plik

Technologia informacyjna

Spis treści

Opracowanie dokumentu .................................................................................................... 6

1.1

Ogólne zasady pisania tekstu....................................................................................... 6

1.1.1

Przejrzystość tekstu ............................................................................................. 6

1.1.2

Pisanie wzorów ................................................................................................. 11

1.1.3

Tabele ............................................................................................................... 12

1.1.4

Wykresy ............................................................................................................ 14

1.2

Formatowanie dokumentu przed wydrukiem ............................................................. 15

1.2.1

Podział i numeracja stron................................................................................... 15

1.2.2

Tworzenie spisu treści ....................................................................................... 16

Pakiet biurowy Worda ...................................................................................................... 17

2.1

Szablony i formularze ............................................................................................... 17

2.2

Korespondencja seryjna ............................................................................................ 18

2.2.1

Listy seryjne...................................................................................................... 18

2.2.2

Etykiety adresowe ............................................................................................. 19

2.3

Makra ....................................................................................................................... 20

Obliczenia w Excelu ......................................................................................................... 24

3.1

Pisanie formuł ........................................................................................................... 25

3.2

Makra ....................................................................................................................... 28

3.2.1

Projekt arkusza obliczeniowego......................................................................... 30

3.3

Rysowanie wykresów................................................................................................ 31

3.3.1

Wykresy o zwiększonej liczbie osi .................................................................... 31

3.3.2

Skala logarytmiczna .......................................................................................... 33

3.3.3

Linia trendu ....................................................................................................... 34

3.3.4

Wykresy powierzchniowe.................................................................................. 35

Wybrane funkcje programu Excel ..................................................................................... 36

4.1

Funkcje inżynierskie – liczby zespolone.................................................................... 36

4.2

Funkcje matematyczne – rachunek macierzowy ........................................................ 38

4.3

Polecenie Szukaj wyniku............................................................................................ 39

4.4

Deklaracja własnej funkcji ........................................................................................ 41

4.5

Solver ....................................................................................................................... 42

Pakiet biurowy Excela ...................................................................................................... 48

5.1

Formatowanie arkusza............................................................................................... 48

5.2

Prezentacja i przetwarzanie danych w arkuszu .......................................................... 50

5.2.1

Konsolidowanie danych .................................................................................... 50

5.2.2

Filtrowanie danych ............................................................................................ 51

5.2.3

Sumowanie danych............................................................................................ 52

5.2.4

Tworzenie konspektu......................................................................................... 53

5.2.5

Tabele przestawne ............................................................................................. 55

5.2.6

Wykresy przestawne.......................................................................................... 58

5.2.7

Scenariusze ....................................................................................................... 59

5.2.8

Kontrolki z okna dialogowego ........................................................................... 60

Podstawowe wiadomości o środowisku Matlab................................................................. 63

6.1

Wiadomości wstępne ................................................................................................ 63

6.2

Pomocnicze polecenia okna Command Window ....................................................... 64

6.3

Skrypty i funkcje użytkownika .................................................................................. 67

6.4

Operacje na macierzach i tablicach wartości.............................................................. 69

6.5

Funkcje wspomagające generowanie macierzy.......................................................... 80

6.6

Liczby zespolone ...................................................................................................... 81

Technologia informacyjna - WORD

1. Opracowanie dokumentu

Rozmiar papieru A4 i orientacja pionowa są domyślnymi ustawieniami strony w programie

Word.  Przed  rozpoczęciem  pisania  tekstu  należy  ustalić  marginesy  strony  (Plik  –  Ustawienie
strony  –  Marginesy)  oraz  jeżeli  jest  to  wymagane  zmienić  odpowiednio  rozmiar  papieru
orientację  strony.  Domyślne  parametry  czcionki  są  następujące:  Czcionka:  Times  New  Roman,
Styl czcionki: Normalny, Rozmiar: 12. Jeżeli tekst ma być pisany inną czcionką, to należy przed
rozpoczęciem pisania dobrać odpowiedni jej typ (ćw. 1, ćw. 2, ćw. 3).

1.1 Ogólne zasady pisania tekstu

1.1.1 Przejrzystość tekstu



menu Format polecenie Akapit

Rys.1.1 Widok okna polecenia Akapit

Tekst powinien być podzielony na wyraźnie zaznaczone akapity; należy ustalić odstęp

przed i po akapicie (Wcięcia i odstępy - Odstępy: Przed (np. 6 pt), Po (np.6 pt)). Nie powinno się
używać pustych wierszy dla zwiększania odległości między akapitami.

Należy także w każdym akapicie zastosować wcięcie pierwszego wiersza Wcięcia

i odstępy - Specjalne: Pierwszy wiersz – Wielkość (np. 1 cm). Wiersz końcowy akapitu powinien
być krótszy od pozostałych, ale nie może być za krótki (co najmniej 7 znaków).

Podział tekstu na akapity zależy od treści w nim zawartej, każdy nowy wątek powinien być

umieszczony w nowym akapicie. Wciśnięcie klawisza Enter powoduje przejście do nowego
akapitu.

Pojedynczy wiersz akapitu nie powinien znajdować się ani na końcu strony (sierota)

ani  na  początku  strony  (wdowa).  Można  to  wyeliminować  dzięki  opcjom  dostępnym
w  programie  (Format  –  Akapit  –  Podział  wiersza  i  strony  –  Kontroluj  sieroty  i  wdowy).
Podobnie  nie  powinno  się  oddzielać  rysunków,  tabel,  wykresów  od  ich  podpisów  a  także
wzorów  i  ich  oznaczeń.  W  tym  przypadku  należy  korzystać  z  możliwości  odpowiedniego
podziału  strony  (Wstaw  –  Podział:  Typy  podziałów:  Podział  strony).  Nie  powinno  się  używać
pustych wierszy w celu przejścia do następnej strony.

Technologia informacyjna - WORD

Przeważnie wyrównuje się tekst do prawej i lewej strony (justuje) (Wcięcia i odstępy –

Wyrównanie:  Do  lewej  i  prawej).  Justowanie  tekstu  powoduje,  że  zmieniają  się  odstępy
pomiędzy  poszczególnymi  wyrazami  w  zależności  od  ilości  wyrazów  w  wierszu  i  ich  długości.
W  pewnych  przypadkach  powinno  się  jednak  zachować  ustaloną  odległość  pomiędzy  dwoma
kolejnymi  wyrażeniami  (np.  między  wartością  a  jej  jednostką),  wówczas  między  nimi  należy
zastosować tzw. twardą spację (Ctr+Shift+Spacja).

Wyrazy złożone, których nie należy rozdzielać (np. biało-czerwony) powinny być

połączone łącznikiem nierozdzielającym (Ctr+Shift+-).

Na końcu żadnej linii tekstu nie powinien znajdować się spójnik, jednoliterowy przyimek

bądź też partykuła przecząca nie. Każdy taki element należy przenieść do nowego wiersza
naciskając klawisze (Shift+Enter). Przenoszenia należy dokonać po napisaniu i sprawdzeniu
całego tekstu.



menu Format polecenie Tabulatory

Rys.1.2 Widok okna polecenia Tabulatory

Tabulatory to znaki rozmieszczone wzdłuż szerokości strony służące do wyrównywania

tekstu  w  wierszach.  Jeżeli  w  danym  wierszu  ma  znaleźć  się  kilka  słów  w  określonych
odległościach  od  siebie,  to  najlepiej  do  tego  celu  wykorzystać  tabulatory,  które  należy
odpowiednio  ustawić,  natomiast  nie  wolno  nigdy  stosować  spacji  do  zwiększania  odległości
między  wyrazami.  Do  obsługi  znaków  tabulacji  służy  klawisz  Tab;  po  jego  wciśnięciu  kursor
przesuwa  się  o  zadeklarowaną  odległość.  Położenie  domyślne  tabulatora  umożliwia  zmianę
położenia kursora o stałą wartość wzdłuż całej szerokości strony. Znaki tabulacji pomagają także
w  ustawieniu  odpowiedniego  wyrównania  tekstu.  Poniżej  pokazany  został  przykład  ustawienia
tabulatora  lewego  (tekst  wyrównany  do  lewej),  prawego  (tekst  wyrównany  do  prawej)
oraz wyrównującego tekst do środka.

Rys. 1.3 Widok linijki poziomej z ustawionymi tabulatorami

Dodanie do tabulatora znaku wiodącego pozwala na narysowanie jednej z trzech

wybranych linii o określonej długości i położeniu, które zależą od ustawienia tabulatora.

Technologia informacyjna - WORD

W programie Word istnieje zarówno możliwość dodania lub usunięcia dostępnych pasków

narzędzi (prawy klawisz na menu) jak i dodania lub usunięcia poleceń z wybranego paska
(prawy klawisz na menu Dostosuj - Polecenia). Będąc w trybie Dostosuj można przeciągnąć
ikonę wybranego polecenia na dany pasek lub usunąć z paska dowolne polecenie.



menu Format polecenie Punktory i numeracja

Konspekty numerowane

Rys. 1.6 Widok okna Dostosowywanie numeracji konspektu

W przypadku pisania tekstów wymagających stworzenia spisu treści koniecznym staje się

odpowiednie zdefiniowanie kolejnych nagłówków. Rozpoczyna się od ustalenia stylu nagłówka
pierwszego, który jest nagłówkiem głównym dokumentu. W tym celu należy:

 dodać nowy styl i nadać mu nazwę (Format – Styl – Nowy styl)

 ustalić właściwości czcionki (Format – Styl – Nowy styl – Format –

Czcionka)

 ustalić wyrównanie i odstępy w akapicie (Format – Styl – Nowy styl –

Format – Akapit – Wyrównanie; Odstępy: Przed, Po)

 dodać numerację nagłówków (Format – Styl – Nowy styl – Format –

Numerowanie – Konspekty numerowane – Dostosuj (rys. 1.6)) w sposób
następujący:

 określić Format i Styl numeracji

 ustalić wcięcie numeru nagłówka (Pozycja numeru – Wyrównanie),

wartość ta jest automatycznie przepisywana do pozycji Wcięcie
w poleceniu Akapit (Akapit – Wcięcia: Od lewej)

 ustalić wcięcie tekstu nagłówka (Położenie tekstu – Wcięcie), wartość ta

jest  automatycznie  przepisywana  do  pozycji  Położenie  tabulatorów
w  poleceniu  Tabulatory  natomiast  do pozycji Wcięcie w poleceniu Akapit
(Akapit  –  Wcięcia  –  Specjalne:  Wysunięcie)  wpisywana  jest  różnica
pomiędzy  wcięciem  numeru  nagłówka  a  wcięciem  tekstu  nagłówka
(wysunięcie liczone jest od pozycji numeru).

Technologia informacyjna - WORD

 przypisać stworzony styl do zdefiniowanego nagłówka Przypisz styl

do poziomu (należy odszukać na liście rozwijanej właściwy styl)

Po określeniu stylu należy przyporządkować zdefiniowany nagłówek do odpowiednich

fragmentów tekstu w dokumencie.

W taki sam sposób należy stworzyć kolejno style dla pozostałych nagłówków, które są

nagłówkami podrzędnymi dokumentu. Podgląd prawidłowo zdefiniowanych nagłówków
pokazany jest na rys. 1.16.

W dokumentach Worda są także dostępne wbudowane style standardowych nagłówków

z których można korzystać jeżeli nie istnieje potrzeba definiowania własnych.

Punktowane i Numerowane

Punktowanie i numerowanie wprowadza się w celu uporządkowania informacji

przedstawianych w postaci listy. Listy numerowane stosuje się, gdy ważna jest kolejność
przedstawianych informacji.

Można wybrać zarówno znak punktora jak i jego położenie w wierszu, które określa

Pozycja  punktora:  Wcięcie  (rys. 1.7).  Powyższa  wartość  jest  automatycznie  przenoszona
do  Akapitu  jako  Wcięcia:  Od  lewej.  Wcięcie  tekstu  określa  się  w  pozycji  Położenie  tekstu:
Wcięcie.  Wartość  ta  jednocześnie  decyduje  o  położeniu  tabulatora.  Natomiast  w  Akapicie
Wcięcia specjalne: Wysunięcie: Wielkość to odległość między punktorem a tekstem.

W celu wyraźniejszego oddzielenia listy od pozostałych części tekstu czasami wprowadza

się również wcięcie od prawej strony (Akapit Wcięcia: Od prawej).

Rys. 1.7 Widok okna Akapit oraz Dostosowywanie listy wypunktowanej

Zasady numerowania są takie same jak punktowania, można również wybrać format i styl.

Przykładem specjalnego numerowania może być tworzenie spisu literatury, gdzie każdy

numer powinien być umieszczony w nawiasie kwadratowym.

Przykład:

[1] Autorzy: Tytuł, Wydawnictwo, Rok wydania

Jeżeli w dokumencie często występują listy numerowane lub punktowane można

dla każdej z nich stworzyć własny styl.



menu Wstaw polecenie Przypis

Przypis dolny lub końcowy służy do uzupełnienia informacji zawartych w tekście. Mogą to

być  komentarze,  wyjaśnienia  albo  odwołania  do  źródeł.  Po  umieszczeniu  w  wybranym  miejscu
tekstu  odnośnika  przypisu  dolnego  (Wstaw  –  Odwołanie  –  Przypis  dolny),  na  dole  strony
pojawia  się  ten  sam  odnośnik  po  którym  można  wpisać  tekst  przypisu.  W  przypadku  przypisu
końcowego odnośnik ten pojawia się na końcu dokumentu.

Technologia informacyjna - WORD

Rys. 1.8 Widok okna Przypis dolny i przypis końcowy oraz Opcje przypisów

1.1.2 Pisanie wzorów

W celu usprawnienia pracy z dokumentem można dołączyć do dowolnego paska narzędzi

ikony: Edytor równań, Wstaw symbol oraz Indeks górny i Indeks Dolny.

W edytorze równań dostępne są wszystkie znaki potrzebne do pisania wzorów

matematycznych  a  także  istnieje  możliwość  wstawiania  różnych  odstępów  między  znakami.
Korzystając  z  menu  edytora  można  również  zmienić  typ  czcionki,  jej  format,  styl  i  rozmiar.
Dokonane zmiany zostają zapisane w programie na stałe i podczas edycji równania jego styl jest
automatycznie zmieniany zgodnie z aktualnymi ustawieniami.

Rys. 1.9 Widok okna Edytora równań

Wszystkie wzory należy pisać w edytorze równań. Numeracja wzorów w dokumencie

powinna być zgodna z numeracją głównych nagłówków:

(numer_głównego_ nagłówka.numer_kolejny_wzoru)

Do ustalenia położenia numeru wzoru w wierszu należy wykorzystać prawy tabulator,

natomiast jako wartość położenia tabulatora można przyjąć szerokość strony bez marginesów.

Przykład

cos

sin







(3.11)

Można również zdefiniować styl umieszczania wzorów w dokumencie. Styl powinien

zawierać ustawienia z polecenia Akapit (Odstępy: Przed i Po) oraz z polecenia Tabulatory
(Położenie tabulatora - Wyrównanie: Do lewej (położenie wzoru); Do prawej (położenie
numeru wzoru)).

Do wzorów powinien być dołączony opis oznaczeń.

Można również umieścić w pracy spis wszystkich wymienionych w niej wzorów (tabel,

wykresów  itp.).  W  tym  celu  należy  każdy  ze  wzorów  odpowiednio  podpisać  korzystając
ze  standardowych  podpisów  dostępnych  w  programie  Word  (Wstaw  –  Odwołanie  –  Podpis).
Istnieje  możliwość  zamieszczenia  własnej  etykiety  podpisu  oraz  dołączenia  do  numeru  wzoru
numeru rozdziału.

Technologia informacyjna - WORD

(Dołącz wiersz/kolumnę, Odłącz wiersz/kolumnę). Również można dowolnie modyfikować sam
wykres tzn. np. jego typ, opcje (rys. 1.16), skalę, styl linii itp..

Rys. 1.17 Widok okna Typ wykresu oraz Opcje wykresu

W dużym dokumencie przydatne jest zdefiniowanie stylu podpisów pod rysunkami

i tabelami: Czcionka: Rozmiar, Akapit (Wyrównanie: i Odstępy: Przed i Po) a także stylu
rysunków: Akapit (Wyrównanie: i Odstępy: Przed i Po). Numeracja rysunków musi być zgodna
z numeracją głównego nagłówka a podpis powinien być umieszczany pod rysunkiem.

numer_głównego_ nagłówka.numer_kolejny_rysunku Podpis rysunku

1.2 Formatowanie dokumentu przed wydrukiem

1.2.1 Podział i numeracja stron

Każdy nagłówek główny powinien być umieszczony na nowej stronie. Aby dokonać

prawidłowo podziału strony należy ustawić kursor na początku nagłówka głównego i wstawić
znak podziału strony (Wstaw – Podział – Typy podziałów: Podział strony).

Jeżeli w dokumencie jedna strona lub kilka stron będzie miało inny format niż pozostałe

(np. marginesy lub orientację strony) to wówczas należy dokonać podziału dokumentu na sekcje
(Wstaw – Podział – Typy podziałów sekcji: Następna strona).

Podział sekcji należy wstawić również w przypadku, gdy strony będą różniły się

wyglądem nagłówka lub stopki. Aby móc dokonać zmian w wyglądzie nagłówka (stopki) trzeba
(po  podziale  na  sekcje)  odłączyć  połączenie  między  sekcjami  na  stronie  rozpoczynającej  nową
sekcję.  W  tym  celu  należy  przełączyć  się  do  widoku  nagłówka  i  stopki  (Widok  –  Nagłówek
i  stopka)  i  kliknąć  wciśniętą  ikonę Taki  jak  poprzednio  (rys.  1.18).  Powinien  wówczas  zniknąć
napis ”Taki sam jak poprzednio”, który jest widoczny na górze nagłówka oraz stopki.

Rys. 1.18 Widok okna Nagłówek i stopka oraz stopki strony

Numerację stron można wstawić korzystając z menu Wstaw – Numery stron. Wówczas

istnieje możliwość ustalenia położenia numeru, wyrównania, formatu liczb. (rys. 1.19).

Technologia informacyjna - WORD

 Bieżąca data: aktualna data podana przez system komputera
 Bieżąca godzina: aktualny czas systemowy komputera
 Obliczenia: wykonuje obliczenia na podstawie podanych formuł



Pole wyboru – umożliwia odpowiedź poprzez zaznaczenie elementu lub nie



Lista rozwijana - umożliwia odpowiedź poprzez wybór z dostępnej listy

Po wstawieniu pola formularza należy odpowiednio zmienić jego właściwości (prawy

klawisz myszy albo dwukrotne kliknięcie na wybranym polu - Właściwości). Pojawi się
wówczas jedno z trzech widocznych poniżej okien.

Rys. 2.2 Okna opcji pól formularza

W Polu tekstowym należy wybrać odpowiedni typ i format pola oraz wpisać domyślną

wartość  (np.  Typ:  Data,  Format:  yyyy-MM-dd,  Domyślny  tekst: 12-10-2011). W Polu wyboru
można zmienić rozmiar pola (np. 12 pt), natomiast do Listy rozwijanej należy dodać (za pomocą
dostępnych  przycisków)  odpowiedni  tekst  w  postaci  elementów,  które  mają  być  wybierane.
Na  dole  formularza  można  wstawić  Pole  tekstowe  z  ramką  (zaznaczyć  Pole  tekstowe  i  wstawić
ramkę  (Wstaw  ramkę))  a  następnie  dodać  ograniczenie  długości  tekstu  (np.  Długość
maksymalna: 100). Pole to będzie służyło do wpisywania uwag.

