Pole magnetyczne wywołane
przez przepływ prądu
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Pole magnetyczne wywołane
przez przepływ prądu
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Podstawy Fizyki
Halliday, Resnick i Walker Rozdział 30
M.C. Esher grafik holenderski
Belvedere
NiemoŜliwy sześcian Eschera
Pole elektryczne wywołane
przez rozkład ładunku
2
0
1
dq
dE =
.
4πε r
Element o ładunku dq wytwarza pole
elektryczne o natęŜeniu dE równym
Aby znaleźć natęŜenie pola elektrycznego
wytwarzanego przez cały obszar zapełniony
ładunkiem naleŜy obliczyć całkę objętościową.
3
0
1
dq
=
.
4πε r
dE
r
Indukcja magnetyczna wywołana przez
prąd elektryczny
Rozpatrzymy element ds
przewodnika liniowego
przez który płynie prąd o
natęŜeniu I.
Wprowadzimy wektor
o długości ds i
kierunku zgodnym z
przepływem prądu w
elemencie ds.
ds
Indukcja magnetyczna wywołana przez
element prądu elektrycznego
Definicja elementu prądu:
JeŜeli wyznaczymy wektor
indukcji w punkcie P
o wektorze wodzącym r
pochodzący od elementu
prądu , to sumując
wkłady od innych
elementów prądu
znajdziemy całkowity
wektor indukcji
wytwarzanej przez
przewodnik w punkcie P.
= I
⋅
dI
ds .
dB(r)
dI
Prawo Biota-Savarta
0
0
2
3
µ
µ
Ids sinθ
Ids rsinθ
dB =
,
4π
r
4π
r
⋅
⋅
=
W wyniku doświadczeń ustalono związek pomiędzy
elementem prądu i wektorem wodzącym punktu P. Element
prądu tworzący z wektorem wodzącym punktu
P kąt
θ
, wytwarza pole magnetyczne charakteryzowane przez
wektor indukcji o długości dB
= I
⋅
dI
ds
r
dB
gdzie stała
µ
0
jest nazywana przenikalnością
magnetyczną próŜni
-7
0
µ = 4π ×10 T m/A.
⋅
dB jest długością iloczynu wektorowego, który określa
kierunek wektora
dB .
0
3
µ I
(prawo Biota - Savarta).
4π
r
=
ds × r
dB
Jean-Baptiste Biot
Urodzony:
21 kwietnia 1774 w ParyŜu
zmarł:
3 lutego 1862 w ParyŜu
Felix Savart asystent Biota
urodzony: 30 czerwca 1791 w
Mézières, Francja
zmarł: 16 marca 1841 w ParyŜu,
Pole magnetyczne wytworzone przez prąd
płynący w długim przewodzie prostoliniowym
Przewodnik moŜna uznać za nieskończenie długi,
zatem wektor indukcji nie zaleŜy od połoŜenia
elementu ds, a jedynie od jego długości i kąta
pomiędzy wektorami .
i
ds
r
Wektor indukcji magnetycznej jest
prostopadły do płaszczyzny, w której leŜą
wektory i skierowany jest za tę
płaszczyznę.
dB
i
ds
r
0
2
µ Ids sinθ
dB =
4π
r
⋅
I
ds
R
r
P
dB
θθθθ
Wektor indukcji magnetycznej
wytwarzany przez element prądu
0
2
ˆ
I
d
.
4
r
µ
×
=
π
ds r
B
0
2
ˆ
Id
4
r
µ
×
=
π
∫
s r
B
Symetria pola magnetycznego nieskończonego
prostoliniowego przewodnika
I
W kaŜdej z płaszczyzn prostopadłych do
przewodnika pole wektorów indukcji jest takie
same. Ma ono symetrię walcową. Dowolny
obrót w płaszczyźnie dookoła przewodnika nie
zmienia obrazu pola wektorów indukcji.
Pole magnetyczne
Pole elektryczne
E
q
B
I
Porównanie pola elektrycznego ładunku
punktowego i pola magnetycznego prądu
B
I
E
q
Obydwa pola mają symetrię kolistą – nie zmieniają
się gdy dokonujemy dowolnego obrotu dookoła osi
przechodzącej przez środek współśrodkowych
okręgów, prostopadłej do płaszczyzny rysunku.
