Matura 2005
Matura 2005
Matura 2005
Matura 2005
Zadania dla poziomu rozszerzonego są wyróŜnione kursywą.
Z
Z
A
A
D
D
A
A
N
N
I
I
A
A
D
D
O
O
P
P
O
O
W
W
T
T
A
A
R
R
Z
Z
A
A
N
N
I
I
A
A
P
P
R
R
Z
Z
E
E
D
D
M
M
A
A
T
T
U
U
R
R
Ą
Ą
Zestaw VI Planimetria
Zadanie 1.
W trójkącie ABC, w którym kąt ACB jest prosty, a kąt ABC ma 60
°
, poprowadzono dwusieczną kąta
ABC, przecinającą
AC
w punkcie D. Następnie przez punkt D poprowadzono prostopadłą do pro-
stej AB, przecinającą ją w punkcie E. Uzasadnij, Ŝe:
a)
AC
ED
3
1
=
,
b)
E jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Zadanie 2.
Czworokąt KLMN, w który moŜna wpisać okrąg, ma obwód 26,4 cm. Bok KL tego czworokąta jest
krótszy od boku LM o 3,8 cm, natomiast bok
MN
jest dłuŜszy od boku ML o 6 mm. Oblicz dłu-
gości boków czworokąta KLMN.
Zadanie 3.
Wierzchołki czworokąta KLMN, wpisanego w okrąg o promieniu 12 cm, podzieliły ten okrąg na
łuki KN, NM, ML i LK, których długości są w stosunku 1 : 5 : 3 : 9. Oblicz:
a)
miary kątów wewnętrznych czworokąta,
b)
długość boku ML.
Zadanie 4.
Jeden z boków trójkąta ma długość 18 cm, kąty przy tym boku mają 30
°
i 45
°
. Oblicz pole i obwód
tego trójkąta.
Zadanie 5.
Mając dane koło K i prostą m (patrz rysunek), skonstruuj:
K
a)
koło K
′
m
b)
prostą m
′
tak, aby w przypadku a) figura złoŜona z prostej m oraz kół K i K
′
, zaś w przypadku b) z prostych m
i m
′
oraz koła K miała jednocześnie oś symetrii i środek symetrii. WskaŜ tę oś i ten środek.
Zadanie 6.
PrzedłuŜenia ramion KN i ML trapezu KLMN przecinają się w punkcie O. Mając dane:
5
=
KN
cm,
6
=
MN
cm,
4
,
4
=
ML
cm i
10
=
KL
cm, oblicz obwód trójkąta KOL.
Zadanie 7.
Krótsza podstawa trapezu równoramiennego ma długość 7 cm, przekątna tego trapezu ma długość
13 cm, a jeden z kątów wewnętrznych ma 120
°
. Oblicz:
a)
pole trapezu,
b)
pole koła opisanego na trapezie.
Zadanie 8.
Uzasadnij, Ŝe dla kaŜdej dodatniej liczby a trójkąt o bokach długości 2a cm, 3a cm i 4a cm jest trój-
kątem rozwartokątnym. Ile, w przybliŜeniu, stopni ma kąt rozwarty takiego trójkąta?
