Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 12
PODSTAWOWE TWIERDZENIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
1. Różniczka funkcji i jej zastosowania
Niech
f będzie funkcją mającą pochodną w punkcie x. Różny od zera przyrost
x
zmiennej niezależnej
nazywamy różniczką tej zmiennej i oznaczamy symbolem dx.
Różniczką df funkcji f w punkcie x dla przyrostu dx nazywamy iloczyn
.
dx
x
f
df
)
(
0
/
Wzory na różniczki otrzymujemy więc dopisując do pochodnych wyrażenie dx.
Przykład 1.
Obliczyć różniczki funkcji: a)
x
x
x
f
cos
)
(
, b)
.
x
x
e
x
f
4
2
)
(
Rozwiązanie.
a) Ponieważ
, to
x
x
x
x
x
x
f
sin
cos
)
cos
(
)
(
/
/
dx
x
x
x
df
)
sin
(cos
.
b) Mamy tutaj
i tym samym
.
)
4
2
(
)
(
)
(
4
/
4
/
x
e
e
x
f
x
x
x
x
2
2
dx
x
e
df
x
x
)
4
2
(
4
2
Z definicji pochodnej funkcji w punkcie wynika, że w przypadku, gdy pochodna w punkcie
istnieje,
to dla małyc
x
ma miejsce przybliżony wzó
0
x
h
r:
)
0
x
(
)
(
)
(
/
0
0
f
x
x
f
x
x
f
, z którego otrzymujemy
x
x
f
x
f
x
x
f
)
(
)
(
)
(
0
/
0
0
.
Wzór ten służy do przybliżonych obliczeń.
Zapisując w powyższym wzorze przyrost
x
jako
0
x
x
dostajemy następujący wariant wzoru:
.
)
)(
(
)
(
)
(
0
0
/
0
x
x
x
f
x
f
x
f
Interpretację geometryczną tego wzoru przedstawia rys.1. Wynika z niej, że w pewnym przedziale zawie-
rającym
funkcję f można przybliżyć odpowiednią styczną do jej wykresu.
0
x
Uwaga.
Aby obliczyć przybliżoną wartość
należy możliwie blisko punktu x znaleźć
taki punkt
, aby
oraz
dały się
łatwo obliczyć, a następnie zastosować podany
wyżej wzór.
)
(x
f
y
)
)(
(
)
(
0
0
/
0
x
x
x
f
x
f
y
X
Y
0
x
Rys. 1.
)
(x
f
)
(
0
/
x
f
0
x
)
(
0
x
f
Przykład 2.
Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia: a)
4
,
16 , b)
.
8
,
0
arctg
Rozwiązanie. a) Wyrażenie to jest wartością funkcji
x
x
f
)
(
dla
4
,
16
x
. Przyjmując
mamy
,
16
0
x
4
)
(
0
x
f
x
x
f
2
1
)
(
/
i dalej
8
1
)
(
0
/
x
f
. Zatem po wstawieniu do wzoru
Wykład 12. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
2
05
,
4
4
,
0
8
1
4
4
,
16
.
b) Wyrażenie jest wartością funkcji
8
,
0
arctg
x
x
f
arctg
)
(
dla
8
,
0
x
. Przyjmując
mamy
1
0
x
4
)
(
0
x
f
,
2
/
1
)
(x
1
x
f
,
2
1
)
(
0
/
x
f
. Stąd wstawiając do wzoru otrzymujemy
685
,
0
4
74
,
2
4
4
,
0
)
2
,
0
(
2
1
4
8
,
0
arctg
.
2.
Monotoniczność funkcji. Ekstrema
Niech f będzie funkcją określoną w punkcie
. Jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S tego punktu, że
funkcja jest w nim określona i spełnia warunek
x
0
)
x
)
(
(
0
x
f
f
dla każdego
S
x
, to mówimy, że posiada
ona w punkcie
maksimum właściwe. Podobnie, jeżeli spełnia warunek
, to mówimy, że
posiada w punkcie
minimum właściwe.
x
0
)
(
0
x
f
)
(x
f
x
0
Maksima i minima nazywamy ekstremami.
Na rys.2. przedstawiona została ilustracja graficzna ekstremów.
maksimum właściwe
Y
y
f x
( )
X
S
f x
f x
( )
( )
0
x
0
x
minimum właściwe
Y
y
f x
( )
X
S
)
(
)
(
0
x
f
x
f
x
0
x
Rys. 2.