Pole wirowe
Pole radialne
Geometria zagadnienia
ds
R
r
P
dB
θθθθ
s
0
ds
Wybierzemy początek układu współrzędnych
w punkcie 0 przewodnika. Element ds dolny i
górny dają taki sam wkład.
0
2
0
0
µ I
sinθ
B = 2
dB =
ds
2π
r
∞
∞
∫
∫
Lecz:
2
2
2
r = s + R .
(
)
2
2
R
sinθ = sin π - θ =
s + R
Obliczenie całki
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
2
2
2
0
0
0
3/2
0
2
2
0
0
1/2
1/2
2
2
2
2
0
2
2
0
0
s
s
µ I
1
R
B = 2
dB =
ds
=
2π
s + R
s + R
µ I
R
ds
=
2π
s + R
µ I
µ I
s
1
=
lim
=
2πR
2πR
s + R
1+ R /s
µ I
µ I
lim 1- R /2s
=
.
2πR
2πR
∞
∞
∞
→∞
∞
→∞
∫
∫
∫
0
µ I
Ostateczny wynik : B =
2πR
Sprawdzenie poprawności obliczenia całki
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1/2
2
2
1/2
2
2
1/2
2
2
2
2
1/2
2
2
1/2
2
2
2
2
2
3/ 2
3/ 2
2
2
2
2
2
2
ds
2s
s + R
s
ds
s + R
dF(s)
1 d
s
1
=
ds
R ds
R
s + R
s + R
2s
s + R
s
2 s + R
s + R
s
1
1
R
.
R
R
s + R
s + R
s + R
⋅
+
= ⋅
=
−
−
⋅
= ⋅
=
[
]
[
]
2
du(x)/dx v(x) - u(x) dv(x)/dx
d
u(x)
=
dx v(x)
v (x)
(
)
(
)
3/ 2
1/2
2
2
2
2
R
s
F(s) = ds
s
R
R s + R
=
+
∫
Pole magnetyczne prostoliniowego
przewodu z prądem
I
Pole magnetyczne
przewodników z prądem
Pojedyncza pętla
Spirala
Reguła prawej dłoni
B
B
I
I
NaleŜy uchwycić przewód prawą dłonią w taki sposób,
aby kciuk wskazywał kierunek płynięcia prądu. Wtedy
palce wskazują kierunek linii pola magnetycznego
wytworzonego przez element przewodnika. Zmiana
kierunku płynięcia prądu powoduje zmianę zwrotów
wektorów.
B
B
B
0 a
a
µ I
B =
2πd
Wielkość wektora indukcji pola magnetycznego
wytwarzanego przez przewód
a
w kaŜdym punkcie
prostej, na której leŜy drugi przewód (przewód
b
):
Dwa równoległe długie przewody z prądem
Reguła prawej dłoni wskazuje na to, Ŝe wektor
indukcji magnetycznej w punktach prostej b jest
prostopadły do płaszczyzny
Π
w której leŜą przewody
i skierowany za nią. Siła z którą działa przewód
a
na
odcinek L przewodu
b:
ba
b
b
a
= I
×
F
L
B
Π
Siła z którą przewód a działa na przewód b
Siły działające między dwoma odcinkami
o długości L równoległych, długich
przewodów z prądem
Kierunek siły
ba
:
F
ba
b
b
a
= I
×
F
L
B
a
B
b
L
ba
F
b
o
0 a
0
b a
0 b
ba
b
a
a
b
ab
B
µ I
µ LI I
µ I
F = I L
sin90 =
= I L
= I LB
F
2πd
2πd
2πd
=
0 a
a
µ I
B =
2πd
Oddziaływanie przewodników
liniowych z prądem: wnioski
Dwa równoległe przewody, w których płyną prądy
o jednakowym zwrocie przyciągają się.
Obserwacja :
.
ba
ab
F = -F
a
B
b
L
ba
F
a
L
Gdy zwroty prądów są przeciwne
to a zatem tym razem
siła oddziaływania leŜy w
płaszczyźnie
Π
i jest siłą
odpychania. Przewód b odpycha
przewód a. Podobnie a odpycha b.
a
b
= -
,
L
L
ba
F
André Marie Ampère
ur: 20 stycznia 1775 w Lyonie,
zm. : 10 czerwca 1836 w Marsylii,
André Marie Ampère
Ampère był francuskim fizykiem,
który połoŜył podwaliny pod rozwój
elektrodynamiki. Zajmował się
matematyką – napisał dzieło
poświęcone teorii gier i rachunkowi
wariacyjnemu, równaniami
róŜniczkowymi i geometrią
analityczną. Zajmował się takŜe
chemią. Wykładał analizę
matematyczną w paryskiej the Ecole
Polytechnique i w prowadził własne
wykłady w słynnym Collège de
France.
