1 

Prof. dr hab. inŜ. Jan T.Duda  

 

 

 

 

Kraków, grudzien 2004 

Katedra Analizy Systemowej i Modelowania Cyfrowego  
AGH, tel. 617-45-06 

 

Ekonometria – repetytorium 

 

1. Przedmiot i narz

ę

dzia ekonometrii 

 
Ekonometria – nauka o metodach badania ilościowych prawidłowości występujących w 
zjawiskach ekonomicznych. Wykorzystuje do tego aparat rachunku prawdopodobieństwa i 
statystyki matematycznej oraz algebrę liniową (rachunek macierzowy)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.1. Ekonometryczne ujęcie zjawisk ekonomicznych 

 
Ekonometria zajmuje się poszukiwaniem zaleŜności ekonometrycznych f(X) (tj. 
deterministycznych powiązań ilościowych pomiędzy zmiennymi objaśniającymi i 
objaśnianymi) oraz analizą probabilistyczną składowej losowej e zmiennych objaśnianych. 
 
Literatura:  
1.

 

Henry Theil: Zasady ekonometrii, PWN, Warszawa, 1979 

2.

 

Zbigniew Pawłowski: Ekonometria, PWN, Warszawa 1969 

3.

 

Edward Nowak: Zarys metod ekonometrii – zbiór zadań, PWN, Warszawa 1994 

4.

 

John Freund Podstawy nowoczesnej statystyki, PWE, Warszawa 1968 

5.

 

G.E.P.Box, G.M.Jenkins: Analiza szeregów czasowych, PWN, Warszawa, 1983 

 

2. Podstawowe poj

ę

cia rachunku prawdopodobie

ń

stwa 

Literatura:  
1.

 

I.E. Brontsztejn, K.A.Siemeindiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Część 
szósta – Opracowanie danych doświadczalnych,. PWN, Warszawa 1986 

2.

 

Poradnik inŜyniera – Matematyka – Rozdziały XXXII i XXXIII  

3.

 

J.Greń: Statystyka matematyczna – modele i zadania, PWN, Warszawa 1982 

 
Definicje intuicyjne:  (Foralnie definicje moŜna znaleŜć np. w Poradniku 2) 

     Badane 
    zjawiska 
ekonomiczne 

 

Zm.egzogeniczne X  

Wpływ otoczenia na proces 
opisują zmienne objaśniające  
(egzogeniczne) X 

Wpływ procesu na otoczenie 
opisują zmienne objaśniane  
(endogeniczne) Y: Y=f(X)+e 
e – reprezentacja losowości opisu 

 

Zm.endogeniczne: Y=f(X)+e  

 

Nieznane czynniki losowe v  

 

2 

Zdarzenie losowe: zdarzenie, którego zajście leŜy całkowicie lub częściowo poza zasięgiem 
kontroli.  
Definuje się: 
iloczyn zdarzeń A i B jako równoczesne wystąpienie zdarzenia A i zdarzenia B; (A*B) 
sumę (alternatywę) zdarzeń A, B, jako wystąpienie zdarzenia A lub zdarzenia B. (A+B) 
zdarzenie przeciwne do A – zdarzenie zachodzące wtedy gdy A nie zachodzi (

~

A) 

zdarzenie pewne – zachodzi zawsze (np. A+(

~

A));  

zdarzenie niemoŜliwe – nie zachodzi nigdy (np. A*(

~

A)); oznaczamy go symbolem 

∅

 

zdarzenia rozłączne A, B – takie, Ŝe A*B jest zdarzeniem niemoŜliwym  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Rys.2. Graficzna ilustracja zdarzeń elementarnych i złoŜonych:  

koła- elementarne zdarzenia losowe, całe ramki – wszystkie zdarzenia moŜliwe  

 
 
Prawdopodobieństwo zdarzenia – liczba wyraŜająca stopień moŜliwości zachodzenia 
zdarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia A czyli P(A) jest równe stosunkowi liczby 
przypadków sprzyjających zdarzeniu A (n

A

) do wszystkich przypadków moŜliwych (n): 

 

 

 

n

n

A

P

A

=

)

(

 

Wartość tak zdefiniowanego prawdopodobieństwa ilustrują stosunki pól figur (kół) 
reprezentujących zdarzenia A, B na rysunkach powyŜej, do pola całej ramki E.  
 
Właściwości prawdopodobieństwa: 
1.

 

Jeśli A, B, .. są zdarzeniami rozłącznymi (wykluczają się wzajemnie) to  

P(A lub B lub ..)=P(A)+P(B)+.. 

 

(patrz rysunek d) 

2.

 

Jeśli E jest zdarzeniem pewnym to  

P(E)=1  

 

 

 

 

(patrz rysunek e) 

Stąd wynika, Ŝe dla dowolnego zdarzenia A 
 

 

0

≤

 P(A) 

≤

 1 

   A 

~

A 

nieA 

A 

B 

A i B 
A*B 

A 

B 

Zdarzenia rozłączne A, B 

E 

Zdarzenie pewne E 

(suma wszystkich zdarzeń 
moŜliwych) 

(a) 

(b) 

 
A lub B 
(A+B) 

(c) 

(d) 

(e) 

A+(

~

A)=E 

 

3 

 

 

P(nieA)=1-P(A) 

 

 

 

(patrz rysunek a) 

Dla dowolnych zdarzeń A i B  
 

 

P(A lub B)=P(A)+P(B)-P(A i B)  

 

(patrz rysunki b, c) 

 
Prawdopodobieństwo warunkowe i prawdopodobieństwo całkowite:  
 
Mamy dwa zdarzenia losowe A i B. Niech P(B)>0. Jeśli zdarzenia A i B mogą występować 
równocześnie to moŜna mówić o prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia A pod warunkiem, 
Ŝ

e zaszło zdarzenie B, co oznacza się symbolem P(A|B). W tym przypadku zbiór zdarzeń 

moŜliwych redukuje się do zdarzenia B, zatem (zgodnie z rys.2b) mamy: 
 
 

 

)

(

)

(

1

)

(

B

P

B

i

A

P

n

n

n

n

B

A

P

n

n

iB

A

B

iB

A

B

=

⋅

=

=

 

gdzie 

n

n

B

P

n

n

B

i

A

P

B

AiB

=

=

)

(

;

)

(

 

Prawdopodobieństwo warunkowe nazywane jest prawdopodobieństwem a posteriori (po 
uzyskaniu dodatkowej informacji) i na ogół róŜni się od P(A) zwanego prawdopodobieństwem 
a priori (określonym dla dowolnych warunków przy których zachodzi A).  
Jeśli w wyniku pewnego doświadczenia losowego realizuje się zawsze jedno z wzajemnie 
wykluczających się zdarzeń B

1

, B

2

, .. B

N

 (tzn. B

1

+ B

2

 +.. B

N

=E oraz B

1

*B

2

=

∅

, B

i

*B

k

=

∅

 dla 

kaŜdej pary zdarzeń B

i

, B

k

 i

≠

k) to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi równość: 

∑

=

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

N

n

n

N

N

B

i

A

P

B

P

B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

B

A

P

A

P

1

2

2

1

1

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

 

Jest to wzór na 

prawdopodobieństwo całkowite.  

Stosuje się go, gdy prawdopodobieństwa warunkowe P(A|B

n

) oraz prawdopodobieństwa P(A) 

albo P(B

n

) są łatwe do oszacowania lub znane. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B

n 

gdy zaszło zdarzenie A liczy się ze wzoru Bayesa: 

;

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

A

P

AiB

P

A

P

B

P

B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

B

A

P

A

B

P

n

n

n

N

i

i

i

n

n

n

=

⋅

=

⋅

⋅

=

∑

=

 

 
Jeśli zdarzenie B nie wpływa na prawdopodobieństwo zdarzenia A to zdarzenia A, B są 
zdarzeniami niezaleŜnymi. Wówczas obowiązuje zaleŜność: 

);

(

)

(

A

P

B

A

P

=

 zatem 

)

(

)

(

)

(

B

P

A

P

B

i

A

P

⋅

=

 

Zdarzenia A, B są zatem niezaleŜne, gdy mogą występować w róŜnych okolicznościach, a ich 
łączne wystąpienie jest tylko całkowicie przypadkowe. 

ZałoŜenie niezaleŜności zdarzeń jest 

często wykorzystywane w obliczeniach probabilistycznych. W ekonometrii mamy na ogół 
do czynienia ze zdarzeniami współzaleŜnymi, ale załoŜenie niezaleŜności pozwala dokonać 
zgrubnych oszacowań prawdopodobieństw iloczynu zdarzeń.  
 
Zmienne losowe: liczby charakteryzujące rezultat zjawiska losowego 
 
Zmienne losowe dyskretne – liczby losowe ze skończonego lub przeliczalnego zbioru 
wartości. Na ogół są to liczby całkowite symbolizujące rozwaŜane zdarzenia losowe, 
zliczające ich krotność itp.

  

Zmienne losowe ciągłe: liczby rzeczywiste o losowej wartości, charakteryzujące ilościowo 
zjawiska losowe: 
 

 

4 

Zdarzenia losowe odniesione do liczb losowych dotyczą wystąpienia określonych wartości 
zmiennych dyskretnych oraz wystąpienia wartości zmiennych ciągłych w określonych 
przedziałach. 
Prawdopodobieństwa takich zdarzeń charakteryzują rozkłady prawdopodobieństwa 
zmiennych losowych:  
Dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej x nazywamy prawdopodobieństwo wystąpienia 
wartości x mniejszej niŜ argument dystrybuanty (załoŜona wartość zmiennej) X. 

F(X) = P(x < X) 

Dystrybuanta posiada następujące cechy: 
1.

 

F(-

∞

)=0;  

2.

 

F(

∞

)=1; 

3.

