2
Wydano za zgodą Rektora
Materiały pomocnicze do zajęć z przedmiotów
„mechanika techniczna” i „mechanika ogólna”
dla studentów kierunków:
zarządzanie i inŜynieria produkcji, transport
nierecenzowane
W procesie wydawniczym pominięto
etap opracowania językowego.
Wersja elektroniczna materiałów
została przygotowana przez Autorów.
mechanika ogólna
statyka
kinematyka
dynamika
Wszelkie prawa zastrzeŜone.
ś
aden fragment publikacji nie moŜe być powielany
w jakiejkolwiek formie.
ISBN 978-83-7199-854-6
Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej
al. Powstańców Warszawy 12, 35-959 Rzeszów
e-mail: oficyna1@prz.rzeszow.pl
3
SPIS TREŚCI
STATYKA
Zadanie nr 1 ......................................................................................................................
5
Zadanie nr 2 ......................................................................................................................
9
Zadanie nr 3 ......................................................................................................................
13
Zadanie nr 4 ......................................................................................................................
17
Prawa tarcia
Zadanie nr 5 ......................................................................................................................
22
KINEMATYKA
Zadanie nr 6 ......................................................................................................................
26
Zadanie nr 7 ......................................................................................................................
29
Zadanie nr 8 ......................................................................................................................
33
DYNAMIKA
Zadanie nr 9 ......................................................................................................................
38
Zadanie nr 10 ....................................................................................................................
40
Zadanie nr 11 ....................................................................................................................
43
Zadanie nr 12 ....................................................................................................................
45
4
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
5
STATYKA
Zadanie nr 1
Wyznacz reakcje wi
ę
zów nało
Ŝ
onych na belk
ę
.
Dane: l [m];
α
[rad]; F [N].
Belka podparta w punkcie A współpracuje przegubowo z brył
ą
2 w punkcie B.
Rozwi
ą
zanie graficzne:
Z danych wynika,
Ŝ
e brył
ę
nr 2 mo
Ŝ
na potraktowa
ć
jako pr
ę
t lub ci
ę
gno.
W pierwszym kroku przyjmuje si
ę
układ odniesienia. Mamy do czynienia z układem
sił na płaszczy
ź
nie. Na belk
ę
działa 3 siły (reakcja podpory stałej w punkcie A,
reakcja pr
ę
ta w punkcie B i siła zewn
ę
trzna
). Układ b
ę
dzie w równowadze, gdy
b
ę
dzie spełniał twierdzenie o trzech siłach. Szukamy punktu zbie
Ŝ
no
ś
ci.
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
6
Poniewa
Ŝ
linie działania siły
i reakcji pr
ę
ta 2
przecinaj
ą
si
ę
w punkcie K, to aby
otrzyma
ć
układ sił zbie
Ŝ
nych linia działania reakcji podpory w punkcie A
musi
przecina
ć
punkt K.
Siły musz
ą
tworzy
ć
trójk
ą
t zamkni
ę
ty. Z warunku tego otrzymuje si
ę
zwroty reakcji w
punktach A i B (patrz rozwi
ą
zanie graficzne).
W przypadku wykonania rozwi
ą
zania graficznego w odpowiedniej skali, z pomiaru
długo
ś
ci wektorów sił
i
otrzymuje si
ę
warto
ś
ci tych
Ŝ
e reakcji (po uwzgl
ę
dnieniu
współczynnika skali).
Rozwi
ą
zanie analityczne:
W tym zadaniu do rozwa
Ŝ
enia jest równowaga statyczna belki 1, równowaga
statyczna pr
ę
ta 2 współpracuj
ą
cego dodatkowo z podpor
ą
stał
ą
w punkcie C.
Z poprzednich rozwa
Ŝ
a
ń
wiadomo,
Ŝ
e układ sił działaj
ą
cych na belk
ę
1 tworzy
zbie
Ŝ
ny układ sił.
Po uwolnieniu od wi
ę
zów otrzymuje si
ę
belk
ę
z układem sił zbie
Ŝ
nych oraz punkt
charakterystyczny C, na który działa reakcja pr
ę
ta 2
oraz reakcje podpory
i
.
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
7
Punkt C
Wprowadzamy k
ą
t
β
(k
ą
t pochylenia reakcji
do kierunku poziomego.
Równania równowagi statycznej układu sił działaj
ą
cych na belk
ę
1 (dwa równania):
1)
0
2)
0
Równanie równowagi pr
ę
ta 2:
3)
Równania równowagi statycznej punktu C (dwa równania):
4)
0
5)
0
Wyznaczamy warto
ść
k
ą
ta
β
w funkcji danych. Z porównania trójk
ą
tów prostok
ą
tnych
AKM i BKM b
ę
dzie:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
8
!
"!
Z powy
Ŝ
szych wielko
ś
ci wynika,
Ŝ
e
# $ 3$
co daje zale
Ŝ
no
ś
ci na k
ą
t
β
1
3 → 6* +, -
1
3 .