Twierdzenie
(Rolle'a).
Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale domkniętym
b
a
; , różniczkowalną
wewnątrz tego przedziału i przyjmującą na jego końcach równe wartości
)
)
(
)
(
(
b
f
a
f
, to istnieje taki
punkt
)
;
( b
a
, że
.
0
)
(
/
f
Rys.3. przedstawia interpretację geometryczną tego twierdzenia.
f a
f b
( )
( )
a
b
y
f x
( )
P
f
( , ( ))
Y
X
Rys. 3
Istnieje punkt
t. że współczynnik kierunkowy
stycznej do wykresu funkcji w punkcie
jest rów-
ny zeru, tzn. styczna jest równoległa do osi
OX
.
( , )
a b
P
f
( , ( ))
Wykład 12. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
3
Twierdzenie (Lagrange'a).
Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale domkniętym
b
a
;
i różnicz-
kowalną wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt
)
;
(
b
a
, że
a
b
a
f
b
f
f
)
(
)
(
)
(
/
.
a
b
X
y
f x
( )
P a f a
1
( , ( ))
P b f b
2
( , ( ))
P
f
( , ( ))
Y
Rys. 4.
Na rys.4. przedstawiona została interpretacja gra-
ficzna tego twierdzenia.
Istnieje punkt
t. że styczna do wykresu funkcji
( , )
a b
y
f x
( ) w punkcie P
f
( , ( ))
ma współczynnik kierunkowy
identyczny jak prosta przechodząca przez punkty
,
, tzn. styczna jest równoległa do siecznej przechodzą-
cej przez punkty i
.
P a f a
1
( , ( ))
P b f b
2
( , ( ))
P
1
P
2
Z
powyższych twierdzeń wynikają następujące twierdzenia dotyczące monotoniczności i ekstremów
funkcji:
Twierdzenie.
Jeżeli dla
, to f jest funkcją stałą na tym przedziale.
0
)
(
/
x
f
)
;
( b
a
x
Jeżeli dla
, to f jest funkcją rosnącą na tym przedziale, jeżeli natomiast
dla
, to f jest funkcją malejącą na tym przedziale.
0
)
(
/
x
f
)
;b
)
;
( b
a
x
0
)
(
/
x
f
(a
x
Twierdzenie.
Jeżeli f jest funkcją ciągłą w punkcie
i różniczkowalną w pewnym jego sąsiedztwie
x
0
)
;
(
0
x
S
S
przy czym
1.
, to w punkcie
występuje maksimum.
0
/
0
/
dla
0
)
(
oraz
dla
0
)
(
x
x
x
f
x
x
x
f
x
0
2.
, to w punkcie
występuje minimum.
0
/
0
/
dla
0
)
(
oraz
dla
0
)
(
x
x
x
f
x
x
x
f
x
0
Uwaga.
W samym punkcie
pochodna może nie istnieć, jeżeli jednak
istnieje to równa się
zeru.
x
0
)
(
0
/
x
f
Ilustrację graficzną powyższych twierdzeń przedstawia rys.5.
y
f x
( )
Znak
)
(
/
x
f
+
+
funkcja maleje
funkcja rośnie
maksimum
minimum
x
0
//
x
0
/
funkcja
rośnie
X
Rys. 5.
Przykład 3.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji:
a) , b)
, c)
5
9
6
)
(
2
3
x
x
x
x
f
x
xe
x
f
3
)
(
2
5
4
)
(
2
x
x
x
x
f
, d)
x
x
x
f
ln
)
(
.
Wykład 12. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
4
Rozwiązanie.
a) Dziedziną funkcji jest
R
D
f
. Pochodną funkcji jest
)
3
4
.
(
3
9
12
3
)
(
2
2
/
x
x
x
x
x
f
Oznacza to, że znak pochodnej jest taki sam jak znak funkcji
, której szkic wykresu
przedstawiony jest na rys.6.