 

jest funkcją lewostronnie ciągłą i niemalejącą, tzn., jeśli X

1

<X

2

 to F(X

1

) 

≤

 F(X

2

)  

 
Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej zmienia się skokowo w punktach 
odpowiadających kolejnym wartościom zmiennej.  
Rozkład prawdopodobieństwa takich zmiennych wygodniej jest charakteryzować podając 
wprost prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych wartości p(x

i

). Nazywa się to 

krótko rozkładem prawdopodobieństwa zmiennych dyskretnych: 
 
 

f(x)={p(x

i

); i=1,2, ...,N}, gdzie N oznacza liczbę moŜliwych wartości zmiennej x 

 
W przypadku zmiennych losowych ciągłych (dokładnie – absolutnie ciągłych – patrz 
Poradnik [2]) rozkład opisuje się tzw. funkcją gęstości prawdopodobieństwa f(x), którą 
definiuje się jako pochodną dystrybuanty względem zmiennej x, tzn. w następujący sposób: 

 

)

(

)

(

)

(

lim

)

(

2

2

x

F

dx

d

x

x

F

x

F

x

f

x

x

o

x

=

∆

−

−

+

=

∆

∆

→

∆

 

Zgodnie z własnością (3) dystrybuanty funkcja f(x) jest nieujemna 
 
Uwaga !! Funkcja gęstości prawdopodobieństwa nie jest prawdopodobieństwem, ale pozwala 
obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia wartości X w zadanym przedziale x

1

, x

2

 z wzoru:  

 

 

∫

⋅

=

≤

≤

2

1

)

(

)

(

2

1

x

x

dx

x

f

x

X

x

P

 

Wynika stąd, Ŝe  

∫

∞

−

⋅

=

X

dx

x

f

X

F

)

(

)

(

   

oraz    

 

∫

∞

∞

−

=

⋅

1

)

(

dx

x

f

 

 
Parametry rozkładu prawdopodobieństwa jednowymiarowych zmiennych losowych: 
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej ciągłej charakteryzuje się przy pomocy parametrów 
zwanych momentami. Moment i-tego rzędu m

i

(x) definiuje się następująco: 

 

 

dx

x

f

x

x

m

i

i

⋅

⋅

=

∫

∞

∞

−

)

(

)

(

 

Moment rzędu zerowego jest zawsze równy 1. 
 
Moment rzędu pierwszego zmiennej X nazywa się

 wartością oczekiwaną zmiennej losowej 

X, a operację jego obliczania oznacza się symbolem E(X).  

 

5 

Wartość oczekiwana jest teŜ nazywana wartością przeciętną zmiennej losowej lub nadzieją 
matematyczną.  
 
Dla zmiennej losowej ciągłej wartość oczekiwaną wyraŜa wzór:  

dX

X

f

X

X

E

X

m

def

⋅

⋅

=

=

∫

∞

∞

−

)

(

)

(

)

(

1

 

Dla zmiennej dyskretnej przyjmującej wartości x

i 

 z prawdopodobieństwem p

i

 wartość 

oczekiwaną oblicza się ze wzoru: 

 

 

∑

∞

=

⋅

=

1

)

(

i

i

i

x

p

x

E

 

Właściwości wartości oczekiwanej: 
1.

 

KaŜda ograniczona zmienna losowa ma wartość oczekiwaną. 

2.

 

Wartość oczekiwana kombinacji liniowej zmiennych losowych jest kombinacją liniową 
ich wartości oczekiwanych  

)

(

...

)

(

)

(

)

...

(

2

2

1

1

2

2

1

1

N

N

N

N

x

E

a

x

E

a

x

E

a

x

a

x

a

x

a

E

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

+

+

+

 

3.

 

Jeśli 

x

1

 i 

x

2

 są niezaleŜnymi zmiennymi losowymi to  

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

x

E

x

E

x

x

E

⋅

=

⋅

 

 
Zmienna losowa ciągła 

x będąca odchyłką zmiennej losowej oryginalnej X od jej wartości 

oczekiwanej 

m

1

(

X) nazywa się zmienną losową scentrowaną: 

);

(

1

X

m

X

x

def

−

=

  

Oczywiście E(

x)=0 

 
Momenty wyŜszego rzędu moŜna obliczać dla oryginalnych zmiennych lub scentrowanych. 
Momenty dla zmiennych scentrowanych nazywa się momentami centralnymi.  
Centralny moment rzędu drugiego zmiennej nazywa się wariancją zmiennej 

2

x

σ

 

 

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

=

−

=

=

=

−

=

σ

dx

x

f

x

dX

X

f

X

E

X

x

E

x

m

X

E

X

m

X

)

(

)

(

)]

(

[

)

(

)

(

)]

(

[

2

2

2

2

2

2

 

 
Właściwości wariancji: 
1.

 

Znając pierwszy i drugi moment oryginalnej zmiennej losowej X moŜna obliczyć jej 
wariancję:  

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

2

2

2

X

m

X

m

X

E

X

E

X

−

=

−

=

σ

 

bo: 

)

(

)

(

)

(

)

(

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

)

(

)

(

)]

(

[

2

2

2

2

2

2

2

2

X

E

X

m

X

E

X

E

X

m

dX

X

f

X

E

dX

X

f

X

X

E

dX

X

f

X

dX

X

f

X

E

X

−

=

+

⋅

−

=

=

+

⋅

−

=

−

∫

∫

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

 

2.

 

Jeśli 

x

1

, 

x

2

 ... 

x

N

 są niezaleŜnymi zmiennymi losowymi to  

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

]

)

[(

xN

N

x

x

N

N

a

a

a

x

a

x

a

x

a

E

σ

+

+

σ

+

σ

=

+

+

+

Κ

Κ

 

Odchyleniem średnim (standardowym) lub 

dyspersją 

σσσσ

 zmiennej losowej nazywamy 

pierwiastek arytmetyczny z jej wariancji

.  

Odchyleniem przeciętnym 

β

X

 zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną modułu 

scentrowanej zmiennej

 x 

 
 

 

β

X

=E(|X-E(X)|) 

 

6 

 

 
 
Parametry pozycyjne rozkładu – kwantyle  

Kwantylem rzędu p zmiennej losowej x nazywamy taką wartość 

λ

p

 zmiennej, Ŝe  

 
 

 

 

P(x 

≤

 

λ

p

) 

≥

 p   

P(x 

≥

 

λ

p

) 

≥

 1-p 

 
Kwantyl rzędu p=1/2 nazywa się medianą (jest to wartość zmiennej losowej rozdzielająca jej 
zakres na dwie części o jednakowym prawdopodobieństwie wystąpienia p=0.5.  
Kwantyle rzędu p=1/4 i ¾ nazywają się odpowiednio kwantylem górnym i dolnym.  
Kwantyle rzędu p=0.1, 0.2 ....0.9 nazywa się decylami. 
 
Zmienną losową o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1 nazywamy zmienną losową 
standaryzowaną.  
Jeśli mamy zmienną losową X o wartości oczekiwanej E(X) i dyspersji 

σ

X

 to odpowiadającą 

jej zmienną standaryzowaną x uzyskuje się przez przekształcenie 

 

 

 

X

X

E

X

x

σ

−

=

)

(

   

i odwrotnie, mając 

zmienną standaryzowaną x, np. odczytaną z tablic rozkładu, uzyskuje się 

zmienną X o zadanej : 

)

( X

E

x

X

X

+

σ

⋅

=

  

 
 

Zmienne losowe wielowymiarowe  

Jeśli rozwaŜamy kilka zbiorów liczb losowych to mówimy o 

zmiennej losowej wielowymiarowej. 

Dystrybuantę zmiennej wielowymiarowej X=[X

1,

 X

2,

 ... X

N

 ] definiuje się jako 

prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na równoczesnym wystąpieniu wszystkich 
rozwaŜanych liczb losowych mniejszych od zadanych argumentów dystrybuanty [X

1,

 X

2,

 . X

N

] 

 

F(X

1,

 X

2,

 ... X

N

)=P[(x

1

<X

1

) i (x

2

<X

2,

) ...i (x

N

<X

N

)] 

 
Wielowymiarowa zmienna losowa ma rozkład absolutnie ciągły jeśli istnieje taka funkcja  
f(x

1,

 x

2,

 ... x

N

 ) zwana 

wielowymiarową gęstością prawdopodobieństwa, Ŝe 

∫ ∫ ∫

∞

−

∞

−

∞

−

=

1

2

2

1

2

1

2

1

.

)

,

,.

(

)

,

,

(

x x

x

N

N

N

N

dx

dx

dx

x

x

x

f

X

X

X

F

Κ

Κ

Λ

Κ

 

 
Zmienne losowe X

1,

 X

2,

 ... X

N

 są niezaleŜne, jeśli ich łączna dystrybuanta jest iloczynem 

dystrybuant poszczególnych zmiennych: 

 
F(X

1,

 X

2,

 ... X

N

)=F(x

1

<X

1

)*F(x

2

<X

2,

)*...*F(x

N

<X

N

) 

 

Zmienne losowe absolutnie ciągłe są niezaleŜne, jeśli ich wielowymiarowa funkcja gęstości 
prawdopodobieństwa jest iloczynem funkcji gęstości dla poszczególnych zmiennych: 
 
Rozkłady brzegowe i warunkowe zmiennych losowych wielowymiarowych 
Niech f(x

,

 y) oznacza dwuwymiarowy rozkład zmiennych x, y.  

Rozkładami brzegowymi są funkcje: 

 

7 

∫

∞

∞

−

=

.

