Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 1
W1 - 1
Metody numeryczne (analiza numeryczna
)
- nauka zajmująca się rozwiązywaniem problemów matematycznych
metodami arytmetycznymi
- sztuka doboru spośród wielu możliwych procedur takiej, która jest
„najlepiej” dostosowana do rozwiązania danego zadania
Mathematics + Computer Science + Engineering = Scientific
Computing
Oszacowanie błędu numerycznego obliczenia
∫
b
a
dz
)
x
(
f
przy n+1
obliczeniach wartości f(x)
Metoda trapezów
2
1
3
12n
)
(
''
f
)
a
b
(
ξ
−
Metoda Simpsona
4
2
4
5
180 n
)
(
f
)
a
b
(
)
(
ξ
−
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 1
W1 - 2
1. Odpowiednie sformułowanie zadania
2. Metoda numeryczna + analiza błędu
3. Algorytm
4. Implementacja
1. Błąd danych wejściowych
2. Błąd zaokrągleń w czasie obliczeń
3. Błąd metody (obcięcia)
4. Błąd wnoszony przez uproszczenia modelu matematycznego
5. Błąd człowieka
a~
jest przybliżeniem wartości dokładnej a
Błąd bezwzględny:
a
a~
a
−
=
Δ
Błąd względny:
0
≠
−
=
Δ
=
a
,
a
a
a~
a
a
a
ε
a
)
(
a
a
a
a~
a
a
a
ε
ε
+
=
+
=
Δ
+
=
1
0
1
≠
−
=
−
=
Δ
=
a
,
a
a~
a
a
a~
a
a
a
ε
uogólnienie na wartości wektorowe
szacowanie modułów błędów
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 1
W1 - 3
Przenoszenie się błędów w obliczeniach numerycznych
1. Analiza bezpośrednia krok po kroku – analiza przedziałowa:
4
4
.
y~
=
poprawnie zaokrąglona, więc
45
4
35
4
.
y
.
<
<
05
0.
y
<
Δ
0115
.
0
35
.
4
05
.
0
=
<
y
ε
0976
2.
y~
=
1095
2
0857
2
.
y
.
<
<
0119
0.
y
<
Δ
0057
0.
y
<
ε
3
10.
x~
=
poprawnie zaokrąglona, więc
35
10
25
10
.
x
.
<
<
05
0.
x
<
Δ
049
0
25
10
05
0
.
.
.
x
=
<
ε
.....................................................................
5175
.
2
)
~
~
ln(
~
=
+
=
y
x
z
5225
.
2
)
ln(
5125
.
2
<
+
<
y
x
005
.
0
<
Δ
z
0020
.
0
<
z
ε
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 1
W1 - 4
2. Wykorzystanie podstawowych wzorów
1
1
1
ε
,
x~
,
x
,
2
2
2
ε
,
x~
,
x
Iloczyn:
2
1
x
x
y
=
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
+
≈
−
+
+
=
−
+
+
=
−
=
)
)(
(
x
x
)
(
x
)
(
x
x
x
x~
x~
y
więc
2
1
ε
ε
ε
+
<
y
Pierwiastek:
x
y
=
ε
ε
ε
ε
ε
ε
2
1
1
8
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
≈
−
+
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
=
.....
)
(
x
)
(
x
x
x~
y
więc
ε
ε
2
1
<
y
Iloraz:
2
1
x
x
y
=
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
−
≈
+
−
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
)
(
x
x~
x
x
x~
y
więc
2
1
ε
ε
ε
+
<
y
Suma:
2
1
x
x
y
±
=
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
)
(
x
)
(
x
x
x
x~
x~
y
±
±
±
=
−
±
+
±
+
=
−
±
±
=
ε
ε
ε
ε
ε
więc
2
2
1
2
1
2
1
1
ε
ε
ε
x
x
x
x
x
x
y
±
+
±
<
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 1
W1 - 5
3. Metoda przybliżona – metoda różniczki zupełnej
)
x
,...,
x
,
x
(
x
n
2
1
=
)
x~
,...,
x~
,
x~
(
x~
n
2
1
=
)
x
(
y
,
)
x
(
y
)
x~
(
y
y
−
=
Δ
i
x
n
i
i
y
)
x~
(
x
y
Δ
∂
∂
≈
Δ
∑
=1
i
x
n
i
i
y
)
x~
(
x
y
Δ
∂
∂
<
Δ
∑
=1
i
i
x
n
i
i
i
i
x
n
i
i
i
y
y
)
x~
(
x
y
y
x
x
)
x~
(
x
y
y
x
y
ε
ε
∑
∑
=
=
∂
∂
=
Δ
∂
∂
≈
Δ
=
1
1
i
x
n
i
i
i
y
)
x~
(
x
y
y
x
ε
ε
∑
=
∂
∂
<
1
metodą przybliżoną
0024
.
0
<
z
ε