Instrukcja nr 4. Azymut, czwartak, rachunek współrzędnych
Kierunek Architektura Krajobrazu sem. II – studia stacjonarne PS
7-8
Opracował:
dr inż. Piotr Krzysztof Tuz Katedra Systemów Inżynierii Środowiska Politechnika Białostocka
wersja z dnia 2011-11-14
Strona 1
1.1
Azymutem A
AB
boku AB nazywamy kąt poziomy, zawarty w przedziale od 0 do 400
g
, pomiędzy kierun-
kiem północy wychodzącym z punktu A, a danym bokiem AB, liczony od kierunku północy w prawo,
czyli zgodnie z ruchem wskazówek zegara (1). Jeśli punktem początkowym boku, dla którego okre-
ślamy azymut jest punkt B, wtedy po wyprowadzeniu z niego kierunku północy i zakreśleniu kąta w
prawo pomiędzy północą a bokiem BA otrzymamy azymut boku odwrotnego, oznaczony symbolem:
A
BA
. Zgodnie z rys. 1 azymut ten różni się od azymutu boku AB o wartość kąta półpełnego:
A
BA
= A
AB
+200
g
W powyższym wzorze znak plus odnosi się do azymutów wyjściowych mniejszych od 200
g
, zaś znak
minus dotyczy azymutów wyjściowych przekraczających 200
g
.
Rys.1. Azymut linii głównej i odwrotnej (7).
Czwartak linii AB jest definiowany jako kąt ostry zawarty pomiędzy linią osi x, czyli jej dodatnim lub
ujemnym kierunkiem, a danym bokiem AB. W ćwiartkach: I i IV ramieniem wyjściowym czwartaków
jest prosta skierowana na północ, natomiast w ćwiartkach: II i III ramię to stanowi prosta skierowana
na południe.
Na podstawie rysunku 2 można określić zestawione w tabeli 1 zależności pomiędzy azymutem a
czwartakiem w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych prostokątnych. Zależności te po-
zwalają na ustalenie orientacji dowolnego kierunku, czyli obliczenie jego azymutu na podstawie war-
tości czwartaka φ.
Instrukcja nr 4. Azymut, czwartak, rachunek współrzędnych
Kierunek Architektura Krajobrazu sem. II – studia stacjonarne PS
7-8
Opracował:
dr inż. Piotr Krzysztof Tuz Katedra Systemów Inżynierii Środowiska Politechnika Białostocka
wersja z dnia 2011-11-14
Strona 2
Tabela 1. Związek pomiędzy azymutem i czwartakiem w poszczególnych ćwiartkach geodezyjnego
układu współrzędnych (7)
Rys. 2. Azymuty w poszczególnych ćwiartkach (7).
Związek pomiędzy przyrostami współrzędnych a azymutem i długością boku tłumaczy rysunek 3.
Rys. 3. Związek pomiędzy przyrostami współrzędnych a azymutem i długością boku (7).
Na podstawie zależności dla trójkąta ABK możemy określić:
ΔX
AB
=X
B
-X
A
ΔY
AB
=Y
B
-Y
A
Instrukcja nr 4. Azymut, czwartak, rachunek współrzędnych
Kierunek Architektura Krajobrazu sem. II – studia stacjonarne PS
7-8
Opracował:
dr inż. Piotr Krzysztof Tuz Katedra Systemów Inżynierii Środowiska Politechnika Białostocka
wersja z dnia 2011-11-14
Strona 3
Jednocześnie możemy określić znaki przyrostów współrzędnych w różnych ćwiartkach i zależność
azymutu i czwartaka.
Tabela 2. Zależność pomiędzy azymutem i czwartakiem oraz przyrostami współrzędnych w różnych
ćwiartkach.
1.2. Obliczenie współrzędnych punktu leżącego na prostej.
Funkcje trygonometryczne azymutu boku AB: sin A, cos A obliczone wg wzorów noszą nazwę współ-
czynników kierunkowych boku AB.
