22

INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA

 

 

Napięcie na końcach ruchomego przewodnika 

Przewodnik  o  długości  l  porusza  się  z  prędkością  V  w  jednorodnym  polu 
magnetycznym  o  indukcji  B.  Razem  z  przewodnikiem  poruszają  się  zawarte  w  nim 
ładunki elektryczne. Na elektrony zawarte w przewodniku działa siła Lorentza, pod 
wpływem  której  przemieszczają  się  one  w  kierunku  jednego  z  końców. 
Przemieszczanie  się  elektronów  ustaje  wtedy  gdy  siła  Lorentza  (F

B

)  zostaje 

zrównowaŜona przez  siłę elektrostatyczną (F

E

). 

F

F

BeV

eE

E

U

l

BeV

e

U

l

B

E

====

====

====

====

;

 

U

BlV

====

 

 

 

 

Napięcie powstałe na końcach przewodnika poruszającego się w polu magnetycznym 
jest  zatem  efektem  oddziaływania  pola  magnetycznego  na  ładunki  zawarte  w  tym 
przewodniku. Napięcie to moŜe powodować przepływ prądu zwanego indukcyjnym. 
 

Powstawanie prądu indukcyjnego. Reguła Lenza. 

Prąd  elektryczny  moŜe  płynąć  jedynie  w  obwodzie  zamkniętym.  Prąd  indukcyjny 
płynie w takim obwodzie zamkniętym, gdzie istnieją fragmenty obwodu stanowiące 
ź

ródło 

napięcia. 

Badania 

doświadczalne 

warunków 

powstawania 

prądu 

indukcyjnego prowadzą do wniosku, Ŝe prąd indukcyjny powstaje w takim obwodzie 
zamkniętym, przez który przenika zmienny strumień indukcji magnetycznej. 

 

V

r

 

E

F

r

B

F

r

 

e 

l 

+

 

+

 

+

 

+

 

_ 

_ 

_ 

_ 

⊗

⊗

⊗

⊗

 

⊗

⊗

⊗

⊗

 

⊗

⊗

⊗

⊗

 

⊗

⊗

⊗

⊗

 

B

r

 

 

N

S  

∼∼∼∼

B  

∼∼∼∼

αααα

  

∼∼∼∼

S

N

r

V

⊗

⊗

⊗

⊗

 

r

B

 23

Wiadomo,  ze  zmiany  strumienia  zachodzą  wtedy,  gdy  zmienia  się  indukcja 
magnetyczna  (  B 

∼∼∼∼

  ),  pole  powierzchni  obwodu  (S 

∼∼∼∼

  ),  lub  kąt  jaki  tworzą linie sił 

pola  z  powierzchnią  obwodu  ( 

αααα

 

∼∼∼∼

  ).  Kierunek  prądu  indukcyjnego  moŜna  ustalić 

analizując siły działające na ładunki elektryczne, lub posługując się regułą Lenza:  

Kierunek  prądu  indukcyjnego  jest  zawsze  taki,  aby  przeciwdziałał  tej  zmianie 
strumienia, która go wywołała.  

Reguła ta wynika z zasady zachowania energii. 

 

Siła elektromotoryczna indukcji 

Napięcie,  które  powoduje  przepływ  prądu  indukcyjnego  nazywamy  siłą 

elektromotoryczną 

indukcji 

(SEM). 

Przesunięcie 

poprzeczki  na  odcinku  dx  wymaga  pracy  elementarnej 
równej pracy jaką wykona wzbudzony tym ruchem prąd 
indukcyjny. 

dW

EIdt

====

 

 

     E - SEM indukcji   

Jeśli  siła  hamująca  ruch    poprzeczki  (siła  elektrodynamiczna)  wynosi  F,  to 
otrzymujemy: 

−−−−

====

Fdx

EIdt

 

 

−−−−

====

BIldx

EIdl

 

 

                                                                                                                          l

.

dx 

= dS - zmiana powierzchni obwodu 

 

 

 

    

−−−−

====

BdS

Edt

 

 

B

.

dS = d

Φ

Φ

Φ

Φ

 - zmiana strumienia indukcji magnetycznej przenikającego przez ramkę

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

−−−−

====

d

E d t

Φ

Φ

Φ

Φ

 

 

E

d

dt

==== −−−− Φ

Φ

Φ

Φ

  

 

SEM  indukcji  jest  zatem  pochodną  strumienia  indukcji  magnetycznej  po  czasie. 
PowyŜsza zaleŜność przedstawia związek między dwiema funkcjami ( E i 

Φ

Φ

Φ

Φ

). Znając 

zaleŜność 

Φ

Φ

Φ

Φ

(t)  moŜna  zatem  ustalić  zaleŜność  E(t).  Wartość  średnia  siły 

elektromotorycznej wzbudzonej w czasie 

∆∆∆∆

t wynosi: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⊗

⊗

⊗

⊗

B

r

 

I 

dx 

l 

 

 24

(((( ))))

E

t

==== −−−− ∆Φ

∆Φ

∆Φ

∆Φ

∆∆∆∆

 

 

Znak  (-)  informuje,  Ŝe  napięcie  E  musi  być  takie,  aby  przeszkadzało  zmianie 
strumienia, która go wywołała. 
 