)

,

(

)

(

dy

y

x

f

x

f

x

   

∫

∞

∞

−

=

dx

y

x

f

y

f

y

)

,

(

)

(

  

Oczywiście, obie spełniają warunek podstawowy: 

∫

∞

∞

−

=

1

dx

x

f

x

)

(

 i 

∫

∞

∞

−

=

1

)

(

dy

y

f

y

 

 
Rozkładami warunkowymi są natomiast funkcje: 

∫

∞

∞

−

=

=

=

dx

y

x

f

y

x

f

y

f

y

x

f

y

Y

x

f

y

x

)

,

(

)

,

(

)

(

)

,

(

)

(

0

0

0

0

0

 

oraz  

∫

∞

∞

−

=

=

=

dy

y

x

f

y

x

f

x

f

y

x

f

x

X

y

f

x

y

)

,

(

)

,

(

)

(

)

,

(

)

(

0

0

0

0

0

 

 
Kowariancja zmiennych losowych X, Y – wartość oczekiwana iloczynu scentrowanych 
zmiennych x, y: 

cov(

X,Y)=E(x

⋅

y)=

)

(

)

(

)

(

)

,

(

)]

(

[

)]

(

[

Y

E

X

E

Y

X

E

dY

dX

Y

X

f

Y

E

Y

X

E

X

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

−

⋅

−

∫ ∫

∞

∞

−

∞

∞

−

 

Współczynnik korelacji 

ρρρρ

XY

 zmiennych X i Y to ich kowariancja przeliczona do zakr. [–1, 1]  

ρ

XY

=cov(X,Y)/(

σ

x

⋅σ

y

) 

 
Współczynnik korelacji przyjmuje wartość 0 gdy zmienne X, Y są niezaleŜne i wartość 

±

1  

gdy są one 

zaleŜne liniowo (ale tylko liniowo np. X=a+bY, a, b stałe); 

Wynika to z następujących rachunków: 

cov(X

⋅

Y)=E(a

⋅

Y+b

⋅

Y

2

)-E(Y)

⋅

E(X)=a

⋅

E(Y)+b

⋅

E(Y

2

)-E(Y)

⋅

[a+b

⋅

E(Y)]= 

    =b

⋅

{E(Y

2

)-[E(Y)]

2

}=b

⋅σ

2

Y 

σ

2

X

=E[(a+b

⋅

Y)

2

]-[E(a+b

⋅

Y)]

2

=E(a

2

+2a

⋅

bY+b

2

⋅

Y

2

)-[a+b

⋅

E(Y)]

2

= 

 

   =a

2

+2a

⋅

b

⋅

E(Y)+b

2

⋅

E(Y

2

)-a

2

-2a

⋅

b

⋅

E(Y)-b

2

⋅

[E(Y)]

2

=b

2

⋅

{E(Y

2

)-[E(Y)]

2

}=b

2

⋅σ

Y

2

 

Zatem 

σ

X

⋅σ

Y

=|b|

⋅σ

Y

, czyli  

ρ

XY

=cov(X

⋅

Y)/(

σ

X

⋅σ

Y)

=b/|b|= 

±

1 

 
UWAGA !! 
Niezerowe, a nawet wysokie wartości współczynnika korelacji dwóch zmiennych 
losowych nie oznaczają związku przyczynowo-skutkowego między nimi, a jedynie 
współzaleŜność stochastyczną, czyli istnienie wspólnych przyczyn dla obu zjawisk 

 
Procesy stochastyczne 

 
Procesem stochastycznym nazywa się zmienną losową sparametryzowaną czasem (ogólnie – 
dowolną zmienną skalarną).  

Z=(X,t)=X

t 

 

Oznacza to, Ŝe 

kaŜdej chwili czasu t

o

 przypisuje się zbiór zmiennych losowych X

to

 (zwany 

zbiorem moŜliwych realizacji procesu Z w chwili 

t

o

), z jego wartością oczekiwaną E(

X

to

) i 

rozkładem prawdopodobieństwa f(

X

to

).  

 

8 

 
Proces stochastyczny jest zatem szczególnym przypadkiem wielowymiarowej zmiennej 
losowej i moŜna dla niego definiować wielowymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa    
f(X

to

, X

t1

, .. , X

tN

 ), a takŜe kowariancje cov(X

to

, X

t1

) odpowiadające róŜnym t

o

, t

1

 (zwane 

autokowariancjami lub funkcjami korelacyjnymi). Określa się je identycznie jak dla 
wielowymiarowych zmiennych losowych. Współczynnik korelacji odpowiadający dwóm 
róŜnym wartościom t, nazywa się współczynnikiem autokorelacji procesu.  
WaŜną klasą procesów stochastycznych są procesy stacjonarne.  
 
Proces stochastyczny jest stacjonarny w węŜszym sensie jeśli wszystkie jego rozkłady 
prawdopodobieństwa nie zaleŜą od czasu, a jedynie od róŜnic wartości t

o

, t

1

, .. , t

N

 dla 

których są definiowane.  
Zatem jednowymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych X

t

 dla kolejnych t są 

identyczne, czyli f(X

t

)=f(X), a rozkłady dwuwymiarowe f(X

t1

, X

t2

) zaleŜą tylko od róŜnicy 

czasów 

τ

=t

2

-t

1

, tzn. f(X

t1

, X

t2

) = f(X, 

τ

).  

TakŜe autokowariancja i współczynnik autokorelacji zaleŜą tylko od 

τ

. Nazywa się je funkcją 

korelacyjną K

X

(

τ

) i funkcją autokorelacji r(

τ

) 

)

(

))

(

(

)

(

)

(

2

τ

−

τ

−

⋅

=

−

⋅

=

τ

t

t

t

t

def

X

x

x

E

X

E

X

X

E

K

2

2

2

)

(

))

(

(

)

(

)

(

σ

⋅

=

σ

−

⋅

=

τ

τ

−

τ

−

t

t

t

t

def

X

x

x

E

X

E

X

X

E

r

 

 

czyli    

 

2

)

(

)

(

σ

τ

=

τ

X

def

X

K

r

 

gdzie x

t 

oznacza proces scentrowany (tj. E(x)=0).  

Wartość funkcji autokorelacji w zerze wynosi zawsze 1, r(0)=1 
 
Proces stochastyczny jest stacjonarny w szerszym sensie jeśli istnieje jego wartość 
oczekiwana i jest ona stała w czasie, a funkcje korelacyjne zaleŜą tylko od przesunięcia 
czasu 

ττττ

 (nie zaleŜą od wartości t

o

, t

1

): 

m

X

(t)=E(X

t

)=m

X

=const 

 

 

 

K

X

(t

1

, t

2

)=E(x

t1

⋅

x

t2

)=K

X

(

τ

) 

 
Zatem procesy stochastyczne stacjonarne mają stałą wartość oczekiwaną, a relacje 
probabilistyczne między ich wartościami w róŜnych chwilach czasu są określone 
(deterministycznie) przez funkcję autokorelacji r(

τ

).   

Mówimy, Ŝe funkcja autokorelacji opisuje właściwości dynamiczne procesu 
stochastycznego stacjonarnego, natomiast jego właściwości chwilowe (statyczne) 
charakteryzuje funkcja gęstości prawdopodobieństwa, czyli rozkład prawdopodobieństwa 
 
Im wolniej maleje funkcja autokorelacji, tym mniej losowe są zmiany w czasie procesu, tzn. 
zmiany te są powodowane głównie wewnętrzną inercją procesu, a nie czynnikami losowymi.  
 
Transformata Fouriera funkcji autokorelacji nazywa się funkcją gęstości widmowej mocy 
procesu lub spektrum procesu 
 
UWAGA:  
Funkcje analogiczne jak funkcja korelacyjna mogą być definiowane dla dwu róŜnych 
procesów stochastycznych stacjonarnych przesuniętych względem siebie w czasie.  

 

9 

Modelowe rozkłady prawdopodobieństwa 

 
Szereg zjawisk losowych moŜna opisać rozkładami prawdopodobieństwa, których gęstości są 
stosunkowo prostymi funkcjami analitycznymi zmiennej losowej.  

 

Modelowe rozkłady prawdopodobieństwa dla zmiennych dyskretnych (I.E. Brontsztejn, 

K.A.Siemeindiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Część szósta – 
Opracowanie danych doświadczalnych,. PWN, Warszawa 1986, str.782) 

1.

 

RozwaŜmy zdarzenie losowe (zwane sukcesem) występujące w pewnym procesie 
losowym ze stałym prawdopodobieństwem p>0. Prawdopodobieństwo nie wystąpienia 
sukcesu wynosi (1-p).  
Jeśli przeprowadzimy n niezaleŜnych doświadczeń, to liczba sukcesów S

n

 jest liczbą 

losową o rozkładzie dwumianowym: 

k

n

k

n

p

p

k

n

k

S

P

−

−

⋅

⋅













=

=

)

1

(

)

(

 

 

wartość oczekiwana E(S

n

)=n

⋅

p;  

 

wariancja 

2
Sn

σ

=n

⋅

p

⋅

(1-p) 

 
2.

 

Prawdopodobieństwo łącznej liczby wystąpień X pewnego rzadkiego zdarzenia (o 
małym prawdopodobieństwie) oblicza się z rozkładu Poissona, który jest przybliŜeniem 
rozkładu dwumianowego dla 

∞

→

n

 i 

0

→

p

 ale tak, Ŝe 

0

>

λ

→

⋅

p

n

.  

λ

−

λ

=

=

e

k

k

X

P

k

!

)

(

 

wartość oczekiwana E(X)= 

λ

;  

 

wariancja 

λ

=

σ

2

X

  

Rozkład ten jest w praktyce stosowalny juŜ dla n rzędu kilkudziesięciu, przy 

λ

<10.  

Przykładem zmiennej X moŜe być liczba klientów zainteresowanych - w pewnym 
przedziale czasu - luksusowym artykułem w sklepie odwiedzanym przez wielu klientów 
zainteresowanych na ogół innymi artykułami (np. w kiosku). MoŜna go wykorzystać do 
oceny opłacalności zamawiania takich artykułów.  
 

3.

 

RozwaŜmy sytuację jak w (1), ale gdy interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzenia 
polegającego na wystąpieniu 

serii k sukcesów, po których następuje brak sukcesu. 

Zakładając niezaleŜność kolejnych prób uzyskuje się wyraŜenie zwane 

rozkładem 

geometrycznym dyskretnej zmiennej losowej X wyraŜającej długość serii niezaleŜnych 
sukcesów o jednakowym prawdopodobieństwie wystąpienia: 

)

1

(

)

(

p

p

k

X

P

k

−

⋅

=

=

 

wartość oczekiwana 

p

p

S

E

n

−

=

1

)

(

;  

 

wariancja 

2

2

)

1

(

p

p

X

−

=

σ

  

 
Modelowe rozkłady prawdopodobieństwa dla zmiennych ciągłych (I.E. Brontsztejn, 

K.A.Siemeindiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Część szósta – 
Opracowanie danych doświadczalnych,. PWN, Warszawa 1986, str.783 i dalsze) 

 
1.

 

Rozkład wykładniczy określa rozstęp czasowy x pomiędzy wystąpieniami zdarzenia 
którego prawdopodobieństwo zaleŜy tylko od przedziału czasu w którym się go oczekuje, 
a nie zaleŜy od czasu trwania procesu losowego (np. czas pomiędzy nadejściem dwu 
kolejnych klientów, czas pomiędzy awariami urządzenia) 

 

10 







<

≥

⋅

=

−

0

0

0

)

(

x

gdy

x

gdy

e

a

x

f

ax

 







≥

−

<

=

−

0

1

0

0

)

(

x

dla

e

x

dla

x

F

ax

 

 

wartość oczekiwana E(x)=1/a; wariancja 

2

2

1

a

X

=

σ

 

Jest to ciągły odpowiednik rozkładu geometrycznego, gdy x=k

⋅δ

t, a=(1-p)/

δ

t, 1-p=a

⋅δ

t, 

δ

t

≅

0. (1-p) – prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia 

 

2.