3
4
)
(
2
x
x
x
g
)
3
;
1
(
0
)
(
/
x
x
f
1
;
(
0
)
(
/
x
x
f
)
3
;
1
(
)
;
3
(
),
1
;
(
,
. Na podstawie po-
wyższych twierdzeń wnioskujemy, że funkcja rośnie
w przedziale
, maleje w przedziałach:
X
3
4
)
(
2
x
x
x
g
Znak
f x
/
( )
_ _
+ + +
_ _
1
3
)
;
3
(
)
. W punkcie
1
1
x
1
osiąga minimum
wynoszące
Rys. 6.
b) Dziedziną funkcji jest
. Obliczamy pochodną funkcji:
.
R
D
f
)
3
1
(
3
)
(
3
3
3
/
x
e
xe
e
x
f
x
x
x
Ponieważ
dla każdego
, zatem znak pochodnej jest identyczny w zbiorze R jak znak funk-
cji , której szkic wykresu przedstawiony jest na rys.7.
0
3
x
e
1
3
x
R
x
)
(
x
g
X
y
x
3
1
1
3
Znak
f x
/
( )
+ + +
_ _ _
c) Dziedziną funkcji
2
5
4
)
(
2
x
x
x
x
f
jest
)
;
2
(
)
2
;
(
f
D
.
Obliczamy pochodną funkcji:
2
/
2
/
2
/
)
2
(
)
2
)(
5
4
(
)
2
(
)
5
4
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
2
)
2
(
)
5
4
(
)
2
)(
4
2
(
x
x
x
x
x
2
2
)
2
(
3
4
x
x
x
.
W rozpatrywanej dziedzinie mianownik wyrażenia jest dodatni, zatem znak pochodnej i miejsca zerowe są
identyczne jak w przypadku funkcji
, której szkic wykresu przedstawiony jest na rys.8.
3
4
)
(
2
x
x
x
g
x
1
1
x
2
3
X
+
+
Znak
f x
/
( )
2
Rys. 8.
Wynika z niego, że funkcja rośnie w przedziałach: )
;
3
(
,
)
1
;
(
, maleje natomiast w przedziałach:
. W punkcie
funkcja osiąga maksimum równe
)
3
;
2
(
,
)
2
;
1
(
x
1
1
f
f
x
( )
ma
1
2 , w punkcie x
2
3
minimum równe
.
f
f
min
( )
3
2
)
;
3
1
(
0
)
(
/
x
x
f
,
)
3
1
;
(
0
)
(
/
x
x
f
.
Wynika stąd że w przedziale
)
;
3
1
(
funkcja rośnie,
w przedziale
)
3
1
;
(
funkcja maleje, w punkcie
3
1
x
funkcja osiąga minimum równe
e
f
f
3
1
)
3
1
(
min
.
Rys. 7.
)
1
(
min
f
f
max
, w punkcie
maksi-
mum wynoszące
3
2
x
.
f
f
5
)
3
(
Wykład 12. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
5
d) Dziedziną funkcji
x
x
x
f
ln
)
(
jest
)
;
0
(
f
D
. Obliczamy pochodną funkcji:
2
2
ln
1
ln
x
x
x
2
/
/
/
1
)
(
ln
)
(ln
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
.
W rozpatrywanej dziedzinie znak pochodnej jest identyczny jak znak funkcji
, której wykres
przedstawiony jest na rys.9.
x
x
g
ln
1
)
(
Ponieważ
X
Y
e
g x
x
( )
ln
1
)
;
0
(
0
)
(
/
e
x
x
f
,
,
)
;
(
0
)
(
/
e
x
x
f
to w przedziale
funkcja rośnie, a w przedziale
maleje.
W punkcie
)
;
0
(
e
)
;
(
e
Rys. 9.
3. Wklęsłość i wypukłość krzywej. Punkty przegięcia
Niech
f będzie funkcją mającą pochodną w przedziale I. Jeżeli wykres funkcji leży poniżej każdej
stycznej poprowadzonej do niego w dowolnym punkcie o odciętej
I
x
0
, to funkcję (krzywą)
nazywamy w tym przedziale wklęsłą, ( wypukłą w górę). Jeżeli natomiast leży powyżej, to funkcję nazywa-
my wypukłą (wypukłą w dół ).
)
(x
f
y
Jeżeli krzywa
jest wklęsła w pewnym sąsiedztwie
punktu
i wypukła w sąsiedztwie
(lub na odwrót), to punkt
nazywamy punktem przegięcia krzywej.
