Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie
ISIE – semestr IV
1
NORMY i PODRĘCZNIK:
1. PN-B-03264:2002 Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia sta-
tyczne i projektowanie.
2. Kliszczewicz R.: Konstrukcje betonowe. Obliczanie elementów żelbetowych w
stanach granicznych nośności wg PN-B-03264:2002. Wydawnictwo Politechniki
Śląskiej; Gliwice 2003.
Zginanie – przekrój prostokątny pojedynczo zbrojony
Z elementami zginanymi mamy do czynienia, gdy w jego przekrojach występuje
moment zginający M
Sd
, przy N
Sd
=
0. Przyjmuje się na wstępie założenie, że x
eff
≤
x
eff,lim
=
ξ
eff,lim
d.
• • • • •
oś elementu
f
cd
•
•
wypadkowa ściskanej strefy
betonu F
c
= f
cd
bx
eff
środek ciężkości
ściskanej strefy betonu
środek ciężkości
przekroju betonu
d
a
1
h
0,
5
x
eff
x
ef
f
b
M
Sd
≤ M
Rd
F
s1
= f
yd
A
s1
A
s1
Rozkład sił i oznaczenia przyjmowane w obliczaniach prostokątnego
przekroju żelbetowej belki zginanej, pojedynczo zbrojonej, gdy x
eff
≤ x
eff,lim
Podstawowe wzory do obliczania przekrojów zginanych uzyskuje się z warunku
SGN oraz równań równowagi sił i momentów zginających. W wypadku przekroju
pojedynczo zbrojonego (A
s
2
= 0) równanie rzutu sił ma postać
0
1
=
−
s
yd
eff
cd
A
f
bx
f
,
(1)
natomiast warunek SGN i równanie równowagi momentów
(
)
eff
eff
cd
Rd
d
S
x
,
d
bx
f
M
M
5
0
−
=
≤
,
(2)
Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie
ISIE – semestr IV
2
w których:
b
– szerokość przekroju,
h
– wysokość przekroju,
A
s
1
– pole przekroju zbrojenia rozciąganego,
a
1
– odległość środka ciężkości zbrojenia A
s
1
od bardziej rozciąganej,
d –
użyteczna wysokość przekroju gdzie d = h – a
1
,
f
cd
– obliczeniowa wytrzymałość betonu na ściskanie w konstrukcjach
żelbetowych i sprężonych,
f
yd
– obliczeniowa granica plastyczności stali zbrojeniowej,
M
Rd
– obliczeniowa nośność przekroju na moment zginający,
M
Sd
– moment zginający wywołany obciążeniem obliczeniowym,
x
eff
– efektywna wysokość bryły naprężeń ściskających w przekroju betonu,
x
eff,lim
– graniczna wartość x
eff
,
ξ
eff
– względna wysokość ściskanej strefy przekroju betonu,
ξ
eff
= x
eff
/d,
ξ
eff,lim
– graniczna wartość względnej wysokości ściskanej strefy betonu.
Wymiarowanie
Przy wymiarowaniu korzysta się również z równań (1) i (2). Wiadomymi są
wytrzymałościowe parametry materiałów f
cd
, f
yd
oraz
ξ
eff,lim
, jak również przyjmuje się,
że M
Rd
= M
Sd
. W wyniku obliczeń uzyskuje się wtedy najmniejsze zbrojenie przekroju,
przy którym spełniony jest warunek SGN.
Niewiadomymi są: b, h, a
1
, A
s
1
i x
eff
. Jest ich więc 5, o 3 więcej niż równań. Aby
uzyskać chociaż jedno rozwiązanie należy przyjąć 3 niewiadome, a 2 policzyć.
Najlepiej jest przyjąć b, h, a
1
, a z rozwiązania układu równań (1) i (2) wyznaczyć
A
s
1
i x
eff
.
Ponieważ równanie (2) ma tylko jedną niewiadomą x
eff
, stąd rozwiązanie układu
równań rozpoczyna się od tego równania. Jest to równanie kwadratowe z uwagi na
x
eff
. Dlatego modyfikuje się je, wstawiając za x
eff
=
ξ
eff
d
. I tak
(
)
(
)
(
)
,
5
,
0
1
5
,
0
5
,
0
2
2
c
cd
eff
eff
cd
eff
eff
cd
eff
eff
cd
Sd
Rd
s
bd
f
bd
f
d
d
d
b
f
x
d
bx
f
M
M
=
−
=
=
−
=
−
=
=
ξ
ξ
ξ
ξ
stąd
c
cd
Sd
s
bd
f
M
2
=
,
(3)
gdzie
(
)
eff
eff
c
,
s
ξ
ξ
5
0
1
−
=
.