 

Rozkład równomierny ma zmienna losowa x, gdy moŜe przyjmować z tym samym 
prawdopodobieństwem dowolną wartość z przedziału [a-b, a+b], b>0 i nie występuje poza 
tym przedziałem: 









+

−

∉

+

−

∈

=

]

,

[

0

]

,

[

2

1

)

(

b

a

b

a

x

gdy

b

a

b

a

x

gdy

b

x

f

 

 
 
 
 
 

 

wartość oczekiwana E(x)=a; wariancja 

3

2

2

b

X

=

σ

 

Rozkład równomierny przypisuje się zmiennym losowym, których wartości są naturalnie 
ograniczone i wynikają z oddziaływania pewnego czynnika o czysto losowym charakterze 
i ograniczonej „sile”. Przykładowo, taki rozkład moŜe mieć kwota wydawana przez 
jednego klienta w małym sklepie spoŜywczym lub kiosku.  
 
 

3.

 

Rozkład normalny czyli rozkład Gaussa: dla zmiennej X o wartości oczekiwanej m=E(X) 
i dyspersji 

σ

 (oznaczany symbolem 

N(m, 

σσσσ

)): 













σ

⋅

−

−

π

⋅

σ

=

2

2

2

)]

(

[

exp

2

1

)

(

X

E

X

X

f

 

 

Dla zmiennej standaryzowanej x rozkład Gaussa N(0, 1) ma postać 













−

π

=

2

exp

2

1

)

(

2

x

x

f

 

i w tej postaci jest on dostępny w tablicach i generatorach liczb 
Dystrybuanta rozkładu Gaussa jest funkcją nieanalityczną zapisywaną w postaci: 

∫

∫

−

∞

−

























+

=













−

π

+

=













−

π

=

x

x

x

x

erf

dt

t

dt

t

x

F

2

1

2

1

2

exp

2

2

1

2

1

2

exp

2

1

)

(

2

2

 

 

gdzie 

erf(x) (error function – funkcja błędu) jest definiowana jako  

 

( )

∫

−

−

π

=

−

∈

⋅

=

x

x

dt

t

x

x

t

P

x

erf

2

exp

2

1

])

,

[

2

(

)

(

 

 

Wartości funkcji 

erf(x) dla x=1/

2

, 2/

2

, 3/

2

 (czyli w otoczeniu wartości 

oczekiwanej o szerokości 

σσσσ

, 2

⋅⋅⋅⋅σσσσ

, 3

⋅⋅⋅⋅σσσσ

), wynoszą:  

F(x) 

0 

f(x) 

Dystrybuanta i gęstość rozkładu równomiernego 

a+b 

a-b 

x 

1 

x=a 

 

11 

erf(1/

2

)=0.6827=68.3% 

 

 

erf(2/

2

)=0.9545=95.5% 

 

 

erf(3/

2

)=0.9973=99.7% 

 

 

erf(4/

2

)=0.9999=99.99% 

Jak widać, zmienne losowe o rozkładzie normalnym praktycznie mieszczą się w zakresie (m-
3

⋅⋅⋅⋅σσσσ

, m+3

⋅⋅⋅⋅σσσσ

) (z prawdopodobieństwem 99.7%). Jest to tzw. zasada trzech sigm.  

 
UWAGA !!! Wartość erf(x) wylicza w MATLABie funkcja o nazwie erf() 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rys. 3. Rozkład Gaussa N(0,1) dla standaryzowanej zmiennej losowej x 

 
UZUPEŁNIENIE: Zasada trzech sigm stosuje się dla liczb losowych o dowolnym 
rozkładzie.  
Ujmuje to ogólnie nierówność Czebyszewa.  Niech x oznacza zmienną losową o dowolnym 
rozkładzie z ograniczoną wartością oczekiwaną E(x) i ograniczoną wariancją 

σ

2

. Wówczas  

(

)

2

1

)

(

k

k

x

E

x

P

≤

σ

⋅

>

−

  

Zatem, dowolna zmienna losowa mieści się w zakresie trzech sigm z prawdopodobieństwem 
co najmniej 90%. 

 

Rozkład normalny mają zmienne losowe, których wartości są zaleŜne od wielu czynników, 
przy czym kaŜdy z nich indywidualnie ma mały wpływ na tę wartość. Z taką sytuacją mamy 
bardzo często do czynienia w praktyce, w tym równieŜ w ekonometrii, dlatego rozkład 
normalny odgrywa bardzo waŜną rolę w zastosowaniach rachunku prawdopodobieństwa i w 
statystyce matematycznej.  

-3

-2

-1

0

1

2

3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

x

f(x)

 

12 

Formalnie ujmują to tzw. twierdzenia graniczne (patrz I.E. Brontsztejn, K.A.Siemeindiajew: 
Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Część szósta – Opracowanie danych 
doświadczalnych,. PWN, Warszawa 1986, Poradnik inŜyniera – Matematyka – Rozdział 
XXXII).  
 
 
1. Twierdzenie Lindberga-Leviego: Niech x

1,

 x

2, 

x

3,

 ... x

n,

 będzie ciągiem niezaleŜnych 

zmiennych losowych, o jednakowym rozkładzie, posiadających wartość oczekiwaną m i 
wariancję 

σ

2

. Wtedy dla kaŜdego rzeczywistego X spełniona jest relacja:  

dy

y

X

n

m

n

x

P

X

n

k

k

n

⋅













−

π

=

























<

⋅

σ

⋅

−

∫

∑

∞

−

=

∞

→

2

exp

2

1

lim

2

1

 

Oznacza to, Ŝe suma n takich zmiennych przy duŜej liczbie składników n ma rozkład zbliŜony 
do normalnego z 

wariancją równą n

⋅⋅⋅⋅σσσσ

2

 i wartością oczekiwaną równą 

n

⋅⋅⋅⋅

m.  

 
MoŜna pokazać, Ŝe jeśli liczby x

1,

 x

2, 

x

3,

 ... x

n

 mają rozkład równomierny to juŜ dla n 

zbliŜonych do 10 uzyskuje się praktycznie rozkład normalny.  
 
2. Twierdzenie Lapunowa mówi, Ŝe 

suma zmiennych x

1,

 x

2, 

x

3,

 ... x

n

 

zmierza do rozkładu 

normalnego takŜe wówczas, gdy mają one róŜne rozkłady, róŜne wartości oczekiwane m

k

 i 

wariancje 

2
k

σ

, ale muszą mieć odpowiednio silnie ograniczone momenty centralne rzędu 

trzeciego b

k

=E(|x

k

–m

k

|

3

), tak aby spełniony był następujący warunek: 

 

 

0

lim

3

1

=

σ

∑

=

∞

→

n

k

k

n

b

;  

gdzie    

∑

=

σ

=

σ

n

k

k

1

2

 jest dyspersją sumy zmiennych. 

Wartość oczekiwana m rozkładu sumy takich liczb jest oczywiście sumą m

k

 dla k=1, 2, ..n.  

 
Z powyŜszego wynika, Ŝe 

suma niezaleŜnych zmiennych losowych o dowolnych 

symetrycznych rozkładach (czyli o zerowych b

k

, ale posiadających ograniczone wartości 

oczekiwane i ograniczone wariancje), 

zmierza do rozkładu normalnego. Oczywiście, 

zbieŜność jest w tym przypadku wolniejsza niŜ dla liczb z Twierdzenia Lindberga-Leviego. 
 
3.Lokalne twierdzenie graniczne Moivre’a-Laplace’a: 

Rozkład dwumianowy o ustalonym 

prawdopodobieństwie sukcesu p 

zmierza do rozkładu normalnego, gdy liczba prób n 

rośnie do nieskończoności.  
Liczbę sukcesów S

n

 w takiej sytuacji moŜna obliczać jako zmienną losową (ciągłą) o 

rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną m=n

⋅

p i wariancją 

σ

2

= n

⋅

p

⋅

(1-p). Formalnie 

zapisuje się to w postaci: 

dy

y

b

p

p

n

p

n

S

a

P

b

a

n

n

⋅













−

π

=















≤

−

⋅

⋅

⋅

−

≤

∫

∞

→

2

2

1

1

2

exp

)

(

lim

 

 

 

13 

Twierdzenie to stosuje się juŜ dla n rzędu kilkudziesięciu. Pozwala ono oszacować przedziały 
np. liczby sztuk S

n

 pewnego artykułu (o stałym popycie) sprzedanych w ciągu dnia, z 

wykorzystaniem tablic funkcji błędu erf(x) pakietu MATLAB,  

gdzie 

)

1

(

2

p

p

n

d

x

−

⋅

⋅

⋅

=

; d - promień przedziału S

n

 wokół wartości oczekiwanej m=n

⋅

p. 

Przykładowo, dla p=0.02 i n=50 (jeden dzień) mamy E(S

n

)=1, 

σ

Sn

=0.99, co daje 

P(S

n

∈

[0,2])

≅

0.68.  

Dla n=300 (tydzień) mamy E(S

n

)=6, 

σ

Sn

=2.43, co daje P(S

n

∈

[4,8])

≅

0.59 oraz 

P(S

n

∈

[0,12])

≅

0.986, czyli, Ŝe sprzedaŜ tygodniowa praktycznie nie przekroczy 12 sztuk.  

 
W analizie danych wykorzystuje się prawa wielkich liczb.  
P

RAWO WIELKICH LICZB

 Chinczyna (Poradnik inŜyniera – Matematyka str.1072)  

Niech x

1,

 x

2, 

x

3,

 ... x

n

 oznacza ciąg niezaleŜnych liczb losowych o jednakowym rozkładzie i 

ograniczonej wartości oczekiwanej E(x)=m. Wtedy dla dowolnej liczby dodatniej 

ε

 zachodzi 

równość: 

0

1

lim

1

=













ε

≥

−

∑

=

∞

→

m

x

n

P

n

k

k

n

  

 
Jeśli dodatkowo niezaleŜne liczby losowe x mają skończoną wariancję to słuszne jest  

MOCNE PRAWO WIELKICH LICZB

, które mówi, Ŝe średnia arytmetyczna ciągu niezaleŜnych 

liczb losowych o ograniczonej wartości oczekiwanej i wariancji zmierza z 
prawdopodobieństwem 1 do ich wartości oczekiwanej.  