W skończonym formularzu należy wyłączyć cieniowanie pól (Cieniowanie pola

formularza) a następnie włączyć ochronę formularza (Chroń formularz). Formularz w takiej
postaci jest już gotowy do wypełnienia. Można go również wysłać drogą elektroniczną.

2.2 Korespondencja seryjna

2.2.1 Listy seryjne

Przygotować tabelę z danymi adresowymi zawierającą 10 rekordów.

L.p.

Tytuł

Imię

Nazwisko

Adres

Kod

Miasto

Kraj

Uwagi

Pani

Anna

Kowalska

ul. Mickiewicza 5 m. 12

73-241

Gdynia

Polska

...

Tab. 2.1 Dane adresowe

Na papierze firmowym napisać list do klienta i odpowiednio go sformatować. Jak wygląda

list profesjonalny można zobaczyć w szablonach Worda (Listy i faksy). Na górze dokumentu
zostawić jeden wiersz na dołączenie danych klienta (tytuł, imię, nazwisko). Dane klienta będą
wpisywane po lewej stronie. Napisać treść listu i zapisać go jako szablon.

Otworzyć kopię listu, będzie ona stanowiła dokument główny korespondencji seryjnej.

Technologia informacyjna - WORD

Tworzenie listów seryjnych:

 wybrać polecenie Korespondencja seryjna (Narzędzia – Listy i dokumenty

wysyłkowe – Korespondencja seryjna)

 krok 1: z okienka Korespondencja seryjna wybrać opcję Listy

 krok 2: Dokument początkowy – Użyj bieżącego dokumentu

 krok 3: Wybierz adresatów – Użyj istniejącej listy - Wybierz inną listę (odszukać

plik z danymi adresowymi)

pojawi się okno Adresaci korespondencji seryjnej z pełną listą adresatów, którą
można odpowiednio filtrować i sortować

po wybraniu adresatów zamknąć okno

 krok 4: Napisz list - kliknąć polecenie Więcej elementów, pojawi się okno

Wstawianie pola korespondencji seryjnej

wstawić do listu następujące pola: Tytuł, Imię, Nazwisko; oddzielić je spacjami
i odpowiednio sformatować czcionkę

 krok 5: Przejrzyj listy – następuje scalanie dokumentu głównego z wybranymi

rekordami źródła danych – pojawi się list do pierwszego adresata (można przejrzeć
kolejne listy)

 krok 6: Ukończ scalanie, w sekcji Scal zaznaczyć Edytuj poszczególne listy –

pojawia się okno Scalanie z nowym dokumentem zaznaczyć Wszystko

zostaje stworzony nowy dokument złożony ze wszystkich listów

2.2.2 Etykiety adresowe

Etykiety adresowe umieszczane są na kopertach. Jest to etykieta odbiorcy oraz etykieta

nadawcy. Można skorzystać ze standardowych etykiet Worda lub zaprojektować własną etykietę
a następnie w podobny sposób jak w przypadku listów dołączyć adresatów korzystając ze źródła
danych adresowych.

Tworzenie etykiet odbiorcy:

 otworzyć nowy dokument i wybrać polecenie Korespondencja seryjna (Narzędzia –

Listy i dokumenty wysyłkowe – Korespondencja seryjna)

 krok 1: z okienka Korespondencja seryjna wybrać opcję Etykiety

 krok 2: Dokument początkowy – wybrać Opcje etykiet: Nowa etykieta

(zaprojektować etykiety na papierze A4 o ilości 2x7)

 nadać nazwę etykiecie i ustalić parametry:

(Margines górny: 0,2), (Margines boczny: 0), (Odstęp w pionie: 4,2),

(Odstęp w poziomie: 10,5), (Wysokość: 4,2), (Szerokość: 10,5),

(Liczba w poziomie: 2), (Liczba w pionie: 7)

 krok 3: Wybierz adresatów – Użyj istniejącej listy - Wybierz inną listę (odszukać

plik z danymi adresowymi)

pojawi się okno Adresaci korespondencji seryjnej z pełną listą adresatów, którą
można odpowiednio filtrować i sortować

Technologia informacyjna - WORD

po wybraniu adresatów zamknąć okno

 krok 4: Rozmieść dane na etykietach - kliknąć polecenie Więcej elementów, pojawi

się okno Wstawianie pola korespondencji seryjnej

 wstawić do etykiety następujące pola rozdzielając je spacjami:

pierwszy wiersz: Tytuł, Imię, Nazwisko;

drugi wiersz : Adres
trzeci wiersz: Kod, Miasto

 odpowiednio sformatować czcionkę i ustalić odstępy w akapicie
 w grupie Etykiety zreplikowane kliknąć Aktualizuj wszystkie etykiety

(wstawione pola zostaną przekopiowane do pozostałych etykiet)

 krok 5: Przejrzyj etykiety (pokazane zostaną gotowe etykiety)

 krok 6: Ukończ scalanie (stworzony zostaje dokument gotowy do wydruku)

Tworzenie etykiet nadawcy:

 otworzyć nowy dokument i wybrać polecenie Koperty i etykiety (Narzędzia – Listy

i dokumenty wysyłkowe – Koperty i etykiety) – Etykiety adresowe

 w okienku Adres wpisać adres nadawcy i odpowiednio go sformatować
 wcisnąć klawisz Opcje i w oknie Opcje etykiet wybrać zaprojektowaną

poprzednio etykietę

 wcisnąć klawisz Nowy dokument - zostaje utworzona cała strona etykiet

adresowych nadawcy, które można wydrukować

2.3 Makra

Makra w Wordzie służą do usprawnienia obsługi dokumentu. Można nagrać czynności,

które  trzeba  wykonać  np.  podczas  tworzenia  specjalnie  sformatowanej  tabeli  albo  listów
seryjnych.  Domyślnie  makra  zapisywane  są  pliku  normal.dot  dlatego  w  każdym  dokumencie
Worda można je w razie potrzeby uruchomić korzystając z menu (Narzędzia – Makro – Makra)
lub z własnego paska narzędzi (opis tworzenia paska w p.3.2).

Przykład 1:

Uproszczone makro zmieniające kolor czcionki na niebieski oraz wygląd na pogrubiony (B),

kursywę (I), z podkreśleniem (U).

Makra dotyczące tekstu działają tylko na zaznaczonym fragmencie, podczas nagrywania takiego

makra również należy zaznaczyć dowolny fragment tekstu

Sub

czcionka()

With

Selection.Font

        .Bold = True
        .Italic = True
        .Underline = wdUnderlineSingle
        .Color = wdColorBlue

End With

End Sub

Przykład 2:

Uproszczone makro wstawiające tabelę (o określonej liczbie wierszy i kolumn) z odpowiednim

obramowaniem i formatowaniem czcionki.

Technologia informacyjna - WORD

Sub

tabela()

ActiveDocument.Tables.Add Range:=Selection.Range, _
NumRows:=InputBox("podaj liczbę _ wierszy"), _

‘pojawia się okienko dialogowe

NumColumns:=InputBox("podaj liczbę kolumn"), _

‘pojawia się okienko dialogowe

DefaultTableBehavior:=wdWord9TableBehavior, AutoFitBehavior:=FitFixed
Selection.Tables(1).Select

With

Selection.Tables(1)

With

.Borders(wdBorderLeft)

.LineWidth = wdLineWidth150pt

'szerokość lewej krawędzi obramowania

End With

With

.Borders(wdBorderRight)

.LineWidth = wdLineWidth150pt

'szerokość prawej krawędzi obramowania

End With

With

.Borders(wdBorderTop)

.LineWidth = wdLineWidth150pt

'szerokość górnej krawędzi obramowania

End With

With

.Borders(wdBorderBottom)

.LineWidth = wdLineWidth150pt

'szerokość dolnej krawędzi obramowania

End With

With

.Borders(wdBorderHorizontal)

.LineWidth = wdLineWidth075pt

'szerokość poziomych linii siatki

End With

With

.Borders(wdBorderVertical)

.LineWidth = wdLineWidth075pt

'szerokość pionowych linii siatki

End With

Selection.Move Unit:=wdRow, Count:=-1
Selection.SelectRow

'zaznaczenie wiersza nagłówka tabeli

With

Selection.Cells

With

.Borders(wdBorderBottom)

.LineWidth = wdLineWidth150pt

'szerokość dolnej krawędzi nagłówka tabeli

End With

Selection.Font.Bold = wdToggle
Selection.Tables(1).Select

'zaznaczenie tabeli

Selection.Rows.Height = CentimetersToPoints(0.8)

'wysokość wierszy w tabeli

Selection.Cells.VerticalAlignment = wdCellAlignVerticalCenter

'wyrównanie tekstu

With

Selection.Cells(1)

.WordWrap = True

'zawijanie tekstu w tabeli

End With

End Sub

Przykład 3:

Uproszczone makro tworzące listy seryjne do wszystkich adresatów zawartych w pliku źródłowym.

Sub

List_seryjny()

    ActiveDocument.MailMerge.MainDocumentType = wdFormLetters

    ActiveDocument.MailMerge.OpenDataSource Name:= _
        "H:\Student\baza.doc"

‘wpisać ścieżkę do źródła danych

    ActiveDocument.MailMerge.Fields.Add Range:=Selection.Range, Name:="Tytuł"
    Selection.TypeText Text:=" "

‘spacja między wyrazami

ActiveDocument.MailMerge.Fields.Add Range:=Selection.Range, Name:="Imię_"
Selection.TypeText Text:=" "

‘spacja między wyrazami

    ActiveDocument.MailMerge.Fields.Add Range:=Selection.Range, Name:="Nazwisko"

With

ActiveDocument.MailMerge

        .Destination = wdSendToNewDocument
        .SuppressBlankLines = True
        .Execute Pause:=True

End With

End Sub

Technologia informacyjna - EXCEL

3. Obliczenia w Excelu

Excel jest arkuszem kalkulacyjnym. Działania wykonywane są na wartościach zapisanych

w poszczególnych komórkach, dlatego bardzo ważne jest adresowanie komórek.

Format adresu zależy od ustawionego stylu odwołania (Narzędzia – Opcje - Ogólne).

Są dwa style odwołania:

W1K1 (wiersz kolumna) – adres komórki złożony jest z odpowiedniego numeru

wiersza i odpowiedniego numeru kolumny liczonych od lewego górnego rogu
arkusza

A1B1 – adres komórki złożony jest z literowego oznaczenia kolumny

i liczbowego oznaczenia wiersza

Niezależnie od wybranego stylu odwołania dostępne są trzy typy adresowania:

względne - A1, B1 (adres komórki zmienia się podczas dodawania lub usuwania

wierszy, kolumn, pojedynczych komórek lub grup komórek znajdujących się
na lewo bądź w górę od rozpatrywanej komórki)

bezwzględne - $A$1, $B$1 (adres komórki nie zmienia się nigdy)

mieszane - $A1, A$1, $B1, B$1 (zmienia się ta część adresu komórki, przed którą

nie ma znaku $)

Dodatkową możliwością adresowania jest nadawanie nazw poszczególnym komórkom

lub zakresom komórek.

Różnice w adresowaniu komórek

Przykład

1.  Do komórki B2 wpisać 3 i wypełnić serią danych z krokiem 1 zakres komórek B2-B12
2.  Do komórki C2 wpisać 2 i wypełnić serią danych z krokiem 2 zakres komórek C2-C12
3.  Grupom  komórek  B2-B12  i  C2-C12  nadać  odpowiednio  nazwy  kol_B  i  kol_C

raz korzystając z polecenia paska narzędzi (Wstaw – Nazwę - Definiuj) i raz korzystając
z Pola Nazwy.

w Polu Nazwy można tylko nadawać nazwę, natomiast wszelkich zmian związanych

z nazwą należy dokonywać poprzez polecenie Wstaw – Nazwę – Definiuj

w nazwie mogą występować jedynie litery lub cyfry (bez spacji) bądź znak podkreślenia,

nazwa nie może rozpoczynać się od cyfry, nie może być pojedynczą literą K lub W bądź
też adresem np. D4

4. Grupy komórek D2-D12, E2-E12, F2-F12, G2-G12, H2-H12, I2-I12 wypełnić

następującymi formułami i przeanalizować otrzymane wyniki:

D2:

= B2

E2:

= $B$2

F2:

= $B2

G2:   = B$2
H2:   = B2*C2
I2:

= kol_B*kol_C

Wstawienie znaku $ przed nazwą kolumny lub numerem wiersza powoduje ustalenie tej

części adresu przed którą znak $ jest wstawiony, dzięki czemu nie zmienia się ona zarówno
podczas przeciągania formuły jak i kopiowania i wklejania jej w inne miejsce.

Technologia informacyjna - EXCEL

3.1 Pisanie formuł

Dużym ułatwieniem podczas pisania formuł, szczególnie w arkuszach zawierających dużo

obliczeń,  jest  stosowanie  nazw  zarówno  w  odniesieniu  do  pojedynczych  komórek  jak  i  grup
komórek arkusza. Dzięki wprowadzonym nazwom można o wiele szybciej zorientować się, jakie
operacje  wykonywane  są  w  poszczególnych  częściach  arkusza,  można  również  łatwo  odszukać
grupy  komórek  do  których  odwołują  się  formuły,  ponadto  arkusz  staje  się  bardziej  przejrzysty
i prostszy w obsłudze.

Kolejność wykonywania działań i operatory matematyczne:

1. potęgowanie

2. mnożenie

3. dzielenie

4. dodawanie

5. odejmowanie -

Składnia funkcji:

NAZWA_FUNKCJI(argument1; argument2; ....)

Argumentami mogą być:

 dowolne adresy komórek zawierających odpowiednie dane:

np.: ŚREDNIA(A1;$B2;C$5;$D$7; E1:F8;zmienna;)

A1, $B2, C$5, $D$7, E1:F8, zmienna - adresy komórek

E1:F8 – grupa komórek

zmienna – nazwa komórki lub grupy komórek

 liczby

np.: ŚREDNIA (12;15;7)

 funkcje

np.: ŚREDNIA (SIN(15);COS(A7))

Podstawowe typy funkcji:

 funkcje bazy danych – służą do analizy informacji zawartych w bazach danych

np. BD.POLE(baza;pole;kryteria) –

wydziela z bazy danych pole spełniające określone kryteria

 funkcje daty i czasu - służą do wykonywania obliczeń na danych typu data,

godzina itp.

np. DZIŚ() –

podaje aktualną datę,

NETWORKDAYS(data_począt;data_końc.;święta) –

podaje ilość dni roboczych między

dwiema datami

Technologia informacyjna - EXCEL

 funkcje inżynierskie – służą do obliczeń na liczbach zespolonych, konwersji liczb

między systemami, zamiany jednostek oraz umożliwiają obliczenia za pomocą
funkcji Bessela i Delta

np. DEC2BIN(liczba;miejsca)

–

zamienia liczbę dziesiętną na liczbę w kodzie dwójkowym

 funkcje finansowe – służą do obliczania i analizy danych finansowych: odsetek,

amortyzacji, rat, itp.

np. PMT(stopa;liczba_rat;wa;wp;typ) –

oblicza wartość raty przy spłacaniu pożyczki przy stałych

ratach i stałym oprocentowaniu

 funkcje logiczne – służą do konstruowania wyrażeń logicznych

np. JEŻELI (ORAZ(x>=-5;0;x<=5);x^2;25) –

przypisuje danym z przedziału <-5;5> wartości

x^2, natomiast danym spoza tego przedziału wartość 25

 funkcje wyszukiwania i adresu – służą do wyszukiwania danych w tabelach

na podstawie adresu, uzyskiwania adresów określonych danych, tworzenia
odwołań, zamiany wierszy i kolumn tabeli ...

np. TRANSPONUJ(tablica) –

dokonuje zamiany wierszy i kolumn tabeli

 funkcje matematyczne – służą do wykonywania obliczeń za pomocą

wbudowanych funkcji matematycznych (trygonometrycznych, logarytmicznych,
wykładniczych....)

np. EXP(liczba) –

oblicza wartość e ^liczba

MACIERZ.ILOCZYN(tablica1;tablicz2) –

wyznacza iloczyn dwóch macierzy

 funkcje statystyczne – służą do wyznaczania wielkości statystycznych (średnich,

odchyleń standardowych, wariancji) oraz prawdopodobieństw i jego rozkładów

np. ODCH.KWADRATOWE(liczba1;liczba2;...)

– wyznacza sumę kwadratów odchyleń

punktów od średniej arytmetycznej z próbki

 funkcje tekstowe – służą do manipulowania tekstem oraz zamiany danych

liczbowych na dane tekstowe

np. OCZYŚC(tekst) -

usuwa z tekstu wszystkie znaki, które nie mogą być drukowane

Przykłady

Każdy z przykładów należy rozwiązać w osobnym arkuszu

Przykład 1

Obliczyć długość przeciwprostokątnej i wielkość jednego z kątów trójkąta prostokątnego

o  danych  przyprostokątnych.  Wprowadzić  ograniczenie  wynikające  z  faktu,  że  długość  odcinka
nie  może  być  zerem  ani  liczbą  ujemną;  w  takim  przypadku  powinien  pojawiać  się  komunikat
o  treści  „błąd”.  Wykonać  obliczenia  (z  krokiem  równym  1)  dla  przyprostokątnych  a  i  b
o długościach a <1; 10> i  b <15; 25>

Technologia informacyjna - EXCEL

Rozwiązanie:

-  do komórki A1 wpisać: a
-  do komórki B1 wpisać: b
-  do komórki C1 wpisać: c
-  do komórki D1 wpisać: d
-  zakres komórek A2-A11 wypełnić serią danych od 1 do 10 z krokiem 1:

(do komórki A2 wpisać 1, do komórki A3 wpisać 2, zaznaczyć komórki od A2
do A3 i przeciągnąć myszą po prawym marginesie do komórki A11)

-  zakres komórek B2-B11 wypełnić serią danych od 15 do 25 z krokiem 1
-  zaznaczyć cały obszar z danymi (Ctr+Shift+*)
-  wstawić  nazwy  utworzone  z  górnego  wiersza  Wstaw  –  Nazwę  –  Utwórz    -  Górny

wiersz

- do komórki C2 wpisać formułę „=(a^2+b^2)^0,5” i przeciągnąć ją do komórek

z zakresu C3-C11; wyniki zaokrąglić do 4 miejsc po przecinku

- do

komórki

wpisać

formułę

„=JEŻELI(LUB(a<=0;b<=0);"błąd";c)”

i przeciągnąć ją do komórek z zakresu C3-C11, wyniki zaokrąglić do 3 miejsc
po przecinku

Przykład 2

Wykorzystując formuły narysować wykres funkcji sinus w przedziale <0; 180

>. Wartości

kąta wprowadzić z krokiem równym 10

Rozwiązanie:

-  do komórki A1 wpisać: alfa
-  do komórki B1 wpisać: sinus
-  do  komórki  A2  wpisać  0  i  wypełnić  serią  danych  odpowiedni  zakres  komórek

Edycja - Wypełnij - Serie Danych (Serie Kolumny, Typ Arytmetyczny, Wartość
kroku: 10, Wartość końcowa: 180)

- zaznaczyć cały obszar z danymi (Ctr+Shift+*)
- wstawić nazwy utworzone z górnego wiersza Wstaw – Nazwę – Utwórz - Górny

wiersz

- do komórki B2 wpisać formułę „=SIN(alfa*PI()/180)” i przeciągnąć ją

do pozostałych komórek

- zaznaczyć cały obszar z danymi (Ctr+Shift+*) i za pomocą Kreatora wykresów

narysować wykres punktowy

sformatować odpowiednio wykres

y = sin()

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

120

150

180

210



Rys. 3.1 Wykres funkcji sinus

Technologia informacyjna - EXCEL

Przykład 3

Narysować wykres funkcji y = cos + 1 w przedziale <0; 450

> z następującym

ograniczeniem: y <0,4; 1,6> . Wartości kąta wprowadzić z krokiem równym 10

Rozwiązanie:

- do komórki A1 wpisać: beta

- do komórki B1 wpisać: y

- do komórki C1 wpisać: y1

- do komórki A2 wpisać 0 i wypełnić serią danych odpowiedni zakres komórek

- zaznaczyć cały obszar z danymi (Ctr+Shift+*)

- wstawić nazwy utworzone z górnego wiersza Wstaw – Nazwę – Utwórz - Górny

wiersz

- do komórki B2 wpisać formułę „=COS(beta*PI()/180)+1” i przeciągnąć ją

do pozostałych komórek

- do komórki C2 wpisać formułę:

„=JEŻELI(ORAZ(y>0,4;y<1,6);y;JEŻELI(y<0,4;0,4;1,6))”

przeciągnąć

ją

do pozostałych komórek

- do komórki D1 wpisać: oś

- zakres komórek D2-D47 wypełnić wartością 1 (seria danych dla sztucznej osi)

- zaznaczyć cały obszar z danymi (Ctr+Shift+*) i za pomocą Kreatora wykresów

narysować wykres punktowy

- sformatować odpowiednio wykres

w yk res funkcji y = cos (beta)+1

0,5

1,5

2,5

100

200

300

400

500

be ta

y, y1

oś

Rys. 3.2 Wykres funkcji cos+1

3.2 Makra

Makra służą do automatyzacji pracy z dokumentami Microsoft Office. Można nagrać

powtarzające się czynności, które są niezbędne do obsługi np. skoroszytu Excela. Zarejestrowane
makro zapisywane jest w języku VBA i umieszczane w module, który dostępny jest w oknie
Microsoft Visual Basic. Okno to można otworzyć za pomocą ikony Edytor Visual Basic,
dostępnej na pasku narzędzi Visual Basic. Rejestracja makra rozpoczyna się po wciśnięciu ikony
Zarejestruj makro, pojawia się wówczas następujące okno:

Technologia informacyjna - EXCEL

W nazwie makra można używać polskich liter, jednak w ogólnym przypadku nie jest to

zalecane.