Z rozwi
ą
zania poszczególnych równa
ń
b
ę
dzie:
(1)
(2)
/
0
Po przekształceniach:
Wiadomo,
Ŝ
e
sin 4 *
czyli
sin 4 *
Po uwzgl
ę
dnieniu (1) b
ę
dzie:
sin 4 *
oraz:
(3)(4)
→
sin 4 *
(2)(5)
→
sin 4 *
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
9
Zadanie nr 2
Ułó
Ŝ
równania równowagi statycznej układu, nast
ę
pnie wyznacz reakcje wi
ę
zów
układu. Podaj charakter pracy pr
ę
tów.
Dane: układ pr
ę
towy opisany na sze
ś
cianie o boku a [m] F
1
, F
2
[N].
W punktach A i B pr
ę
ty współpracuj
ą
przegubowo, w pozostałych punktach pr
ę
ty
współpracuj
ą
z podporami stałymi.
Przyjmujemy układ współrz
ę
dnych. Uwalniamy od wi
ę
zów. Korzystnie jest przyj
ąć
taki sam charakter pracy wszystkich pr
ę
tów układu. Przykładowo zakładamy,
Ŝ
e
wszystkie pr
ę
ty pracuj
ą
na rozci
ą
ganie.
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
10
Otrzymujemy układy sił zbie
Ŝ
nych odpowiednio w punktach A, B, C, D, E. Dla
ka
Ŝ
dego takiego układu nale
Ŝ
y uło
Ŝ
y
ć
trzy równania równowagi statycznej.
Równowaga statyczna punktu A:
1)
√
2
2
7
0
2)
8
0
3)
9
:
√
2
2
7
0
Równowaga statyczna punktu B:
4)
√
2
2
"
0
5)
:
√
2
2
"
0
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
11
6)
9
;
0
Równowaga statyczna punktu C:
7)
0
8)
<
:
0
9)
9
=
0
Równowaga statyczna punktu D:
10)
>
√
2
2
"
0
11)
>
8
√
2
2
"
0
12)
9
=
>
0
Równowaga statyczna punktu E:
13)
?
√
2
2
7
0
14)
?
0
15)
9
=
?
;
√
2
2
7
0
Równowaga statyczna pr
ę
tów:
16)
;
:
:
;
"
"
;
;
;
;
8
8
;
7
7
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
12
W pierwszej kolejno
ś
ci wyznaczamy warto
ś
ci reakcji pr
ę
tów.
Rozwi
ą
zujemy wi
ę
c równania (1)-(6):
(3)
7
√2
:
- pr
ę
t
ś
ciskany
(2)
8
0
- pr
ę
t zerowy
(1)
√:
:
7
→
:
- pr
ę
t rozci
ą
gany
(6)
;
:
- pr
ę
t
ś
ciskany
(16)(4)
"
√2
→
"
√2
:
- pr
ę
t
ś
ciskany
(16)(5)
:
√:
:
"
→
:
:
- pr
ę
t rozci
ą
gany
W dalszej kolejno
ś
ci wyznaczamy składowe reakcji podpór. Rozwi
ą
zujemy równania
(7)-(15):
(7)
0
(16)(8)
:
(9)
=
0
(16)(10)
>
√
2
2
"
→
>
:
(16)(11)
>
8
√
2
2
"
→
>
:
(12)
=
>
0
(16)(13)
?
√:
:
7
→
?
:
- pr
ę
t
ś
ciskany
(14)
?
0
(16)(15)
=
?
;
√
2
2
"
→ =
?
:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
13
Zadanie nr 3
Ułó
Ŝ
równania równowagi statycznej układu, nast
ę
pnie wyznacz warto
ś
ci reakcje
wi
ę
zów nało
Ŝ
onych na układ.
Dane:
α
[rad],
β
[rad], l [m], M [Nm], q [N/m], F
1
[N], F
2
[N];
G
1
[N], G
2
[N], G
3
[N] - ci
ęŜ
ary własne.
Układ składa si
ę
z trzech ciał. Belka 1 jest podparta w punkcie C podpor
ą
ruchom
ą
i
współpracuje przegubowo z belk
ą
zakrzywion
ą
2. Belka 2 jest utwierdzona w punkcie
A. Do przegubu B przymocowana jest lina, na której zawieszony jest bloczek 3.
Układ sił działaj
ą
cych na belk
ę
1 i 2 stanowi płaski dowolny układ sił.
Przyjmujemy skald odniesienia i uwalniamy od wi
ę
zów. Obci
ąŜ
enia rozło
Ŝ
one
zamieniamy na siły skupione. Przyjmuje si
ę
jednorodny rozkład ci
ęŜ
aru na jednostce
długo
ś
ci w ka
Ŝ
dej belce.
@
A$
@
:
3
2 A$
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
14
Bryła 1:
W przypadku bryły 2 korzystnie jest rozło
Ŝ
y
ć
ci
ęŜ
ar na dwie składowe zaczepione w
ś
rodkach długo
ś
ci odcinków prostoliniowych belki.
Długo
ść
całkowita belki 2 wynosi 8l. Wprowadzamy wielko
ść
odzwierciedlaj
ą
c
ą
rozkład ci
ęŜ
aru bryły 2 na jednostk
ę
długo
ś
ci
B
C
D
E!
