Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
wersory
y
x
e
,
e
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
wersory
y
x
e
,
e
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
współrzędne punktów
)
,
(
A
A
A
y
x
)
,
(
B
B
B
y
x
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
współrzędne punktów
)
,
(
A
A
A
y
x
)
,
(
B
B
B
y
x
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
wektor siły
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
wektor siły
P
— zapis analityczny
y
y
x
x
P
P
P
e
e
+
=
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
wektor siły
P
— zapis analityczny
y
y
x
x
P
P
P
e
e
+
=
— składowe siły [N]
y
x
P
P ,
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
wektor siły
P
— zapis analityczny
y
y
x
x
P
P
P
e
e
+
=
— składowe siły [N]
y
x
P
P ,
— moduł (wartość) siły [N]
2
2
y
x
P
P
P
+
=
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
promień
r
siły
P
względem punktu B
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
promień
r
siły
P
względem punktu B
— zapis analityczny
y
y
x
x
r
r
r
e
e
+
=
— składowe promienia [m]
B
A
x
x
r
x
−
=
B
A
y
y
r
y
−
=
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
promień
O
r siły P
względem punktu O
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
promień
O
r siły P
względem punktu O
— zapis analityczny
y
y
x
x
r
r
r
e
e
O
O
O
+
=
— składowe promienia [m]
A
0
O
A
O
x
x
x
r
x
=
−
=
=
A
0
O
A
O
y
y
y
r
y
=
−
=
=
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Opis analityczny wielkości podstawowych
siła na płaszczyźnie opisana jest
przez
4 wielkości
A
A
,
,
,
y
x
P
P
y
x
lub
A
A
,
,
,
y
x
P
α
α
— kąt kierunkowy prostej działania siły
x
y
P
P
=
α
tg
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Moment siły względem punktu
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Moment siły względem punktu
β
— kąt pomiędzy prostą działania siły P a promieniem siły
względem punktu B
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Moment siły względem punktu
momentem siły P
względem punktu B nazywamy
wektor
P
r
M
×
=
B
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Moment siły względem punktu
moment
B
M
— wektor prostopadły
do płaszczyzny y
x
— zwrot wektora zgodny
z regułą prawej dłoni
— wartość (moduł) wektora
β
P
r
M
sin
B
=
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Moment siły względem punktu
a
P
β
r
P
β
P
r
M
=
=
=
)
sin
(
sin
B
a — ramię siły P względem punktu B (
najmniejsza odległość
prostej działania siły od punktu B
)
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Moment siły względem punktu
Wartość momentu
B
M
nie zależy
od wyboru
punktu A na prostej
działania siły P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Moment siły względem punktu
Zapis analityczny
momentu
B
M
z
z
M
M
e
B
B
=
— składowa momentu
a
P
M
z
±
=
B
—
znak (+)
odpowiada
momentowi działającemu
przeciwnie do obrotu
wskazówek zegara
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Moment siły względem punktu
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Kolinearny (współliniowy) układ sił
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Kolinearny (współliniowy) układ sił
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Kolinearny (współliniowy) układ sił
redukuje się do
wypadkowej
, kolinearnej z układem sił
x
x
n
i
i
W
P
W
e
1
=
=
=
=
=
n
i
ix
x
P
W
1
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Kolinearny (współliniowy) układ sił
jest w równowadze, jeśli wypadkowa jest równa zeru
0
=
W
0
=
x
W
0
1
=
=
n
i
ix
P
Suma rzutów sił na oś x jest równa zeru
1 RRS (jedno równanie równowagi statycznej)
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
linie działania sił przecinają się w jednym punkcie
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
linie działania sił przecinają się w jednym punkcie
