MOMENT MASZYNY ASYNCHRONICZNEJ W STANIE 

USTALONYM

(wzór Klossa)

Moment   elektromagnetyczny   maszyny   asynchronicznej   można   wyrazić 
wzorem:

s

R

I

p

M

r

e

r

'

2

'

1

3

ω

=

Na   potrzeby   wyznaczenia   momentu   uprośćmy   schemat   zastępczy 

maszyny asynchronicznej pomijając gałąź poprzeczną (R

fe

 i X

µ

) oraz przyjmują, 

że:

R

r

/s>>R

s

 

 

 

      

jX

 

σ

 s 

  

' 

r 

jX

 

σ

 

s

 

R

 r 

' 

U

 s 

I

 s 

I

 r 

’

 

Otrzymamy:

)

(

'

'

'

r

s

r

s

X

X

j

s

R

U

I

r

+

+

=

s

R

X

X

s

R

U

p

M

r

r

s

r

s

e

'

2

'

2

2

'

2

1

*

)

(

3

+

+

=

ω

2

'

2

'

'

2

1

)

(

3

r

s

r

r

s

e

X

X

s

s

R

R

U

p

M

+

+

=

ω

Wartość maksymalna momentu wyznaczymy z warunku:

-1-

0

=

ds

dM

e

0

)

(

2

'

2

2

'

=

+

+

−

r

s

r

X

X

s

R

'

'

r

s

r

k

X

X

R

s

+

±

=

Dla   takiego   poślizgu,   nazywanego   poślizgiem   krytycznym  moment 
jest równy:

)

(

2

3

'

2

1

r

s

s

k

X

X

U

p

M

+

±

=

ω

Jeśli   wartość   momentu   podzielimy   przez   tą   wartość   momentu, 
nazywanego momentem krytycznym, otrzymamy wzór Klossa:

s

s

s

s

M

M

k

k

k

e

+

=

2

Wzór   Klossa   jest   bardzo   wygodnym   uproszczeniem 

charakterystyki mechanicznej silnika asynchronicznego, stąd bardzo 
często używany jest w technice napędu elektrycznego do szacowania 
różnych   wielkości   w   silniku   asynchronicznym   np.   na   podstawie 
danych katalogowych. W katalogu podaje się m.in. parametr:

λ

=

n

k

M

M

Możemy   szacować   wartość   poślizgu   krytycznego   ze   wzoru 

Klossa:

λ

2

=

+

n

k

k

n

s

s

s

s

0

2

2

2

=

+

−

n

k

n

k

s

s

s

s

λ

-2-

)

1

(

4

4

4

2

2

2

2

2

−

=

−

=

∆

λ

λ

n

n

n

s

s

s

 

2

)

1

(

2

2

2

−

±

=

λ

λ

n

n

k

s

s

s

)

1

(

2

−

±

=

λ

λ

n

k

s

s

Z uwagi na symetrię względem poślizgu znamionowego i krytycznego 

do obliczenia poślizgu krytycznego należy stosować znak "+":

)

1

(

2

−

+

=

λ

λ

n

k

s

s

Analogiczne obliczenia poślizgu dla danego momentu (na części 

stabilnej charakterystyki mechanicznej) należy wykonywać wg 

zależności:

)

1

)

(

(

2

−

−

=

M

M

M

M

s

s

k

k

k

Postępowanie   takie   umożliwia   szacowanie   charakterystyk 

momentu   na   podstawie   danych   katalogowych,   także   po   wtrąceniu 
rezystancji dodatkowej do obwodu wirnika, wówczas mamy bowiem:

s

s

s

s

M

M

k

k

k

e

+

=

2

'

'

'

r

s

d

r

k

X

X

R

R

s

+

+

±

=

)

(

2

3

'

2

1

r

s

k

X

X

U

p

M

s

+

±

=

ω

Wynikają stąd ważne wnioski dotyczące zależności momentu od 

napięcia i częstotliwości:

-3-

2

2

f

U

c

M

s

k

=

oraz wnioski dotyczące kształtowania momentu (np. rozruchowego) 
poprzez wtrącenie do obwodu wirnika dodatkowej rezystancji

Dokładniejszą   postać   wzoru   Klossa   otrzymamy   przy 

uwzględnieniu R

s

 oraz X

µ

. Otrzymamy wówczas:

ε

ε

k

k

k

k

k

e

s

s

s

s

s

s

M

M

2

)

1

(

2

+

+

+

=

gdzie:

)

)

(

(

2

2

'

2

s

s

r

s

X

X

R

R

X

R

+

+

=

µ

µ

ε

2

'

2

'

)

(

r

s

s

r

k

X

X

R

R

s

+

+

±

=

Rezystancję stojana pomija się zwykle dla silników o mocy większej 

niż 10kW (wówczas 

ε

=0 oraz R

s

=0) i wówczas pełny wzór Klossa 

przyjmuje postać uproszczoną.

Uwaga!

Przedstawione   wyżej   zależności   wymagają   uzupełnienia, 

szczególnie   w   sytuacji,   gdy   zmieniamy   częstotliwość   napięcia 
zasilającego.   W przypadku   częstotliwości   bliskich   znamionowej 
można   stosować   uproszczony   wzór   Klossa,   natomiast   obniżenie 
częstotliwości powoduje, że niezbędne jest uwzględnienie rezystancji 
stojana, czyli użycie pełnej zależności. 

-4-

Zasilanie   stojana   prądem   stałym   (hamowanie   dynamiczne) 

upraszcza   postać   równań.   Do   szacowania   wartości   momentu 
hamującego   najwygodniej   wykorzystać   postać   równań   maszyny 
podaną   w   opisie   stanów   dynamicznych.   Przy   napięciu   stałym 
równania stojana sprowadzają się do wyznaczenia prądów w osiach 
alfa i beta z prawa Ohma:

s

R

u

i

α

α

=

s

R

u

i

β

β

=

W   równaniach   wirnika   pojawia   się   składowa   napięci   rotacji, 

przy   zerowej   wartości   pochodnej   strumienia   skojarzonego   z 
uzwojeniami wirnika, stąd wartość prądu wirnika można wyznaczyć z 
zależności:

ω

ψ

R

R

R

j

i

R

−

=

0

stąd:

ω

ω

S

R

R

R

R

i

jM

i

jL

i

R

−

−

=

0

oraz:

ω

ω

R

R

S

R

jL

R

i

jM

i

−

=

Straty   mocy   na   rezystancji   wirnika   stanowią   całość   mocy 

mechanicznej wytworzonej przez wirujący wirnik, stąd:

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

ω

ω

R

R

R

S

R

R

e

L

R

R

i

M

R

i

M

+

−

=

Ω

=

Biorąc pod uwagę, że pulsacja i prędkość mechaniczna związana 

jest zależnością:

Ω

=

p

ω

gdzie p –liczba par biegunów otrzymamy:

-5-

p

L

R

R

i

M

M

R

R

R

S

e

2

2

2

2

2

2

3

ω

ω

+

−

=

Współczynnik   3/2   związany   jest   w   wyborem   współczynnika   przy 
transformacji wielkości układu 3-fazowego do 2-fazowego.

-6-