; musi by
ć
spełniony warunek
F
:
F
:
F
:
gdzie:
F
:
B5$ → F
:
5
8 F
:
F
:
B5$ → F
:
3
8 F
:
Bryła 2:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
15
Bryła 3:
Z uwolnienia od wi
ę
zów liny 3 pojawia si
ę
reakcja liny
"
działaj
ą
ca na przegub B.
Reakcj
ę
t
ą
przykładamy do jednej z brył (nie do obu jednocze
ś
nie), np. do bryły 1.
Równania równowagi statycznej sił działaj
ą
cych na brył
ę
1:
1)
0
2)
F
@
"
0
3)
I
I F
$
3
2 @
$ 2
$ 2
"
$ 0
4)
;
Równania równowagi statycznej sił działaj
ą
cych na brył
ę
2:
5)
@
:
:
0
6)
F
:
F
:
:
0
7)
I
2
$ 2F
:
$ I
4
$ 4F
:
$ 2@
:
$ 4
:
$ 3
:
$ 0
Równania równowagi statycznej sił działaj
ą
cych na brył
ę
3:
8)
"
F
"
0
Równowaga statyczna liny:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
16
9)
"
"
Rozwi
ą
zanie równa
ń
:
(9)(8)
"
F
"
(3)
1
2$ /I F
$
3
2 @
$ 2F
"
$0
(2)
1
-F
@
"
.
1
4 K2F
@
2I
$ L
(1)
4 K2F
@
2I
$ L
(4)(5)
@
:
:
4 K2F
@
2I
$ L @
:
:
(4)(6)
F
:
F
:
:
I
2$
1
2 F
3
4 @
F
"
F
:
:
(7)
I
2
$ 2F
:
$ 4
$ 4F
:
$ 2@
:
$ 4
:
$ 3
:
$
I
2
$
5
4 F
:
$ 2I 2F
$ 3@
$ 4F
"
$ 2@
:
$ 3
:
$
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
17
Zadanie nr 4
Ułó
Ŝ
równania równowagi statycznej układu, nast
ę
pnie wyznacz reakcje wi
ę
zów
układu.
Dane: płyta kwadratowa 1 o boku l [m] pochylona pod katem
α
[rad] do płaszczyzny
xy; M [Nm], G
1
[N], AD=l [m].
Poniewa
Ŝ
dany jest tylko ci
ęŜ
ar płyty 1 to brył
ę
2 traktujemy jako pr
ę
t.
Wprowadzamy wszystkie siły działaj
ą
ce i uwalniamy od wi
ę
zów.
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
18
Płyta 1 punkcie A swobodnie podparta, w punkcie B ło
Ŝ
ysko poprzeczne, w punkcie
C współpracuje przegubowo z pr
ę
tem 2.
W celu wyznaczenia rzutów reakcji pr
ę
ta
wprowadza si
ę
dodatkowe k
ą
ty
β
i
γ
.
Układ sił działaj
ą
cych na płyt
ę
1 stanowi przestrzenny dowolny układ sił, w punkcie D
mamy do czynienia z przestrzennym zbie
Ŝ
nym układem sił.
M
4
M
4
√2
2
Równania równowagi statycznej układu sił działaj
ą
cych na płyt
ę
:
1)
B 0
2)
B 0
3)
9
=
=
F
B 0
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
19
4)
I
=
$
1
2 F
$
$ B
$B √
2
2 I 0
5)
I
1
2 F
$
$B
$ B √
2
2 I 0
6)
I
9
$ √
2
2 I 0
Równowaga statyczna pr
ę
ta 2:
7)
Równania równowagi statycznej punktu D:
8)
>
B 0
9)
>
B 0
10)
9
=
>
B 0
Wyznaczamy wprowadzone k
ą
ty
β
i
γ
w funkcji danych.
Pierwszy trójk
ą
t (
ś
ciana dolna prostopadło
ś
cianu)
$
$
→ +, 4*
lub inne podej
ś
cie:
N
O P$
:
$
:
:
$P1
:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
20
$
$√1
:
1
√1
:
$
$√1
:
√1
:
Drugi trójk
ą
t
B
$ $
$√1
:
B
1
√1
:
→ B +, K
1
√1
:
L
lub inne podej
ś
cie:
QO P$
:
41 *
:
$
:
41
:
* $P1 2
:
1
:
QO $√3 2
B
$ $
$√3 2
1
√3 2
B
$√1
:
$√3 2
R
1
:
3 2
Reakcje wi
ę
zów:
(6)
√
2
2
I
$
(5)
$- B B .
1
2 F
$ √
2
2 I
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
21
F
$ √2I
2$- B B .
(4)
=
$
1
2 F
$ √
2
2 I
$-B B.
=
1
2 SF
√
2
$ I
B B
$- B B . TF
$ √2IUV
(3)
=
=
F
B
=
1
2 F
B
2$- B B . TF
$ √2IU
√2I
2$
(2)
B
B
2$- B B . TF
$ √2IU
(1)
B
√
2
2
I
$
B
2$- B B . TF
$ √2IU
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
22
Prawa tarcia
Zadanie nr 5
Wyznacz maksymaln
ą
warto
ść
momentu M, jak
ą
mo
Ŝ
na przyło
Ŝ
y
ć
do ciała 2, nie
naruszaj
ą
c równowagi statycznej układu.
