) ≈ α(t), cos α(t) ≈ 1 oraz ˙α

(t) sin α(t) ≈ ≈ ˙α

(t)α(t) ≈ 0

; co

pozwala na zapisanie nast¦puj¡cych wzorów:

˙x

(t) =

g(m + m

)

(t) +

(t) −

(t)

(1.25)

˙x

(t) = −

(t) −

(t) +

(t).

(1.26)

Zlinearyzowany model w przestrzeni stanu dany jest zatem wzorem

˙x(t) = Ax(t) + bf

(t),

x(0),

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

przy czym macierz stanu A ∈ R

4×4

oraz wektor wej±ciowy b ∈ R

przyjmuj¡

posta¢:

A =







1 0

g(m + m

)/(lm) 0 0 b/(lm)

0 0

−m

g/m

0 0

−b/m





 ,

b =







−1/(lm)

1/m





 .

(1.27)

Zadanie 3.1 Na rys. 31 pokazany jest ukªad dwóch sprz¦»onych mas,

modeluj¡cy wªasno±ci suwnicy do przenoszenia ªadunków. Masam, mog¡ca

wykonywa¢ ruch o jednym stopniu swobody, modeluje wózek suwnicy. Masa
m

, poª¡czona z mas¡ m za pomoc¡ niewa»kiego i sztywnego ramienia o

dªugo±ci l, mo»e wykonywa¢ ruch o dwóch stopniach swobody, modeluj¡c

zachowanie si¦ przenoszonego ªadunku. Dla uproszczenia pomija si¦ wpªyw

tarcia. Równania ruchu rozwa»anego ukªadu dynamicznego maj¡ posta¢:

(m + m

)¨

x(t) + k ˙x(t) − m

l( ˙α

(t) · sin α(t) − ¨

α(t) · cos α(t)) = p(t)

x(t) · cos α(t) + l ¨

α(t) + g · sin α(t) = 0

gdzie x(t) poªo»enie wózka, x

(t)

oraz y

(t)

poªo»enie ªadunku, p(t)

siªa przyªo»ona do wózka, n(t) siªa naci¡gu ramienia mocuj¡cego ªadunek,
b

wspóªczynnik lepkiego tarcia przeciwstawiaj¡cego si¦ ruchowi wózka,

za± g oznacza przyspieszenie ziemskie. Wyznacz zlinearyzowany model w

przestrzeni stanu tego ukªadu.

Rys. 31. Model suwnicy

1.3. MODELE W PRZESTRZENI STANU (PJS)

Odpowied¹ Podane nieliniowe równania ró»niczkowe wraz z warunk-

ami pocz¡tkowymi x(t

)

, ˙x(t

)

, α(t

)

oraz ˙α(t

)

jednoznacznie opisuj¡ ruch

rozwa»anego ukªadu. Jako wektor stanu przyjmujemy zatem

x(t) = [ x(t)

˙x(t) α(t)

˙α(t) ]

Zlinearyzowan¡ posta¢ równa« stanu ˙x(t) = Ax(t) + bp(t) otrzymujemy,

zakªadaj¡c 'niewielkie' warto±ci k¡ta wychyleniaα(t) oraz pr¦dko±ci k¡towej

˙α(t)

. Na tej podstawie

A =







−k/m

g/m

0 k/(lm) −g(1 + m

/m)/l 0





 ,

b =







1/m

1/(lm)





 .

Zadanie 3.2 Schemat pewnego ukªad mechanicznego przedstawiony zostaª

na rys. 32.

Rys. 32. Schemat ukªadu mechanicznego

Przyjmuj¡c jako wspóªrz¦dne wektora stanu zmiany poªo»enia i pr¦d-

ko±ci masy m oraz zmian¦ poªo»enia punktu P , okre±l odpowiedni model

w przestrzeni stanu rozwa»anego ukªadu. Jako wej±cie u(t) uznaje si¦ siª¦
∆f (t)

dziaªaj¡c¡ na mas¦ m, za± jako wyj±cie y(t) zmian¦ poªo»enia tej

masy ∆x

(t)

Odpowied¹ Przyjmuj¡c x(t) = [ ∆x

(t) ∆ ˙x

(t) ∆x

(t) ]

jako wek-

tor stanu, otrzymujemy model:

ROZDZIA 1. MODELE UKADÓW DYNAMICZNYCH (PJS)

˙x(t) =





−(k

+ k

)/m 0

0 −k



 x(t) +





1/m



 u(t)

y(t) = [ 1 0 0 ]x(t).

Zadanie 3.3 Dany jest obwód elektryczne jak na rys. 33. Wybieraj¡c jako

zmienne stanu x

(t)

oraz x

(t)

napi¦cia na kondensatorach, za± jako sygnaª

wyj±ciowy y(t) spadek napi¦cia na rezystancji R

, podaj model w przestrzeni

stanu tego obwodu.

Rys. 33. Dwuwej±ciowy obwód RLC (R

= R

= 1 MΩ

, C

= C

= 1 µF)

Odpowied¹ Model w przestrzeni stanu ma posta¢:

˙x

(t)

˙x

(t)

−2

1 −2

¸ ·

(t)

1 0
0 1

¸ ·

(t)

y(t) = [ 1 −1 ]

(t)

Zadanie 3.4 Dane s¡ obwody elektryczne jak na rys. 34. W przypadku

obwodu z rys. 34a jako zmienne stanu przyjmuje si¦ napi¦cie panuj¡ce na

kondensatorze, x

(t) = u

(t)

, oraz pr¡d pªyn¡cy przez cewk¦, x

(t) = i

(t)

za± jako sygnaª wyj±ciowy zakªada si¦ napi¦cie na kondensatorze, y(t) =
u

(t)

. W przypadku rys. 34b zmienne stanu wybiera si¦ jak nast¦puje:

(t) = u

(t)

, x

(t) = i

(t)

oraz x

(t) = i

(t)

, za± napi¦cie na kondensatorze

przyjmuje si¦ jako sygnaª wyj±ciowy, y(t) = u

(t)

. W obu przypadkach

napi¦cie u(t) jest sygnaªem wej±ciowym. Podaj modele w przestrzeni stanu

tych obwodów elektrycznych.

1.3. MODELE W PRZESTRZENI STANU (PJS)

Rys. 34. Obwody RLC

Odpowied¹ a) Poszukiwany model w przestrzeni stanu ma posta¢:

˙x(t) =

−1/(R

−1/C

1/L

−R

x(t) +

1/(R

u(t)

y(t) = [ 1 0 ]x(t).

b) Model w przestrzeni stanu rozwa»anego obwodu ma posta¢:

˙x(t) =





1/C

−1/L

−R/L

R/L

−R/L



 x(t) +





0
0

1/L



 u(t)

y(t) = [ 1 0 0 ]x(t).