Egzamin poprawkowy - teoria
rok 2010/2011
Zadanie 1 :
Podać kryterium Leibnitza. Zbadać zbieżność (oraz określić jej rodzaj) szeregu
∑
n=1
∞
(−
1)
n
3
√
n+1
.
Rozwiązanie:
treść kryterium Leibnitza: Jeżeli w szeregu naprzemiennym ciąg {a
n
} jest ciągiem malejącym, dodatnim i
zbieżnym do 0, to szereg ten (
∑
n=1
∞
(−
1)
n
a
n
) jest zbieżny.
rozwiązanie zadania:
∑
n=1
∞
(−
1)
n
1
3
√
n+1
jest to szereg postaci:
∑
n=1
∞
a
n
(−
1)
n
Badam zbieżność bezwzględną:
∑
n=1
∞
∣
(−
1)
n
3
√
n+1
∣
=
∑
n=1
∞
1
3
√
n+1
jest to przeskalowany szereg Dirichleta o α=1/3 co znaczy, że
szereg jest rozbieżny. To jeszcze o niczym nie świadczy, dlatego badamy zbieżność za pomocą kryterium
Leibnitza:
•
a
n
>0, warunek spełniony, bo licznik i mianownik wyrażenia są dodatnie
•
a
n
jest funkcją malejącą, warunek jest spełniony, ponieważ licznik jest stały, a mianownik rośnie
•
lim
n→ ∞
a
n
=
lim
n→ ∞
1
3
√
n +1
= [
1
∞
] = 0
Z kryterium Leibnitza wynika, że szereg
∑
n=1
∞
(−
1)
n
3
√
n+1
jest zbieżny warunkowo.
Odpowiedź:
Na mocy kryterium Leibnitza otrzymujemy, że szereg
∑
n=1
∞
(−
1)
n
3
√
n+1
jest szeregiem zbieżnym
warunkowo.
Zadanie 2 :
Podać twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego. Napisać rozwinięcie funkcji f’(x) w
szereg Maclaurina jeżeli f(x) =
∑
n=1
∞
2 x
n
.
treść twierdzenia: Jeżeli szereg potęgowy
∑
n=0
∞
a
n
x
n
ma niezerowy promień zbieżności R (0<R≤∞) to jego
suma S(x) jest funkcją różniczkowalną oraz:
S’(x)=
∑
n=0
∞
(
a
n
x
n
)
'=
∑
n =0
∞
a
n
n x
n−1
.
Rozwiązanie:
Dla f(x)=
∑
n=1
∞
2 x
n
mamy f’(x)=(
∑
n=1
∞
2 x
n
)’=
∑
n=1
∞
2( x
n
)
'
=
∑
n=1
∞
2n x
n−1
(
przykład podchwytliwy)