Dane: r [m], f [m],
µ
, G
1
[N], G
2
[N], G
3
[N].
Szukane: Mmax
Zakładamy,
Ŝ
e ciało 2 wykazuje tendencj
ę
toczenia si
ę
bez po
ś
lizgu po równi
pochyłej.
Przyjmujemy układ odniesienia, wprowadzamy siły zewn
ę
trzne działaj
ą
ce i
uwalniamy od wi
ę
zów z uwzgl
ę
dnieniem warunków tarcia.
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
23
Przy zało
Ŝ
eniu,
Ŝ
e działa M=Mmax układ wykazuje tendencj
ę
poruszania si
ę
wszystkich ciał „do góry”. W obszarze współpracy ciała 1 z równi
ą
pochył
ą
wyst
ę
puje
tarcie posuwiste, w obszarze współpracy ciał 1 i 2 wyst
ę
puje tarcie posuwiste, w
obszarze współpracy ciała 2 z równi
ą
wyst
ę
puje tarcie toczne, w obszarze
współpracy liny z ciałem 4 wyst
ę
puje tarcie ci
ę
gna.
Kolejny etap to formułowanie równa
ń
równowagi statycznej układu.
Równania równowagi statycznej ciała 1 układu (na ciało działa trzy siły
nierównoległe)
1)
W
F
M
3 X
0
2)
X
F
M
3 W
0
3)
W
YX
;
W
YX
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
24
Równania równowagi statycznej ciała 2 układu (na ciało działa płaski dowolny układ
sił)
4)
W
:
F
:
M
3
:
X 0
5)
X
:
F
:
M
3 W 0
6)
I
I W, X
:
Z W
:
, 0
7)
W W
;
X X
K
ą
t opasania
[
\
7
; zale
Ŝ
no
ść
Eulera w tym przypadku wynosi:
8)
:
"
]
^_
Równowaga ci
ę
gna:
9)
:
:
"
"
Równowaga ciała 3 (przyjmujemy dodatkow
ą
o
ś
u):
10)
`
"
F
"
0
Wyznaczamy warto
ść
Mmax:
(6)
I W, X
:
Z W
:
,
Wiadomo,
Ŝ
e
\
"
√"
:
oraz
\
"
:
Po uwzgl
ę
dnieniu (7) (3) i pomno
Ŝ
eniu równania (2) przez
µ
układ równa
ń
(1) (2)
przyjmuje posta
ć
:
YX
√
3
2 F
X 0
YX
1
2 YF
Y
:
X 0
Z równa
ń
tych otrzymuje si
ę
:
F
a√
3 Y
2 b X41 Y
:
* 0
X √
3 Y
241 Y
:
* F
Dalej b
ę
dzie:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
25
(10)
"
F
"
(8)(9)
:
F
"
]
^
c
d
(4)
W
:
√
3
2 F
:
:
X
W
:
√
3
2 F
:
F
"
]
^
c
d
√
3 Y
241 Y
:
* F
(7)
W Y √
3 Y
241 Y
:
* F
(5)
X
:
1
2 F
:
W
X
:
1
2 F
:
Y √
3 Y
241 Y
:
* F
Po podstawieniu do (6) b
ę
dzie:
I Y √
3 Y
241 Y
:
* F
, a √
3 Y
241 Y
:
* YF
1
2 F
:
b Z
a √
3 Y
241 Y
:
* F
√
3
2 F
:
F
"
]
^
c
d
b ,
Po uporz
ą
dkowaniu otrzymuje si
ę
:
I
ef
√
3 Y
241 Y
:
* F
, Y √
3 Y
241 Y
:
* F
Z
1
2 F
:
T√3 ZU F
"
,]
^
c
d
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
26
KINEMATYKA
Zadanie nr 6
Dane s
ą
parametryczne równania ruchu punktu:
g4 * 2
h4 * 4
:
2
Wyznacz:
a) tor ruchu punktu,
b) pr
ę
dko
ść
chwilow
ą
,
c) współrz
ę
dn
ą
krzywoliniow
ą
(drog
ę
),
d) przyspieszenie chwilowe,
e) promie
ń
krzywizny.
Poka
Ŝ
te wielko
ś
ci graficznie dla chwili czasu t=1[s].