Zarejestrowane makro można uruchomić na kilka sposobów:

korzystając z paska narzędzi Visual Basic – ikona Uruchom makro

korzystając z menu Narzędzia – Makro – Makra – Uruchom

dodając własny pasek narzędzi oraz ikonę do uruchamiania makra;

- dodawanie i usuwanie pasków narzędzi i przycisków oraz ich edycja dokonywane są

w trybie Dostosuj (prawy klawisz myszy na menu Dostosuj):

dodawanie nowego paska narzędzi: Paski narzędzi - Nowy – Nowy pasek

narzędzi (zmienić nazwę na swoją i przeciągnąć pasek do menu);

dodawanie przycisku do paska narzędzi: Polecenia – Makra – Przycisk

niestandardowy (przeciągnąć przycisk do stworzonego paska narzędzi);

przypisać makro do przycisku, zmienić nazwę i obraz przycisku (prawy klawisz:

Przypisz makro, Obraz i tekst, Zmień obraz przycisku, Edytuj obraz przycisku)

dodając do arkusza dowolny Autokształt i przypisując do niego makro (prawy klawisz:

Przypisz makro),

po przypisaniu makra do Autokształtu można go edytować wciskając przycisk Ctr

Pasek narzędzi wraz z ikoną służącą do uruchamiania makra oraz Autokształt

z przypisanym makrem mogą wyglądać następująco:

zmiana koloru

wypełnienia

Rys. 3.5 Uruchamianie makra – pasek narzędzi z przyciskiem i Autokształt

3.2.1 Projekt arkusza obliczeniowego

Zaprojektować poniższy arkusz wraz z następującymi obliczeniami:

1. Rozwiązanie równania kwadratowego:

nazwać komórki: A2 jako a, B2 jako b, C2 jako c, A5 jako delta, B5 jako pierw1,

C5 jako pierw2, F2 jako start i zakresy komórek A9:A34 jako x, B9:B34 jako y

wstawić kolejno komentarze do komórek A2; B2; C2 (Podaj wartość

współczynnika a; Podaj wartość współczynnika b, ....)

wstawić komentarz do komórki F2 (Podaj początek przedziału dla zmiennej x)

wpisać odpowiednie formuły do komórek:

A5: „=JEŻELI(a<>0;b^2-4*a*c;"")”
B5: „=JEŻELI(a=0;JEŻELI(b=0;JEŻELI(c=0;"równanie tożsamościowe";
"równanie sprzeczne");-c/b);JEŻELI(delta>=0;(-b-delta^1/2)/(2*a);"brak
rozwiązania"))”,
C5 – analogicznie jak B5

zmieniając wartości a, b, c zaobserwować wyniki: delta, pierw1 i pierw2

wypełnić serią danych zakres komórek A9:A34

do komórek B9:C34 wpisać formułę: „=a*x^2+b*x+c”

Technologia informacyjna - EXCEL

Rys. 3.6 Widok arkusza obliczeniowego

2. Rysowanie wykresu na podstawie danych z tabeli

zaznaczyć obszar B9:B34 i narysować wykres punktowy

3. Nagranie i uproszczenie makra:

uaktywnić pasek narzędzi Visual Basic

zarejestrować nowe makro, które wypełnia kolumnę x serią danych z krokiem 1

zmienić nazwę makra na seria_danych, umieścić makro w aktualnym
skoroszycie, ustalić klawisz skrótu

uprościć następująco zarejestrowane makro:

Sub

seria_danych()

Range("x").DataSeries Rowcol:=xlColumns, Type:=xlLinear, _
Step:=InputBox("podaj krok")

End Sub

umieścić w arkuszu dowolny Autokształt (naciskając prawy klawisz myszy

odpowiednio go sformatować i dodać tekst) a następnie przypisać do niego makro
(prawy klawisz: Przypisz makro)

wkleić łącze pomiędzy komórką F2 i komórką A9

wpisać nową wartość do komórki F2 i uruchomić makro

3.3 Rysowanie wykresów

3.3.1 Wykresy o zwiększonej liczbie osi

W przypadku konieczności umieszczenia na jednym wykresie kilku serii danych

o znacznie różniących się wartościach istnieje możliwość dodania do wykresu jednej dodatkowej
osi a także można stworzyć własną oś. Przykładowe rozwiązanie zostało przedstawione poniżej.

Technologia informacyjna - EXCEL

Przykład 1:

W jednym układzie współrzędnych zamieścić wykresy funkcji

y 

dla







;

z krokiem 0,5.

Rozwiązanie:

wypełnić serią danych (z przedziału <-10; 10>, z krokiem 0,5) wybrany zakres

komórek i nazwać go jako x

w kolumnach obok wpisać odpowiednie formuły dla y

= f(x) i y

= f(x)

zaznaczyć cały obszar z danymi (Ctr+Shift+*) i za pomocą Kreatora wykresów

narysować wykres punktowy

dodać dodatkową oś y (Wykres - Opcje wykresu - Osie - Oś wartości (y))

Wykresy funkcji y

=x^3 i y

=0,01x^1/3

-1000

-800

-600

-400

-200

200

400

600

800

1000

-10

-8

-6

-4

-2

-0,025

-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

Rys. 3.7 Wykresy funkcji y

i y

Przykład 2:

Na powyższym wykresie zamieścić dodatkowo wykres funkcji y

= sin(x) +1

Rozwiązanie:

stworzyć serię danych dla wartości y

przeskalować y

mnożąc przez odpowiednią liczbę taką, aby nowe wartości były

rzędu liczb na osi y

(np. przez 500), czyli dodać nową serię danych dla funkcji y

* 500

stworzyć sztuczną oś podając współrzędne dwóch jej punktów krańcowych

(-10, 0) i (-10, 1000)

dołączyć do wykresu serie danych y

i y

*500 oraz oś (Dane źródłowe – Serie –

Dodaj: Nazwa (np. y3), Wartości X (zaznaczyć odpowiedni zakres danych),
Wartości Y (zaznaczyć odpowiedni zakres danych))

dodać pola tekstowe zawierające opis sztucznej osi i jej skalę oraz dwie poziome

kreski oznaczające podziałkę skali na nowej osi

Technologia informacyjna - EXCEL

Wykresy funkcji y

=x^3, y

=0,01x^1/3 i y

=sin(x)+1

-1000

-800

-600

-400

-200

200

400

600

800

1000

-10

-8

-6

-4

-2

-0,025

-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

y3*500

oś

Rys. 3.8 Wykresy funkcji y

i y

3.3.2 Skala logarytmiczna

Skalę logarytmiczną stosuje się w przypadku, gdy występują znaczne różnice pomiędzy

wartościami serii danych, które mają zostać umieszczone na wspólnym wykresie.

Przykład:

Narysować wykresy następujących funkcji:

00015

025



w przedziale





;

z krokiem 0,1.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji s=f(t)

Rys. 3.9 Wykresy funkcji s = f(t)

Ponieważ krzywe s

i s

są słabo widoczne na wykresie, należy zastosować skalę

logarytmiczną na osi s. Zmiana rodzaju skali powoduje zmianę charakteru przebiegu krzywych,
dlatego stosuje się ją w przypadku, gdy wyłącznie zależy nam na uwidocznieniu różnic
w wartościach poszczególnych krzywych.

Technologia informacyjna - EXCEL

3.3.4 Wykresy powierzchniowe

Aby narysować wykres powierzchniowy funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y)

dla argumentów z przedziałów









należy stworzyć tablicę wartości.

W pierwszej kolumnie tablicy w kolejnych wierszach umieścić serię danych dla zmiennej x,
natomiast w pierwszym wierszu w kolejnych kolumnach serię danych dla zmiennej y. Wewnątrz
utworzonego obszaru tablicy należy wprowadzić formułę określającą funkcję.

Przykład:

Narysować wykres powierzchniowy dla funkcji





















sin



;





Rozwiązanie:

zakres komórek A3:A43 wypełnić serią danych z przedziału <0,3; 1,1> z krokiem

0,02 i nazwać jako u

zakres komórek B2:AD2 wypełnić serią danych z przedziału <-4,4; 1,2>

z krokiem 0,2 i nazwać jako v

zakres komórek B3:AD43 wypełnić formułą: „=u^(1/2)*SIN(v/u-PI()/6)”

zaznaczyć cały obszar (Ctr+Shift+*) i narysować wykres powierzchniowy

0,3

0,44

0,58

0,72

0,86

-4

-3

-2

-1

-0

-1,5

-1

-0,5

0,5

1,5

f(u,v)

Rys. 3.12 Wykres funkcji f(u,v)

Technologia informacyjna - EXCEL

4. Wybrane funkcje programu Excel

4.1 Funkcje inżynierskie – liczby zespolone

Jedną z grup funkcji inżynierskich dostępnych w programie Excel stanowią funkcje

umożliwiające wykonywanie działań na liczbach zespolonych. Liczbę zespoloną deklaruje się
za pomocą funkcji COMPLEX, której argumentami są: część rzeczywista i część urojona liczby.
Wszystkie funkcje dotyczące wykonywania działań na liczbach zespolonych mają w nazwie
przedrostek IM (np. IMABS, IMSUM, IMDIV ..).

W poniższym przykładzie zostały przedstawione podstawowe funkcje dotyczące liczb

zespolonych zawarte w Excelu. W celu udostępnienia użytkownikowi funkcji inżynierskich
należy zainstalować dodatek Analysis ToolPak (Narzędzia – Dodatki).

Przykład

Zadeklarować dwie liczby zespolone a oraz b (a = 2+3i, b = 4-7i) i wykonać na nich

podstawowe działania matematyczne wykorzystując funkcje Excela i wzory matematyczne.

Rozwiązanie:

deklaracja liczby zespolonej (nazwać komórki w których wyznaczane są liczby

zespolone jako a i b)

część rzeczywista liczby zespolonej (nazwać wynikową komórkę jako Re_a)

część urojona liczby zespolonej (nazwać wynikową komórkę jako Im_a)

moduł liczby zespolonej

liczba zespolona

COMPLEX

a = 2+3i

=COMPLEX(2;3)

b = 4-7i

część rzeczywista

IMREAL

Re(a) =2 =IMREAL(a)

część urojona

IMAGINARY

Im(a) =3 =IMAGINARY(a)

moduł

IMABS

|a| =

3,605551 =IMABS(a)

|a| =

3,605551 =PIERWIASTEK(Re_a^2+Im_a^2)

|b| =

8,062258

Technologia informacyjna - EXCEL

argument liczby zespolonej

liczba sprzężona

suma

różnica

iloczyn

iloraz

potęgowanie (nazwać komórkę w której obliczana jest wartość b^(1/3) jako b_n)

argument

IMARGUMENT

Arg(a) =

0,982794 =IMARGUMENT(a)

Arg(a) =

0,982794 =ATAN(Im_a/Re_a)

liczba sprzężona

IMCONJUGATE

a =

2-3i

=IMCONJUGATE(a)

suma

IMSUM

a+b = 6-4i

=IMSUM(a;b)

różnica

IMSUB

a-b = -2+10i

=IMSUB(a;b)

iloczyn

IMPRODUCT

a*b = 29-2i

=IMPRODUCT(a;b)

iloraz

IMDIV

a/b = -0,2+0,4i

=IMDIV(a;b)

potęgowanie

IMPOWER

= -5+12i

=IMPOWER(b;2)

n = 2

= 1,88322794290822-0,688606036597656i

=IMPOWER(b;1/3)

n = 1/3

= 1,8832-0,6886i

=COMPLEX(ZAOKR(IMREAL(b_n);4);ZAOKR(IMAGINARY(b_n);4))

Technologia informacyjna - EXCEL

Aby zaokrąglić liczbę zespoloną (do określonej liczby cyfr po przecinku) należy najpierw

oddzielnie zaokrąglić jej część rzeczywistą i część urojoną a następnie za pomocą funkcji
COMPLEX przedstawić zaokrąglone części w postaci liczby zespolonej. W powyższym
przykładzie liczba zespolona b

została zaokrąglona do 4 miejsc po przecinku.

4.2 Funkcje matematyczne – rachunek macierzowy

W arkuszu Excela można również wykonywać obliczenia na macierzach. W poniższym

przykładzie rachunek macierzowy zostanie wykorzystany do rozwiązania układu równań
liniowych.

Przykład 1

Stosując rachunek macierzowy rozwiązać następujący układ równań:

Rozwiązanie:

Powyższy układ równań można zapisać w postaci macierzowej:

M - macierz współczynników
n – wektor prawych stron
y – wektor rozwiązania

a.) deklaracja macierzy M (nazwać odpowiedni zakres komórek 3 x 3 jako M)

b.) wyznaczenie macierzy odwrotnej M

-1

(należy wprowadzić formułę tablicową):

-  zaznaczyć dowolny zakres komórek 3 x 3 i nazwać jako M_o
-  do pierwszej komórki zakresu wpisać formułę  „ =MACIERZ.ODW(M) ”
-  nacisnąć

(Ctr+Shift+Enter)

celu

wprowadzenia

formuły

tablicowej

(formuły zostają umieszczone w nawiasach klamrowych)

c.) deklaracja wektora prawych stron n (nazwać odpowiedni zakres komórek 3 x 1 jako n)

d.) wyznaczenie rozwiązania

- zaznaczyć dowolny zakres komórek 3 x 1

4*y

+ 5*y

+ 7*y

= 5

9*y

+ 8*y

+ 5*y

= 8

11*y

+ 3*y

+ 2*y

= 9

M*y = n

y = M

-1

M =

-0,004202 -0,046218 0,1302521

{=MACIERZ.ODW(M)}

-1

= -0,155462

0,289916 -0,180672

0,2563025 -0,180672 0,0546218

n =

Technologia informacyjna - EXCEL

- do pierwszej komórki zakresu wpisać formułę „=MACIERZ.ILOCZYN(M_o;n) ”
- nacisnąć (Ctr+Shift+Enter) w celu wprowadzenia formuły tablicowej

e.) sprawdzenie rozwiązania

- umieścić w dowolnym obszarze arkusza skopiowane wartości: współczynników,

prawej strony równania oraz rozwiązania otrzymanego powyżej

- w miejscu lewej strony równania wpisać odpowiednie formuły wynikające

z mnożenia macierzy współczynników przez wektor prawych stron

- porównać otrzymane wyniki (prawa strona równania i lewa strona równania)

Rys. 4.1 Widok arkusza ze sprawdzeniem rozwiązania

Przykład 2

Obliczyć wyznaczniki macierzy P i Q oraz dokonać ich transpozycji.

Rozwiązanie:

Nazwać macierze jako p i q

- wyznaczniki macierzy

- transpozycja macierzy (należy wprowadzić formułę tablicową)

4.3 Polecenie Szukaj wyniku

Polecenie Szukaj wyniku pozwala na znalezienie argumentu funkcji jednej zmiennej

na podstawie znanej wartości funkcji. Polecenie to można wykorzystać np. do wyznaczania
miejsc zerowych funkcji. Otrzymany wynik zależy od podanej na wstępie wartości argumentu,

0,781513

{=MACIERZ.ILOCZYN(M_o;n)}

y = -0,08403

0,327731

-4

P =

Q =

|P| =

|Q| = -267

=WYZNACZNIK.MACIERZY(q)

-4

{=TRANSPONUJ(q)}

Technologia informacyjna - EXCEL

ponieważ poszukiwany jest on w otoczeniu wartości początkowej. Przykładowo, aby w danym
przedziale znaleźć wszystkie miejsca zerowe jakiejś funkcji, należy przed każdym
uruchomieniem polecenia Szukaj wyniku odpowiednio zmieniać wartość początkową argumentu
(Przykład 3).

Zapis wzorów w Excelu

Podczas pisania formuł należy zwrócić szczególną uwagę na kolejność wykonywania

działań oraz na znaki stojące przed poszczególnymi składnikami.

Przykład 1



Znajdowanie argumentu x funkcji y = f(x) dla znanej wartości y

-  nazwać komórkę arkusza zawierającą argument funkcji (np. x)
-  nazwać sąsiednią komórkę (np. y) i wpisać wzór funkcji (np. =x^2)
-  uruchomić polecenie Szukaj wyniku (Narzędzia – Szukaj wyniku:  Ustaw

komórkę: y, Wartość: (np. 0) , Zmieniając komórkę: x )

Przykład 2

Znaleźć argumenty poniższych funkcji:

1. Dla y = 2

















2. Dla y = -1













x =

-6

-x^2 =

błąd

-1*x^2 =

-36

-(x^2) =

-36

x =

-6

x^2/3 =

błąd

x^(2/3) = #LICZBA!

błąd

(x^2)^(1/3) = 3,301927

x =

0,75968

x^(1/3)*EXP(x^2)/LN(x/3+2)=

2,00031

x =

2,87341

-x^5-LN(x+4)+EXP(x^2-3)+5 =

-1,00001

Technologia informacyjna - EXCEL

Przykład 3

W przedziale <-4; 3> wyznaczyć miejsca zerowe następującego wielomianu:

)

(











4.4 Deklaracja własnej funkcji

W skoroszycie Excela można stworzyć własną funkcję, która zostanie zapisana jako

funkcja użytkownika. Własne funkcje są dostępne jedynie w tych skoroszytach w których
zostały zapisane. Poniżej zostanie przedstawiona funkcja użytkownika obliczająca długość
wektora oraz funkcja wyznaczająca iloczyn skalarny wektorów.

