Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie
V.1 Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu:
a) a
n
= 2n
− 1
b) a
n
=
n + 3
n!
c) a
n
=
n!
n(n + 1)
V.2 Oblicz (lub zapisz) c
1
, c
3
, c
2k
, c
n
−k
dla:
a) c
n
= 3
·2
n
b) c
n
=
3n
− 2
3
− 4n
c) c
n
=
1
− (−1)
n
n
d) c
n
=
(n
− 1)!(n + 1)!
(n!)
2
V.3 Napisz 3 i 5 wyraz ciągu określonego rekurencyjnie:
a) a
1
= 2,
a
n+1
= 3a
n
b) a
1
= 1,
a
n+1
=
1
3
(2a
n
+ 1)
c) a
1
= 4,
a
n+1
=
√
a
n
d) a
n
=
1
3
,
a
n+1
= 3
n
a
n
2
e) a
1
= 1,
a
n+1
= a
n
+ (
−1)
n
f) a
1
= 1,
a
n+1
=
2
n
n + 1
a
n
.
V.4* Znajdź wzór na a
n
dla ciągu określonego rekurencyjnie:
a) a
1
= 1,
a
n+1
= a
n
+ 1
b) a
1
= 2,
a
n+1
= a
n
c) a
1
= 1,
a
n+1
= a
n
+ 8n
d) a
1
= 2,
a
n+1
= 3a
n
+ 2n
− 1
e) a
1
=
−2, a
n+1
=
−a
n
.
V.5* Ciąg (a
n
) określony jest następująco:
a) a
1
=
1
2
,
a
n+1
=
a
n
2(n + 1)a
n
+ 1
. Wyznacz a
1
+ . . . + a
n
.
b) a
1
= 1,
a
1
+ 2a
2
+ . . . + na
n
= n(n + 1)a
n
, dla n
2. Wyznacz a
n
.
V.6 Wyznacz n-ty wyraz ciagu wiedząc, że suma S
n
wynosi:
a) S
n
=
3
2
n
2
−
1
2
n
b) S
n
= n
2
c) S
n
=
n
n + 1
V.7 Oblicz sumę wszystkich liczb nieparzystych od 1 do 99.
V.8 Zbadaj, czy podany ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Jeśli tak to wyznacz jego różnicę:
a) a
n
= 6n + 1,
b) b
n
=
n
− 1
n + 1
c) c
n
= n
√
2 + 2
d) d
n
= n
2
+ n + 1
V.9 Znajdź wzór na ogólny wyraz ciagu arytmetyczngo a
n
wiedząc, że:
a) a
1
= 5,
r = 7;
b) a
1
=
−2, r = 5;
c) a
2
=
1
2
,
a
3
=
1
4
;
d) a
3
=
−2,
a
3
+ a
5
=
−4.
V.10 Oblicz sumę S
n
ciągu arytmetycznego (a
n
):
1
a) a
1
= 1,
r = 3,
n = 12
b) a
1
= 100,
r =
−2, n = 50
c) a
1
=
−10, r = 5, n = 25
V.11 Wyznacz ciąg arytmetyczny, w którym:
a) S
4
= 12,
S
6
= 42
b) S
4
= a,
S
6
= b.
V.12 Ósmy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 37, zaś jedenasty wynosi 52. Oblicz wyraz dwudziesty oraz
sumę wyrazów od 5 do 15.
V.13 Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Przeciwprostokątna wynosi 30 cm.
Oblicz długości przyprostokątnych.
V.14 W pewnym ciągu arytmetycznym a
1
= 8, a
n
= 83, S
n
= 728. Oblicz n i różnicę r tego ciągu.
V.15* Udowodnić, że jeśli liczby dodatnie a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, to liczby
1
√
b +
√
c
,
1
√
c +
√
a
,
1
√
a +
√
b
także tworzą ciąg arytmetyczny.
V.16* Oblicz jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego, jeśli suma jego n początkowych wyrazów wyraża się
wzorem S
n
= 3n
2
+ 4n.
V.17* Utworzyć ciąg arytmetyczny o następujących własnościach: 1) pierwszy wyraz ciągu jest równy 1, a
ostatni 31, 2) suma wszystkich wyrazów od drugiego do przedostatniego włącznie jest 4 razy większa od sumy
dwóch największych z nich.
V.18 Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 21. Liczby te powiększone odpowiednio o 2, 3
i 9 utworzą ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
V.19 Jeśli podany ciąg jest geometryczny, to wyznacz jego iloraz:
a) 1, 3, 9, 27, . . .
b) 5, 5, 5, . . .
c)
−2, 4, −6, 8, −12, . . .
d)
√
3
2
,
1
2
,
√
3
6
, . . .,
e)
√
2,
−2, 2
√
2, . . ..
V.20 Wypisz 4 początkowe wyrazy ciągu geometrycznego, w którym
a) a
1
=
−2, q =
1
2
b) a
1
=
√
2,
q =
1
√
2
c) a
1
=
−4, q = −
1
2
d) a
1
=
1
√
2
,
q =
√
2.
V.21 Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego, w którym
a) a
1
= 12,
a
2
= 9
b) a
5
= 81,
a
7
= 729
c) a
3
=
−
√
2,
a
4
=
√
6
d) a
3
=
−
1
2
,
a
6
=
1
16
.
V.22 Wyznacz ciąg geometryczny (a
n
), w którym:
a)
{
a
4
− a
2
=
24
a
2
+ a
3
=
6
b)
{
a
6
=
4a
4
a
2
+ a
5
=
216
V.23 Oblicz sumę S
n
ciągu geometrycznego (a
n
), w którym:
2
a)
a
1
=
1
2
,
q =
√
2,
n = 8
b)
a
1
=
−1, q = −2, n = 6
c)
a
1
= 5,
q =
3
2
,
n = 5.
V.24 Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego wynosi 2, a iloraz jest równy 3. Oblicz piąty i siódmy wyraz tego
ciągu.
