Kolokwium z analizy matematycznej (1 MiE) z dnia 26 IV 2012
Autorzy: dr hab. Dariusz Miklaszewski (UMK), dr Joanna Kułaga (UMK)
Wersja A
Zadanie 1.
Niech f (x) =
(1 − 5x)
1
x
,
x < 0
sin 2x
3x
,
x > 0
2
3
,
x = 0.
a) Oblicz granice jednostronne w zerze (nie korzy-
stając z reguły de l’Hospitala).
b) Czy funkcja jest ciągła w punkcie x
0
= 0? (od-
powiedź uzasadnij)
c) Czy funkcja jest ciągła w pozostałych punktach
dziedziny? (odpowiedź uzasadnij)
Zadanie 2. Czy podane granice istnieją? Jeśli tak
- oblicz, jeśli nie - uzasadnij korzystając z definicji
granicy, dlaczego.
a) lim
x→∞
√
x
2
+1+x
2x+1
b) lim
x→0
cos
1
x
c) lim
x→0
x · cos
1
x
Zadanie 3. Oblicz pochodne funkcji:
a) f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
b) g(x) =
2x+3
4x+5
,
c) h(x) = ln(x
3
+ 2x + 1).
Zadanie 4. Wykaż, że funkcja f (x) = x
2
spełnia
warunek Lipschitza na odcinku −a ¬ x ¬ a (nie
wykorzystując pojęcia pochodnej).
Zadanie 5. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x) = x − ln(1 + x).
Zadanie 6. Znaleźć parametry a, b ∈ R dla których
następująca funkcja jest różniczkowalna:
u(x) =
(
x + 1,
dla
x ¬ 0
a sin(x) + b cos(x)
dla
x > 0
.
Wersja B
Zadanie 1.
Niech f (x) =
(1 − 2x)
1
x
,
x < 0
sin 3x
2x
,
x > 0
3
2
,
x = 0.
a) Oblicz granice jednostronne w zerze (nie korzy-
stając z reguły de l’Hospitala).
b) Czy funkcja jest ciągła w punkcie x
0
= 0? (od-
powiedź uzasadnij)
c) Czy funkcja jest ciągła w pozostałych punktach
dziedziny? (odpowiedź uzasadnij)
Zadanie 2. Czy podane granice istnieją? Jeśli tak
- oblicz, jeśli nie - uzasadnij korzystając z definicji
granicy, dlaczego.
a) lim
x→∞
3x−2
√
x
2
+3x−2
b) lim
x→∞
cos x
2
c) lim
x→∞
1
x
cos x
2
Zadanie 3. Oblicz pochodne funkcji:
a) f (x) = (x − 2)(x − 3)(x − 4),
b) g(x) =
3x+4
5x+6
,
c) h(x) = sin(x
4
+ 3x + 2).
Zadanie 4. Wykaż, że funkcja f (x) = x
3
spełnia
warunek Lipschitza na odcinku 0 ¬ a ¬ x ¬ b (nie
wykorzystując pojęcia pochodnej).
Zadanie 5. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x) = x ln x.
Zadanie 6. Znaleźć parametry a, b ∈ R dla których
następująca funkcja jest różniczkowalna:
v(x) =
(
a · e
x
+ b · e
−x
dla
x ¬ 0
2 − x
dla
x > 0
.
1
Wersja A - rozwiązanie kolokwium
Autor rozwiązań: dr Mateusz Maciejewski (UMK)
W innych grupach zajęciowych mogą pojawić się inne sposoby rozwiązania lub redagowania rozwiązań. Sprawdzając prace
nie wymagałem tak dokładnego opisu. Liczne komentarze wstawiłem po to, byście państwo lepiej zrozumieli rozwiązania.
Zadanie 1.
a)
f (0−) = lim
x→0−
(1 − 5x)
1
x
= lim
x→0−
(1 − 5x)
1
−5x
−5
= e
−5
.
Skorzystałem z faktu, że wyrażenie w dużym nawiasie zbiega do e oraz z faktu, że jeśli a(x) zbiega do
a ∈ R oraz b(x) zbiega do b ∈ R, to a(x)
b(x)
→ a
b
.
f (0+) = lim
x→0+
sin 2x
3x
= lim
x→0+
sin 2x
2x
·
2
3
= 1 ·
2
3
=
2
3
.
b) Ciągłość w zerze funkcji f jest równoważna równościom f (0−) = f (0) = f (0+). Z punktu (a) wiemy
jednak, że f (0−) 6= f (0), zatem f nie jest ciągła w punkcie 0.
c) Tak, funkcja f jest ciągła w pozostałych punktach dziedziny, to znaczy na zbiorze R \ {0}. Wynika to z
następujących spostrzeżeń:
• Zachodzi f = g na przedziale otwartym (−∞, 0), gdzie g(x) := (1 − 5x)
1/x
, oraz f = h na przedziale
otwartym (0, ∞), gdzie h(x) := (sin 2x)/(3x).
• Funkcje g i h są ciągłe, jako funkcje elementarne. Mianowicie, funkcje x 7→ 2x, sin, x 7→ 3x są ciągłe,
zaś h powstaje z nich przez złożenie i dzielenie, a te operacje zachowują ciągłość. Podobnie z funkcją
g.
Uwaga: Ważną kwestią jest fakt, że równość f = g, f = h zachodzi na przedziałach otwartych. Jeśli na
przykład x = 0, 001, to w bardzo małym otoczeniu punktu x funkcje f i h są sobie równe, a ciągłość
jest pojęciem lokalnym. Zatem ciągłość f w x jest równoważna ciągłości h w x. Rozważenie tej uwagi
zostawiam chętnym.