Przykład:

Zaprojektować funkcję wyznaczającą długość wektora w przestrzeni trójwymiarowej

oraz funkcję obliczającą iloczyn skalarny dwóch wektorów.

Rozwiązanie:

Własną funkcję projektuje się w języku VBA i umieszcza się ją w module programu.

W tym celu należy wykonać następujące czynności:

uaktywnić pasek narzędzi Visual Basic

za pomocą ikony Edytor Visual Basic otworzyć okno Microsoft Visual Basic

wstawić nowy moduł Insert – Module i zadeklarować w nim funkcję

Funkcja wyznaczająca długość wektora dł_wekt = f(a, b, c)

dł_wekt - nazwa funkcji
a, b, c – argumenty funkcji (współrzędne wektora)

wartość początkowa x

-4

w(x

) =

2340

miejsce zerowe x =

-3

x^6-x^5-7*x^4+15*x^3-6*x^2-14*x+12 = 3,54E-06

wartość początkowa x

-0,5

w(x

) = 15,23438

miejsce zerowe x =

-1

x^6-x^5-7*x^4+15*x^3-6*x^2-14*x+12 =

4,24E-06

wartość początkowa x

w(x

) =

miejsce zerowe x =

x^6-x^5-7*x^4+15*x^3-6*x^2-14*x+12 =

3,1E-06

wartość początkowa x

w(x

) =

240

miejsce zerowe x = 2,000002

x^6-x^5-7*x^4+15*x^3-6*x^2-14*x+12 = 4,68E-05

Technologia informacyjna - EXCEL

Przy deklaracji funkcji należy podać jakiego typu są argumenty i wartości funkcji.

Double – zmienna rzeczywista z przedziału (-1,79*10

308

1,79*10

308

)

Sqr – pierwiastek kwadratowy (funkcja VBA)

Public Function

dł_wekt(a

As Double

, b

As Double

, c

As Double

)

As Double

dł_wekt = Sqr(a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2)

End Function

Funkcja obliczająca iloczyn skalarny dwóch wektorów il_skal = f(a1 ,b1, c1, a2,b 2, c2)

Public Function

il_skal(a1

As Double

, b1

As Double

, c1

As Double

, a2

As Double

, _

As Double

, c2

As Double

)

As Double

il_skal = a1 * a2 + b1 * b2 + c1 * c2

End Function

il_skal - nazwa funkcji
a1, b1, c1 – współrzędne pierwszego wektora

a2, b2, c2 – współrzędne drugiego wektora

Przykład:

Obliczyć długość i iloczyn skalarny wektorów



(u_x, u_y, u_v) i



(v_x, v_y, v_z)

o podanych współrzędnych:

Rozwiązanie:

Nazwać odpowiednie komórki zawierające współrzędne wektora



jako u_x, u_y, u_z

a wektora



jako v_x, v_y, v_z a następnie wstawić lub wpisać wymaganą funkcję.

4.5 Solver

Dodatek Solver umożliwia dokonanie obliczeń optymalizacyjnych z ograniczeniami.

Za  jego  pomocą  można  np.  wyznaczyć  ekstrema  lokalne  lub  miejsca  zerowe  funkcji  wielu
zmiennych  bądź  też  znaleźć  argumenty  funkcji  dla  których  przyjmuje  ona  założone  wartości.
Rozwiązanie  poszukiwane  jest  w  otoczeniu  punktu  początkowego,  dlatego  aby  zlokalizować
wszystkie

rozwiązania

spełniające

określone kryteria należy odpowiednio zmieniać

(w zależności od narzuconych ograniczeń) początkowe argumenty funkcji przed każdym
uruchomieniem Solvera.

W przypadku, gdy dodatek ten nie jest widoczny można go udostępnić następująco:

(Narzędzia – Dodatki – Solver).

-2

-3

Długość =

3,7417 =dł_wekt(u_x;u_y;u_z)

Iloczyn skalarny =

-9 =il_skal(u_x;u_y;u_z;v_x;v_y;v_z)

Technologia informacyjna - EXCEL

Opis działania

W arkuszu należy zdefiniować zakres komórek w którym będą przechowywane argumenty

funkcji a następnie do wybranej komórki wpisać formułę określająca badaną funkcję
i uruchomić Solvera.

Rys. 4.2 Okno Solvera

Komórka celu – komórka zawierająca wzór funkcji
Komórki zmieniane – komórki zawierające argumenty funkcji
Warunki ograniczające – założenia jakie powinny spełniać argumenty funkcji

Należy podać powyższe parametry a warunki ograniczające wprowadzić za pomocą

przycisku Dodaj. Rozwiązanie uzyskuje się po naciśnięciu przycisku Rozwiąż.

W poniższym przykładzie zostanie rozwiązane proste zagadnienie optymalizacyjne.

Przykład 1:

Należy tak dobrać wartości argumentów x

i x

, aby funkcja f(x

) osiągnęła swoją

wartość maksymalną przy danych ograniczeniach.

Rozwiązanie:

funkcja celu:









ograniczenia:























Wykresem funkcji celu jest płaszczyzna pokazana na rysunku poniżej, tak więc wartość

funkcji f(x

, x

) rośnie wraz ze wzrostem argumentów x

i x

, dlatego też rozwiązaniem będą

największe dopuszczalne wartości x

i x

Technologia informacyjna - EXCEL

100

200

300

400

500

600

700

800

f(x

, x

)

Rys. 4.3 Wykres funkcji celu



Rozwiązanie graficzne:

W celu określenia dopuszczalnego obszaru do którego może należeć rozwiązanie zostanie

narysowany wykres ograniczeń (wykresami ograniczeń będą półpłaszczyzny wraz z brzegami):

 



















Wykres ograniczeń:

- do komórek A1, B1, C1 wpisać kolejno tekst: x1, f1(x1), f2(x1)

- do komórek z zakresu A2:A52 wprowadzić serię danych z przedziału <0, 25>

z krokiem 0,5 i nazwać powyższe komórki jako x_1

- do komórek z zakresu B2:B52 wprowadzić formułę określającą pierwsze

ograniczenie

- do komórek z zakresu C2:C52 wprowadzić formułę określającą drugie

ograniczenie

- narysować wykresy funkcji x

= f

) i x

= f

) we wspólnym układzie

współrzędnych

-10

-5

ograniczenie 1

ograniczenie 2

Obszar dopuszczalnych

rozw iązań

)

P(10,10)

Rys. 4.4 Wykresy funkcji ograniczających

Technologia informacyjna - EXCEL

Aby umieścić na wykresie dopuszczalny obszar rozwiązań należy:

- zaznaczyć wykres

- z paska narzędzi Rysowanie wybrać Dowolny kształt i zaznaczyć kolejno

wierzchołki obszaru a następnie wypełnić obszar dowolnym kolorem

- dodać pola tekstowe, strzałkę i linie określające współrzędne punktu P (również

przy zaznaczonym wykresie)

Rozwiązanie na podstawie wykresu:

- rozwiązaniem jest punkt o współrzędnych P(10, 10), maksymalna wartość

funkcji: f(10

10) = 380

x1_opt = 10, x2_opt = 10, f(x1_opt, x2_opt) = 380



Optymalizacja za pomocą Solvera:

Rys. 4.5 Widok fragmentu arkusza z parametrami optymalizacji

- do komórek L1, L2, L3 wpisać odpowiedni tekst

- komórki M1 i M2 odpowiednio nazwać (x1_opt i x2_opt)

- do

komórki

wpisać

formułę

określającą

funkcję

celu:

„=15*x_1opt+23*x_2opt” i nazwać ją: funkcja_celu

- zakres komórek M1:M2 nazwać: argumenty_funkcji_celu

- do

komórek

wpisać

formuły

określające

ograniczenia

„=-4*x_1opt+8*x_2opt”, „=2*x_1opt+2*x_2opt” i nazwać je odpowiednio:
ograniczenie_1 i ograniczenie_2

- do komórek N6 i N7 wpisać wartości ograniczeń (40, 40) i nazwać je

odpowiednio: granica_1 i granica_2

- parametry Solvera:

Komórka celu: funkcja_celu
Równa: Max
Komórki zmieniane: argumenty_funkcji_celu
Warunki ograniczające:

ograniczenie_1 <= granica_1
ograniczenie_2 <= granica_2
x1_opt >= 0
x2_opt >= 0

- zmienić warunki początkowe dla argumentów x

_opt i x

_opt i rozwiązać

zagadnienie.

Technologia informacyjna - EXCEL

Przykład 2:

Dla funkcji t = f(u,v) narysować wykres powierzchniowy oraz wykresy punktowe v = f(u)

(ograniczeń) i t = f(u) (przekrój płaszczyzną prostopadłą do płaszczyzny uv przecinającą ją
wzdłuż przekątnej prostokąta ograniczeń). Przy podanych ograniczeniach, wyznaczyć minimum,
maksimum i miejsca zerowe w pobliżu punktu (1; -1):



funkcja celu:









 

sin









ograniczenia:









Rozwiązanie:

Wykresy

Sposób tworzenia wykresu powierzchniowego t = f(u,v) został opisany w podrozdziale

Wykresy powierzchniowe.

-1

-0

-1,6

-0,5

0,6

-2

-1,5

-1

-0,5

0,5

Rys. 4.6 Wykres funkcji t = f(u,v)

Wykresem ograniczeń będzie prostokąt, którego wierzchołki w układzie współrzędnych uv

mają  następujące  współrzędne  (-3;  -3),  (-3;  -1),  (-1;  -3),  (-1;  -1).  Aby  narysować  wykres
powyższego  prostokąta  wystarczy  podać  te  współrzędne  jako  kolejne  serie  podczas  rysowania
wykresu.  Na  wykresie  zamieszczona  została również przekątna prostokąta wzdłuż której będzie
przebiegało  przecięcie  płaszczyzny  prostopadłej  do  płaszczyzny  uv  z  płaszczyzną  uv.  Łatwo
sprawdzić,  że  wszystkie  punkty  leżące  na  tej  płaszczyźnie  będą  miały  współrzędną  v  =  u,  tak

więc wzór funkcji t = f(u) będzie wyglądał następująco:

 

sin





-3

-1

-3

-1

-3

-4

-3

-1

-3

-1

-3

przekątna

Serie1

Serie2

Serie3

Serie4

Serie5

prawy bok prostokąta

lewy bok prostokąta

górny bok prostokąta dolny bok prostokąta

Technologia informacyjna - EXCEL

-4

-3

-2

-1

-4

-2

Rys. 4.7 Wykres ograniczeń

Wykres t = f(u) zostanie narysowany w celu zobrazowania położenia ekstremów funkcji

f(u,v) oraz jej miejsc zerowych..

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0,5

1,5

2,5

Rys. 4.8 Wykres funkcji t = f(u)

Solver

Wyniki otrzymane za pomocą Solvera dla





są następujące:

miejsce zerowe:

u_opt_0

-2,35619

v_opt_0

-2,35619

t = f(u_opt_0,v_opt_0)

9,8E-07

maksimum funkcji:

u_opt_max

-2,61799

v_opt_max

-2,61799

t = f(u_opt_max,v_opt_max)

0,25

minimum funkcji:

u_opt_min

-1,5708

v_opt_min

-1,5708

t = f(u_opt_min,v_opt_min)

-2

Technologia informacyjna - EXCEL

- komórki E1–F1: scalić komórki, 12, B, Arial, Wyrównanie tekstu - Poziomo:

Lewe (wcięcie): 2, wpisać tekst: „FAKTURA VAT NR”

- komórka G1: 12, B, Arial; wstawić komentarz: „Proszę wpisać numer faktury”
- komórki E2–F2: scalić komórki, Wyrównanie tekstu - Poziomo: Lewe (wcięcie):

5, wpisać tekst: „Data wystawienia”

-  komórka G2: B, wpisać formułę „=DZIŚ()” (będzie wyświetlana aktualna data)
-  komórki D3–F3: scalić komórki, I, Wyśrodkuj, wpisać tekst: „Dane klienta”
-  komórki D4–F4: scalić komórki, 12, B,  Arial,
-  komórki  D5–F5:  użyć  Malarza  formatów  do  skopiowania  formatu  z  komórek

powyżej

-  komórka D6:  12, B,  Arial, Format specjalne – kod pocztowy
-  komórki E6-F6: scalić komórki, 12, B,  Arial
-  komórki D7-F7: scalić komórki, 12, B,  Arial,  Format specjalne – numer NIP
-  komórki D4-F7: dodać obramowanie
-  komórka  A9: zdefiniować styl Nagłówek_tabeli (Format – Styl): 11, Arial, B, I,

Wyrównanie - Poziomo: Środek, Pionowo: Środek, Zawijaj tekst

-  komórki B9–G9: zaznaczyć i przypisać styl Nagłówek_ tabeli
-  komórki A9-G14: dodać obramowanie
-  komórki E10-G17: kolor wypełnienia – jasnożółty
-  komórki D10-D14: Dane - Sprawdzanie Poprawności - Ustawienia Dozwolone;

Pełna liczba, Większe lub równe 10, Ostrzeżenie o błędzie Tytuł: Błędne dane;
Komunikat błędu: Liczba godzin nie może być mniejsza od 10

-  komórki E10-E14: formatowanie Niestandardowe Typ 0 (wpisać) zł”za godzinę”
-  komórki F10-F14: formatowanie Procentowe
-  komórki  G10-G14:  formatowanie  Walutowe,  Miejsca  Dziesiętne  0  ;  Format  –

Formatowanie Warunkowe – Warunek1 wartość komórki jest mniejsza niż 2000
formatuj kolor czcionki na niebiesko Warunek2 wartość komórki jest większa niż
50000 formatuj kolor czcionki na czerwono

-  komórki D9-G14: nadać nazwy Wstaw – Nazwa – Utwórz - Górny Wiersz
-  komórki G10-G14: wpisać formułę: „=Ilość_godzin*Stawka_godzinowa”
-  komórki  F15-F17:  12,  B,  Arial,  Wyrównanie  do  prawej,  kolor  czcionki  –

jasnozielony, wpisać kolejno tekst: „Suma”, „Podatek”, „Do zapłaty”

- komórki F15-G17: nadać nazwy Wstaw – Nazwa – Utwórz – Lewa Kolumna
- komórki

G15-G17:

wpisać

kolejno

formuły:

„=SUMA(Wartość)”,

„=SUMA.ILOCZYNÓW(VAT;Wartość)”, „=Suma+Podatek”

- komórki A21-G21: scalić komórki, kolor czcionki – ciemnozielony, wpisać

formułę: „=JEŻELI(Do_zapłaty>50000;"Dla należności większych od 50 000 zł
udzielane jest 3% rabatu przy płatności w terminie do 30 dni";"")”

- komórki A27-G27: scalić komórki, wpisać hasło reklamowe, 14, Impact, B, I,

kolor czcionki – fioletowy Wyrównanie – Poziomo: Środek, Pionowo: Środek

- nagłówek i stopka strony: dodać nazwę firmy do nagłówka: Widok - Nagłówki

i stopki - Nagłówek niestandardowy - Środkowa sekcja 12, Arial, B (wpisać
nazwę firmy); umieścić numer strony w stopce: Stopka niestandardowa –
Środkowa sekcja - &[Strona]; 10, Arial

- ustawienie wydruku: Plik – Ustawienie strony – Marginesy - Wyśrodkuj

na stronie – W poziomie; obejrzeć podgląd wydruku

- komórki G1, D4-F7, A10-F14: zaznaczyć komórki, Format – Komórki –

Ochrona – Zablokuj (odznaczyć), Narzędzia – Ochrona – Chroń arkusz wpisać
hasło (udostępnione do edycji pozostaną jedynie komórki odblokowane,
w pozostałych nie będzie możliwości dokonywania zmian)

Technologia informacyjna - EXCEL

Przykład:

Autofiltr

otworzyć skoroszyt pracownik1_klienci

- zaznaczyć komórkę B2 a następnie polecenie Dane – Filtr – Autofiltr
- zaznaczyć Radio w Autofiltrze kolumny Rodzaj promocji a następnie przywrócić

pełną listę zaznaczając w Autofiltrze Wszystkie

zaznaczyć 10 pierwszych w Autofiltrze kolumny Dochód(1 kw. 2011) (Pokaż Dolne 5

Elementy) a następnie przywrócić pełną listę (rys. 5.4)

zaznaczyć Inne w Autofiltrze kolumny Dochód(1 kw. 2011) (Autofiltr niestandardowy

jest większe lub równe 100 000) a następnie przywrócić pełną listę

Rys. 5.4 Filtrowanie danych zużyciem Autofiltru

Filtr zaawansowany

- skopiować wiersze A2 – C3 i wkleić je do E2 – G3
- usunąć tekst z komórek E3 i G3

zaznaczyć komórkę B2 a następnie polecenie Dane – Filtr –Filtr Zaawansowany (Filtruj

listę na miejscu, zakres listy A2- C25 zakres kryteriów E2 – G3)

zaznaczyć komórkę B2 a następnie polecenie Dane – Filtr –Filtr Zaawansowany (Kopiuj

w inne miejsce, Zakres listy A2- C25 Zakres kryteriów E2 – G3 Kopiuj do A27)

usunąć kryteria i przekopiowaną listę

5.2.3 Sumowanie danych

W arkuszu istnieje możliwość automatycznego sumowania (wyznaczania średniej,

iloczynu,  max,  min  itp.)  wybranych  rekordów.  Można  w  tym  celu  wykorzystać  Pole
automatycznego  obliczania  ,  które  znajduje  się  na Pasku  stanu  (Narzędzia – Opcje – Widok –
Pasek stanu) lub funkcję SUMY.POŚREDNIE.

Pole automatycznego obliczania

- kliknąć prawym klawiszem Pole automatycznego obliczania (NUM) i zaznaczyć

opcję Suma

- zaznaczyć komórki C2, C4, C7, C16, C18 (na pasku Pola automatycznego

obliczania pojawiła się wartość sumy)

Technologia informacyjna - EXCEL

- powtórzyć to samo dla średniej

Sumy pośrednie

- włączyć Autofiltr i wybrać Rodzaj promocji: Prasa
- zaznaczyć komórki od C17 do C25 i kliknąć przycisk Autosumowanie (

 )

-  kliknąć komórkę C26 (SUMY.POŚREDNIE(9,C17:C25)
-  zmienić Rodzaj  promocji na Telewizja
-  argumenty  funkcji  SUMY.POŚREDNIE  mogą  być  następujące:  1=ŚREDNIA,

2=ILE.LICZB,

3=ILE.NIEPUSTYCH,

4=MAX,

5=MIN,

6=ILOCZYN,

7=ODCH.STANDARDOWE

8=ODCH.STANDARDOWE.POPUL,

9=SUMA,

10=WARIANCJA, 11==WARIANCJA.POPUL

- obliczyć SUMY.POŚREDNIE dla średniej

Rys. 5.5 Sumowanie wybranych danych

5.2.4 Tworzenie konspektu

Po odpowiednim do potrzeb posortowaniu danych można je przedstawić w postaci

konspektu .Funkcja SUMY.POŚREDNIE (wykorzystywana w konspekcie) umożliwia uzyskanie
wymaganych podsumowań. Kolejne poziomy konspektu pozwalają na wyświetlenie danych
z różnym stopniem szczegółowości.