1

)

(

1

lim

1

=













=

∑

=

∞

→

x

E

x

n

P

n

k

k

n

 

 

4.  ELEMENTY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ 

 
Literatura:  

1.

 

J.Greń: Statystyka matematyczna – modele i zadania, PWN, Warszawa 1982 

2.

 

"Ekonometria. Metody i analiza problemów ekonomicznych". Pod red. K. Jajugi; Wydawnictwo 
AE we Wrocławiu, Wrocław 1999.  

3.

 

I.E.  Brontsztejn,  K.A.Siemeindiajew:  Matematyka  –  poradnik  encyklopedyczny.  Część 
szósta – Opracowanie danych doświadczalnych,. PWN, Warszawa 1986 

4.

 

Poradnik inŜyniera – Matematyka – Rozdział XXXIII  

5.

 

Edward Nowak: Zarys metod ekonometrii – zbiór zadań, PWN, Warszawa 1994 

6.

 

John Freund Podstawy nowoczesnej statystyki, PWE, Warszawa 1968 

 
Pojęcia podstawowe statystyki (wg J.Greń: Statystyka matematyczna) 
 
Metody statystyki stosuje się w ekonometrii w celu badania właściwości probabilistycznych 
zmiennych ekonometrycznych. Zmienne te reprezentują pewne cechy badanej zbiorowości, 
czyli populacji generalnej. Poddawane analizie dane (liczby losowe) są widziane jako losowa 
próba populacji generalnej. Aby wynik badania był miarodajny, naleŜy zadbać o 

 

14 

reprezentatywność próby. Uzyskuje się ją przez odpowiedni dobór (losowanie, rejestrację) 
elementów próby z populacji generalnej.  
Losowe wartości cechy w próbie o liczności n traktuje się jako jedną wartość n-wymiarowego 
wektora losowego. Zbiór wszystkich moŜliwych wartości tej cechy w próbie o liczności n 
nazywa się przestrzenią próby.  
Rozkład populacji, to rozkład wartości badanej cechy w populacji generalnej. Zwykle zakłada 
się, Ŝe rozkład populacji jest zbliŜony do pewnego rozkładu modelowego (patrz poprzedni 
rozdział).  
Na podstawie zebranych danych losowych moŜna obliczać statystyki z próby, czyli dowolne 
funkcje zebranych zmiennych losowych. Statystyki są takŜe zmiennymi losowymi.  
Takimi statystykami mogą być zaleŜności pozwalające na oszacowanie parametrów 
rozkładów prawdopodobieństwa badanych cech populacji generalnej. Nazywa się je 
estymatorami parametrów rozkładów. Wynikiem zastosowania estymatora jest estymata 
poszukiwanego parametru rozkładu. 
Estymator nieobciąŜony – estymator a pewnego parametru 

α

 spełniający równość E(a)= 

α

, 

co oznacza, Ŝe estymator szacuje wartość 

α

 bez błędu systematycznego, a więc pozwala 

znaleźć faktyczną wartość parametru.   
Estymator zgodny – estymator a pewnego parametru 

α

 spełniający warunek: 

 

 

 

1

)

(

lim

=

ε

<

α

−

∞

→

n

n

a

P

 

tzn, estymator, który jest stochastycznie zbieŜny do wartości parametru. Gdy uŜywa się 
estymatora zgodnego, to zwiększanie liczności próby zmniejsza błąd estymacji. 
Ogólnie, estymator zgodny moŜe być obciąŜony, a estymator nieobciąŜony moŜe nie być 
zgodny.  
Estymator efektywny – estymator o moŜliwie małej wariancji. 
 
Badania statystyczne zmiennych ekonometrycznych obejmują: 
1.

 

analizę losowości zmiennych i określenie ich rozkładu prawdopodobieństwa; 

2.

 

obliczanie czyli estymację parametrów tych rozkładów; 

3.

 

weryfikację hipotez statystycznych dotyczących rozkładów populacji generalnej 

 

Analiza losowości zmiennych i określenie ich rozkładu prawdopodobieństwa 

 
Podstawowe estymatory rozkładów zmiennych losowych 

 

1. Zgodnie z prawem wielkich liczb, jeśli cecha x populacji generalnej jest zmienną losową o 
ograniczonej wariancji 

σσσσ

2

 i ograniczonej wartości oczekiwanej m, a ciąg wartości x

1, 

x

2, ...

x

n

 

tej cechy w próbie jest ciągiem niezaleŜnych liczb losowych, to estymatorem zgodnym, 
nieobciąŜonym i najefektywniejszym wartości m=E(x) jest jej

 średnia arytetyczna:

 

E(x)=m 

≅

 

∑

=

−

=

n

k

k

x

n

x

1

1

 

Ś

rednia arytmetyczna liczb o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny o wartości 

oczekiwanej m (takiej jak liczby uśredniane) i wariancji  

n

xs

σ

=

σ

2

 

Jeśli uśredniane liczby mają rozkład inny niŜ normalny to rozkład średniej arytmetycznej 

zmierza (dla n zmierzającego do nieskończoności) do rozkładu normalnego 

)

,

(

n

m

N

σ

 

(patrz Twierdzenie Lindberga-Leviego) 
 

 

15 

1. Zgodnie z prawem wielkich liczb, jeśli cecha x populacji generalnej jest zmienną losową o 
ograniczonej wariancji 

σσσσ

2

 i ograniczonej wartości oczekiwanej m, a ciąg wartości x

1, 

x

2, ...

x

n

 

tej cechy w próbie jest ciągiem niezaleŜnych liczb losowych, to estymatorem zgodnym, 
nieobciąŜonym i najefektywniejszym wartości m=E(x) jest jej

 średnia arytetyczna:

 

E(x)=m 

≅

 

∑

=

−

=

n

k

k

x

n

x

1

1

 

Ś

rednia arytmetyczna liczb o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny o wartości 

oczekiwanej m (takiej jak liczby uśredniane) i wariancji  

n

xs

σ

=

σ

2

 

2. 

Estymatorem zgodnym, nieobciąŜonym i najefektywniejszym wariancji cechy x na 

podstawie ciągu wartości x

1, 

x

2, ...

x

n

 tej cechy w próbie o własnościach jak wyŜej, jest 

ś

redniokwadratowa odchyłka od wartości średniej obliczana wg wzoru

:

 

∑

∑

=

−

=

−

−

−

−

=

−

−

=

≅

σ

=

−

n

k

k

n

k

k

x

n

n

x

n

x

x

n

s

m

x

E

1

2

2

1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

)

(

)

(

]

)

[(

 

Występująca w mianowniku róŜnica (n-1) powoduje, Ŝe estymator jest nieobciąŜony. Wynika 
ona z faktu, Ŝe dane w liczbie n zostały juŜ wykorzystane do obliczenia wartości średniej. 
Zatem liczba jeszcze nie wykorzystanych danych wynosi (n-1).  
Formalnie moŜna to wykazać wychodząc z zaleŜności:  

∑

∑

=

−

=

−

−

=

−

=

−

n

k

k

n

k

k

x

E

M

n

x

E

M

x

x

E

M

m

x

E

1

2

2

1

2

2

}

)

{(

}

{

1

}

)

(

{

1

]

)

[(

 

gdzie M jest nieznanym jeszcze dzielnikiem estymatora.  
Ze wzorów podanych w poprzednim rozdziale wynika, Ŝe:  

2

2

2

}

{

m

x

E

x

k

+

=

σ

,  

 

2

2

2

2

2

}

{

m

n

m

x

E

x

xs

+

=

+

=

σ

σ

 

Po podstawieniu do wzoru wyŜej mamy:  

2

2

1

2

2

2

2

2

2

)

1

(

)

1

(

1

]

)

[(

x

x

n

k

x

x

m

n

n

n

M

n

m

n

m

M

m

x

E

σ

σ

σ

σ

σ

⋅

−

=













⋅

−

=













−

−

+

=

−

=

∑

=

 

Wynika stąd, Ŝe aby uzyskać toŜsamość, M powinno być równe (n-1). 
Dzielenie przez n daje zatem błąd estymatora (obciąŜenie) jakkolwiek pozostaje on zgodny.  
Dla duŜych n moŜna ten błąd zaniedbać i dzielić przez n.  

∑

∑

=

−

=

−

−

=

−

≅

n

k

k

n

k

k

x

x

n

x

x

n

s

1

2

2

1

2

2

1

1

)

(

)

(

 

Estymata wariancji obliczona jak wyŜej dla liczb o rozkładzie normalnym ma rozkład 

χ

2  

(chi-kwadrat) – patrz I.E. Brontsztejn, K.A.Siemeindiajew: Matematyka – poradnik 
encyklopedyczny. Część szósta.  
 

Zmienna losowa 

η

 ma rozkład 

χ

2

 

o k stopniach swobody, gdy gęstość 

)

(

)

(

χ

η

n

p

 wyraŜa 

się wzorem 

 

 

 

 

 

1

2

2

2

)

(

2

2

2

)

(

−

−

























Γ

=

k

k

k

k

k

e

p

χ

χ

η

 

Suma kwadratów N niezaleŜnych liczb losowych o rozkładzie normalnym N(0,1) ma rozkład 

χ

2

 

o N-1 stopniach swobody. Zatem  

 

16 

  

 

 

α

χ

χ

σ

η

=

=













−

<

<

−

∫

−

b

a

N

d

p

a

s

N

b

s

N

P

)

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

2

2

2

 

 
4.Estymatorem kowariancji dwóch zmiennych losowych x, y jest wyraŜenie

:

 

∑

=

−

−

−

⋅

−

−

=

≅

=

−

⋅

−

n

k

k

k

xy

y

x

y

y

x

x

n

K

y

x

m

y

m

x

E

1

1

1

)

(

)

(

)

,

cov(

)]

(

)

[(

 

lub w przybliŜeniu (dla duŜych n) 

∑

∑

=

−

−

=

−

−

⋅

−

⋅

=

−

⋅

−

≅

n

k

k

k

n

k

k

k

xy

y

x

y

x

n

y

y

x

x

n

K

1

1

1

1

)

(

)

(

 

 
Zachodzi równość: K

xy

=K

yx 

 
Analogicznie, dla wielowymiarowych zmiennych losowych X=[X

1

, X

2

, .. X

M

], gdzie X

1

, X

2

, .. 