)
(x
f
y
P
S
x
0
S
))
(
,
(
0
0
x
f
x
Ilustrację tych pojęć przedstawia rys.10.
a
b
x
0
y
f x
( )
funkcja wklęsła
(wypukła w górę)
X
Y
a
b
x
0
y
f x
( )
funkcja wypukła
(wypukła w dół)
X
Y
x
0
y
f x
( )
X
Y
P x f x
( , ( ))
0
0
punkt przegięcia
Rys. 10.
Twierdzenie.
Jeżeli dla punktów przedziału I zachodzi warunek
, to krzywa o równaniu
jest w tym przedziale wklęsła, jeżeli natomiast warunek
, to wypukła.
)
0
)
(
//
x
f
0
)
(
//
x
)
(x
f
y
f
Twierdzenie.
Jeżeli f jest funkcją mającą pochodną w punkcie
i posiadającą drugą pochodną w
pewnym jego sąsiedztwie, przy czym
(lub na odwrót),
x
0
f
0
//
0
//
dla
0
)
(
oraz
dla
0
)
(
x
x
x
x
x
x
f
to
jest punktem przegięcia.
))
(
,
(
0
0
x
f
x
P
e
x
e
e
f
f
1
)
(
min
.
funkcja osiąga minimum
a
Wykład 12. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
6
Przykład 3.
Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały, w których funkcja jest wklęsła lub wypukła:
a)
, b)
,
c)
x
f (
3
3
4
)
(
x
x
x
f
x
xe
x
f
2
)
(
x
x ln
)
2
.
Rozwiązanie.
a)
R
D
. Kolejne pochodne są równe
,
.
2
/
3
/
3
3
)
3
4
(
)
(
x
x
x
x
f
x
x
x
f
6
)
3
3
(
)
(
/
2
//
Szkic wykresu funkcji
przedstawia rys.11.
)
(
//
x
f
y
0
Znak f
x
//
( )
+ +
- - -
X
Z wykresu wynika, że oraz
. Oznacza to, na podstawie po-
wyższych twierdzeń, że funkcja jest wypukła w przedziale:
i wklęsła w przedziale (
)
0
;
(
0
)
(
//
x
x
f
)
)
;
0
;
0
(
0
)
(
//
x
x
f
)
0
;
(
. Ponieważ
4
)
0
(
f
P
, to punkt
jest punktem przegięcia.
)
4
,
0
(
Rys. 11.
b) Dziedziną funkcji jest zbiór R. Pierwsza pochodna jest równa
,
)
2
1
(
)
2
(
)
(
2
2
2
/
x
e
xe
e
x
f
x
x
x
druga .
)
4
4
(
)
2
4
2
(
)
2
(
)
2
1
)(
2
(
)
(
2
2
2
2
//
x
e
x
e
e
x
e
x
f
x
x
x
x
Znak drugiej pochodnej jest w rozpatrywanej dziedzinie identyczny jak znak funkcji liniowej
4
4
)
(
x
x
h
,
której wykres (uwzględniający jedynie położenie względem osi OX ) przedstawiony został na rys.12.
Funkcja jest wypukła w przedziale (
)
;
1
, wklęsła w przedziale
. Punkt
jest punktem przegięcia.
1
Znak f
x
//
( )
+ +
- - -
X
)
,
1
(
2
e
P
)
1
;
(
Rys. 12.
c)
. Kolejno mamy tutaj
,
)
;
0
(
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
ln
2
)
(ln
ln
)
(
)
ln
(
)
(
/
2
/
2
/
2
/
)
2
3
(ln
2
3
ln
2
)
(
)
(ln
2
ln
)
(
2
)
/
/
/
/
x
x
x
x
x
x
x
x
ln
2
(
)
(
//
x
x
x
f
.
W rozpatrywanej dziedzinie znak drugiej pochodnej jest identyczny jak znak funkcji
2
3
ln
)
(
x
x
h
, któ-
rej szkic wykresu funkcji przedstawia rys. 13.
X
Znak f
x
//
( )
+ +
-
1
e e
Y
Obliczenia pomocnicze:
ln
ln
x
x
x e
e e
3
2
0
3
2
1
3
2
Rys. 13.
