Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
20-1
Wykład 20
20.
Elektrostatyka II
20.1
Obliczanie potencjału
RozwaŜmy np. róŜnicę potencjałów (napięcie) pomiędzy środkiem i powierzchnią
naładowanej powłoki kulistej.
PoniewaŜ E = 0 (wzdłuŜ drogi całkowania) więc
0
d
=
−
=
−
∫
B
A
A
B
V
V
r
E
tzn. w środku
i na powierzchni jest ten sam potencjał.
Z powyŜszego wzoru wynika, Ŝe
r
V
E
d
d
−
=
(20.1)
Przykład 1
Obliczyć potencjał V i pole E w odległości r od dipola ustawionego wzdłuŜ osi
x.
Moment dipolowy
p = qL i dodatkowo r >> L.
JeŜeli r >> L to punkt P jest odle-
gły od ładunku +q o:
[r – (1/2)Lcos
θ
]
oraz od –q o:
[r + (1/2)Lcos
θ
]
Całkowity potencjał jest sumą
θ
θ
2
2
cos
4
cos
cos
2
1
)
(
cos
2
1
L
r
qL
k
L
r
q
k
L
r
q
k
V
−
=
+
−
+
−
=
Dla r >> L otrzymujemy ostatecznie
3
2
cos
r
x
kp
r
p
k
V
=
≈
θ
)
1
cos
3
(
2
3
−
=
−
=
θ
∂
∂
r
kp
x
V
E
x
L
-q
+q
θ
r
P
y
x
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
20-2
θ
θ
∂
∂
sin
cos
3
3
r
kp
y
V
E
y
=
−
=
Teraz rozpatrzmy pole i róŜnicę potencjałów dla dwóch przeciwnie naładowanych płyt
o polu powierzchni S znajdujących się w odległości d od siebie. JeŜeli ładunki na pły-
tach wynoszą odpowiednio +Q i –Q to gęstości ładunków wynoszą Q/S i –Q/S.
∆
V = – Ed
Zgodnie z naszymi obliczeniami
∆
V =
σ
d/
ε
0
S
Qd
V
0
ε
=
∆
(20.2)
Na zakończenie zaznaczmy, Ŝe powierzchnia kaŜdego przewodnika jest powierzchnią
stałego potencjału (
powierzchnią ekwipotencjalną
).
20.2
Pojemność
Kondensator
- układ przewodników, który moŜe gromadzić ładunek elektryczny.
Definicja
pojemności
U
Q
V
Q
C
=
∆
=
(20.3)
Jednostka farad. 1F = 1C/1V.
Powszechnie stosuje się
µ
F, nF, pF.
Dla kondensatora płaskiego na podstawie (20.3) i (20.2)
d
S
U
Q
C
0
ε
=
=
(20.4)
20.3
Energia pola elektrycznego
Początkowo nie naładowany kondensator ładuje się od 0 do napięcia U. Wtedy ładu-
nek wzrasta od 0 do Q, gdzie Q = CU.
Praca zuŜyta na przeniesienie ładunku dq z okładki "–" na "+" wynosi
dW = Udq
Całkowita praca wynosi więc
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
20-3
C
Q
q
C
q
q
U
W
Q
Q
2
0
0
2
1
d
d
=
=
=
∫
∫
(20.5)
Dla kondensatora płaskiego
ES
Q
czyli
S
Q
E
0
0
,
ε
ε
=
=
Podstawiamy to do wzoru na energię i otrzymujemy
(
)
C
ES
W
2
2
0
ε
=
Podstawiając wyraŜenie na C dostajemy
Sd
E
W
2
2
0
ε
=
Sd - objętość kondensatora, więc
gęstość energii
w = W/Sd
2
0
2
1
E
w
ε
=
(20.6)
JeŜeli w jakimś punkcie przestrzeni jest pole E to moŜemy uwaŜać, Ŝe jest tam zmagazy-
nowana energia w ilości
2
0
2
1
E
ε
na jednostkę objętości
.
20.4
Dielektryki
RozwaŜaliśmy pole elektryczne od przewodników w próŜni.
Stwierdzamy, Ŝe umieszczenie materiału
nieprzewodzącego (dielektryka)
między okład-
kami kondensatora powoduje zwiększenie pojemności od wartości C do wartości C'.
C
C'
=
κ
gdzie
κ
jest
względną przenikalnością elektryczną
(stałą dielektryczną).