Ostateczne wzory na obliczenie współrzędnych punktu posiłkowego P na prostej AB przyjmą postać:
X
P
= X
A
+ L
AP
* cos A
AB
Y
P
= Y
A
+ L
AP
* sin A
AB
Odległość L
AP
, stanowi tzw. miarę bieżącą punktu P. Po jej zmierzeniu należy kontynuować wyzna-
czanie innych miar bieżących do dalszych punktów posiłkowych i zakończyć pomiar odległości na
Instrukcja nr 4. Azymut, czwartak, rachunek współrzędnych
Kierunek Architektura Krajobrazu sem. II – studia stacjonarne PS
7-8
Opracował:
dr inż. Piotr Krzysztof Tuz Katedra Systemów Inżynierii Środowiska Politechnika Białostocka
wersja z dnia 2011-11-14
Strona 4
punkcie B, w wyniku czego otrzymujemy miarę końcową, czyli długość boku AB - d
AB
„pomierzoną”.
Miara ta powinna być zgodna z długością d
AB
„obliczoną”, uzyskaną ze współrzędnych.
Tabela 3.
Obliczenie azymutu i długości ze współrzędnych – przykłady obliczeniowe ze sprawdzeniem
L.p.
Oznaczenia
punktów: B
A
X
B
Y
B
tg
=
y
x
cos
Kontrola
x+
y
X
A
Y
A
Czwartak
sin
x–
y
A+(50
g
)
Oznaczenie
zwrotu
boku: A
B
x
AB
= X
B
– X
A
y
AB
= Y
B
– Y
A
Azymut A
AB
Odległość
d
x
y
2
2
tg
x
y
x
y
d
x
y
cos
sin
1
2
3
4
5
6
7
8
1
101
1000,00
1100,00
0,5
0,8944
150,00m
79,5167
g
100
900,00
1050,00
29,5167
g
0,4472
50,00m
79,5167
g
A
100-101
+100,00
+50,00
29,5167
g
111,80 m
3
111,80=111,80
2
100
900,00
1050,00
0,5
-0,8944
-150m
79,5167
g
+200
g
101
1000,00
1100,00
29,5167
-0,4472
-50m
279,5167
g
A
101-100
-100,00
-50,00
229,5167
111,80
3
111,80=111,80
3
100
900,00
1050,00
0,5
-0,8944
-50m
20,4832
g
+200
g
102
1000,00
1000,00
29,5167
0,4472
-150m
220,4833
g
A
101-100
-100,00
+50,00
170,4833
111,80
1/3
111,80=111,80
4
102
1000,00
1000,00
0,5
0,8944
50m
20,4832
g
100
900,00
1050,00
29,5167
-0,4472
150m
(4)20,4833
g
A
101-100
100,00
-50,00
370,4833
111,80
1/3
111,80=111,80
Instrukcja nr 4. Azymut, czwartak, rachunek współrzędnych
Kierunek Architektura Krajobrazu sem. II – studia stacjonarne PS
7-8
Opracował:
dr inż. Piotr Krzysztof Tuz Katedra Systemów Inżynierii Środowiska Politechnika Białostocka
wersja z dnia 2011-11-14
Strona 5
A
B
Zadanie do samodzielnego obliczenia:
Oblicz kąty trójkąta OAB ze współrzędnych wykorzystując poznane formuły
Nr punktu
X
Y
A
100,10
- 20,10
O
- 200,11
80,42
B
84,62
284,57
Literatura:
1.Tatarczyk J.; Wybrane zagadnienia z instrumentoznawstwa geodezyjnego. Skrypt uczelniany AGH,
nr 982, Kraków, 1985.
2. Jerzy Szymoński – Instrumentoznawstwo geodezyjne.
3. Robert Krzyżek – materiały dydaktyczne do zajęć z geodezji I
4. Ćwiczenia z geodezji I. Praca zbiorowa pod redakcją J. Belucha. Wydawnictwa Naukowo –
Dydaktyczne AGH, Kraków, 2007.
5. Elementy geodezji w pomiarach inżynierskich / pod red. Ryszarda Józefa Grabowskiego ; [aut.
Eugenia Bajkowska i in.]. Białystok, 1991.
6. Osada E.: Wykłady z geodezji i geoinformatyki. Niwelacja. Wydawnictwo Naukowe Dolnośląskiej
Szkoły Wyższej, 2009.
7. Jagielski A. Geodezja I.
Wydawnictwo GEODPIS / ISBN: 83-922884-0-8 / Wydanie 2 - zmodyfikowane
(2005)
O