V.25 Dane są a
3
=
20
9
i a
5
=
80
81
dla pewnego ciągu geometrycznego. Obliczyć pierwszy wyraz oraz iloraz
tego ciągu.
V.26 W ciągu geometrycznym a
1
= 2 i q = 2. Obliczyć sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
V.27* Udowodnić, że suma odwrotności wszystkich wyrazów skończonego ciągu geometrycznego równa jest
sumie jego wszystkich wyrazów podzielonej przez iloczyn pierwszego i ostatniego wyrazu:
S =
S
n
a
1
a
n
,
S =
n
∑
i=1
1
a
i
.
V.28* Między liczby 32 i 500 wstawić liczby x i y tak, aby ciąg (32, x, y, 500) był ciągiem geometrycznym.
V.29 Dany jest ciąg geometryczny, w którym a
1
+ a
3
+ a
5
= 21, a
3
− a
1
= 3. Znaleźć ten ciąg.
V.30 Znaleźć ciąg geometryczny o pięciu wyrazach, w którym suma trzech początkowych wyrazów wynosi
7, zaś suma trzech końcowych wyrazów jest 28.
V.31 Oblicz sumy:
a)
x + x
2
+ x
3
+ . . . + x
n
b)
1 + x
2
+ x
4
+ . . . + x
2n
c*)
x + 2x
2
+ 3x
3
+ . . . + nx
n
.
V.32 Znaleźć cztery liczby, z których pierwsze trzy tworzą ciąg geometryczny, natomiast ostatnie trzy —
ciąg arytemtyczny. Suma liczb skrajnych wynosi 14, suma dwóch pozostałych wynosi 12.
V.33 Dane są dwa ciągi: arytemetyczny i geometryczny. Dwa pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego są
odpowiednio równe dwóm pierwszym wyrazom ciągu arytmetycznego. Trzeci wyraz ciągu geometrycznego
jest o 12 większy od trzeciego wyrazu ciągu arytmetycznego. Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest o 12
większy od pierwszego wyrazu ciągu geometrycznego. Znaleźć te ciągi.
V.34 Liczby x, y, z, u tworzą ciąg geometryczny. Wykazać, że: (x
2
+ y
2
+ z
2
)(y
2
+ z
2
+ u
2
) = (xy + yz + zu)
2
.
V.35* Ciągiem Fibonacciego nazywamy ciąg (a
n
) określony nastęująco: a
1
= a
2
= 1, a
n+2
= a
n+1
+ a
n
.
Udowodnić, że
a
n
=
1
√
5
[(
1 +
√
5
2
)
n
−
(
1
−
√
5
2
)
n
]
dla każdej liczby naturalnej n.
V.36* Wykazać, że jeśli ciąg a
n
= n
2
−5n+2, to wtedy ciąg b
n
= a
n+1
−a
n
+ 9 jest ciągiem arytmetycznym.
V.37 Wiedząc, że liczby x + y, x + 2y + 1, x
2
+ 4y + 3x są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego,
zbadaj dla jakich x
∈ R ciąg ten jest ciągiem rosnącym?
V.38 Dla jakich liczb rzeczywistych x ciąg (
√
13 + 2, x,
√
13
− 2) jest ciągiem geometrycznym?
V.39 Udowodnij, że jeśli drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią geometryczną wyrazu pierwszego i
czwartego, to wyraz szósty jest średnią geometryczną wyrazu czwartego i dziewiątego.
V.40 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a
n
oraz dwie liczby g i ϵ. Które wyrazy danego ciągu spełniają
nierówność:
|a
n
− g| < ϵ, gdy:
3
a) a
n
=
n
− 1
n
,
g = 1,
ϵ = 10
−3
b) a
n
=
2n
n
2
+ 1
,
g = 0,
ϵ = 2
·10
−3
c) a
n
= (
−1)
n
1
n
,
q = 0,
ϵ = 3
·10
−2
d) a
n
=
1
2
n
,
g = 0,
ϵ =
1
2
10
.
V.41* Wykaż, że liczba 0 jest granicą ciągu (a
n
):
a) a
n
=
−
2
n
b) a
n
=
(
−1)
n
n
c) a
n
=
3
n + 1
d) a
n
=
2n + 1
n
2
V.42* Udowodnij, że liczba g jest granicą ciągu (a
n
), jeśli:
a) a
n
=
2n
n + 1
,
g = 2
b) a
n
=
n
− 1
3(n + 1)
,
g =
1
3
c) a
n
=
n
2
+ n
− 1
n
2
− n + 1
,
g = 1.
V.43* Pokazać, że ciąg: a
n
= 1 + (
−1)
n
nie ma granicy.
V.44 Udowodnij twierdzenie o trzech ciągach:
Jeżeli lim
n
→∞
a
n
= lim
n
→∞
c
n
= g oraz istnieje liczba δ, taka, że dla każdego n > δ
a
n
¬ b
n
¬ c
n
, to lim
n
→∞
b
n
= g.