Z wykresu wynika, że
)
;
1
(
0
)
(
//
e
e
x
x
f
oraz
)
1
;
0
(
0
)
(
//
e
e
x
x
f
. Oznacza to, że funk-
cja jest wypukła w przedziale:
)
;
1
(
e
e
i wklęsła w przedziale
)
1
;
0
(
e
e
. Ponieważ
f
e e
e
e e
e
(
)
ln
1
1
1
3
2
3
3
, to punkt
)
2
3
,
1
(
3
e
e
e
P
jest punktem przegięcia.
Wykład 12. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
7
4. Reguła de l’Hospitala
Twierdzenie.
Jeżeli funkcje
)
(
)
(
x
g
x
f
i
)
(
)
(
/
/
x
g
x
f
są określone w pewnym sąsiedztwie S punktu
oraz
x
0
1.
albo obie granice
są niewłaściwe,
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
g
x
f
x
x
x
x
)
(
lim
),
(
lim
0
0
x
g
x
f
x
x
x
x
2. istnieje granica
)
(
)
(
lim
/
/
0
x
g
x
f
x
x
(właściwa lub niewłaściwa),
to istnieje także granica
)
(
)
(
lim
0
x
g
x
f
x
x
, przy czym
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
/
/
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
.
Uwagi
1. Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla granic jednostronnych oraz dla granic w nieskończoności.
2. Jeżeli przy obliczaniu granicy
)
(
)
(
lim
/
/
0
x
g
x
f
x
x
otrzymamy symbol nieoznaczony typu
]
[
0
0
lub
]
[
, to moż-
na
stosować regułę de l'Hospitala ponownie.
3. Z twierdzenia tego można korzystać przy obliczaniu granic w przypadku pozostałych symboli
nieoznaczonych:
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
0
0
,
1
,
0
,
0
,
po uprzednim sprowadzeniu tych granic do granic typu
]
[
0
0
lub
]
[
.
Przykład 4.
Obliczyć granice stosując regułę de l’Hospitala: a)
1
ln
lim
1
x
x
x
,
b)
x
x
x
)
1
ln(
lim
2
,
c)
1
cos
1
lim
2
0
x
e
x
x
, d)
)
1
(
lim
1
x
x
e
x
, e)
x
x
x
tg
)
2
(
lim
2
, f)
)
sin
1
1
(
lim
0
x
x
x
, g)
)
1
1
1
(
lim
0
x
e
x
x
.
Rozwiązanie.
a) Stosując bezpośrednio regułę de l’Hospitala mamy:
1
1
1
lim
)
1
(
)
(ln
lim
0
0
1
ln
lim
1
/
/
1
1
]
[
x
x
x
x
x
x
x
x
.
b) Podobnie stosując dwukrotnie regułę de l’Hospitala dostajemy
1
1
2
lim
)
(
))
1
(ln(
lim
)
1
ln(
lim
2
/
/
2
2
]
[
x
x
x
x
x
x
x
x
x
/
2
/
2
)
1
(
)
2
(
lim
1
2
lim
]
[
x
x
x
x
x
x
0
2
2
2
lim
]
[
x
x
.
W dalszych przykładach litera H nad znakiem równości oznacza powołanie się na twierdzenie de
l’Hospitala.
c)
2
cos
)
2
(
2
lim
0
0
sin
2
lim
0
0
1
cos
1
lim
2
2
2
2
0
0
2
0
]
[
]
[
x
e
x
e
x
xe
x
e
x
x
x
H
x
x
H
x
x
.
Wykład 12. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
8
d)
2
2
1
1
1
1
)
1
(
lim
0
0
1
lim
0
)
1
(
lim
]
[
]
[
1
x
x
e
e
e
x
x
x
H
x
x
x
x
x
1
lim
0
e
e
x
x
1
.
e)
1
sin
1
1
lim
0
0
ctg
2
lim
0
tg
)
2
(
lim
2
2
2
2
]
[
]
[
x
x
x
x
x
x
H
x
x
.
f)
H
x
H
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos
sin
1
cos
lim
0
0
sin
sin
lim
)
sin
1
1
(
lim
0
0
0
]
[
]
[
0
2
0
sin
cos
cos
sin
lim
0
x
x
x
x
x
x
.
g)
H
x
x
x
x
x
e
x
e
x
x
e
]
[
]
[
0
0
)
1
(
1
lim
)
1
1
1
(
lim
0
0
2
1
lim
0
0
1
1
lim
0
0
]
[
x
x
x
x
x
H
x
x
x
x
xe
e
e
e
xe
e
e
.