(4)
Akceptowalnym pierwiastkiem powyższego równania kwadratowego na
ξ
eff
jest
c
eff
s
2
1
1
−
−
=
ξ
.
(5)
Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie
ISIE – semestr IV
3
Tok postępowania przy wymiarowaniu prostokątnego przekroju pojedynczo
zbrojonego jest następujący.
Z równania (3) oblicza się
2
bd
f
M
s
cd
Sd
c
=
.
(6)
Jeśli s
c
≥ 0,5, to należy liczyć od nowa, przyjąwszy większe h lub b bądź
zastosować zbrojenie podwójne. Gdy s
c
< 0,5, oblicza się dalej ze wzoru (5):
c
eff
s
2
1
1
−
−
=
ξ
,
x
eff
=
ξ
eff
d.
(7)
Sprawdza się, czy x
eff
mieści się w założonych na wstępie granicach.
x
eff
≤ x
eff,lim
x
eff
> x
eff,lim
Należy przyjąć większe h lub b bądź
zastosować zbrojenie podwójne. Obliczenia
powtarza się od nowa.
nie
tak
Potrzebną ilość zbrojenia A
s
1
oblicza się ze wzoru (1):
yd
eff
cd
s
f
bx
f
A
=
1
.
(8)
Przyjmuje się średnicę, konkretną liczbę prętów zbrojenia rozciąganego,
rozmieszcza się pręty w przekroju i ustala się
i
, przy czym
rz
a
1
rz
s
A
1
A
s
1
,
⎧
A
s
1,min
≥
rz
yk
ctm
bd
f
f
26
,
0
≥ 0,0013bd
rz
,
rz
s
A
1
⎨
(9)
≥
⎩
gdzie d
rz
= h –
.
rz
a
1
Sprawdzenie warunku SGN może być potrzebne, gdy
> a
1
.
rz
a
1
Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie
ISIE – semestr IV
4
Sprawdzanie warunku SGN
Aby określić nośność przekroju na moment zginający M
Rd
należy rozwiązać
układ dwóch równań (1) i (2), o dwóch niewiadomych M
Rd
i x
eff
.
Pozostałe wielkości
(b, h, a
1
, d = h – a
1
, A
s
1
, f
cd
, f
yd
,
ξ
eff,lim
) są znane, gdyż element jest już
zaprojektowany lub też wykonany. Z równania (1) wyznacza się
b
f
A
f
x
cd
s
yd
eff
1
=
.
(10)
Jeśli x
eff
> x
eff,lim
, to oznacza, że o nośności przekroju decyduje beton w
ściskanej strefie. Przyjmuje się wtedy największą dopuszczalną wartość x
eff
= x
eff,lim
.
Nośność przekroju na moment zginający, czyli największy, dopuszczalny
moment, który może przenieść sprawdzany przekrój elementu, oblicza się z równania
na nośność na zginanie ze wzoru (2):
(
)
eff
eff
cd
Rd
x
d
bx
f
M
5
,
0
−
=
.
Gdy dana jest wartość momentu zginającego, którą miałby przenieść sprawdza-
ny przekrój, to jeśli M
Sd
≤ M
Rd
, warunek SGN jest spełniony.
Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie
ISIE – semestr IV
5
3. Obliczanie pojedynczo zbrojonego elementu żelbetowego na zginanie
3.1. Belka. Przekrój B-B (maksymalny moment przęsłowy)
3.1.1. Wymiarowanie
Dane: M
Sd
= 170 kN
⋅m, beton klasy B20, stal klasy A-II.
Przyjęto: f
cd
= 10,6 MPa z tabl. 4.1;
ξ
eff,lim
=0,55 z tabl. 9 normy gdy stal A-II (0,53 gdy A-III; 0,50 gdy A-IIIN)
f
yd
= 310 MPa, f
yk
= 355 MPa z tabl. 4.2;
b = 0,3 m; h = 0,6 m; a
1
= 0,04 m;
φ
= 18 mm;
φ
1
= 6 mm; c
min
= 20 mm z tabl. 3.2;
Δc = 5 mm;
Oblicza się kolejno:
– użyteczną wysokość przekroju
d
= h – a
1
= 0,60 – 0,04 = 0,56 m,
– grubość otulenia prętów podłużnych
c
= c
min
+
Δc +
φ
1
= 0,02 + 0,005 + 0,006 = 0,031 m,
– współczynnik z (6)
,
,
,
,
,
bd
f
M
s
cd
Sd
c
170
0
56
0
3
0
1000
6
10
170
2
2
=
⋅
⋅
⋅
=
=
– względną, efektywną wysokość ściskanej strefy przekroju betonu z (5)
188
0
170
0
2
1
1
2
1
1
,
,
s
c
eff
=
⋅
−
−
=
−
−
=
ξ
<
ξ
eff,lim
= 0,55.