V.45 Znajdź granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a) lim
n
→∞
n
n + 1
b) lim
n
→∞
5n
− 3
7
− 5n
c) lim
n
→∞
n
2
− 1
3
− n
3
d) lim
n
→∞
(
6n
− 2
4n
− 7
)
3
e) lim
n
→∞
√
n + 2
−
√
n
f) lim
n
→∞
√
4n
2
+ 1
− 2n
g) lim
n
→∞
3
√
n
3
+ 4n
2
− n
h) lim
n
→∞
1 + 2 +
· · · + n
n
2
i) lim
n
→∞
1
2
+ 2
2
+
· · · + n
2
n
3
j) lim
n
→∞
3
· 2
2n+2
− 10
5
· 4
n
−1
+ 3
k) lim
n
→∞
1 + 3 + 6 +
· · · +
n(n+1)
2
n
3
l) lim
n
→∞
1
1
· 2
+
1
2
· 3
+
· · · +
1
n(n
− 1)
m*)
lim
n
→∞
1 +
2
2
+
3
2
2
+
4
2
3
+
· · · +
n
2
n
−1
V.46 Znajdź granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a) lim
n
→∞
1 + 5 + 5
2
+
· · · + 5
n
n
5
b) lim
n
→∞
n
√
10
n
+ 9
n
+ 8
n
c) lim
n
→∞
√
3n
2
+ 2n
− 5 − n
√
3
n
√
5
n
+ 7
n
+ 9
n
d) lim
n
→∞
(
1 +
1
n
)
n
e) lim
n
→∞
(
n + 3
n
)
3
f) lim
n
→∞
(
n + 12
6n
)
n
g) lim
n
→∞
(
1 +
13
n
)
2n
h) lim
n
→∞
(
n
2
+ 6
n
2
)
n
2
i) lim
n
→∞
(
1 +
1
n
2
)
n
j*)
lim
n
→∞
n(ln(n + 1)
− ln n)
k*)
lim
n
→∞
√
n +
√
n
−
√
n
−
√
n
l) lim
n
→∞
log
2
n
5
log
8
n
4
V.47 Zbadaj, czy podany szereg geometryczny jest zbieżny. Jeśli tak, to znajdź jego granicę:
a) 1
−
1
2
+
1
4
−
1
8
+ . . .
b) 3
− 9 + 27 − 81 + . . .
c)
1
√
2
+
1
√
3
+
√
2
3
+
2
3
√
3
+ . . .
d) 0.2 + 0.02 + 0.002 + . . .,
e)
4
3
+ 1 +
3
4
+ . . .
f)
√
3 + 1 +
1
√
3
+
1
3
+ . . ..
V.48 Dla jakich wartości x podany szereg geometryczny jest zbieżny:
a) x
− 3x
2
+ 9x
3
+ . . .
b) 1
−
1
x
+
1
x
2
−
1
x
3
+ . . .
c) 1 +
1
1 + x
+
1
(1 + x)
2
+ . . .
d) tg x + tg
2
x + tg
3
x + . . ..
V.49 Oblicz granicę:
a) lim
n
→∞
(
5
6
+
13
36
+ . . . +
2
n
+ 3
n
6
n
)
b) lim
n
→∞
(
7
12
+
25
144
+ . . . +
3
n
+ 4
n
12
n
)
.
V.50 Oblicz:
a) 1 +
√
2
2
+
1
2
+ . . .
b) 12 + 6 + 3 + . . .
c) 1
−
3
5
+
9
25
−
27
125
+ . . .
d)
√
2 + 2 + 2
√
2 + . . ..
V.51 Podany ułamek okresowy zamień na zwykły:
a) 0.(2)
b) 2.3(21)
c) 0.0(80)
d) 1.8(81).
V.52* W trójkąt równoboczny o boku a wpisanao koło, w to koło wpisano zanowu trójkąt równoboczny, a
w ten trójkąt znów wpisano koło itd. Oblicz sumę długości promieni i sumę pól otrzymanego nieskończonego
ciągu kół.
V.53* Dany jest kwadrat o boku a. Kwadrat ten rozcięto na dwa prostokąty o równych polach. Jeden z tych
prostokątów rozcięto następnie na 2 kwadraty, z których jeden rozcięto znowu na 2 prostokąty o równych
polach itd. Znajdź sumę tych wszystkich pól, korzystając z własności szeregu geometrycznego. (Pokazanie –
na przykładzie – słuszności wzoru na sumę ciągu geometrycznego).
V.54 Znajdź granicę funkcji (na podstawie definicji Heinego):
a) f (x) = 3x
2
− 5x
3
− 7 w punkcie 12.
b) f (x) =
x
2
− 4
x
− 2
w punkcie 2
c) f (x) =
x
3
− 27
x
− 3
w punkcie 3
d) f (x) =
x
− 3
x
− 7
w punkcie 4
V.55* Znaleźć granicę funkcji f (x) = sin x/x przy x dążącym do zera. Wynik przedstawić w sposób graficzny.
Jaki rodzaj nieciąglości posiada ta funkcja w punkcie x = 0? W jaki sposób można zbudować z tej funkcji
funkcję ciągłą?
V.56 Znajdź granicę funkcji w punkcie
a) lim
x
→1
(2x
− 1)
b) lim
x
→−1
(
−3x
2
+ 4x + 7)
c) lim
x
→1
x
3
+ 1
(x
− 20)
10
d) lim
x
→5
x
2
− 11x + 30
x
− 5
e) lim
x
→−3
x
2
− 9
x + 3
f) lim
x
→−2
x
2
+ 4x + 4
x + 2
5
g) lim
x
→0
sin(5x)
x
h) lim
x
→0
sin αx
sin βx
i) lim
x
→0
1
− cos x
x
2
j) lim
x
→0
sin
2
2x
sin
2
3x
k) lim
x
→0
6x
2
− 2x − 1
2x
3
− x
2
− 1
l) lim
x
→0
√
x + 1
− 1
x
m) lim
x
→2
x
− 2
√
x
−
√
2
n) lim
x
→0
√
x
2
+ 16
− 4
√
x
2
+ 25
− 5
o) lim
x
→0
tg x
x
p*)
lim
x
→1
1
− x
ctg(πx/2)
V.57 Znajdź granicę funkcji w nieskończoności
a) lim
x
→∞
√
x
2
− 3 − x
b) lim
x
→∞
√
x
2
− 6x + 9 − x + 3
c) lim
x