20.4.1
Dielektryki, pogląd atomistyczny
Dwie moŜliwości:
•
cząsteczki polarne np. H
2
O mające trwałe momenty dipolowe p
•
cząsteczki (atomy) mają indukowany (przez zewnętrzne pole E) moment dipolowy
(przykład z atomem wodoru - Wykład 19).
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
20-4
Przykład 2
Atom wodoru umieszczony w zewnętrznym polu E
0
.
Siła F = – eE
0
przesuwa chmurę elektronową o x
0
względem rdzenia (protonu). Wów-
czas atom ma moment indukowany p = ex
0
.
Pole w miejscu protonu
E = E
0
+ E
chmura
0
3
0
x
R
ke
E
E
−
=
PoniewaŜ proton (rdzeń) w połoŜeniu równowagi więc E = 0, skąd dostajemy
0
3
0
E
ek
R
x
=
Indukowany moment dipolowy jest zatem równy
0
3
0
E
k
R
ex
p
=
=
Elektryczne momenty dipolowe p dąŜą do
ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a mo-
menty indukowane są równoległe do pola.
Materiał w polu E zostaje
spolaryzowany
(ry-
sunek).
W rezultacie dodatni ładunek gromadzi się na
jednej, a ujemny na drugiej powierzchni die-
lektryka. Wewnątrz nie pojawia się Ŝaden ła-
dunek.
Indukowany ładunek powierzchniowy
q' pojawia się więc gdy dielektryk umieścimy
w polu elektrycznym.
Wybieramy powierzchnię Gaussa (linia przerywana).
ES=(q – q')/
ε
0
E = (q – q')/(
ε
0
S)
Pojemność takiego kondensatora
C
q
q
q
d
S
q
q
q
Ed
q
V
q
C
'
'
'
0
−
=
−
=
=
=
ε
Dzieląc przez C otrzymamy
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
20-5
'
'
q
q
q
C
C
−
=
=
κ
20.4.2
Dielektryki - rozwaŜania ilościowe.
JeŜeli kaŜda cząsteczka ma średni moment dipolowy
p skierowany zgodnie z polem
E i jeŜeli w dielektryku jest N cząsteczek to całkowity moment dipolowy p
całk
= N p
Z drugiej strony ładunek (indukowany) jest na powierzchni więc
p
całk
= q'd
Łącząc te wyraŜenia
q'd = N p
q'd = (nSd) p
gdzie
n jest ilością cząsteczek w jednostce objętości.
q' = nS p
Podstawiamy to do wzoru na
κ
p
nS
q
q
q
q
q
−
=
−
=
'
κ
Obliczyliśmy, Ŝe
0
3
0
E
k
R
ex
p
=
=
Podstawiając
E = (q – q')/(
ε
0
S)
S
q
q
R
S
q
q
k
R
p
'
4
)
'
(
3
0
3
−
=
−
=
π
ε
Wstawiając to do wyraŜenia na
κ
κ
π
π
π
κ
1
4
1
1
'
4
1
1
'
4
3
3
3
n
R
q
q
q
n
R
S
S
q
q
n
R
q
q
−
=
−
−
=
−
−
=
Obliczamy
κ
κ
= 1 + 4
π
nR
3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
20-6
20.5
Trzy wektory elektryczne
Przypomnijmy, Ŝe:
E
0
=
q/
ε
0
S
Pokazaliśmy, Ŝe wprowadzenie dielektryka zmniejsza pole elektryczne (indukowany
ładunek daje pole przeciwne do
E
0
)
E = (q – q')/(
ε
0
S)
lub
E = E
0
/
κ
=
q/(
ε
0
S
κ
)
Łącząc te równania dostajemy
S
q
S
q
S
q
0
0
0
'
ε
ε
κ
ε
−
=
MnoŜąc przez
ε
0
i przenosząc wyrazy otrzymujemy
S
q
S
q
S
q
'
0
0
+
=
κε
ε
Przepisujemy to równanie w postaci
D =
ε
0
E
+ P
(20.8)
D, E, P są wektorami odpowiednio:
indukcji elektrycznej, natęŜenia pola, polaryzacji
.
Na rysunku pokazane są odpowiednie wektory.
D - ładunek swobodny
ε
0
E - wszystkie ładunki
P - ładunek polaryzacyjny
+ + + + + + + + + + +
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+ + + + + + + + + + +
D
ε
0
E
P