Matematyka A, kolokwium, 28 kwietnia 2010, 18:00 – 19:55

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem

pisza

,

cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej

´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych

urza

,

dze´

n elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twier-

dzenia, kt´ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (10 pt.) Funkcja t

2

·cos t jest rozwia

,

zaniem jednego, dw´och a mo˙ze nawet trzech

r´owna´

n wypisanych ni˙zej:

x

(3)

(t) + 3x

0

(t) = 0 ,

x

(3)

(t) + 3x

0

(t) = −6 sin t − 2t

2

sin t ,

x

(3)

(t) + 3x

0

(t) = −6 cos t − 2t

2

cos t .

Kt´

orych? Odpowied´z nale˙zy dok ladnie uzasadni´c!

2. (10 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie r´ownania r´o˙zniczkowego

x

0

(t) −

t

1+t

2

x(t) =

t

1+t

2

spe lniaja

,

ce warunek pocza

,

tkowy x(0) = 0 .

3. (10 pt.)

Rozwia

,

za´c r´ownanie r´o˙zniczkowe

x

00

(t) − 2x

0

(t) + 5x(t) = −8e

t

sin(2t) + 5t .

4. (10 pt.) Znale´z´c rozwia

,

zanie r´ownania r´o˙zniczkowego

x

00

(t) + 8x

0

(t) + 16x(t) = 6te

−4t

+ 64te

4t

+ 16e

4t

+ 32 cos(4t) ,

kt´ore spe lnia warunek pocza

,

tkowy x(0) = 2 , x

0

(0) = −3 .

5. (10 pt.) Znale´z´c zbi´or z lo˙zony ze wszystkich liczb zespolonych z , dla kt´orych

istnieje taka liczba rzeczywista t , ˙ze

z =

1+ti
1−ti

.