Ad. a) tor ruchu
Po podniesieniu do kwadratu pierwszego równania otrzymuje si
ę
:
g
:
4
:
I po podstawieniu do drugiego równania b
ę
dzie:
h 4g
:
2
Równanie toru ruchu punktu (krzywa to parabola „skierowana gał
ę
ziami do góry”)
Wyznaczamy poło
Ŝ
enie pocz
ą
tkowe (t=0[s])
g40* 0
;
h40* 2
;
i40* i
j
2
Ad. b)Pr
ę
dko
ść
chwilowa
i̅ l̅gm n̅hm
gm 2
;
hm 8
i Pgm
:
hm
:
i P4 64
:
lub
i 2P1 16
:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
27
Ad. c)Współrz
ę
dna krzywoliniowa (droga)
4 * o i4p*qp
r
j
2 o P1 16p
:
qp
r
j
Czyli po wykonaniu operacji całkowania b
ę
dzie:
4 *
1
4 s4
P1 16
:
ln s4 P1 16
:
u u
Ad. d) Przyspieszenie chwilowe:
+ l̅gv n̅hv
gv 0
;
hv 8
+ Pgv
:
hv
:
+ 8
Ad. e) Promie
ń
krzywizny:
w
i
:
+
+ +
x
+
+
:
+
x
:
+
:
+
:
+
:
+
x
:
+
x
qi
q
32
√1 16
:
+
:
64
432 *
:
1 16
:
+
:
64
1 16
:
w
441 16
:
*
E
√y7r
D
w
1
2 41 16
:
*
z
D
Dla chwili czasu t=1 [s]:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
28
g41* 2
;
h41* 2
;
i41* i
2√17
41*
1
4 T4√17 lnT4 √17U U
+41* +
8
+
x
32
√17
+
8
√17
w
1
2 417*
z
D
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
29
Zadanie nr 7
Wyznacz pr
ę
dko
ść
, współrz
ę
dn
ą
krzywoliniow
ą
(drog
ę
) oraz przyspieszenie punktu
M mechanizmu.
Dane:
,
2
3 , -|.,
,
:
4
3 , -|.
[ ~
– współrz
ę
dna k
ą
towa
p=const
Zakładamy współprac
ę
ciał bez po
ś
lizgu
Pr
ę
dko
ść
k
ą
towa ciała 1:
[m
~~
Z warunku współpracy bez po
ś
lizgu wynika,
Ŝ
e:
i̅
>
i̅
>
4*
i̅
>
4:*
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
30
i
>
i
>
4*
i
>
4:*
Ze wzgl
ę
du na ciało 1 b
ę
dzie:
i̅
>
4*
w̅
>
4*
i
>
4*
,
i
>
4*
2
3 ~,~
Ze wzgl
ę
du na ciało 2:
i̅
>
4:*
:
w̅
>
4:*
i
>
4:*
:
,
:
Z warunku współpracy bez po
ś
lizgu:
,
:
,
:
→
4
3 ,
:
2
3 ~,~
:
1
2 ~~
Pr
ę
dko
ść
punktu M:
i̅
:
w̅
i
:
,
:
i
2
3 ~,~
Współrz
ę
dna krzywoliniowa (droga):
4 * o i
4p*
r
qp
2
3 ~, o ~p
r
qp
4 *
2
3 ~, K
1
~ ~pL
j
r
Czyli:
4 *
2
3 , ~
Przyspieszenie punktu M:
+
+
x
+
+
x
̅
:
w̅
:
m
:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
31
:
1
2 ~
:
~
Znak minus wykorzystujemy do ustalenia zwrotu przyspieszenia wzgl
ę
dem pr
ę
dko
ś
ci
k
ą
towej.
+
x
:
,
:
+
x
2
3 ~
:
, ~
+
:
4
:
w̅
*
:
i̅
+
:
:
,
:
+
1
3 ~
:
,
:
~
+
:
+
:
+
x
:
+
R/
2
3 ~
:
, ~ 0
:
/
1
3 ~
:
,
:
~ 0
:
+
1
3 ~
:
,P4
:
~
;
~
+
x
+
:
"
~
:
, ~
"
~
:
,
:
~
2 ~
:
~
W dalszej kolejno
ś
ci wyznaczamy pozostałe parametry kinematyczne k
ą
towe ciał
oraz przyspieszenie liniowe punktu D mechanizmu:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
32
m
~
:
~
Znak minus informuje nas o zwrocie przyspieszenia przeciwnym wzgl
ę
dem pr
ę
dko
ś
ci
k
ą
towej.
[
:
o
:
4p*
r
j
qp
1
2 ~ o ~p
r
j
qp
1
2 ~ K
1
~ ~pL
r
[
:
1
2 ~
Przyspieszenie punktu D ciała 1:
+
>
4*
+
>x
4*
+
>
4*
+
>x
4*
̅
w̅
>
4*
;
+
>x
4*
,
;
+
>x
4*
:
"
~
:
, ~
+
>
4*
i̅
>
;
+
>
4*
:
,
;
+
>
4*
:
"
~
:
,
:
~
+
>
4*
s+
>
4*
u
:
s+
>x
4*
u
:
+
>
4*
2
3 ~
:
,P
:
~
;
~
Przyspieszenie punktu D ciała 2:
+
>
4:*
+
>x
4:*
+
>
4:*
+
>x
4:*
̅
:
w̅
>
4:*
;
+
>x
4:*
:
,
:
;
+
>x
4:*
:
"
~
:
, ~
+
>
4:*
:
i̅
>
;
+
>
4:*
:
:
,
:
;
+
>
4:*
"
~
:
,
:
~
+
>
4:*
s+
>
4:*
u
:
s+
>x
4:*
u
:
+
>
4:*
1
3 ~
:
,P4
:
~
;
~
Warunek współpracy bez po
ś
lizgu w odniesieniu do przyspieszenia przyjmuje posta
ć
:
s+
>
4*
u
x
s+
>
4:*
u
x
+
>x
4*
+
>x
4:*
oraz
+
>x
4*
+
>x
4:*
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
33
Zadanie nr 8
Wyznacz pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie pkt. D mechanizmu w poło
Ŝ
eniu chwilowym
pokazanym na rys.
