1
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Wykład 4.
Uchyb ustalony regulacji
Jak można było zauważyć na podstawie ostatniego wykładu, odpowiedź asymptotycz-
nie stabilnego układu liniowego ze sprzężeniem zwrotnym od wyjścia transmitancji
jest uzależniona od części ustalonej odpowiedzi o wymuszeniu (sygnale sterują-
cym) stałym w czasie.
Powiedzieliśmy, że w czasie trwania odpowiedzi skokowej układu składowa
przejściowa zanika, dlatego pozostała składowa ustalona odpowiedzi wpływa na war-
tość ustaloną mierzoną na wyjściu obiektu regulacji
.
Jeśli zmierzona wartość
ustalona jest inna niż wartość zadana na wejściu do układu, to w wyniku porównania
amplitud tych sygnałów otrzymujemy wartość różną od zera. Wartość tę nazywa się
uchybem regulacji, a jeśli wynika ona z różnicy pomiędzy wartością zadaną (sterującą)
a wartością zmierzoną na wyjściu układu znajdującego się w stanie ustalonym (asymp-
totycznie stabilnym), to nazywamy ją uchybem ustalonym regulacji.
Zatem, definiując uproszczone zagadnienie sterowania liniowego odwołamy się
do rysunku
1
z drugiego wykładu w nieco zmienionej postaci.
2
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Rysunek
1
. Obiekt regulacji o transmitancji
włączonej na linii toru głównego
układu z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym z zaznaczeniem uchybu regulacji
na wyjściu sumatora. Pozostałe symbole oznaczają transformaty Laplace’a sygnału sterują-
cego (zadanego)
i sygnału wyjściowego
.
Jeśli w pokazanym na rysunku
1
układzie pojawia się uchyb ustalony, to proble-
mem do rozwiązania jest zaprojektowanie odpowiedniego sterownika – lub też do-
branie odpowiedniego elementu znajdującego się na linii sprzężenia zwrotnego (tutaj
dla przykładu, czujnik pomiarowy), który dla określonego zakresu wartości sterujących
sprowadzi uchyb ustalony do zera. Czasami w celu możliwie największej mini-
malizacji uchybu ustalonego regulacji stosuje się na linii sprzężenia zwrotnego układu
z rysunku
1
człony dynamiczne (np.
, lub
), wtedy
1
obiekt regulacji
np. czujnik pomiarowy
3
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
.
Uchyb regulacji
w stanie ustalonym powinien zbiegać do zera w od-
powiednio krótkim czasie.
Na podstawie schematu liniowego układu sterowania (rysunek
1
) można zapisać:
(
4.1
)
Aby znaleźć uchyb ustalony, a więc rozwiązanie
lim
można zasto-
sować twierdzenie o wartości końcowej funkcji danej w postaci transformaty Lapla-
ce’a. Wykorzystując równanie (
4.1
) zapiszemy:
lim
lim
lim
!
"# lim
!
$
%.
(
4.2
)
Równanie (
4.2
) można użyć do oszacowania postaci elementu dynamicznego (o
transmitancji
) umieszczonego na linii toru sprzężenia zwrotnego w taki sposób,
aby sprowadzić uchyb ustalony do zera dla różnych postaci sygnałów wejściowych, tj.
sygnał skokowy czy czasowo-liniowy.
4
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
0
&
'
Rysunek
2
. Funkcja skokowa.
Definicja. Postać układu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym jest uwarunkowana
liczbą biegunów funkcji przejścia otwartego układu sterowania umiejscowionych w
środku układu współrzędnych zmiennej zespolonej
s
. Z transmitancji układu otwartego
)
*
+
,
…+
.
/
0
,
0
1
…20
34/
5
.
(
4.3
)
Tę definicję stosowaliśmy już wcześniej przy szacowaniu liczby zer licznika i mia-
nownika funkcji przejścia zamkniętego układu sterowania na potrzeby wykreślania li-
nii pierwiastkowych. Poniżej rozpatrzymy dwa rodzaje funkcji wejściowej
.
4.1.
Wejście w postaci funkcji skokowej
' & 8 1
Celem sterowania jest spowodowanie, aby układ pokazany
na rysunku
1
osiągnął możliwie dokładnie wartość sterują-
cą daną w postaci funkcji skokowej (rysunek
2
). Oznacza
to, że składowa ustalona
9
odpowiedzi tego układu ma
zbiegać do wartości stałej
9:
' & 8 1
, gdzie
& 1
jest amplitudą wymuszenia skokowego. Przyjmując,
że
'
, otrzymujemy na podstawie wzoru
5
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
0
'
;
Rysunek
3
. Funkcja czasowo-
liniowa.
(
4.2
) jak następuje:
lim
<!
"# lim
!
$
8
%
=>?
@A
"#
B
C
,
(
4.4
)
gdzie
*
0
jest stałą położenia ustalonego i na podstawie wzoru (
4.4
) dane zależnością
*
0
lim
!
"#.
(
4.5
)
Widać zatem, że dla zapewnienia zerowej wartości uchybu ustalonego (gdy na
wejściu do układu jest zadany sygnał sterujący o charakterze skokowym) potrzeba,
aby
*
0
∞
. Podstawiając zależność (
4.3
) do (
4.5
) widać, że jest to równoważne wa-
runkowi
E F 1
(w odniesieniu do podanej definicji).
4.2.
Wejście w postaci funkcji czasowo-liniowej
' G 8
Celem sterowania jest spowodowanie, aby układ pokazany
na rysunku
1
podążał możliwie dokładnie za wartością steru-
jącą daną w postaci funkcji czasowo-liniowej (rysunek
3
).