5. Wzór Taylora i Maclaurina
Uogólnienie wzoru do obliczeń przybliżonych z użyciem równania stycznej podaje następujące twierdze-
nie Taylora:
Jeżeli f jest funkcją mającą ciągłą pochodną rzędu n + 1 na pewnym przedziale I o środku x0 i długości
2d, to dla każdego x z tego przedziału zachodzi wzór:
/
//
( )
2
0
0
0
0
0
0
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
...
(
1!
2!
!
n
n
f x
f
x
f
x
0
)
f x
f x
x x
x x
x x
n
,
przy czym błąd przybliżenia nie przekracza
(
1)
( )
max
(
1)!
n
n
x I
f
x
d
n
.
Dla każdej funkcji elementarnej wielkość
zmierza do zera, gdy n dąży do nieskończoności, a to ozna-
cza, że wybierając dostatecznie duże n we wzorze można uzyskać żądaną dokładność.
Przyjmując x0 = 0 we wzorze Taylora otrzymujemy następujący tzw. wzór Maclaurina:
/
//
( )
2
(0)
(0)
(0)
( )
(0)
...
1!
2!
!
n
n
f
f
f
f x
f
x
x
x
n
,
przy czym błąd przybliżenia nie przekracza
(
1)
( )
max
(
1)!
n
n
x I
f
x
d
n
.
Uwaga.
Wyrażenie występujące po prawej stronie wzoru Maclaurina jest wielomianem stopnia n. Oznacza to, że
wzór ten pozwala zastępować funkcję odpowiednim wielomianem. Dokładność przybliżenia jest tym lepsza
im większe n zostanie użyte we wzorze.
Przykład 5.
Zastosować wzór Maclaurina dla funkcji ( )
x
f x
e
przyjmując
5
n
, a następnie z jego
pomocą obliczyć e.
Wykład 12. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
9
Rozwiązanie.
Ponieważ
/
//
( )
( )
( ) ....
( )
V
x
f x
f x
f
x
f
x
e
, to
/
//
0
(0)
(0)
(0) ....
(0)
1
V
f
f
f
f
e
, to wzór
Maclaurina przyjmie postać:
2
3
4
1
1
1
1
1
1
1!
2!
3!
4!
5!
x
e
x
x
x
x
5
x .
Przyjmując w tym wzorze
1
x
otrzymamy
1
1
1
1
1
1 1
1
1
120 120 60 20 5 1 326
1
1 1
2,71667
1! 2! 3! 4! 5!
2 6
24 120
120
120
e
.
Przykład 6.
Dla funkcji
na przedziale
x
x
f
sin
)
(
2
;
2
znaleźć przybliżenie wielomianem stop-
nia 5 posługując się wzorem Maclaurina, a następnie oszacować błąd przybliżenia.
Rozwiązanie. Mamy tutaj
,
,
sin
)
(
,
cos
)
(
//
/
x
x
f
x
x
f
x
x
f
cos
)
(
///
(4)
( ) sin
f
x
x
,
(5)
( ) cos
f
x
x
,
(6)
( )
sin
f
x
x
x
0
0
. Zatem przyjmując
otrzymujemy
,
,
0
( ) sin 0 0
f x
/
0
( ) cos 0
f x
1
//
0
( )
f
x
sin 0 0
///
0
( )
cos0
f
x
,
1
(4)
0
( ) sin
f
x
,
0 0
(5)
0
( )
f
x
,
Stąd po wstawieniu do wzoru Maclaurina otrzymujemy:
cos0 1
2
3
4
1
0
1
0
1
sin
0
1!
2!
3!
4!
5!
5
x
x
x
x
x
x
,
czyli
3
5
1
1
sin
6
120
x x
x
x
.
Błąd przybliżenia nie przekracza
6
6
;
2 2
sin
1
max
( )
( )
0,02
6!
2
6! 2
x
x
.
Interpretację graficzną zadania przedstawia rys.14.
-1.5 -1
-0,5
0,5
1
1.5
-1
-0,5
0,5
1
X
Y
sin
y
x
3
5
5
1
1
( )
6
120
W x
x
x
x
Rys.14
.