1
Metoda siecznych
1
Metoda siecznych
2
Metoda siecznych
Zakłada się, Ŝe występująca w równaniu (1) funkcja
()
⋅
f jest ciągła na zadanym przedziale
[ ]
b
a, i spełnia w punktach krańcowych warunek
f (x) = 0
(1)
( ) ( )
0
<
⋅
b
f
a
f
NaleŜy znaleźć przedział
[ ]
b
a,
Ustalić liczby ε, δ (większe od błędu zaokrąglenia
wynikającego ze skończonej precyzji zapisu liczb w komputerze)
3
Przebieg oblicze
ń
Wyznaczamy punkt przeci
ę
cia prostej (siecznej) przechodz
ą
cej przez
punkty a, f (a) i b, f (b) z osi
ą
x
)
a
(
f
)
b
(
f
)
a
b
(
)
b
(
f
b
x
)
(
−
−
⋅
−
=
1
Sprawdzamy, czy
,
)
x
(
f
)
(
δ
<
1
Je
Ŝ
eli TAK, to
)
(
x
1
jest rozwi
ą
zaniem
*
x
x
)
(
=
1
Je
Ŝ
eli NIE, to liczymy dalej, ale najpierw musimy okre
ś
li
ć
, który z punktów
b
ę
dzie stanowił punkt odniesienia - punkt wykre
ś
lania kolejnych siecznych
4
Ustalenia
)
(
x
0
Je
Ŝ
eli
b
x
to
b
f
x
f
=
<
⋅
)
0
(
)
1
(
0
)
(
)
(
Je
Ŝ
eli NIE, to
a
x
)
(
=
0
Wyznaczamy punkt przeci
ę
cia prostej (siecznej) przechodz
ą
cej przez
punkty
)
x
(
f
,
x
),
x
(
f
,
x
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
0
0
z osi
ą
x
5
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
x
(
)
x
(
f
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
0
1
1
1
2
−
−
⋅
−
=
Sprawdzamy, czy
,
)
x
(
f
)
(
δ
<
2
Je
Ŝ
eli TAK, to
)
2
(
x
jest rozwi
ą
zaniem
*
)
2
(
x
x
=
Je
Ŝ
eli NIE, to liczymy dalej zgodnie z zale
Ŝ
no
ś
ci
ą
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
x
(
)
x
(
f
x
x
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
1
1
1
−
−
+
−
−
⋅
−
=
k = 2, 3, …,
6
Po ka
Ŝ
dej iteracji sprawdzamy, czy
δ
<
+
)
x
(
f
)
k
(
1
Koniec oblicze
ń
, gdy
δ
<
+
)
x
(
f
)
k
(
1
wtedy
*
x
x
)
k
(
=
+
1
7
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
Ilustracja graficzna
x
(1)
8
Ilustracja graficzna
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
f (x
(1)
) ·f (b) < 0
x
(0)
= b
x
(0)
│
f(x
(1)
)
│
<
δ
TAK
koniec oblicze
ń
x
(1)
= x
*
NIE
liczymy dalej
9
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
x
(0)
10
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
x
(0)
11
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
x
(0)
12
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
x
(0)
x
(2)
│
f (x
(2)
)
│
<
δ
TAK
ko
ń
czymy obliczenia
x
(2)
= x
*
NIE
liczymy dalej
13
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
x
(0)
x
(2)
14
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
x
(0)
x
(2)
15
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
x
(0)
x
(2)
16
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
x
(0)
x
(2)
x
(3)
│
f (x
(3)
│
<
δ
TAK
ko
ń
czymy obliczenia
x
(3)
= x
*
17
Ilustracja graficzna
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
f (x
(1)
) ·f (b) < 0
x
(0)
= b
x
(0)
x
(2)
x
(3)
18
Przykład
0
6
2
3
=
−
−
x
x