Prądy wirowe 

Jeśli zmienne pole magnetyczne przenika przez dowolny materiał przewodzący prąd 
elektryczny,  to  wewnątrz  tego  materiału  powstają  prądy  indukcyjne,  zwane 
wirowymi. 

Prądy 

wirowe 

powodują 

nagrzewanie 

kaŜdego 

przewodnika 

umieszczonego 

w 

zmiennym 

polu 

magnetycznym.  MoŜna  je  wykorzystywać 
do  topienia  metali  w  tzw.  piecach 
indukcyjnych.  Są  one  równieŜ  przyczyną 
strat  energii  w  transformatorze,  bowiem 
powodują 

nagrzewanie 

się 

rdzenia 

transformatora.  Straty  te  moŜna  zmniejszyć  przez  wykonanie  rdzenia  z  cienkich 
blaszek co utrudnia przepływ prądów wirowych. 

 

Indukcja własna

 

Jeśli  przez  zwojnicę  płynie  prąd  zmienny,  to 
wewnątrz  zwojnicy  powstaje  zmienne  pole 
magnetyczne.  Pole  to  powoduje  powstanie  na 
końcach  tej  zwojnicy  wtórnego  napięcia 
indukcyjnego. Zjawisko to nazywamy indukcją 
własną lub samoindukcją.   

   W 

przypadku  długiego  solenoidu,  w  którym 

płynie prąd o zmiennym natęŜeniu I, przez kaŜdy zwój tego solenoidu przenika pole 
magnetyczne o indukcji:       

                      

B

H

nI

l

o

====

====

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

0

                          Strumień indukcji magnetycznej 

przenikający przez kaŜdy zwój wynosi : 

Φ

Φ

Φ

Φ ==== µµ

µµ

µµ

µµ

0

nI

l

s

   

SEM indukcji powstała w jednym zwoju wynosi:   

 

 

 

E

d

dt

E

ns

l

dI

dt

1

1

0

==== −−−−

==== −−−−

⋅⋅⋅⋅

Φ

Φ

Φ

Φ

µµ

µµ

µµ

µµ

 

B 

∼∼∼∼

I 

∼∼∼∼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

              

  B 

∼∼∼∼

  

 

 

 

 

         

 

 

 

 

 

                   

 

    

 

 

 

 

 

    I 

∼∼∼∼

  

 

 

 

 

 25

SEM indukcji wzbudzona na końcach solenoidu jest n razy większa i wynosi: 
 

 

E

n s

l

dI

dt

s

o

==== −−−−µµ

µµ

µµ

µµ

2

 

  E

L

dI

dt

s

==== −−−−

 

 

Współczynnik  L  zaleŜy  od  cech  charakterystycznych  obwodu  i  nazywamy  go 
współczynnikiem 

samoindukcji, 

współczynnikiem 

indukcji 

własnej 

lub 

indukcyjnością obwodu. Dla długiego solenoidu moŜna wyrazić go wzorem: 
 

L

n s

l

o

==== µµ

µµ

µµ

µµ

2

 

 
Siła  elektromotoryczna  samoindukcji  jest  zatem  proporcjonalna  do  wartości 
pochodnej natęŜenia prądu po czasie. Korzystając z tej  zaleŜności 

moŜna 

ustalić 

E

s

(t)

 jeśli znana jest zaleŜność I(t). 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Ś

rednia wartość SEM samoindukcji wyraŜona jest wzorem: 

t

I

L

)

(

E

∆∆∆∆

∆∆∆∆

−−−−

====

 

Jednostką  indukcyjności  obwodu  jest  henr  (H).  Jest  to  indukcyjność  obwodu,  w 
którym  zmiana  natęŜenia  prądu  o  1A  w  czasie  1s  powoduje  powstanie  SEM 
samoindukcji  1V. 

 

 

 

  

H

Vs

A

====

 

 

Indukcja wzajemna

 

Na  wspólnym  rdzeniu  wykonanym  z  materiału  ferromagnetycznego  nawinięte  są 
dwa  uzwojenia  liczące  n

1

  i  n

2

  zwojów.  Przez  jedno  z  nich  płynie  prąd  zmienny 

wywołany  zmiennym  napięciem.  Prąd  ten  wytwarza  zmienny  strumień  indukcji 
magnetycznej,  który  przenika  równieŜ  przez  drugie  uzwojenie.  Na  końcach  tego 
uzwojenia powstaje SEM indukcji E. 

 26

E

d

dt

n

n I

l

s

E

n n s

l

dI

dt

==== −−−−

====

==== −−−−

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

2

0

1

0

1

2

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

            

E

L

dI

dt

==== −−−−

1 2

,

 

L

1,2

 - współczynnik indukcji wzajemnej obwodu. 

 

Pr

ą

dnica pr

ą

du zmiennego

 

Najprostszą  prądnicę  prądu  zmiennego  stanowi  płaska 
ramka  o  powierzchni 

S

  wirująca  ze  stałą  prędkością 

kątową 

ω

ω

ω

ω

    w  jednorodnym  polu  magnetycznym  o 

indukcji 

B

. Końce ramki połączone są z pierścieniami,  

po których ślizgają się tzw. szczotki. Strumień indukcji 
magnetycznej  przenikający  przez  powierzchnię  ramki 
zmienia się w czasie.  