X

M

 są wektorami kolumnowymi (o jednakowej długości) losowych wartości kolejnych cech w 

próbie, liczy się macierz kowariancji K wg wzoru macierzowego: 

 

 

−

−

⋅

−

⋅

=

X

X

X

X

n

K

T

T

1

 

gdzie 

T

 oznacza transpozycję macierzy,

−

X  jest wektorem wierszowym wartości średnich 

kolejnych wektorów X

1

, X

2

, .. X

M, 

, zatem 

−

X

T

 (wektor kolumnowy) pomnoŜony przez 

−

X  

(wektor wierszowy) daje macierz kwadratową o wymiarze MxM, czyli taką jak macierz K.  
 
Jeśli wektory X

1

, X

2

, .. X

M

 są wektorami wierszowymi (takie są na ogół produkowane przez 

procedury pakietu MATLAB), to macierz kowariancji K liczy się wg wzoru: 

 

 

T

T

X

X

X

X

n

K

−

−

⋅

−

⋅

=

1

 

Macierz kowariancji K jest symetryczna, tzn K

T

=K 

 
5.

Estymator funkcji autokowariancji i autokorelacji 

 
Jeśli ciąg liczb losowych jest uporządkowany wg czasu ich rejestracji, z jednakowym 
rozstępem czasowym 

∆∆∆∆

t między próbkami, czyli do kolejnych próbek moŜna przypisać 

czas liczony numerem kolejnym próbki

, to ciąg jest reprezentacją dyskretną procesu 

stochastycznego (albo inaczej – zdyskretyzowanym procesem stochastycznym).  
Jeśli badany proces stochastyczny jest stacjonarny, to estymatorem jego funkcji 
autokowariancji z rozstępem m (czyli z rozstępem czasowym 

ττττ

=m

⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆

t) ma postać 

∑

+

=

−

−

−

−

⋅

−

−

−

=

n

m

k

m

k

k

xn

x

x

x

x

m

n

m

R

1

1

1

)

(

)

(

)

(

 

Funkcję autokowariancji liczy się na ogół dla wystarczająco długich ciągów, aby moŜna było 
zastosować wzór: 

∑

∑

+

=

−

−

+

=

−

−

−













−

⋅

−

=

−

⋅

−

−

≅

n

m

k

m

k

k

n

m

k

m

k

k

xn

x

x

x

m

n

x

x

x

x

m

n

m

R

1

2

1

1

1

)

(

)

(

)

(

 

Jeśli ciąg 

x

1, 

x

2, ...

x

n

 jest ciągiem niezaleŜnych liczb losowych reprezentujących stacjonarny 

proces stochastyczny, to 







>

=

σ

=

∞

−

0

0

0

2

m

dla

m

dla

m

R

x

xn

n

)

(

lim

 

 

17 

Estymatorem unormowanej funkcji autokowariancji (czyli autokorelacji) r

xn

(m) jest 

wyraŜenie 

 

2

x

xn

xn

s

m

R

m

r

)

(

)

(

=

 

Dyskusje ocen autokowariancji ciągu r

nm

 dla kolejnych m zawiera podręcznik 

[Mańczak Nahorski] str.66.  Dla duŜych n i duŜych m mamy:  

∑

∞

−∞

=

+

+

=

k

k

k

m

m

n

r

r

1

1

1

)

,

cov(

ρ

ρ

 

ρ

m

 – prawdziwa wartość funkcji 

Stąd wynika oszacowanie wariancji r

m

 













+

=

∑

∞

=

1

2

2

1

1

)

var(

k

k

m

n

r

ρ

  

 

 

 

(i) 

Jeśli proces x

i

 jest liniowy i spełnia warunki:  

∑

∞

−∞

=

−

=

k

k

n

k

n

a

x

ξ

 

∑

∞

−∞

=

∞

<

k

k

a

2

 

∑

∞

−∞

=

∞

<

k

k

a |

|

 

∑

∞

−∞

=

∞

<

k

k

a

k

2

|

|

 

to wielowymiarowy rozkład zmiennych 

)

,

0

(

)

(

W

N

r

n

n

m

m

∞

→

→

−

ρ

.  

Dla duŜych n istotność funkcji autokorelacji moŜna badać metodą Boxa:  

1.

 

Zakładamy, Ŝe 

ρ

1

, ..., 

ρ

k

 są zerowe 

2.

 

obliczamy wariancje r

m

 ze wzoru (i) i sprawdzamy hipotezę j.w. dla m=1 

3.

 

jeśli naleŜy ją odrzucić przyjmujemy 

ρ

1

=r

1

 i sprawdzamy hipotezę dla m=2 

4.

 

w taki sam sposób sprawdzamy dla dalszych m  

 
Szeregi rozdzielcze i estymacja rozkładu prawdopodobieństwa 
 
Histogram  
a)

 

dzielimy przedział zmienności zbioru liczb x na pewną liczbę m podprzedziałów o 
szerokości 

∆

x

i

. i grupujemy liczby w klasy takie, aby w i-tej klasie znalazły się wszystkie 

liczby x

k

 

∈

(

]

.

,

.

i

i

i

i

x

x

x

x

∆

+

∆

−

−

−

5

0

5

0

 NaleŜy przy tym tak dobrać liczbę klas lub ich 

szerokości, aby w kaŜdej klasie znalazło się co najmniej 10 liczb Uzyskuje się w ten 
sposób 

szereg rozdzielczy zmiennej x.  

b)

 

dla kaŜdego przedziału liczymy wysokość słupka histogramu p

i

 wg wzoru: 

i

i

i

x

n

n

p

∆

=

1

 

 

Wartość p

i

 jest estymatą prawdopodobieństwa P

i

{x 

∈

(

]

.

,

.

i

i

i

i

x

x

x

x

∆

+

∆

−

−

−

5

0

5

0

} 

c)

 

robimy wykres słupkowy wartości p

i

 względem 

i

x

−

i uzyskujemy histogram. 

Na tle histogramu wskazane jest wykreślenie przypuszczalnego rozkładu teoretycznego (lub 
zestawu rozkładów) populacji generalnej, z parametrami E(x) oraz s

2

 obliczonymi jak wyŜej.  

Jeśli danych jest wystarczająco duŜo, najwygodniej jest przyjąć stałą szerokość klas szeregu 
rozdzielczego. MoŜna do tego wykorzystać 

funkcję hist(x,k) z pakietu MATLAB. Tworzy 

ona szereg rozdzielczy wektora x z liczbą przedziałów k, a następnie wykreśla histogram dla 
liczności n

i

 próbek w podprzedziałach (a nie dla p

i

 jak zalecono w punkcie b) 

 
Histogram moŜna wykonać dla dowolnego zbioru liczb, ale ma on sens, gdy liczby te są 
liczbami losowymi. Sam kształt histogramu nie rozstrzyga kwestii losowości danych, 

 

18 

jakkolwiek moŜe sugerować, Ŝe są lub nie są one losowe. Hipotezę losowości naleŜy przyjąć 
wcześniej na podstawie analizy przyczyn losowości danych, obecności pewnych oddziaływań 
deterministycznych, czy wreszcie przypuszczalnego rozkładu prawdopodobieństwa danych. 
Na ogół dla zmiennych ciągłych rozkład ten winien być zbliŜony do normalnego, w pewnych 
przypadkach – do równomiernego. Stwierdzenie duŜych rozbieŜności histogramu od takiej 
hipotezy moŜe być spowodowane: 
a)

 

niejednorodnością próbki, tzn. występowaniem kilku (np. dwóch) klas danych o róŜnych 
rozkładach; 

b)

 

zaleŜnością parametrów rozkładu (głównie wartości oczekiwanej) od pewnych czynników 
nielosowych (np. czasu lub zmiennych egzogenicznych) 

W przypadku (a) zbiór danych naleŜy rozdzielić na podzbiory jednorodne statystycznie.  
W przypadku (b) naleŜy znaleźć najpierw odpowiednie zaleŜności ekonometryczne badanej 
zmiennej (endogenicznej) od znanych czynników egzogenicznych, a następnie poddać 
analizie probabilistycznej odchyłki losowe danych od tych zaleŜności. Będzie to przedmiotem 
następnego rozdziału opracowania.  
 
Estymacja przedziałowa 
Jak, wspomniano, estymaty są liczbami losowymi o określonym rozkładzie 
scharakteryzowanym dyspersją i wartością oczekiwaną. W związku z tym wynik estymacji 
moŜna przedstawić jako estymatę wartości oczekiwanej parametru oraz przedział, w którym 
z zadanym prawdopodobieństwem – zwanym poziomem ufności – mieści się prawdziwa 
wartość parametru. Przedział taki nazywa się przedziałem ufności, sam sposób postępowania 
– estymacją przedziałową.  
Zwykle podaje się przedział ufności o szerokości 1

⋅σ

, 2

⋅σ

 lub 3

⋅σ

. Dla rozkładu normalnego 

estymatora odpowiada to poziomowi ufności odpowiednio: 68.3%, 95.5% i 99.7% 
 

Zgodność histogramu z załoŜonym rozkładem prawdopodobieństwa testuje się m.in. 

przy pomocy statystyki 

χ

2

 (kryterium 

χ

2

 Pearsona).  

Niech F(x) oznacza załoŜoną (teoretyczną) dystrybuantę zmiennej losowej x, f(x) – funkcję 
gęstości prawdopodobieństwa, 

∆

1

, 

∆

1

, ..., 

∆

j

, ..., 

∆

L

 ciąg rozłącznych przedziałów histogramu 

o wartości średniej x

j

, n

j

 - liczbę danych w j-tym przedziale. Wówczas, dla N

→∞

 statystyka   

 

(

)

∑

∑

∫

∫

=

=

∆

∆

∆

⋅

−

∆

⋅

≅















−

=

L

j

L

j

j

j

j

j

j

j

j

j

x

f

N

n

x

f

N

x

dF

N

n

x

dF

N

1

1

2

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

χ

 

ma rozkład 

χ

2

 

o L-1

 

 stopniach swobody. W praktyce wystarcza, aby min

j

 N

 

f(x)

∆

j

>10.  

 

5. Modele ekonometryczne 

 
Literatura:  

1.

 

Manikowski  A.,  Tarapata  Z.:  Prognozowanie  i  symulacja  rozwoju  przedsiębiorstwa. 
WSE Warszawa 2002 

2.

