Ćwiczenie D5:

A

LGORYTMY

 

APROKSYMACJI

 

CAŁKI

PRZY

 

ZASTOSOWANIU

PROCESORÓW

 

SYGNAŁOWYCH

 TMS320 

SERII

 28

XX

opracował:

mgr inż. Roman Niestrój

Roman.Niestroj@polsl.pl

Cele ćwiczenia:

–

poznanie wybranych algorytmów aproksymacyjnych

–

wykorzystanie sprzętowych możliwości obliczeniowych 
procesora sygnałowego

–

doskonalenie umiejętności programowania w środowisku 
Code Composer Studio

Metody aproksymacji całki w systemach cyfrowych

W procesie opracowywania programów dla cyfrowych systemów sterowania bardzo często zachodzi 
konieczność   aproksymowania   operacji   całkowania.   Przy   przekształcaniu   równań   analogowych  
obiektów  dynamicznych  do   postaci  dyskretnej  można   posłużyć  się   jedną  z   następujących   metod  
aproksymacji całki:

•

wsteczną metodą prostokątów (wsteczna metoda Eulera);

•

postępującą metodą prostokątów (postępująca metoda Eulera);

•

metodą trapezów;

•

metodą Simpsona.

Metody te różnią się od siebie dokładnością uzyskanego wyniku a także ilością niezbędnych do  
wykonania   operacji   matematycznych.   W   algorytmach   aproksymacyjnych   bazujących   na  
wymienionych   metodach,   występują   operacje   mnożenia   i   dodawania,   które   są   sprzętowo  
wykonywane przez procesory sygnałowe. 

Wsteczna metoda prostokątów

Wsteczna metoda prostokątów pozwala na przybliżenie całki sumą iloczynów wartości kolejnych  
próbek sygnału wejściowego cyfrowego układu całkującego i czasu próbkowania T, przy czym licząc  
N-tą próbkę sygnału wyjściowego cyfrowego układu całkującego bierze się pod uwagę N próbek  
sygnału   wejściowego   cyfrowego   układu   całkującego.   Aproksymację   całki   wsteczną   metodą 
prostokątów dla przykładowego sygnału w przedstawiono na rysunku 1.
Aproksymację całki wsteczną metodą prostokątów można przedstawić następująco:

( )

( )

∑

∫

=

⋅

⋅

≅

N

i

T

N

i

w

T

dt

t

w

0

0

gdzie: w - wielkość całkowana; N - numer próbki (zmienna dyskretna).

Transmitancja operatorowa K(z) w dziedzinie zmiennej z dla aproksymacji całki wsteczną metodą  
prostokątów wyraża się zależnością:

( ) ( )

1

−

=

z

T

z

K

gdzie: K – transmitancja operatorowa; z – operator.

Schemat blokowy cyfrowego układu całkującego wykorzystującego wsteczną metodę prostokątów 
przedstawiono na rysunku 2.

Rys. 1. Aproksymacja całki wsteczną metodą prostokątów.

Rys. 2. Schemat blokowy cyfrowego układu całkującego wykorzystującego aproksymację 

całki wsteczną metodą prostokątów.

Przedstawiony   na   rysunku   2   cyfrowy   układ   całkujący   realizuje   równanie   różnicowe   wynikające 
z transmitancji operatorowej K(z):

( ) (

)

( )

n

w

T

n

y

n

y

⋅

+

−

=

1

gdzie: y – wielkość wyjściowa z układu całkującego.

Wsteczna metoda prostokątów wymaga realizacji przez system cyfrowy jednej operacji mnożenia  
i jednej operacji sumowania.

Postępująca metoda prostokątów

Postępująca metoda prostokątów pozwala na przybliżenie całki sumą iloczynów wartości kolejnych  
próbek sygnału wejściowego cyfrowego układu całkującego i czasu próbkowania T, przy czym licząc  
N-tą próbkę sygnału wyjściowego cyfrowego układu całkującego bierze się pod uwagę (N-1) próbek 
sygnału   wejściowego   cyfrowego   układu   całkującego.   Aproksymację   całki   postępującą   metodą  
prostokątów dla przykładowego sygnału w przedstawiono na rysunku 3.
Aproksymację całki postępującą metodą prostokątów można przedstawić następująco:

( )

( )

∑

∫

=

⋅

+

⋅

≅

N

i

T

N

i

w

T

dt

t

w

0

)

1

(

0

Transmitancja   operatorowa   K(z)   w   dziedzinie   zmiennej   z   dla   aproksymacji   całki   postępującą 
metodą prostokątów wyraża się zależnością:

( ) ( )

1

z

Tz

z

K

−

=

Schemat blokowy cyfrowego układu całkującego wykorzystującego postępującą metodę prostokątów  
przedstawiono na rysunku 4.