 

Φ

Φ

Φ

Φ ====

BS cos

αααα

         

ω

ω

ω

ω

αααα

αααα

ω

ω

ω

ω

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

t

t     

 

 

Φ

Φ

Φ

Φ ====

BS

t

cos

ω

ω

ω

ω

   

SEM indukcji wzbudzona w wirującej ramce jest funkcją czasu i wynosi: 

 

 

 

 

 

 

 

t

sin

BS

E

dt

d

E

1

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

====

Φ

Φ

Φ

Φ

−−−−

====

   

     

Jeśli ramka liczy n zwojów, to wzbudzona w niej SEM indukcji jest 

n

 razy większa i 

wynosi: 

 

 

 

 

 

E

nBS

t

====

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

sin

 

 

E = E

o 

sin 

ω

ω

ω

ω

t      ;   E

o 

= nBS

ω

ω

ω

ω    

 

 

 

 

 

ΕΕΕΕ

0000

 − 

maksymalna wartość SEM indukcji (amplituda SEM indukcji). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

ω

ω

ω

ω 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       R

 

∅

∅

∅

∅

    

∼∼∼∼

 

 

∅

∅

∅

∅

 

∅

∅

∅

∅

   

∼∼∼∼

   

∅

∅

∅

∅

 

I 

∼∼∼∼

 

n

2

 

n

1

l

 

S

 

Ν

Ν

Ν

Ν

 

 27

Napi

ę

cie skuteczne i nat

ęŜ

enie skuteczne

 

Przez dwa identyczne opory R płyną dwa prądy: pewien prąd zmienny i prąd stały o 
natęŜeniu I

s

, wywołany napięciem U

s

. Prąd zmienny w ciągu okresu wykonuje pracę 

W

T

. 

Jeśli prąd stały płynąc równie długo przez taki sam opór wykonuje taką samą pracę, 
to  I

s

  i  U

s

  nazywamy  odpowiednio  natęŜeniem  skutecznym  i  napięciem  skutecznym 

danego prądu zmiennego. 
 

 

W

I RT

T

s

====

2

    

 

W

U

R

T

T

s

====

2

 

 

Aby  określić  natęŜenie  i  napięcie  skuteczne  prądu  zmiennego  trzeba  znać  pracę 
wykonaną przez dany prąd zmienny w ciągu okresu.  

1. Obliczanie napięcia skutecznego w przypadku impulsów prostokątnych. 

 
W 

przypadku 

prostokątnych 

impulsów 

napięciowych  istnieje  moŜliwość  obliczenia 
pracy  prądu  zmiennego  w  ciągu  okresu 
sumując  prace  wykonane  przez  ten  prąd  w 
poszczególnych 

przedziałach 

czasowych, 

poniewaŜ  płynie  on  wtedy  pod  wpływem 
stałego napięcia. 

 

W

U

R

T

R

U

T

U T

R

U T

R

U T

R

T

====

⋅⋅⋅⋅ ++++

−−−−











⋅⋅⋅⋅ ====

++++

====

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

2

1

2

2

2

8

5

8

 

 

U T

R

U T

R

U

U

s

s

2

0

2

0

5

8

5

8

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

 

 

2. Obliczanie napięcia skutecznego, gdy znana jest zaleŜność mocy od czasu 
 
Łatwo moŜna wykazać, Ŝe pole figury zawartej pod wykresem mocy w funkcji czasu 
jest miarą wykonanej pracy. 

 

 

 

R 

 

 

 

 

U

s

  I

s

  

R 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

T

   

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I RT

U

R

T

s

s

2

2

====

 

−−−−

U

0

2

T

U

0

t

U

 

∅

∅

∅

∅

 

∅

∅

∅

∅

 

∅

∅

∅

∅

 

∅

∅

∅

∅

 

 28

Z  definicji  mocy  wynika,  Ŝe  miarą  pracy 
elementarnej  jest  pole  wąskiego  prostokąta 
zawartego  pod  wykresem  mocy  w  funkcji 
czasu: 

P

dW

dt

dW

P dt

dS

====

⇒

⇒

⇒

⇒

==== ⋅⋅⋅⋅

−−−−

 

Praca 

wykonana 

w 

dowolnie 

długim 

przedziale 

czasu 

jest 

sumą 

prac 

elementarnych  i  odpowiada  jej  pole  figury 

zawartej pod wykresem mocy w funkcji czasu. Pozwala to na łatwe obliczenie pracy 
wykonanej  przez  prąd  zmienny,  w  przypadku  gdy  figura  pd  wykresem  mocy  jest 
figurą regularną. 
 
