2008-12-17
1
Mechanika i Wytrzymałość
Materiałów
Wykład 5
2008-12-17
1
Mechanika i Wytrzymałość
Materiałów
Wykład 5
2008-12-17
2
Zginanie prętów prostych
Rodzaje umocowań belek:
podparcie przegubowo
przesuwne (ruchowe)
2008-12-17
3
Zginanie prętów prostych
Rodzaje umocowań belek:
podparcie przegubowo
nieprzesuwne (stałe)
2008-12-17
4
Zginanie prętów prostych
Rodzaje umocowań belek:
podparcie w utwierdzeniu
(utwierdzenie)
2008-12-17
5
Czyste zginanie
2008-12-17
6
Czyste zginanie
2008-12-17
7
Czyste zginanie
Stan czystego zginania występuje wówczas, gdy w przekroju
poprzecznym belki działa tylko moment zginający, zaś siła
poprzeczna jest równa zeru T
x
.
2008-12-17
8
Czyste zginanie
Omówione obserwacje pozwalają na przyjęcie pewnych założeń:
1. Przekroje poprzeczne płaskie przed odkształceniem pozostają
płaskie po odkształceniu (hipoteza płaskich przekrojów),
2. Istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny
działania pary sił momentu gnącego,
3. Włókna wzdłużne nie wywierają na siebie nacisku – znajdują
się w jednowymiarowym stanie naprężeń,
4. Odkształcenie włókien równoległych do osi pręta i znajdują-
cych się w płaszczyźnie równoległej do warstwy obojętnej nie
zależą od położenia w tej płaszczyźnie.
2008-12-17
9
Czyste zginanie
gdzie: - promień krzywizny
warstwy obojętnej
2008-12-17
10
Czyste zginanie
Układając warunki równowagi otrzymamy
wyrażając powyższe równania poprzez
otrzymamy:
2008-12-17
11
Czyste zginanie
moment statyczny pola przekroju poprzecznego względem osi Z
WNIOSEK: os obojętna przekroju musi przechodzić przez jego
środek ciężkości
gdzie:
2008-12-17
12
Czyste zginanie
moment dewiacji J
yz
pola przekroju poprzecznego względem
osi Y i Z
WNIOSEK: równanie jest prawdziwe gdy osie Y i Z są
głównymi centralnymi osiami bezwładności pola przekroju.
gdzie:
2008-12-17
13
Czyste zginanie
Na podstawie powyższego równania otrzymamy związek
między krzywizną belki i momentem gnącym i naprężeniem:
moment bezwładności J
z
pola przekroju poprzecznego względem osi Z
2008-12-17
14
Czyste zginanie
Powyższe zależności pozwalają na wyznaczenie naprężeń
normalnych w punktach przekroju poprzecznego belki
oddalonych o y od osi obojętnej.
2008-12-17
15
Czyste zginanie
Wprowadźmy iloraz momentu bezwładności pola przekroju
względem osi obojętnej i odległości najdalej oddalonych
punktów przekroju
stąd wartość największych naprężeń normalnych wynosi:
a W
z
określamy jako wskaźnik wytrzymałości przekroju
na zginanie.
2008-12-17
16
Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie
Odległość max oddalonych punktów przekroju
Moment bezwładności pola prostokąta wynosi
Wskaźnik
wytrzymałości
przekroju
prostokątnego dla osi Z i Y wynosi:
2008-12-17
17
Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie
2008-12-17
18
Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie
2008-12-17
19
Przydatność
profilu do zginania
przy A=const
2008-12-17
20
Wytrzymałość na zginanie
otrzymamy:
2008-12-17
21
Wytrzymałość na zginanie
UWAGA:
1.
W przypadku gdy odległości są równe (e
I
=e
II
=e) można mówić o jednym
wskaźniku wytrzymałości przekroju na zginanie.
2.
Jeśli materiał ma jednakową wytrzymałość na ściskanie i rozciąganie
podstawą do oceny wytrzymałości pręta zginanego będzie bezwzględnie
największa wartość naprężenia.
Przyjmując jeden wskaźnik
gdzie e
max
jest największą odległością skrajnego włókna od
osi obojętnej otrzymujemy:
2008-12-17
22
Wytrzymałość na zginanie
Przykład
2008-12-17
23
Wytrzymałość na zginanie
2008-12-17
24
Wytrzymałość na zginanie
UWAGA:
1.
W przypadku belek krótkich obliczenia przeprowadza się niezależnie dla
max
naprężeń
zginających
i
max
naprężeń
stycznych
(tnących)
wywołanych siłami poprzecznymi.
Warunki wytrzymałościowe określają nierówności:
Gdzie: T – siła poprzeczna w rozpatrywanym przekroju,
S
(y)
– moment statyczny względem osi obojętnej części pola przekroju
poprzecznego belki,
b
(y)
- szerokość warstwy równoległej do osi obojętnej
Jest to tzw. wzór Żurawskiego
2008-12-17
25
Wytrzymałość na zginanie
Przykład
2008-12-17
26
Wytrzymałość na zginanie
2008-12-17
27
Równanie różniczkowe osi ugiętej
Zależności różniczkowe pomiędzy obciążeniem i siłami wewnętrznymi
Pochodna siły poprzecznej względem
współrzędnej x wzdłuż osi pręta jest
równa natężeniu obciążenia ciągłego.
Pochodna momentu gnącego względem
x jest równa sile poprzecznej.
Druga pochodna momentu gnącego
względem x jest równa natężeniu
obciążenia ciągłego.
2008-12-17
28
Równanie różniczkowe osi ugiętej
Z geometrii różniczkowej krzywiznę dowolnej krzywej płaskiej
przedstawia równanie:
2008-12-17
29
Równanie różniczkowe osi ugiętej
Porównując oba równania otrzymamy:
Równanie te nazywamy równaniem różniczkowym linii ugięcia
Uwzględniając: oraz
otrzymamy:
2008-12-17
30
Równanie różniczkowe osi ugiętej
Po jednokrotnym całkowaniu otrzymujemy:
Całkując powtórnie:
2008-12-17
31
Równanie różniczkowe osi ugiętej
W ten sposób dochodzimy do równań, z których pierwsze określa
równanie kątów obrotu przekrojów
natomiast drugie równanie osi odkształconej belki
2008-12-17
32
Równanie różniczkowe osi ugiętej
Warunki brzegowe do wyznaczania równania osi ugiętej
2008-12-17
33
Równanie różniczkowe osi ugiętej
Przykład
2008-12-17
34
Równanie różniczkowe osi ugiętej
2008-12-17
35
Wyznaczanie odkształceń belek zginanych
Obliczanie wymiarów poprzecznych belki zginanej ze względu na
jej sztywność.
założenie:
2008-12-17
36
Wyznaczanie odkształceń belek zginanych
Przykład
2008-12-17
37
Wyznaczanie odkształceń belek zginanych
2008-12-17
38
Wyznaczanie odkształceń belek zginanych