Rys. 3. Aproksymacja całki postępującą metodą prostokątów.

Rys. 4. Schemat blokowy cyfrowego układu całkującego wykorzystującego aproksymację 

całki postępującą metodą prostokątów.

Przedstawiony   na   rysunku   4   cyfrowy   układ   całkujący   realizuje   równanie   różnicowe   wynikające 
z transmitancji operatorowej K(z):

( ) (

)

(

)

1

1

−

⋅

+

−

=

n

w

T

n

y

n

y

Podobnie jak wsteczna metoda prostokątów, postępująca metoda prostokątów wymaga realizacji  
przez system cyfrowy jednej operacji mnożenia i jednej operacji sumowania.

Metoda trapezów

Metoda   trapezów   pozwala   na   przybliżenie   całki   sumą   iloczynów   średniej   arytmetycznej   dwóch  
kolejnych próbek sygnału wejściowego cyfrowego układu całkującego i czasu próbkowania T, przy  
czym licząc N-tą próbkę sygnału wyjściowego cyfrowego układu całkującego bierze się pod uwagę  
próbki sygnału wejściowego cyfrowego układu całkującego o numerach N i (N-1). Aproksymację  
całki metodą trapezów dla przykładowego sygnału w przedstawiono na rysunku 5.

Rys. 5. Aproksymacja całki metodą trapezów.

Aproksymację całki metodą trapezów można przedstawić następująco:

( )

(

)

( )

[

]

0

)

1

(

,

1

5

,

0

0

0

=

−

+

−

⋅

⋅

≅

∑

∫

=

⋅

w

i

w

i

w

T

dt

t

w

N

i

T

N

Transmitancja operatorowa K(z) w dziedzinie zmiennej z dla aproksymacji całki metodą trapezów  
wyraża się zależnością:

( )

(

)

(

)

1

2

1

−

⋅

+

⋅

=

z

z

T

z

K

Schemat blokowy cyfrowego układu całkującego wykorzystującego metodę trapezów przedstawiono  
na rysunku 6.

Rys. 6. Schemat blokowy cyfrowego układu całkującego wykorzystującego aproksymację 

całki metodą trapezów.

Przedstawiony   na   rysunku   6   cyfrowy   układ   całkujący   realizuje   równanie   różnicowe   wynikające 
z transmitancji operatorowej K(z):

( ) (

)

(

)

( )

[

]

n

w

n

w

T

n

y

n

y

+

−

⋅

⋅

+

−

=

1

5

.

0

1

Metoda   trapezów   wymaga   realizacji   przez   system   cyfrowy   dwóch   operacji   mnożenia   i   dwóch  
operacji dodawania (w mikroprocesorach można dodawać tylko dwa składniki sumy jednocześnie).

Metoda Simpsona

Metoda Simpsona jest jedną z kwadratur interpolacyjnych Netwona-Cotesa, które powstają przez  
scałkowanie wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a, zbudowanego dla całkowanego ciągu próbek  
sygnału w(n) i opartego na równoodległych węzłach (co przy stałej częstotliwości próbkowania jest  
spełnione). Wyznaczając N-tą próbkę sygnału wyjściowego cyfrowego układu całkującego, metoda  
Simpsona bierze pod uwagę próbki sygnału wejściowego cyfrowego układu całkującego o numerach  
N, (N-1) i (N-2).

Aproksymację całki metodą Simpsona można przedstawić następująco:

∫

0

N⋅T

w



t



dt≈T⋅

∑

i=0

N

[

1
6

w



i





2
3

w



i−1





1
6

w



i−2



]

;   w



−

1



=

0;    w



−

2



=

0

Transmitancja operatorowa K(z) w dziedzinie zmiennej z dla aproksymacji całki metodą Simpsona 
wyraża się zależnością:

K



z



=

T



z

2



4 z1



6 z



z −1



Schemat blokowy cyfrowego układu całkującego wykorzystującego metodę Simpsona przedstawiono  
na rysunku 7.

Rys. 7. Schemat blokowy cyfrowego układu całkującego wykorzystującego aproksymację 

całki metodą Simpsona.