1 – ciało w ruchu obrotowym
2 – ciało w ruchu płaskim
3 – ciało w ruchu post
ę
powym
Dane:
N , -|.; NQ Q;
K
,+q
L ;
√
3
3
:
Szukane:
i
>
,
+
>
Zaczynamy od punktu A
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
34
Ze wzgl
ę
du na ciało 1:
i
,
C
2
– chwilowy
ś
rodek obrotu ciała 2
Geometria układu:
M
3
N
→ 2,
M
3
N
→ N ,√3
(du
Ŝ
y trójk
ą
t)
M
3
O
:
→ O
:
4,
M
3
O
:
O
:
→ O
:
2,√3
NO
:
O
:
N → NO
:
3,
Ze wzgl
ę
du na ciało 2
i
:
∙ NO
:
→ i
3
:
,
3
:
,
, →
:
1
3
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
35
Pr
ę
dko
ść
punktu D:
i
>
:
QO
:
NQ √
3
2 ,
QO
:
P4NO
:
*
:
4NQ*
:
QO
:
R9,
:
3
4 ,
:
QO
:
√
39
2 ,
>
1
3
√39
2 ,
>
√
39
6
,
Przyspieszenie chwilowe punktu D:
Zaczynamy od punktu A:
+
+
x
+
+
x
,
+
x
√
3
3
:
,
+
:
,
+
P4+
x
*
:
4+
*
:
+
2√3
3
:
,
W dalszej kolejno
ś
ci szukamy przyspieszenia k
ą
towego ciała 2. Bierzemy pod uwag
ę
drugi punkt ciała 2, o którego ruchu co
ś
wiemy. Takim punktem jest punkt B (porusza
si
ę
ruchem post
ę
powym).
+
+
+
+
+
x
+
+
x
:
∙ N ?
+
x
√3
:
, ?
:
?
+
:
:
∙ N
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
36
+
/
1
3
0
:
√3,
+
√
3
9
:
,
Podstawowe równanie wektorowe przyspieszenia w punkcie B:
+
+
x
+
+
x
+
Znany jest kierunek przyspieszenia
+
i
+
x
natomiast nie znane s
ą
warto
ś
ci tych
przyspiesze
ń
.
Pozostałe przyspieszenia s
ą
znane co do kierunku i warto
ś
ci. Rzutujemy równanie
wektorowe dla
+
na osie układu xy.
4+
*
+
4+
x
+
*
M
3 4+
x
+
*
M
6
4+
*
0 4+
x
+
*
M
3 4+
x
+
*
M
6
W drugim z powy
Ŝ
szych dwóch równa
ń
wyst
ę
puje jedna niewiadoma. B
ę
dzie wi
ę
c:
+
x
M
3 +
M
3 4+
x
+
*
M
6
√3
:
, √
3
2
:
, √
3
2 a
√3
3
:
, √
3
9
:
,b
Po dalszych przekształceniach b
ę
dzie:
:
5√3
27
:
Warto
ść
przy
ś
pieszenia jest dodatnia, znaczy to,
Ŝ
e przyj
ę
ty zwrot
+
x
jest wła
ś
ciwy i
przy
ś
pieszenie k
ą
towe
:
ma przeciwny zwrot do pr
ę
dko
ś
ci k
ą
towej
:
.
W dalszej kolejno
ś
ci wyznaczamy przy
ś
pieszenie pkt. D
Metoda podstawowa, wykorzystujemy punkt A.
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
37
+
>
+
+
>
Podstawowe równanie wektorowe przyspieszenia w punkcie D:
+
>
+
x
+
+
>
x
+
>
+
>
x
:
NQ
;
+
>
x
8
E
:
,
+
>
:
:
NQ
;
+
>
√"
E
:
,
Nie znane jest tylko przyspieszenie w punkcie D. Przewidujemy je jako dwie
prostopadłe do siebie składowe. Rzutujemy równanie wektorowe dla
+
>
na osie
układu xy:
4+
>
*
+
>
4+
>
x
+
*
M
3 4+
x
+
>
*
M
6
4+
>
*
+
>
4+
>
x
+
*
M
3 4+
x
+
>
*
M
6
Po podstawieniu b
ę
dzie:
+
>
17
18
:
,
+
>
√
3
6
:
,
+
>
4+
>
*
:
T+
>
U
:
+
>
417*
:
T3√3U
:
3√2
:
,
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
38
DYNAMIKA
Zadanie nr 9
Ciało porusza si
ę
po równi pochyłej o k
ą
cie pochylenia
α
. Wyznacz czas potrzebny
do przebycia drogi s przez ciało. Warunki pocz
ą
tkowe zerowe.
Dane: m [kg],
α
[rad],
µ
– współczynnik tarcia, G [N] – siła ci
ęŜ
ko
ś
ci, F [N], s [m].