Przykład:

Plik I_kwartał zawiera dane na temat dochodów pracowników pewnej firmy uzyskanych

z różnych źródeł. Należy wykonać zestawienie dochodów (łączne z podsumowaniami)
poszczególnych pracowników z podziałem na kolejne miesiące. W tym celu najpierw sortuje się
tabelę względem pracowników a następnie względem miesięcy a później tworzy się konspekt.

otworzyć plik I_kwartał

- posortować tabelę: Dane – Sortuj – Sortuj według Reprezentant – rosnąco, Miesiąc

– rosnąco, Dochody_Suma– malejąco

- zablokować komórkę A3 ( w celu umożliwienia przewijania arkusza bez nagłówka

tabeli): ustawić się w komórce A3 i wybrać polecenie: Okno – Zablokuj okienka

- ukryć kolumnę C

pierwszy poziom konspektu

- kliknąć dowolną komórkę w tabeli
- polecenie Dane – Sumy Pośrednie – Dla każdej zmiany w polu Reprezentant, Użyj

funkcji: Suma, Dodaj sumę pośrednią do: Dochody Prasa, Dochody Radio/TV,
Dochody Internet, Dochody Suma; zaznaczyć Zamień bieżące sumy pośrednie
i Podsumowanie poniżej danych

drugi poziom konspektu

- kliknąć dowolną komórkę w tabeli
- polecenie Dane – Sumy Pośrednie – Dla każdej zmiany w polu: Miesiąc, Użyj

funkcji: Suma, Dodaj sumę pośrednią do: Dochody Suma; odznaczyć Zamień
bieżące sumy pośrednie

Technologia informacyjna - EXCEL

narysować wykres kolumnowy grupowany na podstawie danych z tabeli:

- dodać linię trendu z prognozą (prawy klawisz na określonym wykresie Dodaj linię

trendu - Typ liniowy, Opcje – Prognoza – Do przodu (podać ilość okresów))

Rodzaj reklamy: telewizja (Do przodu 1 okres), prasa (Do przodu 0,5 okresu,

Do tyłu 0,5 okresu)

wybierając różne dane z dostępnych list rozwijanych zaobserwować jak zmienia się
wykres i tabela przestawna

Rys. 5.13 Wykres przestawny dla wybranego pracownika

5.2.7 Scenariusze

Za pomocą Menadżera scenariuszy można stworzyć różne warianty tych samych obliczeń

umożliwiające analizę wpływu poszczególnych argumentów funkcji wielu zmiennych na jej
wartość końcową.

W przykładzie rozpatrywanym poniżej przedstawiony jest budżet pewnej firmy (plik

budżet.xls).  Należy  najpierw  obliczyć  (wykorzystując  procedurę  Szukaj  wyniku)  o  ile  muszą
wzrosnąć  dochody  z  pracy,  aby  zysk  operacyjny  wzrósł  o  40%  a  następnie  stworzyć
odpowiednie  scenariusze  umożliwiające  analizę  wpływu  wzrostu  poszczególnych  dochodów
na wzrost zysku operacyjnego.

Przykład:

Komórka B20 zawiera funkcję określoną formułą „=Dochody_suma-Wydatki_suma”.

Argumenty tej funkcji („Praca”, „Materiały”, „Produkcja”, „Podróże”), które zapisane są
w komórkach B3-B6, nazwane zostały jako „Dochody”.

Rozwiązanie:

zaznaczyć komórki A3–B6 oraz A9-B18 i wstawić nazwy (Wstaw – Nazwę – Utwórz –

Lewa kolumna)

Zastosowanie procedury Szukaj wyniku:

obliczyć jaką wartość powinny mieć dochody z pracy, aby zysk operacyjny wzrósł o 40%

- zaznaczyć komórkę B20: Narzędzia - Szukaj wyniku: Wartość – 70000, Zmieniając

komórkę - B3

- anulować zmiany i zapamiętać wartość

Technologia informacyjna - EXCEL

Tworzenie scenariuszy:

stworzyć 6 scenariuszy obejmujących kolejno aktualny budżet a następnie wzrost

dochodów (wynikający z dodania marży) z pracy, materiałów, produkcji i podróży
oraz nowy budżet uwzględniający wszystkie powyższe zmiany:

- Narzędzia – Menedżer scenariuszy – Dodaj: Nazwa scenariusza: Aktualny budżet,

Komórki zmieniane: B3-B6

- Narzędzia – Menedżer scenariuszy – Dodaj: Nazwa scenariusza: Praca, Komórki

zmieniane: B3-B6, Wartości scenariusza – Praca: 378 000

- Narzędzia – Menedżer scenariuszy – Dodaj: Nazwa scenariusza: Materiały,

Komórki zmieniane: B3-B6, Wartości scenariusza – Materiały: 5 000

- Narzędzia – Menedżer scenariuszy – Dodaj: Nazwa scenariusza: Produkcja,

Komórki zmieniane: B3-B6, Wartości scenariusza – Produkcja: 35 000

- Narzędzia – Menedżer scenariuszy – Dodaj: Nazwa scenariusza: Podróże,

Komórki zmieniane: B3-B6, Wartości scenariusza – Podróże: 12 000

Narzędzia – Menedżer scenariuszy – Dodaj: Nazwa scenariusza: Nowy budżet,
Komórki zmieniane: B3-B6, Wartości scenariusza – Praca: 378 000, Materiały:
5 000, Produkcja: 35 000, Podróże: 12 000

przeglądanie scenariuszy: Narzędzia – Menedżer scenariuszy – Pokaż (obejrzeć kolejne

scenariusze)

tworzenie podsumowania: Narzędzia – Menedżer scenariuszy – Podsumowanie

dokonywanie zmian w scenariuszach:

- usunąć arkusz Podsumowanie scenariuszy

Narzędzia – Menedżer scenariuszy: zaznaczyć scenariusz Nowy budżet – Edytuj
(zmienić: Podróże: 9 200, Produkcja: 36 800 ); odznaczyć: Chroń przed zmianami

Rys. 5.14 Widok Podsumowania scenariuszy

5.2.8 Kontrolki z okna dialogowego

W arkuszu Excela istnieje możliwość korzystania z kontrolek ActiveX, które są obiektami

graficznymi stanowiącymi interfejs użytkownika ułatwiający obsługę arkusza. Wszystkie te
kontrolki dostępne są na pasku Visual Basic w Przyborniku formantów. Są to m.in. Przycisk
polecenia, Przycisk pokrętła, Pasek przewijania, Pole kombi.

Jako

przykład

przedstawione

zostanie

wykorzystanie

powyższych

kontrolek

do zaprojektowania kalkulatora rat.

Przykład:

Zaprojektować kalkulator rat obliczający wysokość miesięcznej raty przy spłacie kredytu

na zakup domu. Oprocentowanie kredytu: (0 – 20% z krokiem 0,25%), Rabat przy zakupie:
(0 – 40% z krokiem 1%), Lata spłaty kredytu: (5 – 30 lat).

Technologia informacyjna - EXCEL

Rozwiązanie:

- komórki

B2-B7:

wpisać

kolejno

tekst:

„Cena”,

„Rabat”,

„Zapłata”,

„Oprocentowanie”, „Lata”, „Raty”

- komórki C2-C7: nadać nazwy (zaznaczyć B2-C7: Wstaw – Nazwę – Utwórz – Lewa

kolumna), wstawić obramowanie

-  komórka C2: format walutowy całkowity, wpisać dowolną wartość
-  komórka C3: format procentowy całkowity, wpisać dowolną wartość
-  komórka C4: format walutowy całkowity, wpisać formułę: „= Cena*(1 - Rabat)”
-  komórka  C5:  format  procentowy  (dwa  miejsca  po  przecinku),  wpisać  dowolną

wartość

- komórka C6: wpisać dowolną dodatnią wartość całkowitą
- komórka C7: wpisać formułę: „=PMT(Oprocentowanie/12; Lata*12; Zapłata)”

funkcja PMT(oblicza wysokość raty) - zwraca liczbę okresów dla inwestycji

polegającej na stałych okresowych wpłatach przy stałym oprocentowaniu

PMT(stopa; liczba_rat; wa); wa - wartość do zapłacenia

- kolumna E: szerokość 23, wiersze od 1 do 8 wysokość 21
- komórka E6: wstawić Przycisk pokrętła; (w celu dopasowania wielkości formantu do

wielkości komórki kliknąć na formant a następnie wcisnąć klawisz Alt i przeciągnąć
wskaźnik myszy od lewego górnego rogu komórki E6 do jej prawego dolnego rogu)

zmienić właściwości formantu (prawy klawisz: Właściwości): LinkedCell

(komórka docelowa) – C6, Max: 30, Min: 5

- komórka E3: wstawić Przycisk pokrętła (analogicznie jak poprzednio)

właściwości formantu: LinkedCell – H3 (H3 - komórka pośrednia wprowadzana

w  przypadku  zmian  o  liczbę  ułamkową,  ponieważ  we  właściwościach  formantu
dozwolone  jest  wpisywanie  jedynie  liczb  całkowitych),  Max:  40,  Min:  0,
SmallChange: 1,

komórka C3: wpisać formułę: ”=H3/100” w celu zamiany liczby całkowitej

na wartość procentową

- komórka E5: wstawić Pasek przewijania (analogicznie jak poprzednio)

właściwości formantu: LinkedCell – H5, Max: 2000, Min: 100, LargeChange

(zmiana przy kliknięciu na pasku formantu)): 100, SmallChange (zmiana przy
kliknięciu na strzałkę formantu): 25,

komórka C5: wpisać formułę: ”=H5/10000”

- komórki J2 - L8: nadać nazwę Lista_domów, wpisać dane i dodać obramowanie
- komórka E2: wstawić Pole kombi

właściwości

formantu:

LinkedCell:

C2,

ListFillRange:

Lista_domów,

ColumnCount  (ilość  kolumn  z  danymi):  3,  BoundColumn  (numer  kolumny
z której pobierane są dane): 3, Style (styl listy): 2-frmStyleDropDownList (2-lista
rozwijana;  0-lista  rozwijana  z  edycją),  Font  (czcionka):    8,  ColumnWidth
(szerokość kolumn z danymi wyświetlanymi w formancie):  36;36;36

Rys. 5.15 Widok arkusza z kalkulatorem rat

Technologia informacyjna - MATLAB

6. Podstawowe wiadomości o środowisku Matlab

6.1 Wiadomości wstępne

Pakiet Matlab jest szeroko stosowanym narzędziem wspomagającym rozwiązywanie

wszelkiego rodzaju problemów inżynierskich.

Pakiet składa się z interpretera języka symbolicznego, pakietu standardowych bibliotek,

pakietu  bibliotek  dodatkowych  służących  do  rozwiązywania  szczegółowych  problemów
z  wybranych  dziedzin  nauki  (Toolbox)  oraz  nakładki  Simulink  wraz  z  własnymi  bibliotekami
(tzw. „blockset”).

Program Matlab pozwala na pracę w dwóch trybach:



interaktywnym,



skryptowym

Tryb interaktywny polega na kolejnym pisaniu i wykonywaniu na bieżąco poszczególnych

komend w oknie poleceń (Command Window). Jest to wygodny sposób w przypadku bardzo
prostych zadań jak np. wykonywanie obliczeń arytmetycznych lub znajdowanie wartości funkcji
elementarnych.

Tryb skryptowy jest zasadniczym trybem pracy w środowisku Matlab. Polega on

na kolejnym wykonywaniu, linijka po linijce, poszczególnych komend przez wbudowany
interpreter języka programowania. Komendy te umieszcza się w pliku typu M-File. Pliki tego
rodzaju posiadają rozszerzenie m (nazwa_pliku .m).

Bezpośrednio po uruchomieniu programu pojawia się okno główne i można rozpocząć

pracę w trybie interaktywnym.

Rys. 6.1. Widok okna głównego Matlaba

W lewej części okna głównego widoczne są dwa okna pomocnicze wyświetlające

odpowiednio:

Launch Pad

załadowane biblioteki

Workspace

zestaw przechowywanych w pamięci zmiennych

Command history

listę wcześniej wykonanych komend

Current directory

zawartość bieżącego katalogu

W prawej części okna głównego znajduje się okno poleceń (Command Window) w którym

wykonywane są polecenia oraz wyświetlane są wyniki obliczeń i komunikaty o błędach.

Technologia informacyjna - MATLAB

Przykład:

» who

Your variables are:
a b

 whos

Działanie polecenia whos jest podobne do polecenia who, ale wyświetla rozszerzone

informacje o przechowywanych zmiennych.

Przykład:

» whos
  Name      Size         Bytes  Class

  a         2x3             48  double array
  b         2x3             48  double array

Grand total is 33 elements using 138 bytes

6.3 Skrypty i funkcje użytkownika

 Skrypty

Skrypt jest plikiem typu M-File (o rozszerzeniu m), w którym umieszcza się program

obliczeniowy napisany zgodnie z regułami obowiązującymi w Matlabie.

Obliczenia można również przeprowadzać w trybie interaktywnym, jednakże jest on mało

efektywny i dlatego powinien być wykorzystywany jedynie do prostych działań.

Jeżeli skrypt zapisany został w katalogu roboczym Matlaba (katalog Work), wówczas

wykonanie  obliczeń  w  nim  zawartych  (bez  potrzeby  jego  otwierania)  następuje  po  napisaniu
w  oknie  poleceń  (Command  Window)  nazwy  skryptu  (bez  rozszerzenia)  i  wciśnięciu  klawisza
Enter.  Otwarty  skrypt  można  również  uruchomić  korzystając  z  poleceń  paska  narzędzi  edytora
skryptów (Editor - Debug - Run).

W przypadku umieszczenia skryptu w innym katalogu niż roboczy, należy podać ścieżkę

do tego katalogu korzystając z polecenia path (np. path(path,’G:\katalog’)), lub po jej
zmapowaniu ustawić ją w oknie Command Window (File - Set Path...).

Przykład prostego skryptu zostanie przedstawiony poniżej.

Przykład:

Rysowanie funkcji sinus w przedziale < 1; 2 > z krokiem 0,01.

x=1:0.01:2;
y=sin(x);

plot(x,y)

Należy zwrócić uwagę na zastosowanie znaku średnika. Znak średnika umieszczony

na końcu wiersza powoduje, że w oknie poleceń (Command Window) nie są wyświetlane
zarówno pośrednie obliczenia jak i wynik końcowy. Aby wyświetlić określoną zmienną
lub jedną z jej wartości należy skorzystać z polecenia disp.

Technologia informacyjna - MATLAB

 Komentarze

Znak „%” na początku wiersza oznacza, że wiersz ten jest komentarzem lub, że polecenia

w nim zawarte mają zostać pominięte podczas wykonywania programu.

Komentarz zamieszczony na początku skryptu (do momentu pojawienia się pierwszego

pustego wiersza lub wiersza bez znaku komentarza) traktowany jest jako tekst pomocy danego
skryptu.

Przykład:

 kod skryptu plik.m:

%komentarz 1
%komentarz 2

%x=2

y=5

 help skryptu plik.m:

>> help plik
komentarz 1

komentarz 2



wykonanie skryptu plik.m:

>> plik
y =
5

 Funkcje

W Matlabie istnieje możliwość zadeklarowania własnej funkcji. Definicję własnej funkcji

umieszcza się w skrypcie, którego nazwa powinna być taka sama jak nazwa funkcji.

Składnia polecenia jest następująca:

function zmienna = nazwa_funkcji(argument_1,..., argument_n)

instrukcje

Przykład:



deklaracja funkcji obliczającej sumę trzech liczb (skrypt o nazwie suma.m):

function

y=suma(a,b,c)

y=a+b+c;



kod skryptu o nazwie dodawanie.m wykorzystującego deklarowaną funkcję

a=2;
b=3;
c=4;
wynik=suma(a,b,c)

 wykonanie skryptu:

>>dodawanie
wynik =
9

Zmienne deklarowane w funkcji są zmiennymi lokalnymi, czyli po zakończeniu działania

funkcji usuwane są z pamięci, co powoduje, że nie można się już do nich odwołać.

Technologia informacyjna - MATLAB

Zadeklarowanie zmiennych jako globalnych spowoduje, że po zakończeniu działania

funkcji zmienne te będą ciągle dostępne.

Zmienne deklarowane są jako globalne przy pomocy instrukcji global:

global zmienna_1 zmienna_2 ... zmienna_N

Należy zadeklarować wykorzystywane w funkcji zmienne globalne również w skrypcie.

 input

Polecenie input wykorzystywane jest do wprowadzania z klawiatury wartości zmiennych.

Składnia polecenia input jest następująca:

zmienna = input(

‘tekst_zachęty’

)

Przykład:

 obliczanie sumy dwóch liczb a i b wprowadzanych z klawiatury (skrypt o nazwie plik.m):

a=input(

'Podaj wartość liczby a = '

);

b=input(

'Podaj wartość liczby b = '

);

wynik=a+b

 wykonanie skryptu plik.m następuje po podaniu wartości a i b:

>> plik
Podaj wartość liczby a = 2
Podaj wartość liczby b = 5

wynik =
7

6.4 Operacje na macierzach i tablicach wartości

W Matlabie podstawowym typem danych są macierze. Wielkości skalarne można

traktować jako macierze o wymiarach 1 x 1, a po umieszczeniu ich w tablicach wartości można
wykonywać na nich dowolne operacje matematyczne.

Zastosowanie rachunku macierzowego pozwala na prostsze rozwiązywanie różnorodnych

problemów matematycznych, np. rozwiązywanie układu n równań.

 Operatory matematyczne

Postać ogólną macierzy można zapisać w następujący sposób:

...

















m  n jest wymiarem macierzy A

Technologia informacyjna - MATLAB

Działania na macierzach lub tablicach wartości sprowadzają się do odpowiednich działań

na  poszczególnych  elementach  macierzy  lub  tablicy  wartości.  Zastosowanie  wszystkich
operatorów  matematycznych  w  obydwu  przypadkach  jest  identyczne  za  wyjątkiem  mnożenia,
dzielenia i potęgowania.

Wykorzystanie operatorów porównania i operatorów logicznych powoduje przypisanie

każdemu niezerowemu elementowi danej macierzy wartości logicznej 1 i każdemu elementowi
zerowemu wartości logicznej 0. W wyniku otrzymuje się, zgodnie z wymaganym działaniem,
odpowiednią macierz o elementach zerojedynkowych.

Operatory arytmetyczne

+, -

dodawanie, odejmowanie



mnożenie

dzielenie (dzielenie prawostronne)

dzielenie (dzielenie lewostronne)

potęgowanie



transpozycja macierzy (tablicy)

znak równości

operator tablicowy

Operatory porównania

równe tożsamościowo

różne

mniejsze

większe

mniejsze równe

większe równe

Operatory logiczne

alternatywa

koniunkcja

xor( )

różnica symetryczna

negacja

Tab. 6.1 Operatory matematyczne

 Wprowadzanie formuł i wartości liczbowych

Matlab umożliwia także dokonywanie operacji arytmetycznych dla poszczególnych

elementów  macierzy,  przy  wykorzystaniu  tzw.  operatorów  tablicowych.  W  celu  odróżnienia
działań  dokonywanych  na  macierzach  od  działań  dokonywanych  na  tablicach  wartości,
w  przypadku  tablic  wartości  należy  zawsze  po  zmiennej  umieścić  kropkę  przed  znakiem
mnożenia  dzielenia  i  potęgowania  (np.  3*x.^2  –  x.*sin(x)  +  x./cos(x)).  W  przypadku  dzielenia
kropkę stosuje się również przed znakiem dzielenia (np. 2./x).