Przedstawiony   na   rysunku   7   cyfrowy   układ   całkujący   realizuje   równanie   różnicowe   wynikające 
z transmitancji operatorowej K(z):

y



n



=

y



n−1





T⋅

[

1
6

⋅

w



n





2
3

⋅

w



n−1





1
6

⋅

w



n−2



]

Metoda trapezów wymaga realizacji przez system cyfrowy trzech operacji mnożenia i trzech operacji  
dodawania (w mikroprocesorach można dodawać tylko dwa składniki sumy jednocześnie).

Uwagi końcowe

Dokładność przedstawionych metod aproksymacji całki zależy od wielu czynników, między innymi  
od tego, czy częstotliwość próbkowania (i w związku z tym okres próbkowania T) jest przyjęta  
prawidłowo. Następny czynnik, to sposób reprezentacji danych w systemie cyfrowym. Szczególnie  
w systemach stałoprzecinkowych trzeba się liczyć z kumulacją błędów arytmetyki stałoprzecinkowej  
przy stosowaniu metody Simpsona w sytuacji, gdy słowa bitowe, przeznaczone do przechowania  
wartości współczynników występujących przy kolejnych próbkach sygnału wejściowego, będą zbyt  
krótkie. Ta kumulacja błędów objawia się na wyjściu układu całkującego w postaci dryftu sygnału  
całki. Dryft ten polega na tym, że na sygnał użyteczny nałożona jest pewna składowa narastająca  
lub   opadająca   w   czasie   aż   do   nasycenia   lub   przepełnienia   słowa   bitowego   przechowującego 
obliczoną wartość całki. Podobne zjawisko wystąpi, gdy do wejścia układu całkującego dochodzi  
składowa stała, zakłócająca wejściowy sygnał użyteczny (na przykład falę sinusoidalną). Dlatego  
w układach sterowania maszyn elektrycznych często wykorzystuje się układy całkujące o specjalnej  
strukturze, w których zjawisko dryftu nie występuje.

Zadanie 1.

Opracować program w środowisku CCS dla procesora sygnałowego TMS320F2812,

realizujący różne algorytmy aproksymacji całki.

Opracowany program będzie składał się z dwóch plików: nagłówkowego i źródłowego, w których  
powinna   znajdować   się   pełna   definicja   obiektu   aproksymacji   całki.   Sprawdzenie   działania   tego 
obiektu będzie możliwe w programie dostarczonym przez prowadzącego, zawierającym programowy  
generator   przebiegów:   sinusoidalnego,   piłokształtnego,   prostokątnego   i   trapezowego.   Do  
sprawdzenia   zostaną   wykorzystane   elementy   Graph   dostępne   w   CCS,   działające   w   oparciu 
o emulacje sprzętową.

Do wykonania ćwiczenia potrzebny jest komputer z CCS i zestaw uruchomieniowy eZdspF2812. 

Wskazówki do wykonania zadania:

Opracowując   program   (obiekt)   aproksymacji   całki   należy   wykorzystać   pliki   definiujące 
obiekt dla obsługi diody LED z ćwiczenia D2, kopiując je z innymi nazwami i dołączając do 
projektu. Następnie należy w nich przeprowadzić niezbędne modyfikacje.

Obiekt realizujący aproksymację całki różnymi metodami powinien być zbudowany w oparciu 
o następujące wskazówki (w razie wątpliwości należy skorzystać z instrukcji do ćwiczenia 
D2):

Typ obiektu:

INTEGRALSUPPORT

Typ wskaźnikowy:

*INTEGRALSUPPORT_handle

Wartość domyślna (konstruktor obiektu):

INTEGRALSUPPORT_DEFAULTS (zbudowana w oparciu o wartości domyślne dla

      pól danych)

Pola danych:

int16 In    

- Wejście obiektu  (domyślnie 0)

int16 Memory1    

- Pamięć próbek 1  (domyślnie 0)

int16 Memory2    

- Pamięć próbek 2  (domyślnie 0)

int16 Memory3    

- Pamięć próbek 3  (domyślnie 0)

int16 Out

   

- Wyjście obiektu  (domyślnie 0)

int16 Ki

- Stała całkowania  (domyślnie 1)

Uint16 Scale

- Skala wyjścia 

(domyślnie 8)

Pola metod:    

tpcalc

- Wskaźnik funkcji obsługi
  (wyliczenia całki metodą trapezów)

