Pole grawitacyjne
2
B
A
Mm
F G
r
F
F
gdzie:
M – ciało o masie M, źródło pola
m – ciało próbne o masie m, nie deformuje pola wytworzonego przez źródło
W otoczeniu każdego ciała przestrzeń posiada tę właściwość, że w każdym jej punkcie na ciało
próbne działa siła grawitacyjna. Mówimy, że każde ciało wytwarza
pole grawitacyjne.
W celu scharakteryzowania pola grawitacyjnego wprowadzamy wielkość, która nie zależy od ciała
próbnego, tzw.
natężenie pola grawitacyjnego
.
def
F
m
- definicja wielkości fizycznej
Wartość liczbowa
jest równa wartości siły działającej na punkt materialny o masie m = 1 kg
umieszczony w danym miejscu pola.
Kierunek jest taki, jak kierunek siły . W przypadku masy punktowej M (lub ciała w kształcie
kuli) ma kierunek radialny.
F
2
Mm
G
r
m
2
M
G
r
- prawo fizyczne
M
Pole centralne
linie sił pola
Zasada superpozycji pól
M
1
, M
2
– źródła pola
Natężenie pola grawitacyjnego
w punkcie P jest równe:
1
2
Przy powierzchni Ziemi:
k =3,4 x 10
-5
m/s
2
s =5,6 x 10
-3
m/s
2
z = 9,8 m/s
2
Dla niewielkich wysokości ponad Ziemią oraz dla niewielkiego obszaru powierzchni
Ziemi możemy przyjąć, że linie pola grawitacyjnego przebiegają równolegle.
pole jednorodne
const
W dużych odległościach od Ziemi (h duże względem R)
W pobliżu Ziemi dla h << R
2
(
)
M
G
R h
2
M
G
R
Pojęcie pracy
,
dl tak małe
elementarna
prace
że F const
dW
F
dl
def
AB
W
F dl
cos
W
Fs
Jeśli:
1.
= 0
W
F s
[ ] [
]
J
N m
3. = 90
o
W
F s
- jednostka pracy (def.)
2. = 180
o
- praca ujemna
W = 0
4. Jeśli na ciało działa wiele sił, to praca wykonana nad ciałem równa się sumie prac
poszczególnych sił.
1
2
1
2
...
...
n
n
dW
F dl
F dl
F dl
F F
F
F
dW
F dl
1
2
, , ... ,
n
F F
F
Praca siły grawitacyjnej
B
A
r
A B
g
r
W
F dl
dl
dr
2
B
A
B
A
r
A B
r
r
A B
r
Mm
W
G
dr
r
Mm
W
G
r
0
A B
B
A
Mm
Mm
W
G
G
r
r
Obliczymy pracę siły zewnętrznej przy przeniesieniu ciała z punktu
A do B.
z
g
F
F
dl
dr
180
dl
elementarne przesunięcie
2
( 1)
(
) (
)
0
B
A
B
A
B
A
r
A B
z
r
r
A B
r
r
A B
r
A B
B
A
A B
A
B
W
F dl
Mm
W
G
dr
r
Mm
W
G
r
Mm
Mm
W
G
G
r
r
Mm
Mm
W
G
G
r
r
Jeśli to
A
r
B
B
Mm
W
G
r
Praca siły zewnętrznej przy przenoszeniu ciała m z nieskończoności do dowolnego punktu
pola centralnego P wynosi:
P
P
Mm
W
G
r
energia potencjalna ciała m w punkcie B pola
Obliczmy wartość tej pracy przy przeniesieniu masy próbnej m = 1 kg.