3. NatęŜenie skuteczne prądu sinusoidalnego

 

Przypuśćmy, Ŝe przez opór 

R

 płynie prąd zmienny wywołany o natęŜeniu:  

I = I

0

 sin 

ω

ω

ω

ω

t

 

Moc prądu sinusoidalnego jest funkcją czasu i wynosi:  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

P

I R

I R

t

====

====

2

0

2

2

s i n

ω

ω

ω

ω

 

 

ZaleŜność 

P(t)

 przedstawia poniŜszy wykres.  

dS

dt

t

P

P

 

 

 

 29

Praca  wykonana  przez  ten  prąd  w  ciągu  okresu  stanowi  sumę  prac  elementarnych  i 
odpowiada  jej  pole  figury  pod  wykresem.  Pole  to  jest  równe  polu  prostokąta  o 

podstawie 

T

  i  wysokości 

I R

0

2

2

.  Praca  prądu  zmiennego  wykonana  w  ciągu  okresu 

wynosi zatem: 

W

I R

T

T

====

0

2

2

 

I RT

I R

T

I

I

s

s

2

0

2

0

2

2

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

 

Analogicznie moŜna wykazać, Ŝe napięcie skuteczne takiego prądu wynosi: 

 

 

U

U

s

====

0

2

   

UŜywając  wartości  skutecznych  napięcia  i  natęŜenia,  pracę  prądu  zmiennego 
płynącego  przez  opór  R  moŜna  obliczać  identycznie  jak  pracę  prądu  stałego. 
Przyrządy  pomiarowe  prądu  zmiennego  mierzą  wartości  skuteczne  napięcia  i 
natęŜenia.   

                      

Indukcyjność i pojemność w obwodzie prądu zmiennego

 

 

Kondensator  stanowi  przerwę  w  obwodzie  prądu  stałego,  ale  umieszczony  w 
obwodzie prądu zmiennego musi ustawicznie zmieniać swój ładunek, co umoŜliwia 

przepływ  prądu  w  tym  obwodzie.  RozwaŜamy 
obwód złoŜony z połączonych ze sobą szeregowo 
trzech  elementów:  oporu  R,  kondensatora  C  i 
zwojnicy  L.  Taki  obwód  jest  nazywany 
obwodem RLC. Przyjmijmy, Ŝe w tym obwodzie 
płynie prąd zmienny, sinusoidalny o natęŜeniu :   

I = I

0

 sin 

ω

ω

ω

ω

t

, gdzie 

ω

ω

ω

ω

t

 - faza natęŜenia. 

 

 

 

      

Prąd  taki  jest  wywołany  napięciem  zewnętrznym  (U),  oraz  napięciami  wtórnymi 
powstałymi  na  końcach  zwojnicy  (U

L

)  i  na  okładkach  kondensatora  (U

C

).  O 

natęŜeniu  prądu  płynącego  przez  opór  R  decyduje  suma  tych  napięć.  Korzystając  z 
prawa Ohma otrzymujemy:  

I

U

U

U

R

L

C

====

++++

++++

 

 

U

R

R

U

∅

∅

∅

∅

U

L

L

∅

∅

∅

∅

U

C

C

 

 30

I

I

t;

U

L

dI

dt

U

LI

t

L

L

====

==== −−−−
==== −−−−

0

0

sin

sin

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

   

             

U

q

C

I

dq

dt

I

I

t

C

====

==== −−−−
====

0

sin

ω

ω

ω

ω

   

 

q

I

t

U

I

C

t

C

====

====

0

0

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

cos

cos

 

 

IR

U

U

U

L

C

==== ++++

++++

 

U

I R

t

LI

t

I

C

t

U

I R

t

L

R

RC

t

====

++++

−−−−

====

++++

−−−−























0

0

0

0

1

sin

cos

cos

sin

cos

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

 

WyraŜenie 

L

R

RC

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−−−−

1

    jest  liczbą  pozbawioną  wymiaru.  KaŜdej  liczbie 

rzeczywistej  moŜna  przypisać  kąt 

ϕϕϕϕ,

  o  tak  dobranej  wartości  aby  było  spełnione 

równanie: 

tg

L

C

R

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

====

−−−−

1

 

((((

))))

((((

))))

U

I R

t

tg

t

U

I R

t

t

====

++++

====

++++

0

0

sin

cos

cos

sin

cos

sin

cos

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω

 

 

U

U

t

====

++++

0

sin(

)

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

   

     U

I R

0

0

====

cos

ϕϕϕϕ

   

ω

ω

ω

ω

t + 

ϕϕϕϕ 

- faza napięcia 

Z powyŜszych rozwaŜań wynika, Ŝe przyczyną prądu o natęŜeniu  I = I

0

 sin 

ω

ω

ω

ω

t

 jest 

napięcie  U = U

0

 sin (

ω

ω

ω

ω

t +

ϕ)

ϕ)

ϕ)

ϕ) 

. Napięcie to jest przesunięte w fazie. Kąt 

ϕϕϕϕ 

nazywamy 

przesunięciem fazowym (przesunięcie fazy napięcia względem fazy natęŜenia). 

Jeśli prąd zmienny płynie przez opór R, to stosunek chwilowej wartości napięcia do 
chwilowej  wartości  natęŜenia  jest  równy  stosunkowi  odpowiednich  wartości 
maksymalnych, jak równieŜ stosunkowi odpowiednich wartości skutecznych: 

U

I

U

I

U

I

R

s

s

====

====

====

0

0

   

Jeśli prąd zmienny płynie przez obwód 

RLC

 , to stosunek wartości maksymalnych 

napięcia i natęŜenia jest większy od oporu omowego i wynosi: 

 31

U

I

U

I

R

Z

s

s

0

0

====

====

====

cos

ϕϕϕϕ

 

Stosunek ten nazywamy zawadą obwodu (impedancją obwodu). 