Sprawdzamy w przekroju B stopień zbrojenia z przekształconego równania (8)
wprowadzając (7), dzieląc przez bd i mnożąc przez przelicznik dotyczący stosowanej
stali w porównaniu ze stalą klasy A-0
190
190
190
190
1
cd
eff
yd
yd
cd
eff
yd
yd
eff
cd
yd
s
L
f
f
bdf
f
bd
f
bdf
bx
f
f
bd
A
ξ
ξ
ρ
=
=
=
=
.
(11)
Wynikający z obliczeń potrzebny stopień zbrojenia stali wynosi z (11)
%
,
,
,
,
f
cd
eff
L
05
1
0105
0
190
6
10
188
0
190
=
=
=
=
ξ
ρ
.
W wypadku, kiedy ten procent zbrojenia byłby większy (np. od 1,1%) lub mniejszy
(np. od 0,9%) należałoby zwiększyć lub zmniejszyć wymiary przekroju.
Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie
ISIE – semestr IV
6
Oblicza się dalej:
– efektywną wysokość ściskanej strefy przekroju betonu z (7)
x
eff
=
ξ
eff
·d = 0,188·0,56 = 0,105 m,
– potrzebną ilość zbrojenia podłużnego z (8)
4
1
10
77
10
310
105
0
3
0
6
10
−
⋅
=
⋅
⋅
=
=
,
,
,
,
f
bx
f
A
yd
eff
cd
s
m
2
.
Przyjmuje się 5 prętów o łącznym przekroju
4
2
2
1
1
10
72
12
4
018
0
5
4
−
⋅
=
⋅
=
=
,
,
n
A
rz
s
π
πφ
m
2
.
Wszystkie 5 prętów mieszczą się w jednym rzędzie.
Jeżeli wkładki nie zmieściłyby się to należy ułożyć je w dwóch rzędach oraz obliczyć
rzeczywistą odległość od krawędzi do środka ciężkości
zbrojenia
rz
a
1
300
600
40-
oraz użyteczną wysokość przekroju
d
rz
= h –
rz
a
1
Sprawdza się, czy ilość przyjętego zbrojenia jest więk-
sza od wymaganego minimum.
rz
s
A
1
= 12,72·10
–4
m
2
≥
4
10
34
2
56
0
3
0
355
9
1
26
0
26
0
−
⋅
=
⋅
=
,
,
,
,
,
bd
f
f
,
rz
yk
ctm
m
2
,
≥ 0,0013bd
rz
= 0,0013·0,3·0,56 = 2,18·10
–4
m
2
.
Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie
ISIE – semestr IV
7
3.1.2. Stan graniczny nośności
Sprawdzenie przeprowadza się przy następujących danych z pktu 3.1.1:
M
Sd
= 170 kN
⋅m, beton klasy B20, stal klasy A-II; b = 0,3 m; h = 0,6 m;
A
s
1
=
m
2
; a
1
= 0,04 m.
4
1
10
72
12
−
⋅
==
,
A
rz
s
Przyjęto: f
cd
= 10,6 MPa z tabl. 4.1;
f
yd
= 310 MPa z tabl. 4.2;
φ
= 18 mm;
φ
1
= 6 mm; c
min
= 20 mm z tabl. 3.2;
Δc = 5 mm;
Oblicza się kolejno:
– położenia środka ciężkości zbrojenia A
s
1
a
1
= c
min
+
Δc +
φ
1
+
φ
/2 = 20 + 5 + 6 + 18/2 = 40 mm,
– użyteczną wysokość przekroju
d
= h – a
1
= 0,60 – 0,04 = 0,56 m,
– graniczną, efektywną wysokość ściskanej strefy przekroju betonu
x
eff,lim
=
ξ
eff,lim
·d = 0,55·0,56 = 0,308 m,
– efektywną wysokość ściskanej strefy przekroju betonu z (10)
124
0
3
0
6
10
10
72
12
310
4
1
,
,
,
,
b
f
A
f
x
cd
s
yd
eff
=
⋅
⋅
⋅
=
=
−
m < x
eff,lim
= 0,308 m,
– nośność przekroju na moment zginający z (2)
(
)
(
)
.
,
,
,
,
,
,
x
,
d
bx
f
M
eff
eff
cd
Rd
m
kN
192
124
0
5
0
55
0
124
0
3
0
1000
6
10
5
0
⋅
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
−
=
Ponieważ M
Sd
= 170 kN
⋅m < M
Rd
= 192 kN
⋅m, warunek stanu granicznego
nośności jest z zapasem spełniony.
Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie
ISIE – semestr IV
8
3.2. Belka. Przekrój A-A (maksymalny moment podporowy)
Obliczenie dokonuje się analogicznie jak w punkcie 3.1.