Elementy macierzy lub tablicy wartości umieszcza się zawsze w nawiasach kwadratowych,

natomiast nawiasy zwykłe są zarezerwowane dla argumentów poleceń lub funkcji Matlaba.
Poszczególne argumenty oddzielane są przecinkami i jeżeli nie stanowią zmiennej lub liczby
umieszczane są w apostrofach (np. plot(x, y,’r*’)).

W Matlabie macierze należy oznaczać dużymi literami, natomiast wektory bądź tablice

wartości mogą być oznaczane małymi lub dużymi literami. Tę samą zmienną zapisaną raz małą
a raz dużą literą program traktuje jak dwie różne zmienne.

Technologia informacyjna - MATLAB

 Deklaracje macierzy

Macierz można zadeklarować w sposób następujący: podać elementy macierzy,

wygenerować elementy macierzy, zdefiniować macierz wykorzystując zależności określające jej
elementy lub skorzystać z biblioteki Matlaba.

Tworzenie macierzy przez podanie jej elementów

Macierz tworzy się poprzez umieszczenie jej poszczególnych elementów, oddzielonych

spacjami, w nawiasach kwadratowych.





;



Przykład

» A=[1 1;2 2]

A =
1 1
2 2

Znak średnika (;) lub wciśnięcie klawisza Enter oznacza początek następnego wiersza

macierzy.

W przypadku, gdy liczba elementów macierzy jest duża (lub polecenie nie mieści się

w jednej linii) należy wykorzystać znak ..., który powoduje, że tekst znajdujący się
w następnej linii jest częścią tekstu poprzedniej linii.

Przykład:

» A=[1 1;...
2 2]

A =
1 1

Deklaracja pustej macierzy:

» A=[]

A =
[]

Definiowanie macierzy poprzez generowanie jej elementów

Definiowanie

macierzy

poprzez

generowanie

jej

elementów

realizowane

jest

w następujący sposób:

A = wartość_początkowa : krok : wartość_końcowa

Przykład:

» A=1:1:10

A =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Powyższe polecenie powoduje utworzenie 10-elementowej macierzy wierszowej.

Technologia informacyjna - MATLAB

Wykorzystując elementy tablicy wartości x można wygenerować tablicę wartości y, której

elementy określone są w sposób następujący: y

= f(x

Przykład:

>> x=1:1:5

x =

>> y=x.^2

y =

Generowanie macierzy na podstawie zależności określającej jej elementy

Przykład:

Elementy macierzy Hilberta zdefiniowane są za pomocą zależności: A(i,j) = 1/(i+j-1).

Elementy te można wygenerować wykorzystując dwie pętle for. Dla stopnia macierzy n = 5
program obliczeniowy jest następujący:

>> n=5

for

i=1:n

for

j=1:n

A(i,j)=1/(i+j-1);

end

disp(A)

Rozwiązanie:

A =
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000

0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667

0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429

0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250

0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111

Średnik na końcu linii powoduje pominięcie wyświetlania pośrednich obliczeń

wykonywanych w danej linii. Polecenie disp(A) wyświetla wynik.

Macierz Hilberta można także pobrać z biblioteki Matlaba pisząc polecenie hilb(n), gdzie

n jest stopniem macierzy.

 Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy kwadratowej (|macierz|) obliczany jest przy pomocy funkcji

det(macierz).

Dla macierzy stopnia drugiego zależności są następujące:



















Technologia informacyjna - MATLAB

A =
     1     2     3     4     5
     1     3     4     5     6

» length(A)

ans =
     5

 Odwołania do dowolnego elementu macierzy

Aby odwołać się do danego elementu A(i,j) macierzy A należy podać jego współrzędne;

tzn. numer wiersza i oraz kolumny j na przecięciu których znajduje się ten element.

Przykład:

» A=[1 2 3 4 5;6 7 8 9 10;11 12 13 14 15]

A =

     1     2     3     4     5
     6     7     8     9    10
    11    12    13    14    15

» A(2,3)

ans =
8

 Transpozycja macierzy

Transpozycja macierzy, czyli zamiana wierszy i kolumn, realizowana jest przy pomocy

operatora  ‘ .





























Przykład:

>> A=[1 2 3; 4 5 6]

A =
     1     2     3
     4     5     6

>> A'

ans =
     1     4
     2     5
     3     6

 Odwracanie macierzy

Odwracanie macierzy (macierz

-1

) realizowane jest zgodnie z poniższym zależnościami

(przedstawionymi dla macierzy stopnia drugiego), przy pomocy funkcji inv(macierz).

Technologia informacyjna - MATLAB

















 

 

 

 

 

 

 

 

*
22

*
21

*
12

*
22

*
21







































































Przykład:

>> A=[1 2;3 4]

A =
     1     2
     3     4

>> inv(A)

ans =
   -2.0000    1.0000
    1.5000   -0.5000

 Dodawanie oraz odejmowanie macierzy

Dodawanie oraz odejmowanie macierzy lub tablic wartości o jednakowych wymiarach

dokonywane jest zgodnie z zależnościami:















































Dodawanie dowolnej stałej s do macierzy realizowane jest w sposób następujący:



















Technologia informacyjna - MATLAB

W przypadku, gdy wymiary macierzy A i B są różne wyświetlony zostanie komunikat o błędzie:

Matrix dimensions must agree. (Wymiary macierzy muszą się zgadzać)

 Mnożenie macierzy

Działanie mnożenia macierzy wykonywane jest przy pomocy operatora *. Macierz

można pomnożyć zarówno przez inną macierz jak i przez skalar. W przypadku mnożenia
macierzy musi być spełniony następujący warunek: liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa
liczbie wierszy drugiej macierzy.

W przypadku mnożenia tablic wartości ich wymiary muszą być identyczne, a ponadto

należy przed znakiem mnożenia postawić kropkę (tzw. operator tablicowy).

Zasady mnożenia macierzy i tablic wartości dla macierzy kwadratowych stopnia drugiego

zostały przedstawione poniżej:





























mnożenie macierzy

















* B

mnożenie tablic wartości















potęgowanie macierzy

A^3 = A*A*A

potęgowanie tablic wartości

















Przykłady:

>> A=[1 2;3 4]

A =
     1     2
     3     4

>> B=[5 6;7 8]

B =
     5     6
     7     8

Technologia informacyjna - MATLAB

 mnożenie macierzy

>> A*B

ans =
19 22
43 50

 mnożenie tablic wartości

>> A.*B

ans =
5 12
21 32

 Dzielenie macierzy

Działanie dzielenia macierzy wykonywane jest za pomocą operatora / (dzielenie

prawostronne) lub operatora \ (dzielenie lewostronne).





























dzielenie macierzy (dzielenie prawostronne)































* B

dzielenie tablic wartości















dzielenie lewostronne macierzy

Dzielenie lewostronne macierzy wykorzystywane jest przy rozwiązywaniu układów

równań liniowych metodą eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego.
Rozwiązanie układu dwóch równań liniowych realizowane jest w sposób pokazany poniżej.

Technologia informacyjna - MATLAB

lub





























































x = A \ b

rozwiązanie układu równań liniowych metodą eliminacji Gaussa
z częściowym wyborem elementu głównego (dzielenie lewostronne)

x = A

-1

rozwiązanie układu równań metodą odwracania macierzy

dzielenie lewostronne tablic wartości

















Zapis A.\B równoznaczny jest z zapisem B./A

Przykłady:

W przykładach wykorzystane zostały dane macierze A i B.

>>  A=[1 2;3 4]

A =
     1     2
     3     4

>> B=[5 6;7 8]

B =
     5     6
     7     8

 dzielenie macierzy (dzielenie prawostronne)

>> A/B

ans =
3.0000 -2.0000
2.0000 -1.0000

 dzielenie tablic wartości

>> A./B

ans =
0.2000 0.3333
0.4286 0.5000

Technologia informacyjna - MATLAB

6.7 Funkcje matematyczne

W zależności od wersji i zainstalowanego pakietu ToolBox Matlab zawiera szereg funkcji

matematycznych, graficznych, optymalizacyjnych oraz wiele innych.

Poniżej zostały przedstawione wybrane funkcje matematyczne, które odpowiednio

przekształcają każdy z elementów macierzy.

Przykładowa macierz A, której elementy a

mogą być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi

 





przekształcana jest do macierzy

 





zgodnie z odpowiednią funkcją matematyczną.

Funkcja

Opis

Funkcje potęgowe, logarytmiczne i wykładnicze

sqrt(A)

b 

exp(A)

b 

pow2(A)

b 

log(A)

b 

log2(A)

log

b 

log10(A)

log

b 

Funkcje liczb zespolonych

abs(A)

 





angle(A)

 
 

arctg

b 

real(A)

 

b 

imag(A)

 

b 

conj(A)

Oblicza macierz, której elementami są sprzężone liczby
zespolone odpowiednich elementów macierzy





 



 





Funkcje trygonometryczne

sin(A)

sin

b 

cos(A)

cos

b 

tan(A)

b 

Funkcje cyklometryczne

asin(A)

sin

arc

b 

acos(A)

cos

arc

b 

atan(A)

arctg

b 

Technologia informacyjna - MATLAB

Funkcje hiperboliczne

sinh(A)

sin

b 

cosh(A)

cos

b 

tanh(A)

b 

Funkcje odwrotne do hiperbolicznych

asinh(A)

sin

arc

b 

acosh(A)

cos

arc

b 

atanh(A)

arctg

b 

Funkcje znaku, zaokrągleń i reszty z dzielenia

ceil(A)

Zaokrągla wartości elementów macierzy A w górę. W
przypadku liczb zespolonych zaokrąglane są zarówno część
rzeczywista i urojona.

floor(A)

Zaokrągla wartości elementów macierzy A w dół. W przypadku
liczb zespolonych zaokrąglane są zarówno część rzeczywista i
urojona.

fix(A)

Zaokrągla wartości elementów macierzy A: elementy dodatnie
w dół a ujemne w górę. W przypadku liczb zespolonych
zaokrąglane są odpowiednio część rzeczywista i urojona.

round(A)

Zaokrągla elementy macierzy A do najbliższej liczby
całkowitej. W przypadku liczb zespolonych zaokrąglane są
odpowiednio część rzeczywista i urojona.

sign(A)

Tworzy macierz o wymiarach równych macierzy A i
elementach zależnych od znaku:





















rem(A, C)

Oblicza resztę z dzielenia odpowiadających sobie elementów
macierzy A i C.

b 

gcd(x,y)

Oblicza największy wspólny dzielnik liczb x i y.

lcm(x, y)

Oblicza najmniejsza wspólną wielokrotność liczb x i y.

Tab. 6.3 Funkcje matematyczne

Przykłady:

 wyznaczenie wartości funkcji sinus:

>> sin(pi/4)

ans =
0.7071

 obliczanie modułu liczby zespolonej:

» z=1+2*i

z =
1.0000 + 2.0000i

Technologia informacyjna - MATLAB

» abs(z)

ans =
2.2361

 zastosowanie funkcji sign:

» A=[-10 20 0; 10 -20 0]

A =
   -10    20     0
    10   -20     0

» sign(A)

ans =
    -1     1     0
     1    -1     0

6.8

Instrukcje języka skryptowego

 Instrukcja pętli „for”

Instrukcja

for

służy

określenia

indeksu

wybranego

elementu

macierzy

i wykorzystywana jest wówczas, gdy należy przeprowadzić operacje na poszczególnych jej
elementach.

Składnia instrukcji for jest następująca:

for

zmienna=macierz_indeksów

instrukcje

end

Szczególnym zastosowaniem pętli for jest generowanie macierzy, gdzie macierz_indeksów

jest macierzą wierszową służącą do indeksowania elementów generowanej macierzy
znajdujących się w kolejnych wierszach.

Przykład:

Wygenerować macierz A o wymiarach n x m (n = 3, m = 5), której elementy określone są

następująco:

A(i,j)= i/j

n=3;
m=5;

for

i=1:n

for

j=1:m

A(i,j)=i/j;

end

disp(A)

W oknie poleceń wyświetlona zostanie wygenerowana macierz A.

A=
1.0000    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000
2.0000    1.0000    0.6667    0.5000    0.4000
3.0000    1.5000    1.0000    0.7500    0.6000

Technologia informacyjna - MATLAB

Wyrażenia 1:n i 1:m tworzą wektory o elementach odpowiednio [1, 2, ..., n] (numery

wierszy) i [1, 2, ..., m] (numery kolumn), które są indeksami elementów generowanej macierzy.

 Instrukcja pętli „while”

Instrukcja while („dopóki”) wykorzystywana jest wówczas, gdy wykonanie ciągu

instrukcji uzależnione jest od spełnienia odpowiedniego warunku.

Składnia instrukcji while jest następująca:

while

warunek

instrukcje

end

Działanie instrukcji ilustruje poniższy przykład.

Przykład:

x = 0

while

x~=10

x = x + 1

end

W przypadku pętli while, w odniesieniu do liczb, bezpieczniej jest stosować zamiast

warunku równości (==) warunek (~=), ponieważ zapis zmiennoprzecinkowy liczb
rzeczywistych wprowadza pewne błędy, które często uniemożliwiają spełnienie warunku
równości.

 Instrukcja warunkowa „if”

Instrukcja if jest typową instrukcją warunkową wykorzystywaną w większości używanych

języków programowania.

Składnia instrukcji if ma postać:

warunek_1

instrukcje

elseif

warunek_2

instrukcje

elseif

warunek_N

instrukcje

else

instrukcje

end

Przykład:

x=-100

x<0

disp(abs(x))

else

disp(x)

end

 Instrukcja „break”

Użycie instrukcji break spowoduje przerwanie wykonywania jednego poziomu pętli.

Technologia informacyjna - MATLAB

 Instrukcja „return”

Użycie instrukcji return powoduje opuszczenie bieżącej funkcji lub skryptu i przejście

do miejsca wywołania danej funkcji lub skryptu.

6.9 Instrukcje graficzne

W tym rozdziale przedstawione zostaną wybrane instrukcje graficzne służące do tworzenia

i formatowania wykresów na płaszczyźnie (2-D).

 figure

Polecenie figure otwiera nowe okno o nazwie Figure. W oknie Figure zamieszczane są

przede wszystkim wykresy, ale można również w nim umieścić inne elementy np. przyciski.

 plot

Podstawowym zastosowaniem instrukcji plot jest rysowanie wykresów funkcji jednej

zmiennej. Instrukcja plot dla funkcji y = f(x) ma następującą składnię:

plot(x,y,

’format’

)

Jeżeli nie zostanie określony styl linii wykres rysowany jest linią ciągłą a kolor linii

dobierany jest automatyczne ( plot(x,y) ). Można określić styl i kolor znaczników punktów
wykresu korzystając z zamieszczonej niżej tabeli.

Opcja

Opis

Kolor linii

żółty

magenta

cyjan

czerwony

zielony

niebieski

biały

czarny

Styl linii (znaczniki linii)

punktowa

ciągła

kropkowana

kreska – kropka

przerywana

kółka

znak x

znak +

znak *

znak kwadratu

znak diamentu

znak trójkąta (w dół)

znak trójkąta (w górę)

znak trójkąta (w lewo)

znaj trójkąta (w prawo)

znak pentagramu (gwiazdy pięcioramiennej)

znak gwiazdy sześcioramiennej

Tab. 6.4. Parametry stylu linii

Technologia informacyjna - MATLAB

Aby narysować wykresy kilku funkcji np.: y

=f(x), y

=f(x) ... , w jednym układzie

współrzędnych należy użyć polecenia plot w następującej postaci: plot( x, y1, x, y2, x, y3, ... ) -
wykresy kreślone linią ciągłą, lub plot( x, y1,’ format’, x, y2, ’ format’, x, y3, ’ format’ ... ) –
wykresy kreślone wybranym znacznikiem i kolorem.

 subplot

Polecenie subplot dzieli obszar okna graficznego Figure na n

 m obszarów, w których

wyświetlane są odpowiednie wykresy.

Składnia polecenia jest następująca:

subplot(n, m, p)

Parametr n oznacza liczbę okien w pionie, m liczbę okien w poziomie

a p jest numerem okna liczonym od lewego górnego rogu obiektu Figure.

Przykład:

subplot(2,3,1)
plot(x,y)

Okno zostało podzielone na dwa obszary w pionie, trzy obszary w poziomie, wykres

y=f(x) został umieszczony w pierwszym oknie (licząc od lewej górnej krawędzi okna
graficznego Figure).

 xlabel

Polecenie xlabel służy do opisu osi x. Składnia polecenia xlabel ma postać:

xlabel(

‘opis osi x’

)

Opis osi pojawia się pod osią odciętych.

 ylabel

Polecenie ylabel służy do opisu osi y. Składnia polecenia ylabel ma postać:

ylabel(

‘opis osi y’

)

Opis osi pojawia się obok osi rzędnych.

 title

Polecenie title służy wstawienia nazwy wykresu. Składnia polecenia title ma postać:

title(

‘opis wykresu’

)

 legend

Polecenie legend wstawia legendę dla bieżącego wykresu. Składnia polecenia legend ma

postać:

legend(

‘1_seria_danych’

,...,

‘N_seria_danych’

)

Technologia informacyjna - MATLAB

7. Obliczenia w Matlabie

7.1 Interpolacja

Program Matlab, dzięki swojej funkcji bibliotecznej interp1, umożliwia dokonanie

interpolacji funkcji jednej zmiennej y = f(x) w punktach xi nie będących węzłami. Składnia tej
funkcji ma postać:

yi = interp1(xw, yw, xi, ’metoda’)

(7.1)

%(xw, yw) - węzły interpolacji

Funkcja interp1 umożliwia obliczenia za pomocą następujących metod:

nearest

interpolacja metodą „najbliższego sąsiada” (przybliżenie stanowi funkcja schodkowa
przyjmująca wartości z najbliższego węzła interpolacji)

linear

interpolacja liniowa

spline

interpolacja funkcjami sklejanymi trzeciego stopnia

cubic

interpolacja wielomianami trzeciego rzędu

We wszystkich przypadkach elementy wektora xw muszą stanowić ciąg rosnący, natomiast

trzecią metodę należy stosować tylko dla węzłów równoodległych. W składni polecenia można
pominąć nazwę metody; wówczas metodą domyślną jest interpolacja liniowa.

