Sprzężenie zwrotne w układach liniowych i nieliniowych 

 

Postać ogólna układu sterowania wygląda następująco: 

(1) 

{

 ̇          

          , gdzie 

      

 

                         

 

                    

 

                                 

Przy zadanym sterowaniu u(t) powyższe równanie daje zależny od czasu układ dynamiczny: 

 ̇    (       )          . 

Ważną klasę układów sterowania są tak zwane układy afiniczne: 

(2) 

{

 ̇          ∑

 

 

    

 

              

 

   

        

 

Są one ważne ze względu na to, że wiele układów spotykanych w praktyce ma właśnie takie równania 
(układy pochodzące z mechaniki Lagrange’owskiej), a także dlatego, że są one przybliżeniem układu 
(1). 

Składnik f(x) w równaniu (2) nazywamy dryfem, ponieważ opisuje on ruch układu przy zerowych 
sterowaniach.  

Przyjmując f(x) = Ax, g(x)=B oraz h(x) = Cx otrzymujemy liniowy układ sterowania: 

{

 ̇          

      

 

Wśród układów sterowanie można wyróżnić układ otwarty, czyli taki, w którym sygnał wejściowy nie 
zależy  od  aktualnej  wartości  sygnału  wyjściowego,  ponieważ  nie  występuje  sprzężenie  zwrotne,  a 
wynika jedynie z wewnętrznego stanu obiektu (przebieg sygnału następuje tylko w jednym kierunku, 
od  wejścia  do  wyjścia.  Innymi  słowy  w  układzie  nie  ma  połączenia  między  wyjściem  a  wejściem 
układu) oraz układ zamknięty, w którym przebieg sygnału następuje w dwóch kierunkach. Od wejścia 
do  wyjścia  przebiega  sygnał  realizujący  wzajemne  oddziaływanie  elementów,  natomiast  od  wyjścia 
do wejścia przebiega sygnał sprzężenia zwrotnego. 

Układ zamknięty z ujemnym sprzężeniem zwrotnym zwany też układem regulacji, jest pewnym dalej 
idącym usprawnieniem w porównaniu do sterowania w układzie otwartym lub sterowania w układzie 
ze sprzężeniem w przód. W praktyce na układ sterowania (sterowany obiekt i sterownik) oddziałują 
zakłócenia  zewnętrzne  ponadto  sam  obiekt  sterowany  wykazuje  pewną  zmienność  (przez  co 
ewentualny  jego  opis  albo model  nie  jest  zwykle  dokładny).  Dlatego  też  aby  poprawić  skuteczność 
sterowania  w  takich  warunkach  wprowadza  się  do  układu  sprzężenie.  Pewną  poprawę  sterowania 
(czasami wystarczającą) daje już sprzężenie w przód ale znacznie lepsze efekty przynosi zastosowanie 
sprzężenia zwrotnego (najczęściej jest to sprzężenie zwrotne ujemne). 

Zamknięta  ujemna  pętlą  sprzężenia  zwrotnego,  ma  właściwości  stabilizujące  i  linearyzujące.  Układ 
zamknięty, w porównaniu do układu otwartego, jest mniej czuły na zmiany wzmocnienia statycznego 
w układzie, powodując zmniejszenie uchybów statycznych (jeśli występują), jednak zbyt duża wartość 
współczynnika  wzmocnienia, może  spowodować niestabilność układów  wyższych rzędów. Poprawia 
parametry jakościowe odpowiedzi skokowej układu automatyki oraz lepiej sprawdza się w przypadku 
tłumienia nieznanych zakłóceń, których pojawienie się powoduje zmianę błędu regulacji, co skutkuje 
powstaniem odpowiedniego sygnału sterującego. 

Układy  sterowania  można  też  podzielić  ze  względu  na  inne  kryterium  na  wspomniane  już  układy 
liniowe,  które  można  opisać  za  pomocą  równań  liniowych  algebraicznych,  różniczkowych, 
różnicowych lub całkowych (układy liniowe spełniają zasadę superpozycji) oraz na układy nieliniowe, 
czyli  takie,  które  zawierają  przynajmniej  jeden  element  nieliniowy.  W  praktyce  każdy  układ  jest 
nieliniowy,  lecz  w  przybliżeniu  zakłada  się  jego  liniowość  lub  linearyzuje  się  jego  nieliniową 
charakterystykę.  Robi się  to  zwłaszcza  gdy  działanie  procesu  ogranicza  się  do  niewielkiego  obszaru 
wokół pewnego punktu pracy. 

Znana jest metoda linearyzacji układu poprzez sprzężenie zwrotne. Układ sterowania 



 nazywamy 

linearyzowalnym  przez  sprzężenie  zwrotne  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy 



  jest  równoważne  poprzez 

sprzężenie zwrotne układowi 



̇  . 



 



 

 

⇔  

̇

               

 

                                                         ) 

(     (               )    (    )                     (    )) 

 

̇         ̇                                 (               )                 

   (    )    (    )   

Linaeryzowalności poprzez sprzężenie zwrotne dotyczy twierdzenie Jakubczyka-Respondka: 

Załóżmy, że f(0)=0 oraz ze układ 



̇  jest sterowalny. 



 



 

 

⇔

̇  

1.       

   

        

2.   

 

                                          

 

                

3.  [ 

 

   

 

]    

 

                                                    

 

Kolejnym  zastosowaniem  sprzężenia  zwrotnego  znajdujemy,  gdy  chcemy  sprowadzić  układ  do 
postaci  kanonicznej  Brunovsky’ego,  czyli  postaci  kontrolowalności  dla  liniowych  układów 
sterowania. Postać ta jest następująca: 

 

Postać  ta  ma  wiele  zastosowań.  Zastosowanie,  które  poznaliśmy  dotyczy  postaci  układu  przy 
linearyzacji i odsprzęganiu wejściowo-wyjściowym. 

Równania układów sterowania o dwóch niezależnych sterowaniach mogą być również zapisane w 
postaci łańcuchowej: 

 

Istnieją  różne  algorytmy  (np.  Sordalena  czy  Astolfiego),  które  wymagają  podania  układu  właśnie  w 
taki sposób. Jedną z metod przekształcania układów do postaci łańcuchowej jest właśnie sprzężenie 
zwrotne.