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
rozpatruje się w początku układu współrzędnych xy
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
redukuje się do
wypadkowej
o prostej działania
przechodzącej przez punkt zbieżności układu
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
y
y
x
x
n
i
i
W
W
P
W
e
e
1
+
=
=
=
=
=
n
i
ix
x
P
W
1
=
=
n
i
iy
y
P
W
1
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
2
2
y
x
W
W
W
+
=
x
y
W
W
=
α
tg
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
jest w równowadze, jeśli wypadkowa jest równa zeru
0
=
W
0
=
x
W
0
1
=
=
n
i
ix
P
Suma rzutów sił na oś x jest równa zeru
0
=
y
W
0
1
=
=
n
i
iy
P
Suma rzutów sił na oś y jest równa zeru
2 RRS (dwa równania równowagi statycznej)
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
3P
4P
x
y
O
2P
Układ współrzędnych Oxy obieramy w punkcie zbieżności
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
3P
4P
x
y
O
2P
Wyznaczamy składowe W
x
, W
y
wypadkowej W:
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
3P
4P
x
y
O
2P
Wyznaczamy składowe W
x
, W
y
wypadkowej W:
= Σ
= 3
x
ix
W
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
3P
4P
45°
x
y
2 cos45°
P
O
2P
Wyznaczamy składowe W
x
, W
y
wypadkowej W:
= Σ
=
+
°
3
2 cos 45
x
ix
W
P
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
3P
4P
x
y
O
4 sin30°
P
30°
2P
Wyznaczamy składowe W
x
, W
y
wypadkowej W:
= Σ
=
+
° −
° =
3
2 cos 45
4 sin30
x
ix
W
P
P
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
x
y
O
Wyznaczamy składowe W
x
, W
y
wypadkowej W:
= Σ
=
+
° −
° =
+ ⋅
− ⋅
=
2
1
3
2 cos 45
4 sin30
3 2
4
2
2
x
ix
W
P
P
P
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
x
y
O
Wyznaczamy składowe W
x
, W
y
wypadkowej W:
= Σ
=
+
° −
° =
= +
≈
3
2 cos 45
4 sin30
... (1
2)
2,414
x
ix
W
P
P
P
P
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
3P
4P
45°
x
y
2 sin45°
P
O
2P
Wyznaczamy składowe W
x
, W
y
wypadkowej W:
= Σ
=
°
2 sin 45
y
iy
W
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
3P
4P
x
y
O
30°
2P
4 cos30°
P
Wyznaczamy składowe W
x
, W
y
wypadkowej W:
= Σ
=
° +
° =
2 sin 45
4 cos 30
y
iy
W
P
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
x
y
O
Wyznaczamy składowe W
x
, W
y
wypadkowej W:
= Σ
=
° +
° =
⋅
+ ⋅
=
2
3
2 sin 45
4 cos 30
2
4
2
2
y
iy
W
P
P
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
x
y
O
Wyznaczamy składowe W
x
, W
y
wypadkowej W:
= Σ
=
° +
° =
=
+
≈
2 sin 45
4 cos 30
... ( 2 2 3)
4,878
y
iy
W
P
P
P
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
x
y
O
Wyznaczamy składowe W
x
, W
y
wypadkowej W:
≈2,414
x
W
P
,
≈ 4,878
y
W
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
x
y
O
Wyznaczamy wartość (moduł) wypadkowej W:
=
+
=
+
≈
2
2
2
2
(
)
(
)
(2,414 )
(4,878 )
5,443
x
y
W
W
W
P
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
x
y
O
α
Wyznaczamy kąt nachylenia wypadkowej W:
α
=
=
≈
°
4,878
arctg
arctg
63,67
2,414
y
x
W
P
W
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
3P
4P
2P
Rozwiązanie końcowe
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
3P
4P
2P
2P
Redukcji można także dokonać w sposób wykreślny
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Zbieżny układ sił
Dokonać redukcji płaskiego zbieżnego układu sił
3P
4P
45°
30°
2P
3P
4P
2P
4P
2P
Redukcji można także dokonać w sposób wykreślny
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
linie działania sił są równoległe
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
redukuje się wstępnie do punktu O, do siły ogólnej S
i momentu ogólnego
O
M
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
siła ogólna S
y
y
n
i
i
S
P
S
e
1
=
=
=
)
(
1
1
=
=
±
=
=
n
i
i
n
i
iy
y
P
P
S
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
moment ogólny
O
M
z
z
n
i
i
i
M
P
r
M
e
O
1
O
O
=
×
=
=
=
±
=
n
i
i
i
z
a
P
M
1
O
)
(
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
jeśli
0
≠
S