Warunki pocz
ą
tkowe zerowe:
g40* 0, i40* 0
Przyjmujemy układ odniesienia i wprowadzamy siły działaj
ą
ce.
F |
Formułujemy dynamiczne równania ruchu ciała. Ruch odbywa si
ę
na kierunku osi x:
1)
|gv F W
2)
|hv 0 X F
3)
W YX
W pierwszej kolejno
ś
ci wyznaczamy przyspieszenie ciała z równania (1).
Wyznaczamy wszystkie nieznane siły w równaniu (1).
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
39
(2)
X F
(3)
W YF
(1)
|gv F4 Y*
czyli b
ę
dzie:
gv
| 4 Y*
Otrzymali
ś
my równanie ró
Ŝ
niczkowe. Po scałkowaniu b
ę
dzie:
gm K
| 4 Y*L O
g
1
2 K
| 4 Y*L
:
O
O
:
gdzie
O
i
O
:
to stałe całkowania, które wyznaczamy z warunków pocz
ą
tkowych.
Warunki pocz
ą
tkowe zerowe:
g40* 0
gm40* 0L →
0 0 O
0 0 0 O
:
L → O
O
0
i ostatecznie b
ę
dzie:
g
1
2 K
| 4 Y*L
:
Ciało po jakim
ś
czasie
przeb
ę
dzie drog
ę
s czyli:
g4
*
1
2 K
| 4 Y*L
:
Czas przebycia zadanej drogi:
R
2
e
4 Y*
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
40
Zadanie nr 10
Wyznacz odległo
ść
z w jakiej nale
Ŝ
y ustawi
ć
chwytak aby punkt materialny o masie
m, poruszaj
ą
cy si
ę
zgodnie z zadanymi warunkami ruchu, trafił do chwytaka.
Dane: m [kg], µ,
α
[rad], k [N/m] – stała spr
ęŜ
yny, f [m] – ugi
ę
cie statyczne spr
ęŜ
yny,
H [m], h [m], l [m], g [m/s
2
] – przyspieszenie ziemskie.
Szukane: z=?
Zadanie rozwi
ąŜ
emy dwuetapowo. W pierwszym etapie opiszemy ruch masy w
prowadnicy z wykorzystaniem twierdzenia o energii dla punktu materialnego.
F |
Rozpatrujemy dwa poło
Ŝ
enia:
1 – punkt materialny rozpoczyna ruch,
2 – punkt materialny opuszcza prowadnic
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
i̅
:
, któr
ą
wyznaczymy.
Twierdzenie o energii:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
41
:
<:
0
- energia kinetyczna w pierwszym poło
Ŝ
eniu
:
:
|i
:
:
- energia kinetyczna w drugim poło
Ŝ
eniu
<:
:
Z
:
| W$
- praca przej
ś
cia z poło
Ŝ
enia 1 do poło
Ŝ
enia 2 wykonana
przez sił
ę
reakcji spr
ęŜ
yny, sił
ę
ci
ęŜ
ko
ś
ci i sił
ę
tarcia wynikaj
ą
c
ą
z ruchu po
chropowatym odcinku prowadnicy.
W celu wyznaczenia siły tarcia wprowadzamy dodatkow
ą
o
ś
u prostopadł
ą
do
chropowatego odcinka toru. Na kierunku osi u punkt materialny si
ę
nie przemieszcza,
b
ę
dzie wi
ę
c:
`
X F 0
W YX
czyli b
ę
dzie:
W YF Y|
Po wstawieniu do twierdzenia o energii b
ę
dzie:
1
2 |i
:
:
1
2 Z
:
| Y| $
co po przekształceniach mo
Ŝ
na doprowadzi
ć
do postaci:
i
:
:
| Z
:
2 4 Y$*
W kolejnym etapie opisujemy ruch punktu od momentu opuszczenia prowadnicy
(tzw. rzut uko
ś
ny) w układzie współrz
ę
dnych prostok
ą
tnych xy z wykorzystaniem II
prawa Newtona.
Warunki pocz
ą
tkowe bierzemy z poprzedniego etapu tzn.
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
42
g40* ; gm40* i
:
; h40* ; hm40* 0
Opór o
ś
rodka pomijamy, na mas
ę
działa tylko siła ci
ęŜ
ko
ś
ci G.
Dynamiczne równania ruchu punktu w układzie xy przyjmuj
ą
posta
ć
:
|gv 0
|hv |
po podzieleniu przez m b
ę
dzie:
gv 0
hv
Całkujemy powy
Ŝ
sze równania:
gm O
hm Q
g O
O
:
h
1
2
:
Q
Q
:
gdzie
O
,
O
:
,
Q
,
Q
:
to stałe całkowania, które wyznaczamy z warunków
pocz
ą
tkowych.
Warunki pocz
ą
tkowe:
i
:
O
0 0 Q
0 O
:
0 0 Q
:
czyli b
ę
dzie
O
i
:
Q
0
O
:
Q
:
i równania opisuj
ą
ce zjawisko przyjmuj
ą
posta
ć
g i
:
h
1
2
:
Do wyznaczenia pozostaje jeszcze odległo
ść
z.