→∞
x
2
+ 1
2x
2
+ x + 1
d) lim
x
→∞
x
2
+ 4x
− 7
3x
2
− 2x + 3
e) lim
x
→∞
(
1 +
1
2x
)
3x
f) lim
x
→∞
(
x
2
− 2
x
2
)
5x
g) lim
x
→∞
(x
3
− 7x + π)
h)
lim
x
→−∞
(x
3
+ 2x
2
− 6x + 1)
i) lim
x
→∞
x
3
− 5x
2
+ 7x
− 8
3x
4
− 6x
2
− 10
j)
lim
x
→−∞
3x
3
− 10x
2
− 7x + 11
2x
2
− 12x
3
− 13x − 5
V.58 Zbadać granice jednostronne funkcji w punktach nie należących do dziedziny:
a) f (x) =
1
x
b) f (x) =
x
x
− 4
c) f (x) =
2
x + 2
d) f (x) =
1
x
− 1
e) f (x) =
12
− x
x
− 5
f) f (x) =
x
2
+ 2x
− 15
x + 5
g) f (x) =
2
x
2
− 1
h) f (x) =
−
1
(x + 1)
2
i) f (x) = e
1/x
V.59 Zbadać ciągłość funkcji na zbiorze
R
a) f (x) =
|x + 2|
x + 2
,
x
̸= −2
1,
x =
−2
b) f (x) =
x
2
+ x
x
2
− x
,
x
̸= 0, 1
−1,
x = 0
1,
x = 1
c) f (x) =
x
3
+ 2x
2
+ x + 2
x + 2
,
x
̸= −2
−5,
x =
−2
d) f (x) =
x(x + cos x)
x + sin x
,
x
̸= 0
0,
x = 0
V.60 Oblicz pochodną funkcji:
a) f (x) = x + 3
b) f (x) = x + 5
c) f (x) = x
− π
d) f (x) = x + 7
e) f (x) = 5
f) f (x) = e
g) f (x) = 2x
h) f (x) =
−5x
i) f (x) =
√
2x
j) f (x) = x
2
k) f (x) = x
3
l) f (x) = x
1
2
m) f (x) = x
3
2
n) f (x) = x
−2
o) f (x) = x
−5
p) f (x) = 2x
3
q) f (x) = 3x
2
r) f (x) = 5x
7
s) f (x) =
−10x
−2
t) f (x) = 9x
2
− 12x + 4
6
u) f (x) = x
3
− 9x
2
+ 27x + 27
v) f (x) = 49x
2
− 70x + 25
w) f (x) = (5
− 7x)
2
x) f (x) = (x
− 3)
3
y) f (x) = 8x
3
− 8x
2
+ 2x + 3
z) f (x) = (x + 2)
4
V.61 Oblicz pochodną funkcji
a) f (x) = tg x
b) f (x) = ctg x
c) f (x) = 2 sin x
d) f (x) = 3 cos x + π
e) f (x) = 5 tg x
− 7
f) f (x) =
−3 ctg x + 3
V.62 Oblicz pochodną funkcji:
a) f (x) = (x
− 1)(x
2
+ x + 1)
b) f (x) = x(x
− 2)(x − 3)
c) f (x) = x e
x
d) f (x) = x
2
2
x
e) f (x) = x
3
log(x) + 2x
2
log
2
(x)
f) f (x) = x cos x
g) f (x) = x
2
sin x + x tg x
h) f (x) = (x
2
− x + 1)(sin x + 3 cos x)
V.63 Oblicz pochodną funkcji:
a) f (x) =
x
− 1
x
b) f (x) =
x
x
− 1
c) f (x) =
x
2
x
− 1
d) f (x) =
x
x
2
− 1
e) f (x) =
x
3
x
− 2
f) f (x) =
x
− 3
x
− 2
g) f (x) =
5x
− 8
6x + 1
h) f (x) =
x log x
x
2
+ 1
i) f (x) =
x
2
(sin x + cos x)
x cos x
j) f (x) =
x
n
e
x
ln(x)
V.64 Oblicz pochodną funkcji złożonej:
a) f (x) = (x
2
+ 1)
10
b) f (x) = (x
3
+ x
2
− x − 2)
5
c) f (x) = sin(2x)
d) f (x) = cos(3x)
e) f (x) = tg(4x)
f) f (x) =
√
x
2
+ 1
g) f (x) = ln(x +
√
x
2
+ 1)
h) f (x) =
(
5x
− 8
6x + 1
)
3
i) f (x) =
(
16x
2
− 5x − 9
12x
− 7
)
4
j) f (x) = (3x
5
− 17x + 3)
3
− 7
k) f (x) = (3x
5
− 17x + 3)
13
− 7
l) f (x) =
4
√
4x
3
+ 2x
2
− π + x
2
−
√
9
m) f (x) =
x
2
√
x
2
− 1
(x
2
+ 1)
2
V.65 Oblicz pochodną funkcji złożonej
a) f (x) = tg 8x
b) f (x) = ctg 7x
c) f (x) = (sin x)
2
d) f (x) = (cos x)
3
e) f (x) = (tg x)
5
f) f (x) = 3(sin x)
4
g) f (x) =
1
7
(tg x)
2
h) f (x) = sin(x + 3)
i) f (x) = cos(x
2
− 3)
j) f (x) = tg(x
3
+ 7)
k) f (x) = ctg(3x
2
− 8x + 5)
7
V.66 Oblicz pochodną funkcji:
a) f (x) = 3x
2
sin
(
x + 3
x
− 1
+ 1
)
b) f (x) = [5x cos(x
2
− 1)]
2
c) f (x) =
√
7x tg
(
x
− 1
x + 2
)
d) f (x) =
1
x
2
ctg
x
2
e) f (x) = sin x cos x
f) f (x) = (sin x + cos x)
2
g) f (x) = sin x cos(x
− 3)
h) f (x) = sin(x
− 3) cos(x + 3)
i) f (x) = (ctg(x
2
− 7))
3
tg
3
(x
2
− 7)
j) f (x) = 2 ln x
2
k) f (x) = ln
x
x
− 1
l) f (x) = ln
2
x
m) f (x) =
√
ln(tg(sin(x
2
+ 1)))
V.67 Oblicz pochodną funkcji:
a) f (x) = a
2x
b) f (x) =
−5a
3x
c) f (x) =
√
8a
√
8x
d) f (x) =
√
3a
3x
e) f (x) = 3e
−3x
f) f (x) = 13e
3x
6
g) f (x) = x
x
h) f (x) = 2x
x
2
i) f (x) = x
tg x
j) f (x) = (sin x)
sin x
k) f (x) = tg x
x
V.68* Znajdź równania stycznych do okręgu o środku w punkcie (3, 2) i promieniu równym 4 dla punktów
okręgu o odciętej x = 4.