to możemy znaleźć taki
biegun redukcji A, że w wyniku
otrzymamy tylko wypadkową
W
S
W
=
y
y
W
W
e
=
y
y
S
W
=
S
W
=
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
a
S
a
W
M
⋅
=
⋅
=
O
S
M
a
O
=
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
jest w równowadze, jeśli siła ogólna jest równa zeru
i moment ogólny jest równy zeru
0
=
S
,
0
O
=
M
0
=
y
S
0
1
=
=
n
i
iy
P
,
0
)
(
1
=
±
=
n
i
i
P
Suma rzutów sił na oś y jest równa zeru
0
O
=
z
M
0
1
O
=
=
n
i
i
M
,
0
)
(
1
=
±
=
n
i
i
i
a
P
Suma momentów względem punktu O jest równa zeru
2 RRS (dwa równania równowagi statycznej)
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
3P
4P
P
2P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
3P
4P
P
2P
x
O
y
Układ współrzędnych Oxy obieramy tak, aby oś y pokrywała się
z prostą działania jednej z sił
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
3P
4P
P
2P
x
O
y
Proste działania wszystkich sił w układzie są równoległe
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
3P
4P
P
2P
x
O
y
Wyznaczamy siłę ogólną S = S
y
:
= Σ
=
3
y
iy
S
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
3P
4P
P
2P
x
O
y
Wyznaczamy siłę ogólną S = S
y
:
= Σ
=
−
3
4
y
iy
S
P
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
3P
4P
P
2P
x
O
y
Wyznaczamy siłę ogólną S = S
y
:
= Σ
=
−
+
3
4
y
iy
S
P
P
P P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
3P
4P
P
2P
x
O
y
Wyznaczamy siłę ogólną S = S
y
:
= Σ
=
−
+ −
=
3
4
2
y
iy
S
P
P
P P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
S
x
O
y
Wyznaczamy siłę ogólną S = S
y
:
= Σ
=
−
+ −
= −
3
4
2
2
y
iy
S
P
P
P P
P
P
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
3P
4P
P
2P
x
O
y
Wyznaczamy moment ogólny M
O
:
= Σ
= −
⋅
O
O
4
i
M
M
P l
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
3P
4P
P
2P
x
O
y
Wyznaczamy moment ogólny M
O
:
= Σ
= −
⋅ + ⋅
O
O
4
2
i
M
M
P l P
l
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
3P
4P
P
2P
x
O
y
Wyznaczamy moment ogólny M
O
:
= Σ
= −
⋅ + ⋅ −
⋅
=
O
O
4
2
2
3
i
M
M
P l P
l
P
l
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
x
O
y
M
O
Wyznaczamy moment ogólny M
O
:
= Σ
= −
⋅ + ⋅ −
⋅
= −
O
O
4
2
2
3
8
i
M
M
P l P
l
P
l
Pl
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
S
x
O
y
M
O
Pośredni wynik redukcji do siły ogólnej S i momentu ogólnego M
O
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
x
O
y
a
Odsuwamy siłę ogólną od bieguna O na odległość a
=
=
=
O
|
| 8
4
| |
2
M
Pl
a
l
S
P
oraz
=
W
S
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Równoległy układ sił
Dokonać redukcji płaskiego równoległego układu sił
3P
4P
P
2P
Wynik końcowy redukcji
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
zbiór sił
(wektory liniowe)
n
P
P
P
...,
,
,
2
1
i/lub
momentów par sił
(wektory swobodne)
m
M
M
M
...,
,
,
2
1
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
redukuje się wstępnie
do bieguna B,
do siły ogólnej S
i momentu ogólnego
O
M
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
siła ogólna S
y
y
x
x
n
i
i
S
S
P
S
e
e
1
+
=
=
=
=
=
n
i
ix
x
P
S
1
=
=
n
i
iy
y
P
S
1
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
moment ogólny
B
M
z
z
m
j
j
n
i
i
i
M
M
P
r
M
e
B
1
1
B
=
=
+
×
=
=
=
=
=
±
+
±
=
m
j
j
n
i
i
i
z
M
a
P
M
1
1
B
)
(
)
(
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
jeśli
0
≠
S
,
0
B
≠
M
to można
wyznaczyć taki biegun redukcji A,
że w wyniku otrzymamy
tylko wypadkową
W
S
W
=
y
y
x
x
W
W
W
e
e
+
=
=
=
=
n
i
ix
x
x
P
S
W
1
=
=
=
n
i
iy
y
y
P
S
W
1
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
a
S
a
W
M
⋅
=
⋅
=
B
S
M
W
M
a
B
B
=
=
odległość a odkładamy z uwzględnieniem zwrotów S oraz
B
M
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
jest w równowadze, jeśli siła ogólna jest równa zeru
i moment ogólny jest równy zeru
0
=
S
,
0
B
=
M
0
=
x
S
0
1
=
=
n
i
ix
P
Suma rzutów sił na oś x jest równa zeru
0
=
y
S
0
1
=
=