Po czasie
b
ę
dzie
g4
* 0
i
h4
* #
co po wstawieniu do powy
Ŝ
szych równa
ń
daje zale
Ŝ
no
ś
ci
0 i
:
→ i
:
#
1
2
:
→
:
24 #*
czyli b
ę
dzie
R2 K
| Z
:
2 4 Y$*L
4 #*
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
43
Zadanie nr 11
Wyznacz reakcje w punkcie A układu.
Dane: r [m], m
1
[kg], m
2
[kg],
ε
1
[rad/s
2
]
Zało
Ŝ
enia:
- lina jest nierozci
ą
gliwa,
- ciało 2 porusza si
ę
na kierunku pionowym.
Przy tych zało
Ŝ
eniach układ posiada 1 stopie
ń
swobody. Do rozwi
ą
zania zadania
wykorzystamy twierdzenie o ruchu
ś
rodka masy układu.
Wprowadzamy siły działaj
ą
ce i uwalniamy od wi
ę
zów zewn
ę
trznych.
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
44
Ze wzgl
ę
du na ruch w płaszczy
ź
nie, b
ę
dzie:
|
gv
|
:
gv
:
g
|
hv
|
:
hv
:
h
F
F
:
Ś
rodek masy ciała 1 jest w punkcie A wi
ę
c:
hv
0
gv
0
Ciało 2 wykonuje ruch pionowy wi
ę
c:
gv
:
0
oraz
hv
:
,
b
ę
dzie wi
ę
c:
g
0
h
F
F
:
|
:
,
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
45
Zadanie nr 12
Kr
ąŜ
ek hamulca klockowego obraca si
ę
ze stała pr
ę
dko
ś
ci
ą
k
ą
tow
ą
ω
0
. W pewnym
momencie rozpoczyna si
ę
hamowanie kr
ąŜ
ka. Wyznacz czas hamowania.
Dane: m
1
[kg], m
2
[kg], R
1
=2r [m], r
1
=r, l[m],
ω
0
[rad/s], M [Nm], H [N] – siła hamuj
ą
ca,
µ,
β
[rad]
Ciało 1 jest w ruchu obrotowym, ciało 2 w ruchu post
ę
powym na kierunku pionowym,
d
ź
wignia 3 pozostaje w równowadze statycznej, układ posiada 1 stopie
ń
swobody.
Przyjmujemy układ współrz
ę
dnych i uwalniamy od wi
ę
zów.
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
46
F
|
F
:
|
:
Rozpoczynamy opis ruchu od momentu rozpocz
ę
cia hamowania.
Dynamiczne równania ruchu ciała 1:
1)
[v
I
:
, 2W,
2)
|
gv
0
W
3)
|
hv
0
F
X
:
4)
W YX
5)
W W
; X X
Dynamiczne równania ruchu ciała 2:
6)
|
:
hv
:
F
:
:
7)
:
:
Równania równowagi statycznej ciała 3:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
47
8)
W
0
9)
X
0
10)
I
X
$ 3$ 0
Zale
Ŝ
no
ś
ci kinematyczne:
11)
hm
:
,[m
:
hv
:
,[v
:
Moment bezwładno
ś
ci (wzór definicyjny):
1
2 |
,
:
W pierwszej kolejno
ś
ci wyznaczamy przyspieszenie k
ą
towe
[v
. W równaniu (1)
mamy dwie niewiadome, które wyznaczamy.
(6)(7)
:
F
:
|
:
hv
:
(11)
:
F
:
|
:
,[v
(10)(5)
X 3
(4)
W 3Y
(1)
1
2 |
,
:
[v
I 4F
:
|
:
,[v
*, 6Y,
1
2 4|
2|
:
*,
:
[v
I F
:
, 6Y,
Przyspieszenie k
ą
towe ciała 1:
[v
2-I F
:
, 6Y, .
4|
2|
:
*,
:
Po operacji całkowania b
ę
dzie:
[m
2-I F
:
, 6Y, .
4|
2|
:
*,
:
O
[
-I F
:
, 6Y, .
4|
2|
:
*,
:
:
O
O
:
dr in
Ŝ
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
48
Warunki pocz
ą
tkowe:
[
40* 0
[m
40*
j
j
0 O
0 0 O
:
L → O
j
O
:
0
Ostatecznie po uwzgl
ę
dnieniu stałych całkowania, b
ę
dzie:
[
-I F
:
, 6Y, .
4|
2|
:
*,
:
:
j
Wyznaczamy czas hamowania, czyli dla chwili czasu
, b
ę
dzie
[m
4
, * 0
, czyli
0
2-I F
:
, 6Y, .
4|
2|
:
*,
:
j
4|
2|
:
*,
:
2-I F
:
, 6Y, .
j
Od momentu rozpocz
ę
cia hamowania kr
ąŜ
ek opó
ź
nia czyli b
ę
dzie
4|
2|
:
*,
:
2-6Y, I F
:
,.
j
Warunek zatrzymania kr
ąŜ
ka
I F
:
, 6Y, 0
I F
:
, 6Y,
Warunek na warto
ść
siły hamuj
ą
cej:
I F
:
,
6Y,