V.69* Znajdź kąt pomiędzy stycznymi do okręgu o środku w punkcie (4, 7) i promieniu równym 9 w punkcie
x = 6.
V.70 Znajdź styczną do wykresu funkcji:
a) f (x) = 2x
2
− 3x + 5 w punkcie x = 2
b) f (x) = e
x
−3
w punkcie x = 3
c) f (x) = 2 sin 2x w punkcie x = π
V.71 Znajdź ekstrema funkcji:
a) f (x) = 3x
2
− 5x + 7
b) f (x) =
−5x
2
+ 17x + 1
c) f (x) = 3x
4
− 5x − 7
d) f (x) = 5x
3
−12x
2
+5x+12
V.72 Znajdź punkt, w którym prosta styczna w tym punkcie do paraboli y =
1
2
x
2
jest równoległa do 2x
−
y + 3 = 0.
V.73 Określ przedziały monotoniczności funkcji
a) y = x
3
− 4x
2
+ 4x + 2
b) y =
x
2
x + 1
c) y =
x
4
x
3
− 1
d) y = x
2
e
−x
2
e) y = x
3
√
x + 2
x
− 1
V.74* Bieguny ogniwa o sile elektromotorycznej E i oporności wewnętrznej r połączono przewodnikiem o
oporności R. Zbadać dla jakiej wartości R moc na tej oporności jest największa.
V.75* Na danym kole opisać trapez równoramienny o najmniejszym polu.
V.76 Oblicz:
8
a)
∫
dx
b)
∫
xdx
c)
∫
(x + 1)dx
d)
∫
(x
2
− 3x + 5)dx
e)
∫
(2x
3
− 5x
2
+ 4x
− 1)dx
f)
∫
(x
4
−x
3
+
1
2
x
2
−5x−5)dx
g)
∫
(sin x + 2 cos x)dx
h)
∫
(cos x
− 3 sin x + x)dx
i)
∫
tg xdx
j)
∫
ctg xdx
k)
∫ (
5
x
+
2
x
2
)
dx
l)
∫
4
x
2
dx
m)
∫
−3
x
3
dx
n)
∫
(e
x
+ 2 tg x)dx
o)
∫
x
√
xdx
p)
∫
3
√
x
2
+ 2
4
√
x
√
x
dx
V.77 Oblicz stosując twierdzenie o całkowaniu przez części:
a)
∫
x sin xdx
b)
∫
x cos xdx
c)
∫
xe
x
dx
d)
∫
x
2
e
x
dx
e)
∫
x
3
e
x
dx
f)
∫
x ln xdx
g)
∫
x
5
ln xdx
h)
∫
e
x
sin xdx
i)
∫
e
x
cos xdx
V.78 Oblicz stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie:
a)
∫
8e
4x
dx
b)
∫
(17e
5x
− 7x
2
+ 1)dx
c)
∫
sin 2xdx
d)
∫
cos 5xdx
e)
∫
sin
(
1
2
x
)
dx
f)
∫
6 sin 7xdx
g)
∫
e
−x
dx
h)
∫
5 ln(3x)
3
dx
i)
∫
1
x
2
+ 9
dx
j)
∫
2x
x
2
+ 1
dx
k)
∫
1
x
− 1
dx
l)
∫
3x
x
2
− 3
dx
m)
∫
7
8x
− 12
dx
V.79* Oblicz:
a)
∫
sin
2
xdx
b)
∫
cos
2
xdx
c)
∫
3 sin 2x cos 2xdx
d)
∫
13dx
3x
2
− 15x − 42
e)
∫
(3x +
21
4
)
2x
2
+ 7x + 1
dx
f)
∫
1
− x
2
√
1
− x
2
dx
g)
∫
1
cos x
dx
h)
∫
sin
3
x + cos
3
x
sin
2
x
− sin x cos x + cos
2
x
dx
i)
∫
1
x
2
− 4
dx
j)
∫
1
x
2
+ 1
dx
k)
∫
1
x
2
− 16
dx
l)
∫
3x
4
− 5x − 7
12x
3
− 5
dx
9
m)
∫
7x
3
3x
2
− 5
dx
10
Odpowiedzi
V.1. a) a
1
= 1, a
2
= 3, a
3
= 5, a
4
= 7
b) a
1
= 4
, a
2
=
5
2
, a
3
= 1
, a
4
=
7
24
c) a
1
=
1
2
, a
2
=
1
3
, a
3
=
1
2
, a
4
=
6
5
V.2. a) c
1
= 6
, c
3
= 24
, c
2k
= 3 · 4
k
, c
n−k
= 3 · 2
n−k
b) c
1
= −1
, c
3
= −
7
9
, c
2k
=
6k−2
3−8k
, c
n−k
=
3(n−k)−2
3−4(n−k)
c) c
1
= 2
, c
3
=
2
3
, c
2k
= 0
, c
n−k
=
1−(−1)
n−k
n−k
d) c
1
= 2
, c
3
=
4
3
, c
2k
=
2k+1
2k
, c
n−k
=
n−k+1
n−k
V.3. a) a
3
= 18
, a
5
= 162
,
b) a
3
= 1
, a
5
= 1
c) a
3
=
√
2
, a
5
=
8
√
2
,
d) a
3
= 3
2
, a
5
= 3
4
e) a
3
= 1
, a
5
= 1
,
f) a
3
=
4
3
, a
5
=
128
15
V.4. * a)a
n
= n
b) a
n
= 2
c) a
n
= (2n − 1)
2
d) a
n
= 3
n
− n
e) a
n
= 2(−1)
n
V.5. * a) S
n
= 1 −
1
n+1
b) a
n
=
1
2n
a
n
V.6. a) a
n
= 3n − 2
b) a
n
= 2n − 1
c) a
n
=
1
n(n+1)
.
