6.5. Analiza postoptymalizacyjna 
 

Po  wyznaczeniu  rozwiązania  optymalnego  zadania  PL  przeprowadza  się  analizy 

dotyczące  wrażliwości  otrzymanego  rozwiązania  na  zmiany  parametrów  zadania. 
W szczególności interesuje nas odpowiedź na pytania:  

a)

 

Dla jakich zmian parametru 

j

c

 (współczynnika funkcji celu ) nie ulegnie zmianie 

optymalne rozwiązanie(wartości zmiennych pozostaną takie same) zadania? 

b)

 

Jak może się  zmienić wartość ograniczenia 

i

b , aby rozwiązanie optymalne było 

wyznaczone przez tą samą bazę (te same zmienne bazowe)? 

 
Rozważmy najpierw przypadek a) 

Załóżmy, że zmieniamy wartość współczynnika 

k

c  przy zmiennej decyzyjnej 

k

x  o 

k

c

∆

.  

I.    Jeśli  zmienna 

k

x   nie  jest  zmienną  bazową  dla  rozwiązania  optymalnego,  to  w 

wierszu  wskaźnikowym  zmieni  się  tylko 

k

∆

  (ponieważ  nie  zmieniają  wartości 

B

j

B

j

z

′

′

=

α

c

o

  oraz  pozostałe  współczynniki  funkcji  celu  dla 

k

j

≠

).  Nowa  wartość 

wskaźnika dla zmiennej 

k

x

 będzie równa: 

 

k

k

k

k

k

k

k

k

k

c

c

c

z

c

c

z

∆

−

∆

=

∆

−

−

=

∆

+

−

=

∆

)

(

)

(

~

.  

Jeśli rozwiązywane zadanie było zadaniem na maksimum to wyznaczone poprzednio 

rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie, gdy: 

k

k

k

k

k

c

c

∆

≤

∆

⇒

≥

∆

−

∆

⇒

≥

∆

0

0

~

. 

Stąd  przyjęcie  zamiast  wartości  współczynnika  przy  niewiadomej 

k

x   dowolnej  liczby 

z przedziału 

>

∆

+

−∞

k

k

c

,

(

  nie  zmieni  rozwiązania  optymalnego  ani  wartości  funkcji 

celu. 

Jeśli  rozwiązywane  zadanie  było  zadaniem  na  minimum  to  wyznaczone  poprzednio 

rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie, gdy: 

k

k

k

k

k

c

c

∆

≥

∆

⇒

≤

∆

−

∆

⇒

≤

∆

0

0

~

. 

Zatem  przyjęcie  zamiast  wartości  współczynnika  przy  niewiadomej 

k

x   dowolnej  liczby 

z przedziału 

)

,

∞

+

∆

+

<

k

k

c

  nie  zmieni  rozwiązania  optymalnego  ani  wartości  funkcji 

celu. 

II. Jeśli zmienna 

k

x  jest zmienną bazową dla rozwiązania optymalnego, to w wierszu 

wskaźnikowym  zmienią  się  wszystkie 

j

∆

  dla  zmiennych  niebazowych  (ponieważ 

 

zmieniają  wartości 

B

j

B

j

z

′

′

=

α

c

o

).  Nowe  wartości  wskaźników  optymalności  dla 

zmiennych niebazowych 

j

x

 będą równe: 

j

k

j

c

z

−

=

∆

~

~

.  

Jeśli rozwiązywane zadanie było zadaniem na maksimum to wyznaczone poprzednio 

rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie, gdy dla wszystkich zmiennych niebazowych 
nowe  wartości  wskaźników  optymalności  będą  nieujemne  (dla  zadania  na  minimum 
wszystkie  muszą  być  niedodatnie)  Rozwiązanie  odpowiedniego  układu  nierówności 
z jedną  niewiadomą  wyznacza  przedział  dla  dopuszczalnych  zmian  współczynnika 

k

c . 

W tym przypadku zmienia się wartość funkcji celu o 

k

k

c

f

∆

⋅

Θ

=

∆

. 

 

Rozważmy teraz przypadek b) 

 
Nim  rozpatrzymy  odpowiedź  na  postawione  w  tym  punkcie  pytanie  przypomnijmy 

pewne  wiadomości  z  algebry  liniowej  dotyczącej  własności  operacji  elementarnych 
wykonywanych na wierszach macierzy, mianowicie:  

Jeśli  macierz  blokową 

[

]

b

I

A

  (gdzie  macierz 

A  jest  macierzą  nieosobliwą; 

macierz

  I  jest  macierzą  jednostkową  oraz  b  jest  wektorem)  przy  pomocy  operacji 

elementarnych  na  wierszach  przekształcimy  do  macierzy  postaci 

[

]

x

B

I

,  to 

1

−

=

A

B

 

oraz 

b

B

x

⋅

=

.  

Jeśli wektory (

n

p

p

p

,

,

,

2

1

K

) tworzą bazę B przestrzeni 

n

R  i w tej bazie wyznaczone 

są  współrzędne  liniowo  niezależnych  wektorów: 

B
n

n

B

B

α

a

α

a

α

a

=

=

=

,

,

,

2

2

1

1

K

  oraz 

wektor 

B

β

b

=

, to po zmianie bazy B w tej przestrzeni na bazę B’ wektor b będzie miał 

nowe współrzędne dane wzorem: 

[

]

B

B
n

B

B

β

α

α

α

⋅

−

1

2

1

L

. 

Z powyższego wynika, że: 

Wartości zmiennych bazowych 

B

x  w rozwiązaniu optymalnym (zmienne niebazowe 

przyjmują  wartości  zerowe)  można  wyznaczyć  jako  iloczyn  macierzy  B  i  wektora 
ograniczeń b, czyli 

                             

b

B

x

⋅

=

B

op

. 

Macierz 

B

 jest zbudowana z wektorów 

[

]

B
m

B

B

b

b

b

L

2

1

, których współrzędne 

są  wyznaczone  w  bazie  rozwiązania  optymalnego  i  które  odpowiadają  kolejnym 

wektorom bazowym dla startowej tablicy simpleks.  

Wektor 

T

m

i

b

b

b

]

[

1

L

L

=

b

 jest wektorem ograniczeń. 

 
W  rozwiązaniu  optymalnym  wszystkie  zmienne  decyzyjne  i  zmienne  swobodne,  zgodnie 
z warunkami brzegowymi, muszą być nieujemne (wszystkie zmienne sztuczne muszą przyjąć 
wartości zerowe, aby rozwiązanie było dopuszczalne), zatem  

0

x

≥

B

op

.    

Stąd otrzymujemy układ nierówności 
 

 

 

 

0

b

B

≥

⋅

, 

którego  rozwiązanie  określa  dopuszczalne  zmiany  wartości  parametru 

i

b ,  przy  których  nie 

zmienia się baza wyznaczająca rozwiązanie optymalne. 
Ilustracje dotyczącej analizy postoptymalizacyjnej zawierają przykłady AP-1 i AP-2. 
 
Problemy analizy postoptymalizacyjnej są także omówione np. w pozycji [3] s.53-66.