 

Pawłowski Z. " Zasady predykcji ekonometrycznej" PWN, Warszawa 1982.  

3.

 

Zeliaś A. "Teoria prognozy" PWE, Warszawa 1997.  

4.

 

Dittmann  P.,  Metody  prognozowania  sprzedaŜy  w  przedsiębiorstwie,  wyd.  6,  Wyd.  AE 
Wrocław, 2002. 

 

19 

5.

 

Gajda  J.B.,  Prognozowanie  i  symulacja  a  decyzje  gospodarcze,  C.H.Beck  Warszawa, 
2001. 

6.

 

Radzikowska B. (red.), Metody prognozowania. Zbiór zadań, wyd. 3, Wyd. AE Wrocław, 
2001. 

7.

 

Zeigler B.P, Teoria modelowania i symulacji, PWN Warszawa, 1984. 

8.

 

K.  Molenda,  M.  Molenda,  Analiza  i  prognozowanie  szeregów  czasowych,  Placet, 
Warszawa 1999 

9.

 

E.  Nowak.  (red.)  Prognozowanie   gospodarcze.  Metody,  modele,  zastosowania, 
przykłady. Placet  1998 

10.

 

Cieślak M. Prognozowanie gospodarcze. Wydawnictwo AE Wrocław, 1998.  

11.

 

Henry Theil: Zasady ekonometrii, PWN, Warszawa, 1979 

12.

 

Zbigniew Pawłowski: Ekonometria, PWN, Warszawa 1969 

6.

 

G.E.P.Box, G.M.Jenkins: Analiza szeregów czasowych, PWN, Warszawa, 1983 

 
Modelem ekonometrycznym nazywa się zaleŜność stochastyczną wartości oczekiwanych 
zmiennych endogenicznych od deterministycznych zmiennych egzogenicznych.  
Schemat ujęcia zagadnienia zilustrowano na Rys.1.  
 
Model ekonometryczny zapisuje się ogólnie w postaci: 

)

(

^

X

f

y

=

; 

gdzie X jest wektorem wartości zmiennych, przyjętych jako istotnie oddziałujące na zmienną 
objaśnianą y. Zmienna objaśniająca y ma wartość:  

 

 

e

y

y

+

=

^

 

gdzie e jest błędem modelu spowodowanym z załoŜenia tylko czynnikami losowymi.  
 
Jeśli wektor X zawiera tylko zmienne egzogeniczne (zewnętrzne) przypisane do tej samej 
chwili czasu co zmienna endogeniczna, to model jest równaniem algebraicznym opisującym 
proces ekonomiczny w stanie wewnętrznej równowagi, a model nazywa się zaleŜnością 
statyczną.  
Modele statyczne buduje się w celu znalezienia ilościowych i stałych w czasie powiązań 
zmiennych egzogenicznych z endogenicznymi.  
 
Jeśli co najmniej jedna spośród zmiennych X jest zmienną endogeniczną zarejestrowaną w 
poprzednich chwilach czasu, lub zmienne egzogeniczne brane są z wcześniejszych chwil 
czasu niŜ y, to model jest dyskretnym zapisem równania róŜniczkowego (czyli równaniem 
róŜnicowy) i opisuje przebieg zjawiska dynamicznego (uwarunkowanego wewnętrzną 
dynamiką badanego procesu ekonomicznego). Taki model nazywa się modelem dynamiki 
zjawiska. Modele takie wykorzystuje się w ekonometrii głównie do prognozowania przebiegu 
zjawiska w przyszłości (matematyczne prognozowanie procesów ekonomicznych, np. cen, 
zapotzrzebowania itp.) 
 
W ekonometrii czynniki losowe odgrywają zwykle duŜą rolę, stąd konieczność poszukiwania 
raczej prostych zaleŜności f(X).  
 
W praktyce najczęściej stosuje się modele jednoczynnikowe, gdzie mamy tylko jedną 
zmienną objaśniającą. Opracowanie wiarygodnych modeli wieloczynnikowych jest zadaniem 
bardzo trudnym i wymaga często długotrwałych badań.  
 

 

20 

Szczególnym przypadkiem modeli jednoczynnikowych są takie, gdzie jedyną zmienną 
objaśniającą jest czas t. ZaleŜność ekonometryczną tego typu nazywa się często trendem, a 
wyliczanie odchyłek danych od takiej zaleŜności – ekstrakcją trendu. Formalnie, zaleŜność 
taka jest zaleŜnością statyczną, niemniej moŜe być (i często jest) wykorzystywana do analizy 
dynamicznego przebiegu zjawiska. W szczególności stosuje się takie modele do 
prognozowania zjawisk (tzw. modele Browna).  
 
Modele regresyjne, liniowe 
 
Bardzo waŜną grupę modeli ekonometrycznych stanowią modele liniowe o ogólnej postaci: 
 

A

U

X

u

a

y

n

K

k

kn

k

n

⋅

=

⋅

=

∑

=

0

^

)

(

 

gdzie 

U

n

 jest wektorem wierszowym tzw. wejść uogólnionych [

u

0n

, 

u

1n

, ..., 

u

Kn

], 

A – 

wektorem kolumnowym nieznanych współczynników modelu 

A=[a

0

, 

a

1

, ..., 

a

K

].  

 
Wejścia uogólnione są to funkcje algebraiczne zmiennych objaśniających, zadane wraz ze 
wszystkimi koniecznymi współczynnikami, tak aby mając wartości zmiennych X

n

 w 

kolejnych próbkach 

n=1..N, moŜna było obliczyć wszystkie wartości U

n

 dla 

n=1, ..N.  

Zatem, dane o wejściach X pozwalają obliczyć całą macierz 

U złoŜoną z wierszy U

n

. 

Niech 

^

,

Y

Y

oznaczają wektory kolumnowe wartości 

^

,

n

n

y

y

 dla n=1, .. N; E – wektor 

kolumnowy kolejnych wartości zakłóceń e

1

,

 

e

2

, ..., e

N

. MoŜna ogólnie zapisać formuły: 

 

E

A

U

Y

+

⋅

=

;  lub 

E

Y

Y

+

=

^

 gdzie 

A

U

Y

⋅

=

^

 

 
W ekonometrii najczęściej wykorzystuje się takie modele bądź jako 

modele wieloczynnikowe 

liniowe, tj. biorąc U

n 

≡

 X

n

, lub jako 

modele jednoczynnikowe, w których wejścia u(x) są 

prostymi funkcjami, przewaŜnie jednomianami. W ostatnim przypadku mamy modele 
wielomianowe (najpopularniejsze).  
Postać wejść U oraz ich liczba to 

struktura modelu regresyjnego. Struktura modelu 

regresyjnego musi być ustalona arbitralnie. Mając tę strukturę naleŜy obliczyć parametry A. 
Wyznaczanie parametrów A nazywa się identyfikacją modelu. Realizuje się ją w następujący 
sposób: 
a)

 

Dokonuje się pomiarów w liczbie N>K+1, tak aby nadmiar danych w stosunku do liczby 
nieznanych współczynników pozwolił dobrać optymalne współczynniki 

b)

 

Definiuje się kryterium jakości modelu  

c)

 

Oblicza się wartości współczynników rozwiązując zadanie optymalizacji polegające na 
minimalizacji kryterium (b) 

Najprostszy algorytm uzyskuje się przyjmując jako kryterium (b) sumę kwadratów błędów 
modelu. Nazywa się to 

metodą najmniejszych kwadratów MNK.  

Takie zadanie ma rozwiązanie analityczne, tzn. optymalny wektor współczynników modelu 
wyraŜa się wzorem macierzowym:  

[

]

Y

U

U

U

A

T

T

⋅

⋅

⋅

=

−

1

 

UWAGA !!!  
Wyznaczone w powyŜszy sposób 

parametry A mają sens tylko wówczas, gdy macierz U jest 

dobrze uwarunkowana, tzn. wynik jej odwracania jest słabo zaleŜny od błędów 
numerycznych. 

Sprawdza się to procedurą svd() z biblioteki MATLAB. Uwarunkowanie nie 

zaleŜy od wartości wyjść procesu (i ich składnika losowego) ale tylko od struktury funkcji 

 

21 

regresji i zmienności wejść (im mniejsza zmienność tym gorsze uwarunkowanie). 
Uwarunkowanie moŜna  zatem poprawić tylko przez zmianę struktury modelu lub zebranie 
bardziej zróŜnicowanych danych wejściowych.  
 
Warto podkreślić, Ŝe taki sam wzór określa współczynniki optymalnej aproksymacji dowolnej 
funkcji y(u) zadanej w N punktach. Model ekonometryczny ma być jednak zaleŜnością 
stochastyczną, a nie aproksymatą pewnej funkcji deterministycznej. Oznacza to, Ŝe błedy 
modelu chcemy interpretować jako spowodowane tylko czynnikami losowymi, a nie 
wynikające z arbitralnego doboru wartości funkcji.  
Aby uzyskany model mógł być interpretowany jako zaleŜność stochastyczna winny być 
spełnione następujące warunki (podane przez Gaussa) (patrz Z.Pawłowski: Ekonometria): 
a)

 

zmienne objaśniające X, a więc takŜe U winny być nielosowe (czyli dokładnie znane), i U 
nie mogą być liniowo współzaleŜne (ogólnie – macierz U musi być dobrze 
uwarunkowana, co jest konieczne, aby obliczenia dawały sensowne rezultaty) 

b)

 

 składnik losowy e zmiennej objaśnianej musi mieć zerową wartość oczekiwaną E(e)=0, i 
skończoną oraz stałą wariancję (niezaleŜną od czasu przypisanego do kolejnych danych)  

c)

 

ciąg {e

n

, n=1,2, ..N}musi być ciągiem niezaleŜnych liczb losowych 

d)

 

składnik losowy e nie moŜe być skorelowany ze zmiennymi objaśniającymi 
uwzględnionymi w modelu.  

Jeśli te załoŜenia są spełnione to estymatory A współczynników modelu są zgodne i 
nieobciąŜone, a ich macierz kowariancji wyraŜa się prostym wzorem: 
 
 

 

 

 

2

1

]

[

r

T

A

s

U

U

K

⋅

⋅

=

−

 

gdzie 

2

r

s  oznacza estymatę wariancji reszt modelu.  