 

 

 

Z

R

Z

R

tg

Z

R

L

C

====

====

++++

====

++++

−−−−











cos

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

1

1

2

2

2

 

 

sin

cos

cos

2

2

2

2

1

1

1

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

++++

====

++++ ====

tg

 

L

ω = 

ω = 

ω = 

ω = 

R

L

 - opór indukcyjny (induktancja) 

 

 

1/C

ω

ω

ω

ω

 = R

C

 - opór pojemnościowy (kapacytancja)    

R

L

 - R

C

 - opór bierny (reaktancja) 

Związki  między  wielkościami  charakteryzującymi  obwód  RLC,  dla  elementów 
połączonych  szeregowo  moŜna  odtworzyć  posługując  się  tzw.  wykresem 
wskazowym. 

((((

))))

Z

R

R

R

L

C

====

++++

−−−−

2

2

   

 

Z

R

====

cos

ϕϕϕϕ

  

 

tg

R

R

R

L

C

ϕϕϕϕ ====

−−−−

 

Pomiędzy  napięciami  na  poszczególnych 
elementach  obwodu  zachodzą  następujące 
związki: 

 

 

 

((((

))))

U

U

U

U

R

L

C

2

2

2

====

++++

−−−−

 

 

Istnieje 

moŜliwość 

dobrania 

takiej 

częstotliwości  prądu  płynącego  przez  obwód 

RLC

,  aby  w  obwodzie  nie  wystąpiło 

przesunięcie fazowe. 

 

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

==== ⇔

⇔

⇔

⇔

====

0

1

L

C

   

 

ω

ω

ω

ω ====

1

LC

  

 

 

ω

ω

ω

ω

πν

πν

πν

πν

====

2

 

R

L

R

L

-R

C

Z

R

ϕϕϕϕ

R

C

 

U

R

R

U

∅

∅

∅

∅

U

L

L

∅

∅

∅

∅

U

C

C

 

 32

 

νννν

ππππ

====

1

2

LC

 

 Tak określona częstotliwość prądu jest nazywana częstotliwością rezonansową. 

Dla  elementów 

RLC

  połączonych  równolegle  zachodzą  związki,  które  moŜna 

odtworzyć z następującego wykresu wskazowego: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Praca i moc pr

ą

du zmiennego

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                               

Przyjmijmy,  Ŝe  w  obwodzie  płynie  prąd  zmienny  o  natęŜeniu   

I  =  I

0

  sin 

ω

ω

ω

ω

t

  

wywołany  napięciem 

U  =  U

0 

sin  (

ω

ω

ω

ω

t+

ϕϕϕϕ). 

Praca  elementarna  wykonana  przez  taki 

prąd wciągu okresu wynosi: 

 

((((

))))

((((

))))

[[[[

]]]]

dW

UIdt

U I

t

t

dt

dW

U I

t

dt

====

====

++++

====

−−−−

++++

0

0

0

0

1

2

2

sin

sin

cos

cos

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω ϕϕϕϕ

 

((((

))))

((((

))))

[[[[

]]]]

sin

sin

cos

cos

αααα

ββββ

αααα ββββ

αααα ββββ

====

−−−−

−−−−

++++

1

2

 

Praca wykonana przez taki prąd w ciągu okresu stanowi sumę prac elementarnych i 

wynosi:                          

((((

))))

[[[[

]]]]

((((

))))

W

cos

cos

cos

cos

T

====

−−−−

++++

====

−−−−

++++













∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

1

2

2

1

2

2

0

0

0

0

0

0

0

U I

t

dt

W

U I

dt

t

dt

T

T

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω ϕϕϕϕ

 

 

cos

cos

cos

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

dt

dt

T

T

T

0

0

∫∫∫∫

∫∫∫∫

====

====

 

ϕϕϕϕ

1

R

C

1

1

R

R

L

C

−−−−

1

R

L

1

Z

1

R

U          C

          L       R

∅

∅

∅

∅
∅

∅

∅

∅

 

 33

[[[[

]]]]

cos(

)

sin(

)

sin

sin

2

1

2

2

1

2

4

0

0

0

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω

ππππ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

t

dt

t

T

T

T

T

++++

====

++++

====

++++











−−−−













====

∫∫∫∫

 

W

U I T

W

U I T

s

s

====
====

1

2

0

0

cos

cos

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

 

 

U

U

I

I

s

s

0

0

2

2

====

====

   

MoŜna  uwaŜać,  Ŝe  kaŜdy  przedział  czasu  stanowi  wielokrotność  okresu.  Wynika 
stąd, Ŝe praca prądu zmiennego wykonana w dowolnym czasie t wynosi: 
 

 

 

 

 

 

 

W

U I t

S S

====

cos

ϕϕϕϕ

    

 

Moc prądu zmiennego wynosi:      

P

U I

S S

====

cos

ϕϕϕϕ

   

Jeśli w obwodzie nie powstaje przesunięcie fazowe, to wzory na pracę i moc prądu 
zmiennego nie róŜnią się od wzorów na pracę i moc prądu stałego. 

 

 

         

W  przypadku  nieuwzględnienia  przesunięcia  fazowego  otrzymujemy  tzw.  pracę 
pozorną, względnie moc pozorną prądu zmiennego. Dla odróŜnienia jej od pracy czy 
mocy  rzeczywistej,  pracę  pozorną  wyraŜamy    w  woltoamperosekundach,  a  moc 
pozorną - w woltoamperach. 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

Jeśli przesunięcie fazowe jest bliskie 

ππππ

2

 to moc takiego prądu jest równa zeru. Prąd 

taki nazywamy bezwatowym. 