n
i
iy
P
Suma rzutów sił na oś y jest równa zeru
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
jest w równowadze, jeśli siła ogólna jest równa zeru
i moment ogólny jest równy zeru
0
=
S
,
0
B
=
M
0
B
B
=
=
z
M
M
0
1
B
=
=
n
i
i
M
,
0
)
(
)
(
1
1
=
±
+
±
=
=
m
j
j
n
i
i
i
M
a
P
Suma momentów względem punktu B jest równa zeru
3 RRS (trzy równania równowagi statycznej)
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
jest w równowadze, jeśli
suma rzutów sił na oś x
jest równa zeru
suma rzutów sił na oś y
jest równa zeru
suma momentów względem
dowolnego punktu jest równa zeru
1
1
B
1
0
0
0
n
ix
i
n
iy
i
n
i
i
P
P
M
=
=
=
=
=
=
B
0
0
0
ix
iy
i
P
P
M
Σ
=
Σ
=
Σ
=
B
0
0
0
X
Y
M
Σ
=
Σ =
Σ
=
3 RRS (trzy równania równowagi statycznej)
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Do rozwiązywania dowolnych płaskich układów obciążeń
można wykorzystać różne kombinacje
3RRS
, np.:
B
0
0
0
ix
iy
i
P
P
M
Σ
=
Σ
=
Σ
=
A
B
0
0
0
ix
i
i
P
M
M
Σ
=
Σ
=
Σ
=
A
B
0
0
0
iy
i
i
P
M
M
Σ
=
Σ
=
Σ
=
A
B
C
0
0
0
i
i
i
M
M
M
Σ
=
Σ
=
Σ
=
przy czym punkty A, B i C nie mogą być współliniowe
Płaskie układy obciążeń, redukcja i równowaga.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Pamiętając
3RRS
można rozwiązać każdy z poznanych
płaskich układów sił lub obciążeń
kolinearny
układ sił
zbieżny
układ sił
równoległy
układ sił
dowolny
układ obciążeń
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
3P
4P
P
2P
P
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
3P
4P
P
2P
x
y
O
P
Obieramy układ współrzędnych Oxy
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
P
3P
4P
P
2P
x
y
O
Wyznaczamy składowe S
x
, S
y
siły ogólnej S:
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
P
3P
4P
P
2P
x
y
O
Wyznaczamy składowe S
x
, S
y
siły ogólnej S:
= Σ
= −
x
ix
S
P
P
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
P
3P
4P
P
2P
x
y
O
Wyznaczamy składowe S
x
, S
y
siły ogólnej S:
= Σ
= − +
=
4
3
x
ix
S
P
P
P
P
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
P
3P
4P
P
2P
x
y
O
Wyznaczamy składowe S
x
, S
y
siły ogólnej S:
= Σ
=
y
iy
S
P
P
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
P
3P
4P
P
2P
x
y
O
Wyznaczamy składowe S
x
, S
y
siły ogólnej S:
= Σ
= +
=
3
4
y
iy
S
P
P
P
P
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
x
y
O
Składowe S
x
, S
y
siły ogólnej S są równe:
=3
x
S
P
,
= 4
y
S
P
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
x
y
O
α
Wyznaczamy siłę ogólną S i kąt nachylenia:
=
+
=
+
=
2
2
2
2
(
)
( )
(3 )
(4 )
5
x
y
S
S
S
P
P
P
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
x
y
O
α
Wyznaczamy siłę ogólną S i kąt nachylenia:
α
=
=
≈
°
arctg (
) arctg (4 /3) 53,13
y
x
S S
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
P
3P
4P
P
2P
x
y
O
Wyznaczamy moment ogólny M
O
:
= Σ
=
⋅
O
O
3
2
i
M
M
P
l
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
P
3P
4P
P
2P
x
y
O
Wyznaczamy moment ogólny M
O
:
= Σ
=
⋅ −
⋅
O
O
3
2
4
i
M
M
P
l
P l
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
P
3P
4P
P
2P
x
y
O
Wyznaczamy moment ogólny M
O
:
= Σ
=
⋅ −
⋅ +
=
O
O
3
2
4
2
4
i
M
M
P
l
P l
Pl
Pl
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
x
y
O
M
O
Pośredni wynik redukcji do siły ogólnej S i momentu ogólnego M
O
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
x
y
O
a
Odsuwamy siłę ogólną od bieguna O na odległość a
=
=
=
O
|
| 4
4
| |
5
5
M
Pl
a
l
S
P
oraz
=
W
S
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciążeń
Dowolny układ obciążeń w płaszczyźnie xy
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu obciążeń
3P
4P
P
2P
P
Końcowy wynik redukcji
Rachunek wektorowy. Pojęcia podstawowe. Aksjomaty statyki.
mechanika techniczna | statyka
2
Bibliografia
Klasztorny M., Niezgoda T., Mechanika ogólna. Podstawy teoretyczne,
zadania z rozwiązaniami
, OW PW, Warszawa 2006.
Klasztorny M., Mechanika ogólna, DWE, Wrocław 2005.