V.7. 2500
V.8. a) Tak, r=6,
b) nie,
c) tak, r =
√
2
,
d) nie
V.9. a) a
n
= −2 + 7n
, b) a
n
= −7 + 5n
, c) a
n
= 1 −
1
4
n
, d) a
n
= −2
V.10. a) S
n
= 210
b) S
n
= 2250
, c) S
n
= 1250
V.11. a) a
1
= −3
, r = 4
b) a
1
=
5
8
a −
b
4
, r =
b
6
−
a
4
V.12. a
20
=97, S
5−15
= 517
V.13. 18, 24, 30
V.14. n = 16 r = 5
V.15. * -
V.16. S
11
= 67
V.17. * a
1
= 1, r = 2
V.18. 18, 7, −4 lub 3, 7, 11
V.19. a) q = 3, b) q = 1, c) - , d) q =
√
3
3
, e) q = −
√
2
V.20. a) a
1
= −2,a
2
= −1, a
3
= −
1
2
,a
4
= −
1
4
, b) a
1
=
√
2,a
2
= 1, a
3
=
√
2
2
,a
4
=
1
2
,
c) a
1
= −4,a
2
= 2, a
3
= −1,a
4
=
1
2
, d) a
1
=
√
2
2
,a
2
= 1, a
3
=
√
2,a
4
= 2
V.21. a) q =
3
4
, b) q
1
= 3
, q
2
= −3
, c) q = −
√
3
, d) q = −
1
2
V.22. a) a
1
=
1
5
, q
1
= 5
b) a
1
= 12
, q
1
= 2
lub a
1
=
108
7
, q
2
= −2
V.23. a) S
8
=
−15
2
(
1−
√
2
) ,
b) S
6
= 21
, c) S
5
=
210
32
V.24. a
5
= 162 a
7
= 1458
V.25. a
1
= 5 q = −
2
3
lub
a
1
= 5 q =
2
3
V.26. S
10
= 2046
V.27. * S =
1
a
+
1
aq
+
1
aq
2
+ · · · +
1
aq
n−1
, sprowadzamy do wspólnego mianownika
V.28. * x = 80 y = 200
V.29. a
1
= 3, q =
√
2
lub
a
1
= 3, q = −
√
2
lub
a
1
= 1, q = 2
lub
a
1
= 1, q = −2
V.30. (1, 2, 4, 8, 16)
V.31. a) S
n
= x
1−x
n
1−x
b) S
n
=
1−x
2n+2
1−x
2
c) S
n
=
x−(n+1)x
n+1
+nx
n+2
(1−x)
2
V.32. (2, 4, 8, 12) lub (12.5, 7.5, 4.5, 1.5)
V.33. (3, 9, 15, ...) lub (3, 9, 27, ...)
V.34. x, y = xq, z = xq
2
, u = xq
3
, podstawiamy do równania, wymna»amy lew¡ stron¦, do prawej stosujemy
wzór na kwadrat sumy trzech skªadników, st¡d L=P
V.35. *-
V.36. * b
n+1
− b
n
= 2
V.37. r = a
2
− a
1
> 0
, r = a
3
− a
2
> 0
. . .
V.38. x = 3 lub x = −3
V.39. a
1
+ r = a
2
=
√
a
1
a
4
⇒ r = 0 ∨ r = a
1
a
1
+ 5r = a
6
=
√
a
4
a
9
V.40. a) n > 1000, c) n >
100
3
, d) n > 0
V.41. a) ∀ε > 0 ∃n
0
∀n ≥ n
0
|a
n
− 0| < ε ⇔
−
2
n
< ε ⇔ n >
2
ε
, np. n
0
=
h
2
ε
+ 1
i
V.42. -
V.43. a
2k
= 1 + (−1)
2k
→ 2
, a
2k−1
= 1 + (−1)
2k−1
→ 0
, st¡d ci¡g rozbie»ny
V.44. -
V.45. a) 1,
b) −1,
c) 0,
d)
27
8
,
e) 0,
f) 0 ,
g)
4
3
,
h)
1
2
,
i)
1
3
,
j)
48
5
,
k)
1
2
,
l) 1,
m) 4
V.46. a) ∞,
b) 10,
c)
1
9
√
3
,
d) e,
e) 1,
f) 0,
g) e
26
,
h) e
6
,
i) 1,
j) 1,
k) 1,
l) 15
V.47. a)
2
3
,
b) nie,
c)
3
2
√
2 +
√
3
,
d)
2
9
,
e)
16
3
,
f)
3
√
3+3
2
V.48. a) (−
1
3
,
1
3
) − {0}
,
b) (−∞, −1) ∪ (1, ∞),
c) (−∞, −2) ∪ (0, ∞),
d) (−
π
4
,
π
4
) − {0} + kπ
,
V.49. a)
25
17
, b)
49
59
V.50. a) 2 +
√
2
,
b) 24,
c)
5
8
,
d) ∞
V.51. a)
2
9
,
b) 2
53
165
=
383
165
,
c)
8
99
,
d) 1
97
110
=
207
110
V.52. S
r
=
√
3
3
a
, S
p
=
π
9
a
2
V.53. -
V.54. a) −8215, b) 4, c) 27, d) −
1
3
V.55. lim
x→0
sinx
x
= 1
, usuwalny
V.56. a) 1,
b) 0,
c)
2
(−19)
10
,
d) −1,
e) −6,
f) 0,
g) 5,
h)
α
β
,
i)
1
2
, j)
4
9
,
k) 1,
l)
1
2
,
m) 2
√
2
,
n)
5
4
,
o) 1,
p)
2
π
V.57. a) 0,
b) 0,
c)
1
2
,
d)
1
3
,
e) e
3
2
,
f) e
−10
x
= 1
,
g) ∞,
h) −∞,
i) 0,
j) −
1
4
V.58. a) lim
x→0
+
f (x) = ∞
, lim
x→0
−
f (x) = −∞
,
b) lim
x→4
+