 

Energia pola magnetycznego

 

 

Przez  zwojnicę

   

o  indukcyjności  L  płynie  prąd  stały  o  natęŜeniu  I

0

.  W  wyniku 

przerwania obwodu i ponownego połączenia jego końców pole magnetyczne zanika. 

W  obwodzie  płynie  prąd  indukcyjny,  a  energia 
pola  magnetycznego  przekształca  się  w  energię 
cieplną.  Praca  elementarna  wykonana  przez 
zanikający prąd indukcyjny wynosi: 

 

dW

EIdt

dW

LIdI

====

==== −−−−

             

E

L

dI

dt

==== −−−−

 

         
                   

   

I

0

°°°°

°°°°

r

B

 

 34

Praca  wykonana  przez  prąd,  którego  natęŜenie  maleje  do  zera  stanowi  sumę  prac 
elementarnych i wynosi: 

W

dW

LIdI

I

====

==== −−−−

∫∫∫∫

∑

∑

∑

∑

0

0

 

 

 

          

W

L

I

I

==== −−−−













2

0

2

0

   

⇒

⇒

⇒

⇒   

 

W

LI

====

1

2

0

2

 

 

Sumowanie  prac  elementarnych  moŜna  równieŜ  wykonać  metodą  całkowania 
graficznego.  Wartość  pracy  elementarnej  wykonanej  przez  prąd  samoindukcji 
wynosi: 

YdI

dW

LIdI

dW

====

====

          

Y

LI

====

 

 

Y

  jest  liniową  funkcją  natęŜenia  prądu,    a  zatem 

jej  wykresem  jest  linia  prosta.  Miarą  pracy 
elementarnej  jest  pole  wąskiego  prostokąta 
zawartego  pod  wykresem  funkcji  Y.  Praca 
wykonana  przy  zmianie  natęŜenia  prądu  o  I

0

  jest 

równa sumie prac elementarnych i odpowiada jej 
pole trójkąta zawartego pod wykresem. 

W

I LI

LI

====

====

1

2

1

2

0

0

0

2

 

W  przypadku  długiego  solenoidu,  w  którym  płynie  prąd  ,  gęstość  energii  pola 
magnetycznego wynosi: 

 

 

 

 

W

V

LI

lS

n s

l

lS

I

nI

l

nI

l

o

====

====

====

1

2

1

2

0

2

2

0

2

0

0

0

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

 

Ostatecznie otrzymujemy:   

 

W

V

BH

====

1

2

 

 

Y

LI

0

I

0

I

dI

Y

 

 35

Induktor

 

Induktor  jest  urządzeniem,  które  słuŜy  do  otrzymywania  wysokiego  napięcia.  Na 
rdzeniu wykonanym z miękkiej stali nawinięte jest uzwojenie pierwotne wykonane z 
grubego,  izolowanego  drutu.  Uzwojenie  to  jest  zasilane  ze  źródła  prądu  stałego  o 

napięciu  kilku  woltów.  Przepływ  prądu  powoduje 
powstanie  pola  magnetycznego  i  namagnesowany 
rdzeń  przyciąga  młoteczek  przerywacza.  W  ten 
sposób  obwód  zostaje  przerwany.  Rdzeń  ulega 
rozmagnesowaniu 

a 

odskakujący 

młoteczek 

ponownie  zamyka  obwód.  Uzwojenie  pierwotne 
wytwarza zatem zmienne pole magnetyczne. Pole to 
przenika  przez  uzwojenie  wtórne  nawinięte  na  ten 
sam  rdzeń,  liczące  wiele  tysięcy  zwojów  cienkiego 

drutu.  W  kaŜdym  zwoju  powstaje  SEM  indukcji,  w  wyniku  czego  na  końcach 
uzwojenia  wtórnego  połączonych  z  iskiernikiem  powstaje  wysokie  napięcie 
umoŜliwiające  np.  powstawanie  wyładowań  iskrowych.  Z  powodu  duŜej 
indukcyjności  uzwojeń,  w  momentach  rozłączenia  obwodu  powstaje  znaczne 
napięcie  samoindukcji,  co  prowadzi  do  iskrzenia  na  styku  przerywacza.  Aby  nie 
dopuścić do zniszczenia styku stosuje się kondensator o duŜej pojemności, włączony 
równolegle do przerwy iskrowej. Zmiany natęŜenia prądu w uzwojeniu pierwotnym i 
odpowiadające im zmiany napięcia na końcach uzwojenia wtórnego induktora 

 

przedstawiają 

zamieszczone 

obok 

wykresy.  Prąd  w  uzwojeniu  wtórnym  jest 
zmienny,  równieŜ  co  do  kierunku.  Silne 
skoki 

napięcia 

powstają 

podczas 

przerywania 

prądu 

w 

uzwojeniu 

pierwotnym. 