Przykład 1:

W poniższej tabeli zamieszczone zostały wyniki pomiarów; należy je przybliżyć (z krokiem 0,1)

za pomocą wszystkich wymienionych wyżej metod interpolacji. Najpierw umieścić wszystkie krzywe
na wspólnym wykresie a następnie podzielić okno i narysować każdy wykres w oddzielnym układzie
współrzędnych (wartości z tabeli zaznaczyć na wykresie *).

x -5 -4 -3 -2

-1

4 5

y 1,2 3,1 4,5 6,7 12,4 17,9 25,8 19,8 10,3 4,2 0

skrypt1.m

%%interpolacja funkcji jednej zmiennej

%(xw,yw) - współrzędne węzłów interpolacji

xw=-5:1:5;
yw=[9.5 10.1 11.3 12.5 13.7 15.1 16.7 18.4 20.7 22.5 25.8];

%(xi,yi1,xi,yi2,xi,yi3,xi,yi4)– współrzędne punktów,
% w których dokonywana jest interpolacja

xi=-5:0.1:5;

yi1=interp1(xw,yw,xi,

'linear'

);

yi2=interp1(xw,yw,xi,

'spline'

);

yi3=interp1(xw,yw,xi,

'cubic'

);

yi4=interp1(xw,yw,xi,

'nearest

');

%wszystkie krzywe na jednym wykresie

plot(xw,yw,

'*'

,xi,yi1,xi,yi2,xi,yi3,xi,yi4);

grid on;
title(

'interpolacja funkcji jednej zmiennej'

);

xlabel(

'zmienna x'

);

ylabel(

'zmienna y'

);

text(-3.5,1,

'* - wezly interpolacji'

);

Technologia informacyjna - MATLAB

%każda krzywa w oddzielnym układzie współrzędnych
%subplot(2,2,1)
%plot(xw,yw,'*',xi,yi1)
%title('interpolacja liniowa')
%grid on
%subplot(2,2,2)
%plot(xw,yw,'*',xi,yi2)
%title('interpolacja funkcjami sklejanymi')
%grid on
%subplot(2,2,3)
%plot(xw,yw,'*',xi,yi3)
%title('interpolacja wielomianem 3-go stopnia')
%grid on
%subplot(2,2,4)
%plot(xw,yw,'*',xi,yi4)
%title('interpolacja funkcja schodkowa')

grid on

-5

-4

-3

-2

-1

-5

interpolacja funkcji jednej zmiennej

zmiena x

* - wezly interpolacji

wezly
linear
spline
cubic
nearest

Rys. 7.1 Porównanie metod interpolacji 1

-5

interpolacja liniowa

-5

interpolacja funkcjami sklejanymi

-5

-10

interpolacja wielomianem 3-go stopnia

-5

interpolacja funkcja schodkowa

Rys. 7.2 Porównanie metod interpolacji 2

Technologia informacyjna - MATLAB

Przykład 2:

Dokonać interpolacji liniowej funkcji





sin







w przedziale <-1;4> z krokiem 0,5.

Narysować wykres danej funkcji i funkcji przybliżającej w jednym układzie współrzędnych, natomiast
wykres błędu interpolacji w drugim; węzły interpolacji zaznaczyć *. Wyznaczyć maksymalną wartość
bezwzględnego błędu interpolacji w rozpatrywanym przedziale.

skrypt2.m

%%interpolacja funkcji jednej zmiennej

x=-1:0.01:4;
y=(x.^2).*sin(pi*x);

%(xw,yw) - współrzędne węzłów interpolacji

xw=-1:0.5:4;
yw=(xw.^2).*sin(pi*xw);

%yi - wartości funkcji przybliżającej
% w punktach xi przedziału interpolacji

xi=-1:0.01:4;
yi=interp1(xw,yw,xi);

bl=y-yi;

%błąd interpolacji

blm=max(abs(bl));

%max wartość błędu interpolacji

subplot(2,1,1);
plot(x,y,xi,yi,xw,yw,

'*'

);

grid on;
title(

'wykres danej funkcji i jej przyblizenia'

);

xlabel(

'zmienna x'

);

ylabel(

'zmienna y'

);

text(1.7,-12.5,

'* - wezly interpolacji'

);

subplot(2,1,2);
plot(x,bl);
grid on;
title(

'wykres bledu'

);

xlabel(

'zmienna x'

);

ylabel(

'zmienna y'

);

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

-20

-10

wykres danej funkcji i jej przyblizenia

zmienna x

* - wezly interpolacji

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

-4

-2

wykres bledu

zmienna x

Rys. 7.3 Przykład interpolacji liniowej funkcji jednej zmiennej

Maksymalna wartość błędu interpolacji w rozpatrywanym przedziale wynosi: blm = 3,8265.

Technologia informacyjna - MATLAB

W bibliotece Matlaba dostępne są również procedury interp2, interp3 i interpn

umożliwiające dokonywanie interpolacji funkcji odpowiednio: dwóch, trzech i n-zmiennych
niezależnych.

W przypadku funkcji interp2 wymiary wektorów X i Y muszą być identyczne a ich

elementy  powinny  stanowić  ciągi  monotoniczne,  ponieważ  funkcja  Matlaba  meshgrid
wykorzystuje  je  do  stworzenia  siatki.  W  węzłach  tej  siatki  umieszczane  są  wartości  funkcji
Z = F(X, Y).

ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,

’

metoda

’

)

(7.2)

Wektory X, Y, Z zawierają współrzędne węzłów interpolacji (Z = F(X, Y)), natomiast ZI

jest wektorem wartości funkcji interpolującej w punktach o współrzędnych (XI, YI). Dla funkcji
dwóch zmiennych niezależnych nazwy metod interpolacji są takie same jak w przypadku funkcji
jednej zmiennej.

Przykład 3:

Dokonać

interpolacji

liniowej

funkcji

dwóch

zmiennych

niezależnych

Z = - X

- X.*Y+5*Y

w przedziale <-5;3> z krokiem 1. Narysować wykres danej funkcji i jej

przybliżenia.

skrypt3.m

%% interpolacja funkcji dwóch zmiennych niezależnych

%ustalenie węzłów siatki
% dla danej funkcji w przedziale interpolacji

[X,Y]=meshgrid(-5:.2:3);
Z=-X.^2-X.*Y+5*Y.^2;

%ustalenie węzłów interpolacji

[Xw,Yw]=meshgrid(-5:1:3);
Zw=-Xw.^2-Xw.*Yw+5*Yw.^2;

%ustalenie węzłów siatki dla funkcji interpolującej

[Xi,Yi]=meshgrid(-5:.2:3);

%wyznaczenie wartości funkcji interpolującej

V=interp2(Xw,Yw,Zw,Xi,Yi);

%wyznaczenie błędu interpolacji

B=Z-V;

%wykreślenie wykresów danej funkcji
% i jej przybliżenia przesuniętych wzajemnie
%o 100 jednostek w celu zachowania przejrzystości rysunku

mesh(Xw,Yw,Zw),hold, mesh(Xi,Yi,V+100);

%włączenie czyszczenia okna graficznego

hold off;
title(

'Wykres danej funkcji i jej przyblizenia'

);

xlabel(

'zmienna X'

);

text(-4,5,200,

'Wykres funkcji interpolujacej'

);

text(0,0,-50,

'Wykres funkcji interpolowanej'

);

ylabel(

'zmienna Y'

);

zlabel(

'zmienna Z'

);

Technologia informacyjna - MATLAB

-6

-4

-2

-5

-50

100

150

200

250

zmienna X

Wykres funkcji interpolowanej

Wykres danej funkcji i jej przyblizenia

zmienna Y

Wykres funkcji interpolujacej

Rys. 7.4 Przykład interpolacji liniowej funkcji dwóch zmiennych

7.2 Aproksymacja

Aproksymację średniokwadratową funkcji jednej zmiennej y = f(x) przy pomocy

wielomianu stopnia r realizuje funkcja Matlaba polyfit:

a = polyfit(x, y, r)

(7.3)

r - stopień wielomianu

















...

(7.4)

a jest wektorem współczynników wielomianu W(x) opisanego wzorem (7.5)

...

)

(







(7.5)

Funkcja polyfit dla danych wektorów x i y znajduje wektor współczynników a wielomianu

stopnia r. Współczynniki te dobierane są pod kątem zminimalizowania średniokwadratowego
odchylenia pomiędzy daną funkcją y = f(x) a wielomianem przybliżającym W(x).

Dla r = 1 otrzymuje się najprostszą metodę aproksymacji średniokwadratowej,

tzn. aproksymację za pomocą funkcji liniowej nazywaną także regresją liniową.

W celu wyznaczenia wartości wielomianu przybliżającego W(x) należy posłużyć się

funkcją Matlaba polyval:

p = polyval(a, x)

(7.6)

Funkcja ta wyznacza wartości wielomianu o współczynnikach określonych wektorem a

dla wszystkich elementów wektora x (macierzy X lub liczby); otrzymane wartości umieszcza
w wektorze p lub macierzy P.

Technologia informacyjna - MATLAB

Przykład 1:

Dokonać aproksymacji średniokwadratowej funkcji





wielomianem 2-go stopnia

w przedziale <-1;1> z krokiem 0,01. Narysować wykres danej funkcji i funkcji przybliżającej w jednym
układzie współrzędnych natomiast wykres błędu aproksymacji w drugim. Wyznaczyć maksymalną
wartość bezwzględnego błędu aproksymacji w rozpatrywanym przedziale.

skrypt4.m

%%aproksymacja funkcji jednej zmiennej

x=-1:0.01:1;
y=x./(x.^2+2);

%stopień wielomianu przybliżającego

r=2;

%wektor współczynników wielomianu przybliżającego

a=polyfit(x,y,r);

%wektor wartości wielomianu przybliżającego

p=polyval(a,x);

bl=y-p;

%błąd aproksymacji

blm=max(abs(bl));

%max wartość błędu aproksymacji

subplot(2,1,1);
plot(x,y,x,p);
grid on;
title(

'aproksymacja funkcji jednej zmiennej'

);

text(0.35,0.1,

'wykres wielomianu'

);

text(-0.5,-0.25,

'wykres danej funkcji'

);

xlabel(

'zmienna niezalezna'

);

ylabel(

'zmienna zalezna'

);

subplot(2,1,2);
plot(x,bl);
grid on;
text(-0.5,0.07,

'wykres bledu aproksymacji'

);

xlabel(

'zmienna niezalezna'

);

ylabel(

'zmienna zalezna'

);

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.4

-0.2

0.2

0.4

aprok symac ja funkc ji jednej zmiennej

wykres wielomianu

wyk res danej funk cji

zmienna niezalez na

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.1

-0.05

0.05

0.1

wyk res bledu aproks ymacji

zmienna niezalez na

Rys. 7.5 Przykład aproksymacji średniokwadratowej funkcji jednej zmiennej

Maksymalna wartość błędu aproksymacji w rozpatrywanym przedziale wynosi: blm = 0,0546.

Technologia informacyjna - MATLAB

Przykład 2:

Dla wartości zapisanych w tabeli dokonać interpolacji liniowej z krokiem 0,1 i aproksymacji

średniokwadratowej wielomianem czwartego stopnia oraz narysować wykresy dla aproksymacji
i interpolacji (w jednym oknie), przy czym wartości z tabeli zaznaczyć na wykresie *. Wyznaczyć różnicę
pomiędzy przybliżeniami dokonanymi obydwoma metodami i narysować jej wykres w drugim oknie

-15

-12

-9

-6

-3

-0,5

-2,3

-3,2

-8,4

1,8

-2,7

-9,1

-5,2

3,4

10,5

skrypt5.m

%%porównanie interpolacji i aproksymacji funkcji jednej zmiennej

x=-15:0.1:15;
xw=-15:3:15;
yw=[-0.5 -2.3 3.2 8.4 1.8 0 -2.7 -9.1 -5.2 3.4 10.5];

yi=interp1(xw,yw,x);
r=4;
a=polyfit(xw,yw,r);
ya=polyval(a,x);
bl=yi-ya;

blm=max(abs(bl

))

subplot(2,1,1)
plot(x,yi,x,ya,xw,yw,'*')
grid on
title(

'interpolacja i aproksymacja funkcji jednej zmiennej')

xlabel(

'x'

)

ylabel(

'y')

subplot(2,1,2)
plot(x,bl)
grid on
title(

'roznica miedzy przyblizeniami')

xlabel(

'x'

)

ylabel(

'yi - ya')

-15

-10

-5

-10

-5

interpolacja i aproksymacja funkcji jednej zmiennej

-15

-10

-5

-4

-2

roznica miedzy przyblizeniami

Rys. 7.6 Porównanie interpolacji liniowej i aproksymacji średniokwadratowej

Maksymalna różnica między przybliżeniami wynosi 4,2977

Technologia informacyjna - MATLAB

7.3 Miejsca zerowe wielomianów

W programie Matlab dostępna jest także funkcja roots(a), gdzie a jest macierzą wierszową

zawierającą  współczynniki  wielomianu,  dzięki  której  można  wyznaczyć  wektor  z  zawierający
miejsca  zerowe  (zarówno  rzeczywiste  jak  i  zespolone)  danego  wielomianu  W(x)  o  znanych
współczynnikach:  a

, a

, ......,a

n-1

, a

....

)

(







(7.7)

a = [a

......

n-1

]

(7.8)

z = roots(a)

(7.9)

Przykład 1:

Wyznaczyć wszystkie miejsca zerowe wielomianu

)

(











i narysować jego wykres (zera zaznaczyć *).

skrypt6.m

%%miejsca zerowe wielomianu

a=[1 -1 -7 15 -6 -14 12];

%wektor współczynników wielomianu

z=roots(a);

%wektor zawierający zera wielomianu

x=-3.1:0.01:2.1;
y=x.^6-x.^5-7*x.^4+15*x.^3-6*x.^2-14*x+12;

%real(z) - wektor zawierający części rzeczywiste wektora z

plot(x,y,real(z),0,

'*'

);

grid on;
title(

'wykres wielomianu'

);

xlabel(

'x'

);

ylabel(

'w(x)'

);

-4

-3

-2

-1

-200

-150

-100

-50

100

wy kres wielomianu

)

Rys. 7.7 Zera wielomianu

)

(











Wartości zer rozpatrywanego wielomianu są następujące:

z = -3 -1 1 + i 1 - i 1 2

Technologia informacyjna - MATLAB

Każdy wielomian stopnia n – tego posiada dokładnie n+1 współczynników i n zer; jeżeli

wśród nich są zera zespolone to są to zawsze zera sprzężone. Wykres wielomianu rysowany jest
na płaszczyźnie zmiennej rzeczywistej, natomiast w wyniku można również otrzymać zera
urojone, dlatego na wykresie umieszcza się jedynie części rzeczywiste wyznaczonych zer.

Przykład 2:

Wyznaczyć wszystkie zera następującego wielomianu i narysować jego wykres; miejsca zerowe

zaznaczyć „o”:

)

(













skrypt7.m

%%miejsca zerowe wielomianu

x=-1.5:0.01:2.5;
y=-x.^7+3*x.^6-4*x.^4+2*x.^3-x;

z=roots([-1 3 0 -4 2 0 -1 0])
zr=real(z)

’czesci rzeczywiste zer

plot(x,y,zr,0,'o')

grid on
title('miejsca zerowe wielomianu')
xlabel('x');
ylabel('y')

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

-10

-5

miejsca zerowe wielomianu

Rys. 7.8 Zera wielomianu

)

(













Wartości otrzymanych zer (z) i umieszczonych na wykresie (zr):

z =

zr =

2,4637

1,3170

-1,1107

0,4288 + 0,5849i

0,4288

0,4288 - 0,5849i

0,4288

-0,5276

Technologia informacyjna - MATLAB

7.4 Miejsca zerowe funkcji

Rzeczywiste miejsca zerowe funkcji można wyznaczyć wykorzystując funkcję fzero.

W tym celu należy w skrypcie (np.: plik.m) zadeklarować rozpatrywaną funkcję y = f(x)
w sposób następujący:

function y = f(x)

(7.10)

Następnie należy określić przybliżenie początkowe x0, czyli punkt, wokół którego będzie

poszukiwane zero. Podstawowa składnia polecenia fzero, które należy napisać w oknie
programu, lub umieścić w oddzielnym pliku, jest następująca:

z = fzero(‘plik’, x0)

(7.11)

Plik jest to nazwa skryptu (bez rozszerzenia) zawierającego rozpatrywaną funkcję,

natomiast x0 jest to przybliżenie początkowe. Obliczenia wykonywane są z dokładnością równą
eps (dokładność maszynowa w Matlabie), czyli 2,22*10

-16

Algorytm polecenia fzero oparty jest na kombinacji metod bisekcji, siecznych

i interpolacji.

Przykład 1:

przedziale

<-3,

wyznaczyć

wszystkie

rzeczywiste

miejsca

zerowe

funkcji:

)

(

arctg

)

(







i narysować jej wykres w tym przedziale; miejsca zerowe zaznaczyć za pomocą

symbolu „o”.

zera.m

%%zera funkcji

function

y=f(x)

y=(x+2).*atan(x-1);

skrypt8.m

% ustalić punkty, w otoczeniu których poszukiwane będą zera
% (np. 3 i %-3)

z1=fzero(

'zera'

,-3);

%obliczenia z dokładnością 2,22*10

-16

z2=fzero(

'zera'

,3,1e-6,1);

%obliczenia np. z dokładnością 10

-6

%rysowanie wykresu:

x=-3:0.01:3;
y=(x+2).*atan(x-1);

plot(x,y,z1,0,

'ro'

,z2,0,

'ro'

);

grid on;
title(

'zera funkcji'

);

xlabel(

'x'

);

ylabel(

'y'

);

W przedziale < -3; 3> rozpatrywana funkcja posiada następujące zera rzeczywiste:

z1 = -2 z2 = 1

Technologia informacyjna - MATLAB

-3

-2

-1

-2

-1

zera funkcji

Rys. 7.9 Zera rzeczywiste funkcji

)

(

arctg

)

(







w przedziale <-3,3>

Przykład 2:

Wyznaczyć zera funkcji:

)

(





i narysować jej wykres w przedziale <-2; 2>. Krzywe

wykreślić zieloną linią a zera zaznaczyć niebieskimi gwiazdkami.

Funkcja jest nieciągła dla x = 0, dlatego w celu narysowania wykresu i lokalizacji zer należy

podzielić przedział na dwa podprzedziały x1 i x2.

zera1.m

function

y1=f(x1)

y1=(x1.^2-1).*exp(1./x1);

zera2.m

function

y2=f(x2)

y2=(x2.^2-1).*exp(1./x2);

skrypt9.m

% ustalić punkty, w otoczeniu których poszukiwane będą zera
% (np. 2 i -2)
% podzielić odpowiednio przedział na dwa podprzedziały x1 i x2

x1=-2:0.01:-0.01;
x2=0.3:0.01:2;
y1=(x1.^2-1).*exp(1./x1);
y2=(x2.^2-1).*exp(1./x2);

z1=fzero(

'zera1'

,-2)

z2=fzero(

'zera2

',2)

subplot(2,1,1)
plot(x1,y1,

'g',

z1,0,

'b*'

)

grid on
title(

'wykres funkcji w 1 przedziale'

)

xlabel(

'x1'

)

ylabel(

'y1'

)

subplot(2,1,2)
plot(x2,y2,

'g'

,z2,0,

'b*'

)

grid on
title(

'wykres funkcji w 2 przedziale'

)

xlabel(

'x2'

)

ylabel(

'y2'

)

Technologia informacyjna - MATLAB

100

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

-0.5

0.5

1.5

wykres funkcji w 1 przedziale

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

-30

-20

-10

wykres funkcji w 2 przedziale

Rys. 7.10 Zera rzeczywiste funkcji

)

(





w przedziałach <-2,-0,01> i <0,3, 2>

7.5 Algebra liniowa

7.5.1 Układy równań liniowych

Następujący układ równań liniowych:





i = 1, 2, .... n

(7.12)

można przedstawić w postaci macierzowej:

x 



(7.13)

A = [a

] - macierz układu

b = [b

, b

, ... b

]

- wektor prawych stron

x = [x

, x

, ... x

]

- wektor rozwiązania

Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą (det(A)

 0), wówczas rozpatrywany układ

równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:







(7.14)

-1

- macierz odwrotna do macierzy A

Korzystając z programu Matlab rozwiązanie powyższego układu równań można uzyskać

dwiema metodami:

 eliminacja Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego,



odwracanie macierzy

W programie Matlab dostępne są m.in. następujące funkcje dotyczące macierzy:

Technologia informacyjna - MATLAB

101

inv(A)

odwracanie macierzy

A\b

rozwiązanie układu równań liniowych metodą eliminacji Gaussa
z częściowym wyborem elementu głównego (A - macierz układu,
b - wektor prawych stron)

det(A)

wyznacznik macierzy

[L,U] = lu(A)

rozkład macierzy na macierz trójkątną dolną L i macierz trójkątną
górną U

[U,S,V] = svd(A)

rozkład SVD macierzy (A = USV

, U, V - macierze ortogonalne,

S - macierz diagonalna (przekątniowa) z wartościami
szczególnymi (osobliwymi)



na przekątnej

s = svd(A)

wektor wartości szczególnych (osobliwych)

c = cond(A)

wskaźnik uwarunkowania zadania rozwiązywania układów
równań liniowych równy iloczynowi największych wartości
szczególnych macierzy A i A

-1

eps

dokładność maszynowa

norm(x)

norma wektora równa pierwiastkowi z sumy kwadratów jego
współrzędnych

norm(A,’fro’)

norma Frobeniusa macierzy równa pierwiastkowi z sumy
kwadratów jej elementów

Tab. 7.1. Wybrane funkcje dotyczące macierzy.