f (x) = ∞
, lim
x→4
−
f (x) = −∞
,
c) lim
x→−2
+
f (x) = ∞
, lim
x→−2
−
f (x) = −∞
,
d) lim
x→1
+
f (x) = ∞
, lim
x→1
−
f (x) = −∞
,
e) lim
x→5
+
f (x) = ∞
, lim
x→5
−
f (x) = −∞
,
f) lim
x→−5
+
f (x) = −8
, lim
x→−5
−
f (x) = −8
,
g) lim
x→1
+
f (x) = ∞
, lim
x→1
−
f (x) = −∞
,
lim
x→−1
+
f (x) = −∞
, lim
x→−1
−
f (x) = ∞
,
h) lim
x→−1
+
f (x) = −∞
, lim
x→−1
−
f (x) = −∞
,
i) lim
x→0
+
f (x) = ∞
, lim
x→0
−
f (x) = 0
V.59. a) brak ci¡gªo±ci, b) x = 0 - funkcja ci¡gªa, x = 1 - brak ci¡gªo±ci,
c) brak ci¡gªo±ci,
d) brak ci¡gªo±ci
V.60. a) 1,
b) 1,
c) 1,
d) 1,
e) 0,
f) 0,
g) 2,
h) -5,
i)
√
2
,
j) 2x,
k) 3x
2
,
l)
1
2
√
x
,
m)
3
2
x
1
2
,
n) −2x
−3
,
o) −5x
−6
,
p) 6x
2
,
q) 6x,
r) 35x
6
,
s)
20
x
−3
,
t)18x-12,
u) 3x
2
− 18x + 27
,
v) 98x-70,
w) -14(5-7x),
x) 3 (x − 3)
2
,
y) 24x
2
− 16x + 2
,
z) 4 (x + 2)
3
V.61. a)
1
cos
2
x
,
b) -
1
sin
2
x
,
c) 2cos x,
d) -3sin x,
e)
5
cos
2
x
,
f)
3
sin
2
x
V.62. a) f
0
(x) = 3x
2
b) f
0
(x) = 3x
2
− 10x + 6
c) f
0
(x) = (x + 1)e
x
d) f
0
(x) = 2
x
(2x + x
2
ln 2)
e) f
0
(x) = 3x
2
log(x) + x
2
1
ln 10
+ 4x
2
log
2
(x) + 2x
1
ln 2
f) f
0
(x) = cos x − x sin x
g) f
0
(x) = 2x sin x + x
2
cos x + tg x +
x
cos
2
x
h) f
0
(x) = (2x − 1)(sin x + 3 cos x) + (x
2
− x + 1)(cos x − 3 sin x)
V.63. a) f
0
(x) =
1
x
2
b) f
0
(x) = −
1
(x−1)
2
c) f
0
(x) =
x
2
−2x
(x−1)
2
d) f
0
(x) = −
x
2
+1
(x
2
−1)
2
e) f
0
(x) =
2x
2
(x−3)
(x−2)
2
f) f
0
(x) =
1
(x−2)
2
g) f
0
(x) =
53
(6x+1)
2
h) f
0
(x) =
(log(ex))(x
2
+1)−2x
2
log x
(x
2
+1)
2
i) f
0
(x) = tg x +
x
cos
2
x
+ 1
j) f
0
(x) =
e
x
x
n−1
[(n+x) ln x−1]
ln
2
x
V.64. a) f
0
(x) = 20x(x
2
+ 1)
9
b) f
0
(x) = 5(x
3
+ x
2
− x + 2)
4
(3x
2
+ 2x − 1)
c) f
0
(x) = 2 cos(2x)
d) f
0
(x) = −3sin(3x)
e) f
0
(x) =
4
cos
2
(4x)
f) f
0
(x) =
x
√
x
2
+1
g) f
0
(x) =
1+
x
√
x2+1
x+
√
x
2
+1
h) f
0
(x) =
15(5x−8)
2
(6x+1)
3
−
18(5x−8)
(6x+1)
4
i) f
0
(x) =
4(32x−5)(16x
2
−5x−9)
3
(12x−7)
4
−
48(16x
2
−5x−9)
4
(12x−7)
5
j) f
0
(x) = 3(3x
5
− 17x + 3)
2
(15x
4
− 17)
k) f
0
(x) = 13(3x
5
− 17x + 3)
12
(15x
4
− 17)
l) f
0
(x) =
1
4
(4x
3
+ 2x
2
− π)
−
3
4
(12x
2
+ 4x) + 2x
m) f
0
(x) =
2x
√
x
2
−1
(x
2
+1)
2
+
x
3
(x
2
+1)
2
√
x
2
−1
−
4x
3
√
x
2
−1
(x
2
+1)
3
V.65. a) f
0
(x) =
8
cos
2
8x
b) f
0
(x) = −
7
sin
2
7x
c) f
0
(x) = 2 sin x cos x = sin 2x
d) f
0
(x) = −3 cos
2
x sin x
e) f
0
(x) = 5 tg
4
x
1
cos
2
f) f
0
(x) = 12 sin
3
x cos x
g) f
0
(x) =
2
7
tg x
1
cos
2
x
h) f
0
(x) = cos(x + 3)
i) f
0
(x) = −2x sin(x
2
− 3)
j) f
0
(x) =
3x
2
cos
2
(x
3
+7)
k) f
0
(x) = −
6x−8
sin
2
(3x
2
−8x+5)
V.66. a) 6x sin
x+3
x−1
+ 1
−
12x
2
(x−1)
2
cos
x+3
x−1
+ 1
,
b) 10x cos(x
2
− 1) (5 cos (x
2
− 1) − 10 sin (x
2
− 1))
,
c)
1
2
q
7xtg
(
x−1
x+2
)
7tg
x−1
x+2
+
7x
(x+2)
2
cos
2
(
x−1
x+2
)
d) −
2
x
3
ctg
x
2
−
1
2x
2
sin
2 x
2
e) cos
2
x − sin
2
x
f) 2
cos
2
x − sin
2
x
g) cos x cos (x − 3) − sin x sin (x − 3),
h) cos (x − 3) cos (x + 3) − sin (x − 3) sin (x + 3),