Zadanie 2.
a) Dzieląc licznik i mianownik przez x dostaję
lim
x→∞
√
x
2
+ 1 + x
2x + 1
= lim
x→∞
q
1 +
1
x
2
+ 1
2 +
1
x
=
1 + 1
2
= 1.
b) Granica nie istnieje. Udowodnię to przez sprzeczność, korzystając z definicji Heinego. Zakładam, że
granica istnieje (oznaczam ją przez α) i rozważam dwa ciągi:
x
n
=
1
2nπ
, y
n
=
1
2nπ + π/2
.
Oczywiście x
n
, y
n
→ 0. Zatem, z definicji Heinego, cos
1
x
n
, cos
1
y
n
→ α. Z drugiej jednak strony
cos
1
x
n
= cos(2nπ) = 1, cos
1
y
n
= cos(2nπ + π/2) = 0,
co implikuje, że 1 = α = 0. Sprzeczność dowodzi, że moje założenie jest fałszywe, a więc granica nie
istnieje.
c) Skorzystam faktu, że jeśli a(x) → 0 oraz b(x) jest ograniczony, to a(x)b(x) → 0. Stąd bezpośrednio
wynika, że granica z zadania wynosi 0.
2
Zadanie 3.
a) f (x) = x
3
− 6x
2
+ 11x − 6, zatem f
0
(x) = 3x
2
− 12x + 11.
Inny sposób: f
0
(x) = (x − 1)
0
(x − 2)(x − 3) + (x − 1)(x − 2)(x − 3) + (x − 1)(x − 2)(x − 3)
0
= . . .
b) g
0
(x) =
2(4x+5)−4(2x+3)
(4x+5)
2
=
−2
(4x+5)
2
.
c) h
0
(x) =
3x
2
+2
x
3
+2x+1
.
Zadanie 4. Funkcja f spełnia warunek Lipschitza na odcinku [−a, a], gdy
∃(L > 0) ∀(−a ¬ x, y ¬ a) |f (y) − f (x)| ¬ L|y − x|.
(∗)
Zauważmy, że dla −a ¬ x, y ¬ a zachodzi oszacowanie:
|f (y) − f (x)| = |y
2
− x
2
| = |y + x| · |y − x| ¬ (|y| + |x|) · |y − x| ¬ 2a|y − x|.
Zatem, jeśli przyjmiemy L := 2a > 0 oraz jeśli −a ¬ x, y ¬ a, to nierówność z definicji (*) jest spełniona.
Zadanie 5. Dziedziną funkcji f jest zbiór (−1, ∞). Ponadto
f
0
(x) = 1 −
1
1 + x
=
x
1 + x
, f
00
(x) =
1
(1 + x)
2
.
Równość f
0
(x) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0, zatem 0 jest jedynym punktem krytycznym
funkcji f (punktem podejrzanym o ekstremum lokalne). Ponadto f
00
(0) = 1 > 0, zatem w 0 jest faktycznie
ekstremum i jest to minimum.
Zamiast liczyć drugą pochodną można zbadać znak pierwszej pochodnej:
f
0
(x) > 0 ⇔ x > 0, f
0
(x) < 0 ⇔ x < 0.
Tak więc f maleje na zbiorze (−1, 0) oraz rośnie na zbiorze (0, ∞). W 0 jest więc minimum.
Zadanie 6. Zbadajmy różniczkowalność w punkcie 0. Aby u była różniczkowalna, musi w szczególności być
ciągła, a więc musi zachodzić warunek:
u(0−) = u(0) = u(0+).
(∗∗)
Oczywiście:
u(0−) = lim
x→0−
(x + 1) = 1,
u(0) = 1
u(0+) = lim
x→0+
(a sin x + b cos x) = b.
Zatem (**) zachodzi, gdy b = 1. Załóżmy więc, że b = 1. Wtedy (łatwo to wyjaśnić, korzystając z definicji)
u
0
−
(0) = (x + 1)
0
|
x=0
= 1.
Ponadto (tutaj wykorzystujemy fakt, że skoro b = 1, to u(x) = a sin x + b cos x także dla x = 0)
u
0
+
(0) = (a sin x + b cos x)
0
|
x=0
= a.
Zatem równość
u
0
−
(0) = u
0
+
(0),
równoważna różniczkowalności u w punkcie 0, daje nam warunek a = 1.
Reasumując, otrzymaliśmy, że u jest różniczkowalna w 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = b = 1. Oczywiście
(jak to wyjaśniono w zadaniu 1c) u jest różniczkowalna również w pozostałych punktach dziedziny.
3
Wersja B - odpowiedzi
Zadanie 1.
a) f
+
(0) = 3/2, f
−
(0) = e
−2
b) Nie, bo f
−
(0) 6= f (0).
c) Tak.
Zadanie 2.
a) 3
b) Nie istnieje (rozpatrzeć np. x
n
=
√
2πn oraz y
n
=
p
2πn + π/2).
c) 0
Zadanie 3.
a) 3x
2
− 18x + 26
b) −
2
(5x+6)
2
c) (4x
3
+ 3) cos(x
4
+ 3x + 2)
Zadanie 4. W punkcie x = 1/e jest minimum lokalne.
Zadanie 5. Patrz wersja A.
Zadanie 6. a = 1/2, b = 3/2
4