Ponadto można obliczyć czas wyznaczania rozwiązania (tic - początek pomiaru czasu,

toc - koniec pomiaru czasu):

tic, x3=inv(A)*b, toc

tic, x2=A\b, toc

Warunki dla rozwiązań układów równań liniowych

Znając wartości wyznaczników W, W

i W

dla danego układu równań liniowych można

określić jakie będzie rozwiązanie tego układu. Warunki jakie muszą spełniać wyznaczniki W, W

i W

zostaną przedstawione na podstawie układu dwóch równań liniowych.



















(7.15)

Wyznacznik główny W  0 – istnieje dokładnie jedno rozwiązanie układu równań









(7.16)

Wyznacznik główny W = 0, wyznaczniki W

 0 i W

 0 - układ równań sprzeczny

Technologia informacyjna - MATLAB

102



(7.17)

Wyznacznik główny W = 0, wyznaczniki W

= 0 i W

= 0 - układ równań tożsamościowy

lub sprzeczny

Rozwiązując układ równań liniowych należy najpierw obliczyć wyznacznik W.

W przypadku, gdy jest on różny od zera można wyznaczyć rozwiązanie. Natomiast jeżeli W jest
równy zero , to wówczas oblicza się wartości W

i W

i na ich podstawie określa rozwiązanie.

Przykład 1:

Wyznaczyć rozwiązania następujących trzech układów równań:











































Powyższe układy równań można zapisać w postaci macierzowej:

































































































skrypt10.m

%% układ 1: dokładnie jedno rozwiązanie

%macierz układu

A=[2 -3
1 2]

%wektor prawych stron

c=[3 5]'

%wyznacznik macierzy

W=det(A)

%rozwiązanie metodą eliminacji Gaussa
% z częściowym wyborem elementu głównego

x1=A\c

%rozwiązanie metodą odwracania macierzy

x2=inv(A)*c

Rozwiązanie:

W = 7

x1 =

1
3

x2 =

1
3

Technologia informacyjna - MATLAB

103

skrypt11.m

%% układ 2: sprzeczny

B=[6 -4
    9 -6]
d=[5 2]'

W=det(B)

mWx=[5 -4
    2 -6]
mWy=[6 5
    9 2]

Wx=det(mWx)
Wy=det(mWy)

Rozwiązanie:

W = 0,

Wx = -22,

Wy = -33

Układ równań sprzeczny.

skrypt12.m

%%układ 3: tożsamościowy

E=[2 -4
    5 -10]
f=[10 25]'

W=det(E)

mWx=[10 -4
    25 -10]
mWy=[2 10
    5 25]

Wx=det(mWx)

Wy=det(mWy

)

Rozwiązanie:

W = 0,

Wx = 0,

Wy = 0

Układ równań tożsamościowy.

Przykład 2:

Stosując metodę eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego i metodę

odwracania macierzy rozwiązać następujący układ równań liniowych:







































skrypt13.m

%%układy równań liniowych
%macierz układu

A=[1 -2 5 1
   2 1 -1 -2
   5 1 2 -1
   3 -1 3 -3]

Technologia informacyjna - MATLAB

104

%wektor prawych stron

b=[10 -3 1 4]'

%wyznacznik macierzy A

W=det(A)

%rozwiązanie metodą eliminacji Gaussa
% z częściowym wyborem elementu głównego

x1=A\b

%rozwiązanie metodą odwracania macierzy

x2=inv(A)*b

Rozwiązanie:

W = 2

Przykład 3:

Stosując metodę eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego i metodę

odwracania macierzy rozwiązać następujący układ równań liniowych:



































skrypt14.m

A=[1 6 5 0
    3 0 2 1
    6 -2 4 -1
    1 1 0 -4]
b=[44 20 13 -24]'

W=det(A)

x1=A\b
x2=inv(A)*b

Rozwiązanie:

W = 189

Przykład 4:

Stosując metodę eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego i metodę

odwracania macierzy rozwiązać następujący układ równań liniowych:





























skrypt14.m

A=[3 12 5
5 -3 -10
4 -17 2]
b=[-43 -76 23]'
W=det(A)

x1=A\b
x2=inv(A)*b

x1 =

  -10.0000
   20.0000
   13.0000
   -5.0000

x2 =

  -10.0000
   20.0000
   13.0000
   -5.0000

x1 =

1.0000
3.0000
5.0000
7.0000

x2 =

1.0000
3.0000
5.0000
7.0000

Technologia informacyjna - MATLAB

105

Rozwiązanie:

W = -1493

7.5.2 Wykorzystanie pętli do deklaracji macierzy

W tym podrozdziale zostanie przedstawionych kilka przykładów wykorzystania pętli For

i pętli If do deklaracji macierzy o współczynnikach określonych znaną zależnością.

Przykład 1:

Wygenerować macierz Lehmera stopnia 5 , której współczynniki są określone następująco:

dla

)

(

dla

)

(









skrypt15.m

n=5

for

i=1:n

for

j=1:n

i<j A(i,j)=i/j;

else

A(i,j)=j/i;

end

disp(A)

Rozwiązanie:

n = 5

    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000
    0.5000    1.0000    0.6667    0.5000    0.4000
    0.3333    0.6667    1.0000    0.7500    0.6000
    0.2500    0.5000    0.7500    1.0000    0.8000
    0.2000    0.4000    0.6000    0.8000    1.0000

Przykład 2:

Wygenerować macierz Pei stopnia 5 , której współczynniki są określone następująco:

dla

)

(

dla

)

(





skrypt16.m

n=5
t=0.1

for

i=1:n

for

j=1:n

i==j A(i,j)=t;

else

A(i,j)=1;

end

disp(A)

x1 =

-9.0000
-3.0000
4.0000

x2 =

-9.0000
-3.0000
4.0000

Technologia informacyjna - MATLAB

106

Rozwiązanie:

n = 5
t = 0.1000

     0.1000   1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
    1.0000    0.1000    1.0000    1.0000    1.0000
    1.0000    1.0000    0.1000    1.0000    1.0000
    1.0000    1.0000    1.0000    0.1000    1.0000
    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    0.1000

Przykład 3:

Wygenerować macierz Wernera stopnia 5 , której współczynniki są określone następująco:

)

(

)

(







skrypt17.m

n=5

for

i=1:5

for

j=1:5

A(i,j)=n+1-i;

A(j,i)=n+1-i;

end

disp(A)

Rozwiązanie:

n =  5

     5     4     3     2     1
     4     4     3     2     1
     3     3     3     2     1
     2     2     2     2     1
     1     1     1     1     1

Przykład 4:

Wygenerować macierz Goluba stopnia 5 , której współczynniki są określone następująco

dla

)

(

oraz

dla

)

(

,....,

dla

)

(















skrypt18.m

n=5

for

i=1:n

for

j=1:n

i>j | (i==n & j==n) A(i,j)=-1;

elseif

i~=n A(i,i)=1;

elseif

i<j A(i,j)=0;

end

end
end

disp(A)

Rozwiązanie:

n = 5

     1     4     3     2     1
    -1     1     3     2     1
    -1    -1     1     2     1
    -1    -1    -1     1     1
    -1    -1    -1    -1    -1

Technologia informacyjna - MATLAB

107

7.6 Całkowanie

W bibliotece Matlaba istnieje wiele funkcji umożliwiających całkowanie numeryczne.

Funkcje te działają w oparciu o różne procedury. W poniższej tabeli przedstawione zostały trzy
podstawowe metody całkowania.

quad

adaptacyjna kwadratura oparta o regułę Simpsona stosowana dla funkcji
wolnozmiennych (interpolacja wielomianem drugiego stopnia)

quad8

adaptacyjna kwadratura ośmioprzedziałowa Newtona-Cotesa stosowana
dla funkcji szybkozmiennych (aproksymacja wielomianem ósmego stopnia)

quadl

adaptacyjna kwadratura Gauss-Lobatto

Tab. 7.2 Metody całkowania

Składnia powyższych poleceń które należy napisać w oknie programu, lub umieścić

w oddzielnym pliku, jest następująca:

Q = quad(‘plik’, a, b, tol, trace)

Q = quad8(‘plik’, a, b, tol, trace)

(7.18)

Q = quadl(‘plik’, a, b, tol, trace)

plik

nazwa pliku (bez rozszerzenia) w którym zadeklarowana jest funkcja podcałkowa

a, b

przedział całkowania

tol

wymagana tolerancja względna (domyślna 10

-3

)

trace

niezerowy parametr umożliwiający wyświetlenie wykresu funkcji podcałkowej
z zaznaczonymi węzłami kwadratury

Tab. 7.3 Parametry poleceń quad, quad8 i quadl

Funkcję podcałkową deklaruje się w skrypcie (np.: plik.m) w sposób następujący:

function y = f(x)

(7.19)

y =

Przykład 1:

Obliczyć wartość całki:





i narysować wykres funkcji podcałkowej w przedziale

całkowania.

calk.m

function

y=f(x)

y=1./(2*x+sqrt(3*x+1));

skrypt19.m

%%całkowanie

Q=quad('calk',0,5);

%rysowanie wykresu:

x=0:0.01:5;
y=1./(2*x+sqrt(3*x+1));

plot(x,y);
grid on;
title(

'calkowanie'

);

text(1.2,0.25,

'wykres funkcji podcalkowej'

);

xlabel(

'x'

);

ylabel(

'y'

);

Technologia informacyjna - MATLAB

108

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

calkowanie

wykres funkcji podcalkowej

Rys. 7.11 Wykres funkcji podcałkowej





Wartość całki wynosi: Q = 0.9437.

Wykres funkcji podcałkowej z zaznaczonymi węzłami kwadratury można również uzyskać

deklarując w poleceniach niezerową wartość parametru trace

Q=quad(

‘calk’

, 0,5, 1e-3, 1)

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Rys. 7.12 Wykres funkcji podcałkowej





z zaznaczonymi węzłami kwadratury

Przykład 2:

Obliczyć wartość całki:





i narysować wykres funkcji podcałkowej w przedziale

całkowania

calk1.m

function

y=f(x)

y=x./(exp(x)-1);

Technologia informacyjna - MATLAB

109

skrypt20.m

x=0.5:0.01:exp(1);
y=x./(exp(x)-1);

Q=quad(

'calk1'

,0.5,exp(1))

plot(x,y)
grid on

title(

'wykres funkcji podcalkowej'

)

xlabel(

'x'

)

ylabel(

'y'

)

0.5

1.5

2.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

wykres funkcji podcalkowej

Rys. 7.13 Wykres funkcji podcałkowej





Wartość całki wynosi: Q = 0.9513.

Przykład 3:

Obliczyć wartość całki:

xdx

sin





i narysować wykres funkcji podcałkowej w przedziale

całkowania.

calk2.m

function

y=f(x)

y=x.*exp(x).*sin(x);

skrypt20.m

x=1:0.01:pi;
y=x.*exp(x).*sin(x);
Q=quad(

'calk2'

,1,pi)

plot(x,y)
grid on
title(

'wykres funkcji podcalkowej'

)

xlabel(

'x'

)

ylabel(

'y'

)

Technologia informacyjna - MATLAB

110

1.5

2.5

3.5

wykres funkcji podcalkowej

Rys. 7.14 Wykres funkcji podcałkowej

xdx

sin





Wartość całki wynosi Q = 23,6353.

7.7 Różniczkowanie

W programie Matlab dostępnych jest kilka funkcji pozwalających na rozwiązanie

zagadnienia początkowego dla układów równań różniczkowych zwyczajnych postaci:

;

)

(





(7.20)

Przykładowo rozpatrzone zostaną dwie z nich (ode23 i ode45).

Każda z tych funkcji korzysta z pary metod Rungego-Kutty rzędu 2 i 3 (ode23) lub rzędu 4 i 5
(ode45).

[t, Y] = ode23(‘plik’, [t0 tk], [y0]’, tol, tr)

(7.21)

[t, Y] = ode45(‘plik’, [t0 tk], [y0]’, tol, tr)

plik

nazwa pliku (bez rozszerzenia) w którym zdefiniowana jest funkcja F(t, y)

t0, tk

przedział czasu w którym poszukiwane jest rozwiązanie

warunek początkowy (wektor kolumnowy zawierający wartość rozwiązania
w chwili początkowej)

tol

parametr określający dokładność; domyślna wartość: 10

-3

dla ode23 i 10

-6

dla ode45

parametr ten, jeżeli ma wartość niezerową umożliwia wypisanie na ekranie
kolejnych kroków metody

Tab. 7.4 Parametry poleceń ode23 i ode45

Aby wyznaczyć wartość rozwiązania należy, po zadeklarowaniu funkcji F(t, y), napisać

w oknie programu, lub w oddzielnym pliku, polecenie o postaci jak powyżej, zawierające nazwę
odpowiedniej funkcji ode.

Technologia informacyjna - MATLAB

111

Po wprowadzeniu oznaczenia dy = F(t, y), funkcję F(t, y) można zadeklarować w skrypcie

typu M-File w sposób następujący:

function dy = F(t, y)

(7.22)

dy =

W przypadku równania różniczkowego zwyczajnego wyższego rzędu należy,

wprowadzając dodatkowe zmienne, sprowadzić to równanie do układu równań rzędu pierwszego
i definiując funkcję F(t, Y) zamieścić wszystkie równania w macierzy.

Przykład 1:

W przedziale < 0; 3 >, stosując metodę ode23, znaleźć rozwiązanie następującego równania

różniczkowego:





, spełniającego warunek początkowy y(0) = 0. Wyznaczyć błąd w punkcie

końcowym i narysować wykres rozwiązania numerycznego i dokładnego w jednym układzie
współrzędnych a wykres błędu w drugim. Rozwiązanie dokładne określone jest zależnością: y = arctg(t).

rozn1.m

%%różniczkowanie

function

dy=F(t,y)

dy=1./(1+t.^2);

%dy=y’

skrypt10.m

[t,Y]=ode23(

'rozn1'

,[0 3],[0]);

%Y - rozwiązanie numeryczne

%wyznaczenia błędu różniczkowania

y=atan(t);

%y - rozwiązanie dokładne

bl=y-Y;

%błąd różniczkowania

%rysowanie wykresu

subplot(2,1,1);
plot(t,Y,t,y);
grid on;
title(

'rozniczkowanie'

)

text(1.2,0.7,

'rozwiazanie numeryczne i dokladne'

);

xlabel(

't'

);

ylabel(

'y'

);

subplot(2,1,2);
plot(t,bl);
grid on;
text(1.2,3e-5,

'wykres bledu'

);

xlabel(

't'

);

ylabel(

'y'

);

Technologia informacyjna - MATLAB

112

0.5

1.5

2.5

0.5

1.5

rozniczkowanie

rozwiazanie numeryczne i dokladne

0.5

1.5

2.5

x 10

-5

wykres bledu

Rys. 7.15. Rozwiązanie równania różniczkowego I-go rzędu metodą ode23

Rozwiązania uzyskane w Matlabie:

czas

rozwiązanie
numeryczne

rozwiązanie
dokładne

błąd

t =
             0
    0.0001
    0.0005
    0.0025
    0.0125
    0.0625
    0.1543
    0.2810
    0.4472
    0.6819
    0.9819
    1.2819
    1.5819
    1.8819
    2.1819
    2.4819
    2.7819
    3.0000

Y =
             0
    0.0001
    0.0005
    0.0025
    0.0125
    0.0624
    0.1531
    0.2740
    0.4205
    0.5984
    0.7762
    0.9082
    1.0070
    1.0823
    1.1410
    1.1877
    1.2257
    1.2490

y =
             0
    0.0001
    0.0005
    0.0025
    0.0125
    0.0624
    0.1531
    0.2740
    0.4205
    0.5985
    0.7762
    0.9083
    1.0071
    1.0824
    1.1410
    1.1878
    1.2257
    1.2490

bl =1.0e-004 *
             0
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0002
    0.0061
    0.0424
    0.1640
    0.4944
    0.7331
    0.6621
    0.5453
    0.4527
    0.3896
    0.3482
    0.3210
    0.3157

Wartość błędu w punkcie końcowym wynosi 0,3157*10

-4

Przykład 2:

Dla t <0;10> znaleźć rozwiązanie następującego równania różniczkowego II-rzędu





o zadanym warunku brzegowym y(0) = [1 0].

Aby rozwiązać powyższe równanie należy sprowadzić je do układu dwóch równań I-rzędu

wprowadzając dodatkowe zmienne y

i y

Technologia informacyjna - MATLAB

113





















(7.23)

rozn2.m

%%równanie różniczkowe II-go rzędu

function

d2y=F(t,y)

%d2y=y''

d2y=[y(2);-y(1)-2*y(2)];

%y(1)=yy(2)=y’

skrypt11.m

%Y1 - rozwiązanie numeryczne metodą ode23

[t1,Y1]=ode23(

'rozn2'

,[0 10],[1 0]');

%Y2 - rozwiązanie numeryczne metodą ode45

[t2,Y2]=ode45(

'rozn2'

,[0 10],[1 0]');

%Y1 – pierwsze i drugie rozwiązanie metodą ode23

subplot(2,1,1);
plot(t1,Y1);
xlabel(

't'

);

title(

'rownanie rozniczkowe II-go rzedu'

);

ylabel(

'ode23'

)

text(3,0.4,

'rozwiazanie Y1[1]'

);

text(3,-0.25,

'rozwiazanie Y1[2]'

);

%Y2(:,2) - drugie rozwiązanie metodą ode45

subplot(2,1,2);
plot(t2,Y2(:,2));
xlabel(

't'

);

ylabel(

'ode45'

);

text(3,-0.2,

'rozwiazanie Y2[2]'

);

-0.5

0.5

rownanie rozniczkowe II-go rzedu

rozwiazanie Y1[1]

rozwiazanie Y1[2]

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

rozwiazanie Y2[2]

Rys. 7.16. Rozwiązania równania różniczkowego II-go rzędu metodami ode23 i ode45