i) 6x
h
ctg(x
2
−7)
cos
2
(x
2
−7)
−
tg(x
2
−7)
sin
2
(x
2
−7)
i
,
j)
4
x
,
k)
−1
x(x−1)
,
l)
2
x
ln x
,
m)
1
2
√
ln(tg(sin(x
2
+1)))
·
2x cos(x
2
+1)
tg(sin(x
2
+1))·cos
2
(sin(x
2
+1))
V.67. a) 2a ln (2x),
b) −15a ln (3x),
c) 8a ln
√
8x
, d)
9a ln(3x)
2
√
3a
3x
,
e)−9e
−3x
,
f) 234x
5
e
3x
6
,
g) x
x
(ln x + 1)
h) 2x
x
2
(2x ln x + x)
,
i) x
tgx
1
cos
2
x
ln x +
1
x
tgx
,
j) (sin x)
sin x
cos x (ln (sin x) + 1)
,
k) (tgx)
x
ln tgx + x
1
sin x cos x
V.68. y
1
=
√
15
15
x + 2 −
√
15 −
4
√
15
15
,
y
2
= −
√
15
15
x + 2 +
√
15 +
4
√
15
15
V.69. Schemat rozwi¡zania: równania stycznych:y
1
= tgα
1
x + b
1
, y
2
= tgα
2
x + b
2
, α = α
2
− α
1
V.70. a) y = 5x − 3, b) y = x − 2, c) y = 4x − 4π
V.71. a) x =
5
6
- minimum
b) x =
17
10
- maksimum
c) x =
3
√
90
6
- minimum
d) x =
4
5
−
√
69
15
- maksimum, x =
4
5
+
√
69
15
- minimum
V.72. P = (2, 2)
V.73. a) rosn¡ca (−∞,
2
3
) ∪ (2, ∞)
, malej¡ca (
2
3
, 3)
,
b) rosn¡ca (−∞, −2) ∪ (0, ∞), malej¡ca (−2, −1) ∪ (−1, 0),
c) rosn¡ca (−∞, 0) ∪ (
3
√
4, ∞)
, malej¡ca (0, 1) ∪ (1,
3
√
4)
,
d) rosn¡ca (−∞, −1) ∪ (0, 1), malej¡ca (−1, 0) ∪ (1, ∞),
e) rosn¡ca (−∞, −2) ∪ (−
√
2, 1) ∪ (
√
2, ∞)
, malej¡ca (−2, −
√
2) ∪ (−1,
√
2)
V.74. R = r
V.75. a + b = c + d, kwadrat o boku 2r
V.76. a) F (x) = x + C,
b) F (x) =
1
2
x
2
+ C
,
c) F (x) =
1
2
x
2
+ x + C
,
d) F (x) =
1
3
x
3
−
3
2
x
2
+ 5x + C
,
e) F (x) =
1
2
x
4
−
5
3
x
3
+ 2x
2
− x + C
,
f) F (x) =
1
5
x
5
−
1
4
x
4
+
1
6
x
3
−
5
2
x
2
− 5x + C
,
g) F (x) = 2sin(x) − cos(x) + C,
h) F (x) = sin(x) + 3cos(x) +
1
2
x
2
+ C
,
i) F (x) = −ln|cos(x)| + C,
j) F (x) = ln|sin(x)| + C
k) F (x) = 5ln|x| −
2
x
+ C
l) F (x) = −
4
x
+ C
,
m) F (x) =
3
2
x
−2
+ C
,
n) F (x) = e
x
− 2ln|cos(x)| + C
,
o) F (x) =
2
5
x
5
2
+ C
,
p) F (x) =
6
7
x
7
6
+
8
3
x
3
4
V.77. a) F (x) = sin(x) − xcos(x) + C b) F (x) = cos(x) + xsin(x) + C
c) F (x) = e
x
(x − 1) + C
d) F (x) = e
x
(x
2
− 2x + 2) + C
e) F (x) = e
x
(x
3
− 3x
2
+ 6x − 6) + C
f) F (x) =
x
2
2
ln x −
x
2
4
+ C
g) F (x) =
x
6
6
ln x −
x
6
36
+ C
h) F (x) =
1
2
e
x
[sin(x) − cos(x)] + C
i) F (x) =
1
2
e
x
[sin(x) + cos(x)] + C
V.78. a) F (x) = 2e
4x
+ C
b) F (x) =
17
5
e
5x
−
7
3
x
3
+ x + C
c) F (x) = −
1
2
cos 2x + C
d) F (x) =
1
5
sin 5x + C
e) F (x) = −2 cos
x
2
+ C
f) F (x) = −
6
7
cos 7x + C
g) F (x) = −e
−x
+ C
h) F (x) = 5(x ln(3x)
3
− 3x) + C
i) F (x) =
1
3
arc tg
x
3
+ C
j) F (x) = ln(x
2
+ 1) + C
k) F (x) = ln |x − 1| + C
l) F (x) =
3
2
ln |x
2
− 3| + C
m) F (x) =
7
8
ln |8x − 12| + C
V.79. a) F (x) =
x
2
−
sin 2x
4
b) F (x) =
x
2
+
sin 2x
4
c) F (x) = −
3
8
cos 4x
d) F (x) =
13
27
ln
x−7
x+2
e) F (x) =
3
4
ln(2x
2
+ 7x + 1)
f) F (x) =
arc sin x
2
+
x
√
1−x
2
2
g) F (x) = ln(tg(
x
2
+
π
4
))
h) F (x) = cos x − sin x
i) F (x) =
1
4
ln
x−2
x+2
j) F (x) = arc tg x
k) F (x) =
1
8
ln(
x−4
x+4
)
l) F (x) =
m) F (x) =
35
18
ln(3x
2
− 5) +
7x
2
6