 

 

Transformator

 

Transformator  słuŜy  do  uzyskiwania  zmian  napięcia  prądu  zmiennego.  Na  rdzeniu 
wykonanym  z  miękkiej  stali  są  nawinięte  dwa  uzwojenia  liczące  róŜne  ilości 

zwojów.  Do  uzwojenia  pierwotnego 
liczącego  n

1

  zwojów  zostaje  włączone 

zmienne  napięcie  o  wartości  skutecznej 
U

1

.  Wewnątrz  uzwojenia  powstaje 

zmienne 

pole 

magnetyczne, 

które 

I

 

U

t

t

I

 

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

n

2

n

1

U

2

U

1

 

 36

przenika  do  uzwojenia  wtórnego  liczącego  n

2

  zwojów.  W  kaŜdym  zwoju  powstaje 

SEM

  indukcji  i  na  końcach  uzwojenia  wtórnego  powstaje  zmienne  napięcie  o 

wartości  skutecznej  U

2

.  JeŜeli  do  uzwojenia  pierwotnego  zostanie  przyłoŜone 

napięcie  sinusoidalne  U’  =  U

0

  sin 

ω

ω

ω

ω

t

  ,  to  z  powodu  znacznej  indukcyjności  tego 

uzwojenia popłynie w nim prąd, którego natęŜenie jest przesunięte 

 w fazie praktycznie o 

ππππ

2

   

I

I

t

I

t

'

sin

cos

====

−−−−











==== −−−−

0

0

2

ω

ω

ω

ω

ππππ

ω

ω

ω

ω

 

Strumień  indukcji  magnetycznej  wytworzony  w  uzwojeniu  pierwotnym  jest  wprost 
proporcjonalny do natęŜenia płynącego prądu i wynosi: 

 

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

==== −−−−

0

cos

ω

ω

ω

ω

t

 

Chwilowe  natęŜenie  prądu  płynącego  przez  uzwojenie  pierwotne  moŜna  określić  z 
prawa Ohma: 

I

U

d

dt

n

R

'

'

====

−−−− Φ

Φ

Φ

Φ

1

1

 

dt

d

n

'

U

R

'

I

1

1

Φ

Φ

Φ

Φ

−−−−

====

⇒

⇒

⇒

⇒

 

 

 

R

U

n

d

dt

1

1

0

≈≈≈≈

⇒

⇒

⇒

⇒

====

'

Φ

Φ

Φ

Φ

 

 

 

d

dt

t

Φ

Φ

Φ

Φ ΦΦΦΦ

====

0

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

sin

 

U

n

t

'

sin

==== Φ

Φ

Φ

Φ

0

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

 

 

Przez  uzwojenie  wtórne  przenika  ten  sam  strumień  indukcji  magnetycznej.  
Powoduje to powstanie na jego końcach napięcia chwilowego: 

 

 

 

 

 

 

 

U

d

dt

n

U

n

t

''

''

sin

==== −−−−

====

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

2

0

2

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

 

 

 

 

 

          

   

U

U

U

U

n

n

n

n

1

2

01

02

0

1

0

2

1

2

====

====

====

Φ

Φ

Φ

Φ
Φ

Φ

Φ

Φ

ω

ω

ω

ω
ω

ω

ω

ω

 

Wynika  stąd,  Ŝe  stosunek  liczby  zwojów    w  uzwojeniu  pierwotnym  do  liczby 
zwojów  w  uzwojeniu  wtórnym  jest  równy  stosunkowi  napięć  skutecznych  na 
końcach tych uzwojeń. Stosunek ten nazywamy przekładnią transformatora. 

 37

 

 

 

 

 

 

U

U

n

n

1

2

1

2

====

 

 

 

n

n

I

I

1

2

2

1

====

 

 

W praktyce zachodzi jednak pewne rozpraszanie strumienia indukcji magnetycznej i 
stosunek napięć nieco róŜni się od stosunku liczby zwojów.   

 

   

Sprawnością  transformatora  nazywamy  stosunek  mocy  pobieranej  z  uzwojenia 
wtórnego do mocy dostarczonej do uzwojenia pierwotnego: 

 

 

 

 

 

 

 

 

ηηηη ====

U I

U I

2

2

1 1

 

Sprawność transformatorów dochodzi do 98%. 

Istnieją trzy zasadnicze przyczyny strat energii w obwodzie transformatora: 

1. Ciepło Joule’a Lenza.  

W  kaŜdym  przewodniku,  w  którym  płynie  prąd  wydziela  się  ciepło  Q  =  I

2

  R  t

.                                                    

Straty  spowodowane  w  ten  sposób  moŜna  zminimalizować  przez  stosowanie 
przewodów  wykonanych  z  bardzo  dobrych  przewodników  (miedź,  aluminium),  o         
odpowiednio duŜym przekroju poprzecznym. 

2. Prądy wirowe. 

Powstają  one  w  rdzeniu  transformatora  i  są  wywołane  przez  zmienne  pole 
magnetyczne.  Aby  zmniejszyć  straty  wywołane  przez  prądy  wirowe  rdzenie 
transformatorów wykonuje się z cienkich blaszek. 

3. Histereza Ŝelaza. 

Konieczność  ustawicznych  zmian  stanu  namagnesowania  rdzenia  wiąŜe  się  z 
nieustannymi obrotami domen magnetycznych. W wyniku tarcia wydziela się ciepło. 
Straty  spowodowane  histerezą  Ŝelaza  moŜna  zmniejszyć  wykonując  rdzeń 
transformatora ze szczególnie miękkich materiałów ferromagnetycznych. 