Oznacza to, że składowa ustalona
9
odpowiedzi rozwa-
żanego układu ma podążać za wartością
' G 8
, gdzie
dla przykładu
G tan ; 1
jest współczynnikiem kierun-
6
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
kowym prostej. Przyjmując, że
'
1
, otrzymujemy na podstawie wzo-
ru (
4.2
) jak następuje:
lim
<!
"# lim
!
K
1 L 8
1
M
N
1
lim
!
" L #
1
*
O
gdzie
*
O
lim
!
"#
jest stałą prędkości ustalonej.
(
4.6
)
Analogicznie jak w punkcie 4.1, dla zapewnienia zerowej wartości uchybu ustalo-
nego (gdy na wejściu do układu jest zadany sygnał sterujący o charakterze czasowo-
liniowym) potrzeba, aby
*
O
∞
. Podstawiając zależność (
4.3
) do (
4.6
) widać, że jest
to równoważne warunkowi
E F 2
(w odniesieniu do podanej definicji). Tą samą me-
todykę można zastosować do określenia warunku na zerowy uchyb ustalony, gdy na
wejściu do układu z rysunku
1
jest wprowadzony sygnał wejściowy (próbny) wyższego
rzędu, np. sygnał czasowo-paraboliczny.
Przykład 1. Zbadajmy odpowiedź na sygnał skokowy
' 1
pewnego układ dy-
namicznego, opisanego następującym równaniem różniczkowym:
QR L S
QT L S
!
Q 9T L U
!
9.
Stosując transformatę Laplace’a otrzymuje się następującą funkcję przejścia:
7
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
V<
W<
X
A
<
1
Y
,
<Y
A
,
a na podstawie wzoru (
4.5
) stała położenia ustalonego (przy
1
) wynosi:
*
0
lim
!
"# lim
!
$
X
A
<
1
Y
,
<Y
A
%
Z
A
[
A
.
Zatem na podstawie powyższego oraz wzoru (
4.4
) uchyb ustalony wynosi
lim
!
$
8
%
=>?
@A
"#
B
C
\A
]A
[
A
[
A
Z
A
.
Skoro odpowiedź
9
układu zamkniętego (patrz rysunek
1
) charakteryzuje się
uchybem ustalonym
(niezależnym od
S
), to zbiegnie się ona do wartości:
9:
1
1
[
A
[
A
Z
A
Z
A
[
A
Z
A
.
Połóżmy zatem
S
!
2, S
3
i
U
!
6
. Wybranym wartościom parametrów od-
powiada
9:
0.75
. Jest to prawdą, ponieważ dla wybranego zestawu parametrów
przykładowego układu uchyb ustalony
[
A
[
A
Z
A
M
Md
0.25
. Rozwiązanie nume-
ryczne tego zadania pokazano na rysunku
4
.
8
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Rysunek
4
. Rozwiązanie numeryczne odpowiedzi
skokowej układu z przykładu 1.
4.3.
Układ regulacji z zakłóceniem
ef działającym na wejściu
do obiektu regulacji
Na wejściu do obiektu może pojawić się zakłócenie, które wpływać będzie na odpo-
wiedzi przejściową i ustaloną. W związku z tym można spróbować określić zależności
na uchyb regulacji w odniesieniu do pojawiającego się zakłócenia.
9
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Transmitancję zakłóceniową (zerując wymuszenie) można określić według wzoru:
g
h
i
j
k
lm!
C
n
C
C
o
,
(
4.8
)
gdzie
)
oznacza transmitancję układu otwartego. Na podstawie wzorów (
4.7
)
i (
4.8
):
0
obiekt regulacji
p
q
regulator
r
10
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
+
p L
g
r,
(
4.9
)
gdzie
+
jest transmitancją zamkniętego układu sterowania wyznaczoną ze wzoru
(
4.7
) przy
r 0
.
Na podstawie schematu z rysunku
5
uchybu regulacji
p
w funkcji wymuszenia
p
i zakłócenia
r
obliczamy (również na podstawie wyżej
podanych zależności) jak następuje:
•
podstawiamy
l s
do wzoru (
4.7
);
•
p
+
p L
g
r;
•
21
+
5p
tuuuuuuvuuuuuuw
ms
x
g
r
tuuuuvuuuuw
ms
y
;
•
podstawiamy wzory na
+
i
g
;
•
wyznaczamy transmitancje uchybową wymuszeniową
z{
i uchybową zakłó-
ceniową
z+
.
|1
n
C
n
C
} p
C
n
C
r |
n
C
n
C
n
C
n
C
~ p
C
n
C
r
11
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
n
C
tuuuuvuuuuw
o@
p
C
n
C
tuuuuvuuuuw
o@
r
o
p
C
o
r
{
L
g
.
(
4.10
)
Na podstawie wzoru (
4.10
) oraz, że
h|
jm!
p
definiuje
się transmitancję uchybową wymuszeniową
z{
i zakłóceniową
z+
:
z{
h
s
x
l
k
jm!
o
,
z+
h
s
y
j
k
lm!
C
o
. (
4.11
)
Jak należało oczekiwać, na wartość uchybu obliczoną za pierwszym sumatorem
(pierwszy od lewej na rysunku
5
) wpływa suma sygnałów uchybu wymuszeniowego
i zakłóceniowego:
{
L
+
z{
p L
z+
r.
(
4.12
)
4.4.
Układ regulacji z zakłóceniem
ef działającym na wyjściu
obiektu regulacji
Tą część rozważań prześledzimy na podstawie przykładu ćwiczeniowego załączonego
w osobnym pliku.