Ampère
i Arago
powtarzają
doświadczenie
Ørsteda
Prawo Ampère’a – magnetyczny
odpowiednik prawa Gaussa
(
) ( )
1
3
0
= 4πε
dq
/ r .
−
dE
r
W przypadku elektrostatyki ładunek elementu dq daje
wkład do natęŜenia pola elektrycznego:
Po wykonaniu na ogół skomplikowanego całkowania
moŜna znaleźć pole elektryczne rozkładu ładunków.
W szczególnych przypadkach jednak moŜna było
zastosować całkowe twierdzenie Gaussa.
(
)(
)
3
0
µ / 4π
I
/r
=
dB
ds × r
Istnieje twierdzenie całkowe, które pozwala znaleźć
wypadkowe pole magnetyczne układu prądów bez
uŜywania wzoru i całkowania.
Prawo Ampère’a
(Jemesa Clerka Maxwella)
Kontur C obejmuje przewody (na sąsiednim
rysunku dwa, nie obejmuje trzeciego).
C
prąd przed płaszczyznę
prąd za
płaszczyz-
nę
Prawo Ampère’a: Całka z wektora indukcji po
konturze zamkniętym obejmującym przewodni-
ki liniowe jest proporcjonalna do całkowitego
natęŜenia prądu I
P
przepływającego przez
powierzchnię płaszczyzny ograniczonej
konturem:
0 p
µ I .
=
∫
C
Bds
C
prąd przed płaszczyznę
prąd za
płaszczyz-
nę
UłóŜ prawą dłoń wzdłuŜ
konturu, tak aby palce
wskazywały kierunek
obiegu konturu. JeŜeli
prąd płynie w
przewodniku
przecinającym
płaszczyznę konturu i
jest skierowany w
kierunku kciuka –
przypiszemy mu znak
„+”, jeŜeli w kierunku
przeciwnym – znak „-”.
Sumę algebraiczną
prądów
przepływających przez
kontur oznaczymy
przez I
P
.
Prąd I
3
nie przecina obszaru
ograniczonego przez kontur
I
P
=I
1
-I
2
.
C
+I
3
Wyznaczenie znaku prądu:
reguła prawej dłoni
Przez długi prostoliniowy
przewód płynie prąd przed
płaszczyznę rysunku.
Wtedy pole magnetyczne ma
symetrię walcową i B ma tę
samą wartość we wszystkich
punktach współśrodkowych
okręgów. Obieg konturu
jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Wektory
są w kaŜdym punkcie okręgu styczne do okręgu i równoległe
do siebie, zatem
θ
= 0, cos
θ
= cos0 = 1.
ds , B
Pole magnetyczne na zewnątrz długiego
prostoliniowego przewodnika z prądem
0 p
0 p
B
ds cos0
B
ds
2πrB µ I
µ I / 2πr.
B
⋅
=
=
=
⇒
=
∫
∫
C
C
Uwaga
Zwrot wektora nie jest określony. Gdybyśmy
otrzymali ujemną wartość B, to naleŜałoby zmienić
kierunek obiegu konturu.
B
Pole magnetyczne wewnątrz długiego
prostoliniowego przewodu z prądem
Zastosujemy prawo
Ampère’a do wyznaczenia
pola magnetycznego
wewnątrz prostoliniowego
przewodu o przekroju
kołowym, R jest jego
promieniem. Przez przewód
płynie prąd elektryczny o
natęŜeniu I i stałej gęstości.
Kontur całkowania w
kształcie okręgu o promieniu
r znajduje się wewnątrz
przewodu (r<R).
Pole magnetyczne wewnątrz długiego
prostoliniowego przewodu z prądem
Ze względu na równomierny rozkład prądu w przewodzie
towarzyszące pole magnetyczne musi mieć symetrię walcową.
