1
Funkcja wymierna. Ułamki proste
Definicja
Funkcję wymierną
P (x)
Q(x)
, gdzie funkcje
P (x)
i
Q(x)
są wielomianami, nazywamy:
• ułamkiem właściwym, jeżeli
st.P (x) < st.Q(x)
,
• ułamkiem niewłaściwym, jeżeli
st.P (x) > st.Q(x)
.
Definicja
(Ułamków prostych)
• Funkcję wymierną postaci:
A
(ax + b)
n
,
gdzie
A, a, b
są stałymi rzeczywistymi a
n = 1, 2, . . .
, nazywamy
ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.
2
• Funkcję wymierną postaci:
Ax + B
(ax
2
+ bx + c)
n
,
gdzie
A, B, a, b, c
są stałymi rzeczywistymi,
n = 1, 2, . . .
a
ax
2
+ bx + c
jest trójmianem nierozkładalnym
(∆ < 0)
,
nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.
Twierdzenie Każdą funkcję wymierną będącą ułamkiem właściwym
można przedstawić w postaci skończonej sumy ułamków prostych
pierwszego lub drugiego rodzaju.
3
Przykład Rozłóż funkcję wymierną na ułamki proste, nie obliczając
odpowiednich stałych:
•
f (x) =
1
x
3
(x − 4)
•
f (x) =
2x − 5
(x + 4)
2
(x − 2) (x
2
+ 1)
•
f (x) =
3x
2
+ 2
x (3x + 2)
2
(x
2
+ 8) (x
2
+ x + 1)
2
4
Całkowanie ułamków prostych
• Ułamek prosty pierwszego rodzaju -
n = 1
Z
1
ax + b
dx =
1
a
ln | ax + b | + C
• Ułamek prosty pierwszego rodzaju -
n = 2, 3, . . .
Z
1
(ax + b)
n
dx =
1
a
(ax + b)
−n+1
−n + 1
+ C
5
• Ułamek prosty drugiego rodzaju -
n = 1
i
A = 0
Z
1
ax
2
+ bx + c
dx
Trójmian kwadratowy sprowadzamy do postaci kanonicznej a na-
stępnie, stosując odpowiednie podstawienie, całkę powyższą sprowa-
dzamy do całki
Z
1
1 + t
2
dt
Przykład
Z
1
x
2
− 2x + 5
dx
6
• Ułamek prosty drugiego rodzaju -
n = 1
i
A 6= 0
Z
Ax + B
ax
2
+ bx + c
dx
Całkę taką zapisujemy jako sumę, z odpowiednimi stałymi, całek
Z
2ax + b
ax
2
+ bx + c
dx
i
Z
1
ax
2
+ bx + c
dx
a następnie znanymi już metodami obliczmy je.
Przykład
Z
3x + 6
x
2
− 6x + 18
dx
7
Całkowanie funcji wymiernych
8
Przykład
Z
3x
2
− 13x + 18
x
3
− 6x
2
+ 9x
dx
Z
2x + 4
x
3
+ 4x
dx
Z
x
3
+ 2x
2
− x + 1
x
2
− 1
dx
9
Całkowanie funcji niewymiernych
Z
R
x ,
n
v
u
u
u
u
u
u
t
ax + b
cx + d
dx
ad − bc 6= 0
Podstawienie:
ax + b
cx + d
= t
n
Przykład
Z
x
2
3
3
√
x + 2
dx
10
Uwaga
Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej
x
i potęg wyrażenia
ax + b
cx + d
o wykładnikach postaci
m
n
, to wykonujemy podstawienie
ax + b
cx + d
= t
N , przy czym
N
jest wspólnym mianownikiem ułam-
ków
m
n
.
Przykład
Z
1
3
√
x +
√
x
dx
11
Z
R
x ,
s
ax
2
+ bx + c
dx
∆ = b
2
− 4ac 6= 0
• Wykorzystywane wzory:
Z
1
√
1 − x
2
dx = arcsin x + C
Z
1
√
x
2
± 1
dx = ln | x +
s
x
2
± 1 | + C
12
• Obliczanie całki postaci:
Z
1
√
ax
2
+ bx + c
dx
Przykład
Z
1
√
x
2
− 4x
dx
• Obliczanie całki postaci:
Z
Ax + B
√
ax
2
+ bx + c
dx
Przykład
Z
4x + 1
√
8 − 2x − x
2
dx
13
Przykład
Z
s
x
2
+ 1 dx
14
Całkowanie funcji trygonometrycznych
Z
R ( sin x , cos x ) dx
• Podstawienie ”uniwersalne”:
t = tg
x
2
sin x =
2t
1 + t
2
cos x =
1 − t
2
1 + t
2
dx =
2 dt
1 + t
2
Przykład
Z
1
1 + sin x
dx
15
• Podstawienie:
t = sin x
(można je skutecznie zastosować,
gdy funkcja wymierna
R(u, v)
jest nieparzysta ze względu na
v = cos x
)
Przykład
Z
cos
5
x dx
• Podstawienie:
t = cos x
(można je skutecznie zastosować,
gdy funkcja wymierna
R(u, v)
jest nieparzysta ze względu na
u = sin x
)
Przykład
Z
1
sin
3
x
dx
16
• Podstawienie:
t = tg x
sin
2
x =
t
2
1 + t
2
sin x cos x =
t
1 + t
2
cos
2
x =
1
1 + t
2
dx =
dt
1 + t
2
(można
je
skutecznie
zastosować,
gdy
funkcja
wymierna
R(sin x, cos x) = R
∗
(sin
2
x, cos
2
x, sin x cos x)
)
Przykład
Z
1
1 + 2 cos
2
x
dx
Z
tg
4
x dx