 

Prawa Maxwella

 

Wokół  przewodnika  z  prądem  istnieje  pole  magnetyczne.  Zgodnie  z  prawem 
Ampere’a zachodzi związek: 

 38

 

 

 

 

H dl

I

||

∑

∑

∑

∑

====

 

KrąŜenie 

H

r

po konturze zamkniętym jest równe natęŜeniu 

prądu przepływającego przez ten kontur.  

Jeśli  w  obwodzie  prądu  zmiennego  znajduje  się 
kondensator,  to  pomiędzy  okładkami  tego  kondensatora 
istnieje  zmienne  pole  elektryczne.  Przez  powierzchnię 

zamykającą  jedną  z  okładek  przenika  zmienny  strumień  natęŜenia  pola 
elektrycznego.  Zgodnie  z  prawem  Gaussa  zachodzi 
równość: 

 

 

 

 

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

E

Q

====

εε

εε

εε

εε

0

 

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

E

  -  strumień  całkowity  natęŜenia  pola  przenikający 

powierzchnię, która zamyka ładunek Q. 
Pochodna strumienia natęŜenia pola po czasie wynosi: 
 

 

      

d

dt

dQ

dt

I

E

p

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ ====

====

1

1

0

0

εε

εε

εε

εε

εε

εε

εε

εε

 

Zmiana  strumienia  jest  zatem  równowaŜna  przepływowi  prądu.  Wynika  stąd,  Ŝe 
chociaŜ  między  okładkami  kondensatora  nie  płynie prąd elektryczny, to wokół linii 
sił zmiennego pola elektrycznego musi istnieć pole magnetyczne. Zgodnie z prawem 
Ampere’a otrzymujemy: 

 

 

 

 

 

 

H dl

I

d

dt

p

E

||

∑

∑

∑

∑

====

==== εε

εε

εε

εε

0

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

 

Jeśli przez pewien kontur zamknięty przepływa prąd elektryczny i przenika zmienne 
pole elektryczne, to dla tego konturu zachodzi związek: 

 

 

 

 

 

       

H dl

I

d

dt

E

||

∑

∑

∑

∑

==== ++++ εε

εε

εε

εε

0

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

 

PowyŜsza  zaleŜność  jest  określona  jako  pierwsze  prawo  Maxwella.  Jego  istotą  jest 
związek  między  polem  elektrycznym  jako  przyczyną  i  polem  magnetycznym  jako 
skutkiem. Przyczyną pola magnetycznego jest nie tyle prąd płynący w przewodniku 
co  pole  elektryczne,  które  ten  prąd  wywołało.  Zmienne  pole  elektryczne  jest 
przyczyną zmiennego, wirowego pola magnetycznego. 

B

r

H

r

H

||

 

+ + + + + + + + + + + +

 

+

-  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -

 

 39

 
Jeśli  przez  obwód  zamknięty  przenika  zmienne 
pole  magnetyczne,  to  w  tym  obwodzie  powstaje 
prąd  indukcyjny.  Zgodnie  z  prawem  indukcji 
Faradaya, SEM indukcji wyraŜa się  wzorem: 
 

SEM

d

dt

==== −−−− Φ

Φ

Φ

Φ

 

Napięcie,  które  jest  przyczyną  prądu  indukcyjnego  jest  sumą  róŜnic  potencjałów 
liczonych wzdłuŜ obwodu. 

 

 

 

 

 

 

  

SEM

dV

====

∑

∑

∑

∑

 

RóŜnica  potencjałów  na  odcinku  dl  obwodu  wiąŜe  się  z  natęŜeniem  pola 
elektrycznego skierowanym wzdłuŜ dl: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

dV

dl

dV

E dl

SEM

E dl

||

||

||

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

====

∑

∑

∑

∑

 

Prawo indukcji Faradaya moŜna zatem zapisać w postaci: 
 

 

 

 

 

 

 

  

E dl

d

dt

||

∑

∑

∑

∑

==== −−−− Φ

Φ

Φ

Φ

 

Sumę  po  lewej  stronie  równania  nazywamy  krąŜeniem  wektora  E  po  konturze 
zamkniętym. PowyŜszą zaleŜność nazywamy drugim prawem Maxwella. 

Prawo  to  stanowi  uogólnienie  prawa  indukcji  Faraday’a.  Jego  istotą  jest  związek 
między  polem  magnetycznym  jako  przyczyną  i  polem  elektrycznym  jako  skutkiem. 
Zmienne  pole  magnetyczne  wytwarza  zmienne,  wirowe  pole  elektryczne.  Prąd 
elektryczny jest skutkiem istnienia pola elektrycznego. 

Ruchomy 

ładunek 

elektryczny 

wytwarza 

zmienne  pole  magnetyczne.  Zmienne  pole 
magnetyczne  jest  z  kolei  przyczyną  zmiennego, 
wirowego  pola  elektrycznego.  Oznacza  to,  Ŝe 

ruchomy  ładunek  jest  przyczyną  powstania  ciągu  pól:  magnetycznego  i 
elektrycznego.  Taki  ciąg  pól  nazywamy  falą  elektromagnetyczną.  Źródłem  fali  jest 
kaŜde zmienne pole elektryczne lub magnetyczne. 

 

N

 

•