Jako M
Sd
przyjmuje się wartość bezwzględną maksymalnego momentu
podporowego w przekroju A, przy czym należy pamiętać, ze brojenie As1, które
obliczymy umieszcza się u góry przekroju.
Sprawdzenie nośności przekroju przeprowadza się celem wyeliminowania błędów
grubych.
Nie sprawdza się stopnia zbrojenia. Będzie go tyle ile obliczymy.
3.3. Płyta żelbetowa
Obliczenie przeprowadza się analogicznie jak w wypadku belki o szerokości 1 m.
Maksymalny obliczeniowy moment zginający w płycie:
8
2
eff
p
max
p
max
p
l
)
q
g
(
M
⋅
+
=
, gdzie l
eff
= l
bel
– 0,5b.
Płytę zbroi się prętami średnicy 4,5; 6; 8;10 mm, ze wskazaniem na
φ8, przy czym
procent zbrojenia w płycie powinien mieścić się w granicach: 0,6 ÷ 0,9%.
Warunki konstrukcyjne wymagają by w płytach grubości h ≤ 100 mm maksymalny
rozstaw prętów nie był większy niż 120 mm.
Tablica 3.2
Minimalne grubości otuliny c
min
prętów ze stali zwykłej
i zalecenia dotyczące jakości betonu wg [15]
Przyczyna korozji
brak karbonatyzacja
chlorki chlorki z wody
morskiej
Klasa ekspozycji
wg tabl. 3.1
X0 XC1 XC2 XC3 XC4 XD1 XD2 XD3 XS1 XS2 XS3
Minimalna grubość
otulenia c
min
w mm
10 15
20
25
40
40
Minimalna klasa
betonu
B15 B20
B30
B35
B50
B50
Maksymalny
stosunek w/c
- 0,65 0,60 0,60 0,50 0,55 0,55 0,45 0,50 0,45 0,45
Minimalna zawartość
cementu w kg/m
3
- 260 280 280 300 300 300 320 300
320
340
Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie
ISIE – semestr IV
9
Tablica 4.1
Wytrzymałości charakterystyczne i obliczeniowe betonu w MPa
oraz moduł sprężystości betonu E
cm
w GPa
Klasa betonu
B15 B20 B25 B30 B37 B45 B50 B55 B60
Wytrzymałość
gwarantowana
G
cube
c
f
,
15 20 25 30 37 45 50 55 60
na
ściskanie f
ck
12 16 20 25 30 35 40 45 50
Wytrzymałość
charakterystyczna
na
rozciąganie
f
ctk
1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9
Średnia wytrzymałość
na rozciąganie f
ctm
1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1
na
ściskanie f
cd
8,0 10,6 13,3 16,7 20,0 23,3 26,7 30,0 33,3
Wytrzymałość
obliczeniowa w
konstrukcjach
żelbetowych i
sprężonych
na
rozciąganie
f
ctd
0,73 0,87 1,00 1,20 1,33 1,47 1,67 1,80 1,93
Wytrzymałość obliczeniowa na
ściskanie w konstrukcjach
betonowych f
cd
*
6,7 8,9 11,1 13,9 16,7 19,4 22,2 25,0 27,8
Moduł sprężystości
E
cm
w GPa
26 27,5
29 30,5
32 33,5
35 36 37
Tablica 4.2
Charakterystyczne f
yk
i obliczeniowe f
yd
granice plastyczności przy
γ
s
= 1,15 oraz charakterystyczne
wytrzymałości f
tk
stali zbrojeniowej klas od A-0 do A-IIIN
Granica plastyczności
stali
Nominalna
średnica
prętów
φ
Charakterys-
tyczna f
yk
Oblicze-
niowa f
yd
Wytrzym.
charakt. na
rozciąganie
f
tk
Klasa
stali
Znak
gatunku
stali
Spajalność
mm MPa
A-0 St0S-b
220
190
300
St3SX-b
St3SY-b
St3S-b
spajalne
5,5 ÷ 40
240
210
320
A-I
PB240
trudno
spajalna
1)
6 ÷ 40
240
210
265
St50B
trudno
spajalna
1)
18G2-b
6 ÷ 32
A-II
20G2Y-b
spajalne
6 ÷ 28
355 310 480
25G2S
6 ÷ 40
395
530
35G2Y
6 ÷ 20
A-III
34GS
6 ÷ 32
410 550
RB
400
trudno
spajalne
1)
RB 400 W
spajalna
6 ÷ 40
2)
400
350
440
20G2VY-b
spajalna
6 ÷ 28
490
590
A-IIIN
RB 500
trudno
spajalna
1)
RB 500 W
spajalna
6 ÷ 40
2)
500
420
550
1)
w warunkach budowy – niespajalna
2)
powyżej średnicy 32 mm – trudno spajalna
Document Outline