Pozwala to wyznaczać nie tylko samą funkcję regresji, ale takŜe przedziały ufności dla tej 
funkcji oraz prognoz zmiennej y, regresji w oparciu o oceny wariancji funkcji regresji 

2
ym

s

 i 

wariancji przewidywanej zmiennej objaśnianej 

2
y

s

, które oblicza się ze wzorów:  

 

 

 

T
n

A

n

ym

u

K

u

s

⋅

⋅

=

2

;  

2

2

2

r

ym

y

s

s

s

+

=

 

 
Model jednoczynnikowe wielomianowe mają wejścia uogólnione o postaci: 

u

0n 

≡≡≡≡

 1; (stała modelu) 

u

1n

= x

n 

u

2n

= (x

n

)

2 

......... 

 

u

Kn

= (x

n

)

K

 

 
Model z ograniczeniami równościowymi [Pawłowski str.120] 

BA=C    

B – znana macierz, C – znany wektor, A – wektor współczynników oryginalnych.  
Zmodyfikowany wektor parametrów wyraŜa się wzorem: 

[

]

C

H

A

HB

I

A

⋅

+

−

=

*

 

gdzie  

1

1

1

]

)

(

[

]

[

−

−

−

⋅

⋅

⋅

=

T

T

T

T

B

U

U

B

B

U

U

H

 

Macierz kowariancji ma postać: 
 

[

]

[

]

2

1

]

[

*

r

T

T

A

s

HB

I

U

U

HB

I

K

⋅

−

⋅

−

=

−

 

 

22 

 
Funkcje korelacyjne a zaleŜności regresyjne  
 

W przypadku szeregów czasowych, stosowaną powszechnie analizę współczynnika 

korelacji zmiennych losowych moŜna łatwo rozszerzyć, badając korelacje szeregów 
przesuniętych względem siebie w czasie, czyli funkcje korelacyjne. Dla szeregów X

Nd

={x

1

, .. 

x

N-d

}, Y

N

={y

d+1

, .. y

N

}przesuniętych o d próbek definiuje je formuła:  

∑

+

=

−

−

−

−

−

−

=

≅

−

−

−

−

=

N

d

n

sr

d

n

sr

n

x

y

def

yxd

d

N

N

sr

d

N

sr

N

def

yxd

x

x

y

y

s

s

d

N

R

x

X

E

y

Y

E

x

X

y

Y

E

R

1

*

2

2

)

)(

(

1

1

}

)

{(

}

)

{(

)}

)(

{(

 

       (1) 

∑

+

=

−

−

−

=

N

d

n

sr

d

n

x

x

x

d

N

s

1

2

)

(

1

, 

∑

+

=

−

−

=

N

d

n

sr

n

y

y

y

d

N

s

1

2

)

(

1

   

 

 

(2) 

 

gdzie s

x

, s

y

,

y

, 

x

, y

sr

, x

sr

 oznaczają dyspersje, wartości oczekiwane i średnie ciągów X

Nd

 i Y

N

.  

Wzór (1) moŜna zastosować dla dowolnych ciągów, ale funkcja R

yxd

 jest miarodajna, gdy 

są one stacjonarnymi szeregami czasowymi [6].  

Przyjmijmy, Ŝe szeregi Y

N

, X

Nd

 mają zerowe wartości średnie (y

sr

=0, x

sr

=0) (co moŜna 

zawsze uzyskać prowadząc analizy dla szeregów scentrowanych) i są powiązane liniową 
funkcją regresji:  

n

d

n

n

z

ax

y

+

=

−

, 

d

n

n

ax

y

−

=

ˆ

 

 

 

 

 

 

(3) 

gdzie z

n

 są próbkami zakłócenia, 

n

yˆ

- wartością oczekiwaną E{y

n

} (zaleŜną liniowo od x

n-d

). 

Jeśli zakłócenia z

n

 mają rozkład normalny z zerową wartością oczekiwaną oraz stałą wariancją 

(niezaleŜną od n), i nie są skorelowane z poprzednimi wartościami (E{z

n

z

n

−

m

}=0 dla m

 

>0) i ze 

zmienną x (E{z

n

x

n

−

d

}=0), to optymalny, zgodny i nieobciąŜony estymator  współczynnika a 

wyraŜa się wzorem wynikającym z metody najmniejszych kwadratów [Paw]:  

 

*

*

2

1

1

2

1

yxd

x

y

yxd

x

y

s

N

d

n

d

n

n

N

d

n

d

n

R

s

s

R

s

s

s

x

y

x

a

⋅

=

=

=

∑

∑

+

=

−

+

=

−

   

 

 

 

(4) 

Dyspersję s

e

 błędów zaleŜności (3) wyraŜa wzór:  

2

*

1

2

*

1

2

)

(

1

)

(

1

)

(

1

yxd

y

N

d

n

d

n

yxd

x

y

n

N

d

n

d

n

n

def

e

R

s

x

R

s

s

y

d

N

ax

y

d

N

s

−

=

⋅

−

−

=

−

−

=

∑

∑

+

=

−

+

=

−

 

 

(5) 

a dyspersja współczynnika a obliczonego ze wzoru (4) wynosi:  

d

N

R

s

s

d

N

s

s

s

x

s

yxd

x

y

x

e

e

N

d

n

d

n

a

−

−

=

−

=

=

∑

+

=

−

2

*

1

2

)

(

1

1

1

   

 

 

 

(6) 

Miarą zasadności stosowania modelu regresyjnego (3) jest statystyka Studenta (t) jego 

współczynnika a:  

2

*

*

)

(

1

yxd

yxd

a

def

a

R

d

N

R

s

a

t

−

−

=

=

 

 

 

 

 

(7) 

Wynika stąd teŜ zaleŜność między statystyką Studenta i współczynnikiem korelacji, którą 

wykorzystuje się do testowania istotności korelacji [A.Manikowski, Z.Tarapata: 
Prognozowanie i symulacja rozwoju przedsiębiorstwa. WSE Warszawa 2002 (str. 172)]:  

2

2

*

2

a

a

yxd

t

d

N

t

R

+

−

−

=

 

 

 

 

 

(7a) 

 

23 

Dla odpowiednio długich, nieskorelowanych ciągów (N-d

 

>30) statystyka t

a

 ma rozkład 

Gaussa N(0,1) [Pa]. Uzyskanie wartości t

a

>3 oznacza zatem, Ŝe zaleŜność (3) jest istotna na 

poziomie istotności 0.3%. Zatem, jeśli R

yxd 

≠

 0, to wykazanie tego wymaga ciągu o długości  

(

)

1

)

(

9

2

*

−

>

−

−

yxd

R

d

N

    

 

 

 

 

(8) 

Bardziej praktyczną miarą przydatności modelu jest jednak stopień redukcji niepewności 

informacji o wartościach y

n

 uzyskiwanych wg wzoru (3) względem oceny trywialnej, jaką 

daje średnia wartość y

sr

 szeregu Y

N

 . Zgodnie ze wzorem (5) miarę tę wyraŜa formuła:   

2

*

)

(

1

yxd

y

e

R

s

s

−

=

 

 

 

 

 

 

(9) 

Jeśli szeregi Y

N

, X

N-d

 są stacjonarne, to dla odpowiednio duŜych wartości N, np. 

spełniających relację (8), uzyskuje się 

*
yxd

R

≅

R

yxd

 =const, s

y

≅

σ

y

, s

x

≅

σ

x

, s

e

≅

σ

e

 oraz: 

2

1

/

yxd

y

e

R

−

=

σ

σ

,   

 

 

 

 

(10) 

gdzie 

σ

x

, 

σ

y

, 

σ

e

 są stałymi odchyleniami standardowymi zmiennych x, y i błędów modelu (3),  

Wówczas właściwości prognoz uzyskiwanych przez zastosowanie modelu (3), t.j.  

  

n

d

n

ax

y

=

+

ˆ

 

 

 

 

         (11) 

moŜna miarodajnie ocenić wg wzoru (9), a istotność zaleŜności (3) – wg. wzoru (8).  
W przeciwnym wypadku ekstrapolacja zawarta w formule predyktora (11) moŜe wprowadzać 
znaczący błąd, większy niŜ wynikałoby to ze wzoru (9), szczególnie dla małych N.  

Modele regresyjne dynamiki procesów (modele ARMAX) 

WaŜną rolę odgrywają regresyjne, liniowe modele dynamiki procesów wynikające z równań 
róŜnicowych opisujących przebieg procesu w dyskretnych chwilach czasu:  

n

K

k

k

n

j

J

j

m

j

n

j

I

i

i

n

i

n

z

z

x

y

y

+

⋅

γ

+

⋅

β

+

⋅

α

=

∑

∑

∑

=

−

=

−

−

=

−

1

1

1

 

gdzie pierwszą sumę nazywa się członem autoregresyjnym (AR), a sumy druga i trzecia są 
ś

rednimi ruchowymi (moving average MA) dla zmiennych egzogenicznych X (np. sterowań 

branych z zadanym opóźnieniem m próbek) oraz zakłóceń z (zakłocenia z są z załoŜenia 
ciągiem niezaleŜnych liczb losowych o zerowej wartości oczekiwanej) .   
Modele takie omawia obszernie monografia G.E.P.Box, G.M.Jenkins: Analiza szeregów 
czasowych, PWN, Warszawa, 1983.  
W pakiecie MATLAB są procedury do identyfikacji współczynników modeli ARMAX.  
 
W przypadku, gdy wejścia są nieznane (np. gdy interesują nas przebiegi wejść zakłócających 
widzianych jako efekt czynników wyłącznie losowych), stosuje się model ARMA: 

n

K

k

k

n

j

I

i

i

n

i

n

z

z

y

y

+

⋅

γ

+

⋅

α

=

∑

∑

=

−

=

−

1

1

 

Jest on często stosowany do prognozowania takich zakłóceń (jako alternatywa dla model 
Browna).  

UWAGA !!! W modelu ARMA (a tak

Ŝ

e ARMAX) zakłada si

ę

, 

Ŝ

e zakłócenia z maj

ą

 

warto

ść

 oczekiwan

ą

 zerow

ą

.  Je

ś

li nie jest to spełnione, a w szczególno

ś

ci, gdy 

warto

ść

 ta jest zmienna, lepiej zastosowa

ć

 model ARMA dla ró

Ŝ

nic wyj

ść

 y i 

zakłóce

ń

. Taki model nazywa si

ę

 modelem ARIMA (scałkowany model ARMA)