Interpretacje układów równań liniowych
1. Interpretacja wektorowa
RozwaŜamy układ m równań liniowych o n niewiadomych:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
.
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
Definiujemy wektory:
1
w
,
2
w
,
3
w
, … ,
m
w
, gdzie
i
w
= [a
i1
, a
i2
, a
i3,
…, a
in
] dla i = 1, 2,
…, m oraz wektor
x
= [ x
1
, x
2
, x
3
, … , x
n
] .
Przy tych oznaczeniach powyŜszy układ równań moŜemy zapisać:
=
=
=
→
→
→
→
→
→
m
m
b
x
w
b
x
w
b
x
w
o
o
o
.........
2
2
1
1
Rozwiązać dany układ równań, to wyznaczyć wektor
→
x
, który kolejno mnoŜony skalar-
nie przez wektory
→
i
w
daje ciąg liczb: b
1
, b
2
, …, b
m
.
Jeśli wektor
→
b
= [b
1
, b
2
, …, b
m
] jest wektorem zerowym (
→
b
=
→
0
) zaś wektory
→
i
w
są nieze-
rowe, to wektory
→
i
w
,
→
x
są wektorami prostopadłymi (bo ich iloczyny skalarne są zero).
W tym przypadku rozwiązanie danego układu równań liniowych sprowadza się do poszuki-
wania wektora
→
x
jednocześnie prostopadłego do kaŜdego wektora
1
w
,
2
w
,
3
w
, … ,
m
w
.
2. Interpretacja geometryczna
Definicja
W układzie współrzędnych kartezjańskich zbiór wszystkich punktów X ( x
1
, x
2
, x
3
, … , x
n
)
przestrzeni R
n
spełniających równanie A
1
x
1
+ A
2
x
2
+ A
3
x
3
+ … + A
n
x
n
+ A
0
= 0, o ile choć
jedna z liczb A
1
, A
2
, …, A
n
jest róŜna od zera, nazywamy hiperpłaszczyzną. Mówimy wów-
czas, Ŝe równanie A
1
x
1
+ A
2
x
2
+ A
3
x
3
+ … + A
n
x
n
+ A
0
= 0 jest równaniem tej hiperpłasz-
czyzny.
Dany układ równań liniowych wyznacza zatem układ m hiperpłaszczyzn, których rów-
nania są równaniami danego układu równań.
Rozwiązać ten układ równań w sensie geometrycznym, to wyznaczyć zbiór punktów
przestrzeni R
n
naleŜących jednocześnie do kaŜdej z hiperpłaszczyzn określonych danymi
równaniami układu.
Przyjmijmy, np., Ŝe A
k
≠
0, wtedy równanie A
1
x
1
+ A
2
x
2
+ A
3
x
3
+ … + A
n
x
n
+ A
0
= 0
moŜemy zapisać następująco:
A
1
(x
1
– 0) + A
2
(x
2
– 0) + A
3
(x
3
– 0) + … A
k
(x
k
– (-
k
A
A
0
) ) + …. + A
n
(x
n
– 0) = 0.
Stąd wnioskujemy, Ŝe wektor [A
1
, A
2
, A
3
, …, A
n
] jest prostopadły do tej hiperpłaszczy-
zny, która przechodzi przez punkt o współrzędnych (0, 0, 0, …, -
k
A
A
0
, …, 0).
Twierdzenie
a) Wektor [A
1
, A
2
, A
3
, …, A
n
] jest prostopadły do hiperpłaszczyzny o równaniu
A
1
x
1
+ A
2
x
2
+ A
3
x
3
+ … + A
n
x
n
+ A
0
= 0 (zakładamy, Ŝe choć jedna z liczb A
1
, A
2
, …, A
n
jest róŜna od zera).
b) Wektor [A
1
, A
2
, A
3
, …, A
n
] jest prostopadły do hiperpłaszczyzny o równaniu
A
1
(x
1
– b
1
) + A
2
(x
2
– b
2
) + A
3
(x
3
– b
3
) + … + A
n
(x
n
– b
n
) = 0, do której naleŜy punkt
B(b
1
, b
2
, b
3
, … b
n
).
Ć
wiczenia
1. WskaŜ wektor prostopadły do danej prostej (hiperpłaszczyzny w przestrzeni R
2
) oraz dwa
punkty, które do niej naleŜą:
a) 3x – 4y + 5 = 0, b) y = -5x + 7 , c) x = 3, d) y = -7.
2. WskaŜ wektor prostopadły do danej płaszczyzny (hiperpłaszczyzny w przestrzeni R
3
) oraz
dwa punkty, które do niej naleŜą:
a) 3x – 4y + 5z - 6 = 0, b) z = -5x + 7y -1 , c) 2x – 3y =1, d) x = 3, d) z = -7.