B
P
W
M
G
m
r
Tę wielkość fizyczną, która definiujemy jako stosunek pracy wykonanej przez siłę
zewnętrzną przy przeniesieniu punktu materialnego o masie m = 1 kg z
nieskończoności do danego punktu P pola, nazywamy potencjałem w danym punkcie
pola (lub potencjałem danego punktu pola).
z
g
F
F
def
P
P
W
m
P
P
M
G
r
gdzie:
M – masa źródła pola
r
P
– odległość wybranego
punktu P pola od źródła pola
W przypadku np. dwóch źródeł pola M
1
i M
2
potencjał w punkcie P pola
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
M
G
r
M
G
r
M
M
G
G
r
r
B
A
W
m
W
m
2
2
2
Praca sił zachowawczych
'
'
'
'
A
A
B
B
A
A
B
B
r
r
r
r
'
'
0
0
B B
A A
W
W
' '
' '
0
AB
B A
ABA B
W
W
W
Pole grawitacyjne jest polem sił zachowawczych.
Praca sił zachowawczych po krzywej zamkniętej jest równa zero.
'
'
A
A
B
B
Związek między siłą grawitacji i potencjałem grawitacyjnym
Siły pola są
prostopadłe do
powierzchni
ekwipotencjalnych i
zwrócone są w
stronę malejącego
potencjału
(
)
A
B
grad
Gradient potencjału (grad
) jest to wektor, którego wartość jest równa szybkości
wzrostu potencjału w kierunku linii sił pola.
Wartość wektora grad
w tym przypadku równa się
d
dr
1
2
1
2
Wartość wektora grad
w tym przypadku równa się
d
dh
Praca siły ciężkości w polu jednorodnym
2
2
1
1
2
1
1
2
0
(
) (
)
0
h
h
h
h
dl
dh
W
mg dh
mgh
mgh
mgh
W
mgh
mgh
Praca równa się różnicy dwóch wyrażeń, które są
funkcjami wysokości (położenia). Wyrażenie mgh
nazywamy energią potencjalną ciężkości układu:
Ziemia-ciało.
p
mgh
Potrafimy określić przyrost
energii potencjalnej ciężkości
p
W
Praca wykonana przy konstrukcji układu
mas punktowych o zadanej konfiguracji.
Obliczamy pracę siły zewnętrznej przy przeniesieniu masy m
2
z na odległość r
12
do masy m
1
.
1
2
12
12
m m
W
G
r
Następnie obliczamy pracę przy przeniesieniu masy m
3
z na odległość r
13
do masy m
1
.
1
3
13
13
m m
W
G
r
Nie uwzględniając obecności masy m
1
obliczamy pracę przy przesunięciu masy m
3
z
na odległość r
23
do masy m
2
.
12
12
23
1
2
1
3
2
3
12
13
23
W W
W
W
m m
m m
m m
W
G
G
G
r
r
r
23
3
2
23
r
m
m
G
W
Praca siły sprężystości
Praca W równa jest różnicy dwóch wyrażeń, które są funkcjami
wychylenia ciała z położenia równowagi.
2
2
p
kx
energia potencjalna sprężystości
p
W
< 0
Praca siły F przy rozpędzaniu ciała o masie m od prędkości o wartości v
1
do prędkości o wartości v
2
.
2
2
(
)
2
2
dW
F dl
dp
F
dt
dp
dW
dl
dt
dl
dW
dp
dt
dW
d mv v
dW
m dv v mv dv
v
dW
m d
mv
dW
d
2
2
2
cos0
(
)
2
( ) 2
2
v v v v
v
d v v
v dv dv v
v dv
d v
v dv
v
d
v dv
Obliczenia pomocnicze:
Oznaczmy wyrażenie
Wyrażenie to nazwijmy energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v.
2
2
1
1
;
;
k
k
k
k
k
dW
d
W
d
W
W
2
2
2
1
2
2
mv
mv
W
Praca W jest równa różnicy dwóch wyrażeń, które są funkcjami prędkości.
Energia jest funkcją stanu
funkcją położenia
energia grawitacyjna
funkcją wychylenia
energia potencjalna sprężystości
funkcją prędkości
energia kinetyczna
k
mv
2
2
Zasada zachowania energii
W przypadku układu odosobnionego suma energii potencjalnej i kinetycznej jest stała.
0
z
F
p
k
const