 

becalc

- Wskaźnik funkcji obsługi
  (wyliczenia całki metodą wsteczną Eulera)

fecalc

- Wskaźnik funkcji obsługi
  (wyliczenia całki metodą postępującą Eulera)

smcalc

- Wskaźnik funkcji obsługi
  (wyliczenia całki metodą Simpsona)

  

reset

- Wskaźnik funkcji resetującej obiekt
  (przywracającej we wszystkich polach wartości
  domyślne)

               

Funkcje metod:

integral_tp_calc

- dla metody tpcalc

integral_be_calc

- dla metody becalc

integral_fe_calc

- dla metody fecalc

integral_sm_calc

- dla metody smcalc

integral_reset

- dla metody reset

Taka   budowa   obiektu   jest   wymuszona   przez   procedury   obsługi   obiektu,   zamieszczone 
w programie głównym dla ćwiczenia D5 (plik lab_d5.c).
Wszystkie elementy (między innymi okna Graph) potrzebne do sprawdzenia działania obiektu 
zawarte   są   w   pliku   przestrzeni   roboczej,   właściwym   dla   ćwiczenia   D5 
(lab_d5_eZdspF2812_CCS3x.wks).   Projekt   dla   ćwiczenia   D5   zawiera   dodatkowo   pliki 
z ćwiczenia D2, definiujące obiekt dla diody (led_eZdspF2812.h, led_eZdspF2812.c),w celu 
ułatwienia ich wykorzystania do budowy obiektu dla układu całkującego).

Zadanie 2.

Zmierzyć czas wykonywania funkcji aproksymujących całkę w programie opracowanym

w zadaniu 1.

Pomiaru czasu wykonywania fragmentów programu dokonuje się przy pomocy Profilera zawartego  
w CCS.   Czas   ten   jest   mierzony   w   cyklach   maszynowych   centralnej   jednostki   przetwarzającej  
procesora   sygnałowego.   Wartości   czasu   zmierzone   dla   funkcji   napisanych   w   języku   C   należy  
porównać z czasem wykonywania funkcji o takim samym działaniu, napisanej w języku asembler  
(przygotowanej   przez   prowadzącego).   Ponadto   należy   przeanalizować   sposób   wywołania   funkcji 
napisanej   w   języku   asembler   z   programu   głównego   napisanego   w   języku   C   (zwrócić   uwagę   na 
wykorzystanie specyficznych trybów adresowania pośredniego). Do tego celu można wykorzystać  
program funkcji realizującej aproksymację całki lub programy funkcji generatorów sygnałów (także  
napisane są w języku asembler).

Do wykonania ćwiczenia potrzebny jest komputer z CCS i zestaw uruchomieniowy eZdspF2812. 

Wskazówki do wykonania zadania:

Aby   przyśpieszyć   wykonanie   zadania   2   można   posłużyć   się   plikiem   przestrzeni   roboczej, 
przygotowanym   przez   prowadzącego   dla   Profilera,   zawartym   w   osobnym   katalogu   roboczym. 
Plik ten zawiera wszystkie niezbędna okna i ustawienia potrzebne do wykonania zadania 2. 
Podczas   korzystania   z   Profilera   należy  WYŁĄCZYĆ  tryb   czasu   rzeczywistego   (Real-Time 
Mode).

W   czasie   wykonywania   ćwiczenia   uczestnicy   mogą   korzystać   z   literatury   dostarczanej   przez  
prowadzącego,   dotyczącej   wykorzystywanego   procesora   sygnałowego   i   środowiska 
programistycznego.

Sprawozdanie z ćwiczenia

Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać kody napisanych w trakcie ćwiczenia programów wraz 
z komentarzami opisującymi ich działanie.

Źródła literaturowe:

[1]. Dokumentacja procesora sygnałowego TMS320F2812. Texas Instruments.
[2]. Dokumentacja zestawu eZdsp i modułu DMC1500. Spectrum Digital.
[3]. C281x C/C++ Header Files and Peripheral Examples. Texas Instruments.

[5]. J. Klamka, Z. Ogonowski, M. Jamicki, M. Stasik: Metody numeryczne.

       Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1998, skrypt 2068
[6]. J. Krupka, R.Z. Morawski, L.J. Opalski: Wstęp do metod numerycznych.

      Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1999

Żródła   literaturowe   [1,   2,   3]   dostępne   są   na   stronie   internetowej   firmy   Texas   Instruments 
(

www.ti.com

).

opracowano dnia 30-10-2008, (v1.5)