Lewa strona wzoru reprezentującego prawo Ampère’a
przyjmuje postać:
B
ds
2πrB.
⋅
=
∫
∫
C
C
B ds =
NaleŜy obliczyć natęŜenie prądu płynącego przez kontur:
gęstość prądu j = I/(
π
R
2
). Prąd przez kontur I
C
=j
π
r
2
=I (r/R)
2
.
2
0
0
2
2
µ I
r
2πrB = µ I
B =
r .
R
2πR
⇒
Gdy r=R otrzymujemy znany wynik:
0
0
2
µ I
µ I
B =
R =
.
2πR
2πR
Solenoidy
Solenoid, w którym płynie prąd I.
Oś solenoidu leŜy w płaszczyźnie
Π
.
П
L
2R
Warunek: L>>R
Linie pola magnetycznego w solenoidzie
Przekrój solenoidu i wytworzonego w nim pola
magnetycznego otrzymany przy pomocy
płaszczyzny П przechodzącej przez oś solenoidu.
W punktach
bliskich zwojom
pole magnetycz-
ne jest bliskie
polu przewodów
prostoliniowych.
W tych punktach linie sił pola elektrycznego są
współśrodkowymi okręgami. Wewnątrz solenoidu i na
zewnątrz w punktach odległych od zwojów linie sił
pola magnetycznego są niemal równoległe. Gęste
wewnątrz (duŜy gradient B) i rozrzedzone na zewnątrz
(mały gradient B).
L
2R
Linia sił pola magnetycznego
wewnątrz rzeczywistego solenoidu
Silnie zmienne
pole magnetyczne
Słabo zmienne
pole magnetyczne
Idealny solenoid
W przypadku idealnego, długiego solenoidu całe
pole magnetyczne skoncentrowane jest wewnątrz
niego. Na zewnątrz solenoidu pole znika.
Zastosujemy twierdzenie Ampère’a. Wybierzemy
kontur całkowania abcd w formie prostokąta z
kierunkiem obiegu przeciwnym do wskazówek
zegara. Długość boku prostokąta || do granicy
solenoidu wynosi h. Kontur obejmuje obszar na
zewnątrz solenoidu – bez pola i obszar w jego
wnętrzu, gdzie B≠0.
Kontur całkowania
Pole magnetyczne wewnątrz
idealnego, długiego solenoidu
b
c
d
a
a
b
c
d
.
+
∫
∫
∫
∫
∫
Bds =
Bds
Bds +
Bds +
Bds
Na odcinku ab:
Bds.
⇒
B || ds
Bds =
Na odcinku bc:
0.
⊥
⇒
⋅
B
ds
B ds =
Na odcinku cd:
0.
⇒
⋅
B = 0
0 ds =
Na odcinku da:
w solenoidzie :
, po za solenoidem
0.
⊥
⇒
⋅
B
ds
B = 0
B ds =
Ostatecznie:
b
a
Bh
=
∫
∫
Bds =
Bds
Przyjmijmy, Ŝe gęstość zwojów wynosi n m
-1
.
Wybrany kontur obejmuje nh zwojów. NatęŜenie
prądów I
P
przechodzących przezeń równe jest Inh.
Z twierdzenia Ampère’a otrzymujemy
0 0
0
0
Bh = µ I = µ nhI
B = µ nI (idealny solenoid).
⇒
Wewnątrz dostatecznie długiego solenoidu pole
magnetyczne jest jednorodne i nie zaleŜy od jego
średnicy ani od długości.
b
a
Bh
=
∫
∫
Bds =
Bds
Solenoid nawinięty na okrąg nazywa się toroidem.
Toroid - wybór konturu Ampèra
B ds
B(2πr).
=
∫
∫
Bds =
W kaŜdym punkcie konturu:
|| d .
B
s
W twierdzeniu Ampère’a naleŜy uwzględnić
wszystkie zwoje. Niech N będzie ich liczbą
0
0 P
0
µ N I
2πrB = µ I = µ N I
B =
(idealny toroid) .
2πr
⋅
⋅
⇒
Przekrój idealnego toroidu. Linie sił pola B tworzą
współśrodkowe okręgi. Wybierzemy kierunek
przepływu prądu tak, aby linie sił pola skierowane
były przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Niech konturem całkowania będzie okrąg o
promieniu r, współśrodkowy z liniami sił pola.