28
CIĄG LICZBOWY
jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych N.
Oznaczamy tę funkcję symbolem (x
n
) przy czym x
n
ℜ
∈
n=1,2…
Jeżeli x>0 oraz
α
jest liczbą rzeczywistą to
n
W
n
x
x
∞
→
= lim
α
gdzie W
n
jest ciągiem liczb wymiernych zbliżonych do
α
.
Jeżeli
{
}
0
,
0
,
,
0
:
,
,
≠
≠
ℜ
∈
∈
>
ℜ
∈
=
ℜ
∈
ℜ
∈
+
b
a
b
a
Z
n
m
x
x
b
a
β
α
to
β
α
β
α
+
= a
b
a
β
α
β
α
−
= a
a
a
( )
α
α
α
b
a
ab
=
α
α
α
b
a
b
a
=
( )
αβ
β
α
a
a
=
f) FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
29
Funkcje
x
sin
,
x
cos
są określone dla
ℜ
=
∈ X
x
,
przeciwdziedziną
x
sin
,
x
cos
jest Y=<-1,1>
Funkcja
x
x
tgx
cos
sin
=
jest określona dla
(
)
=
+
±
≠
ℜ
∈
=
∈
...
2
,
1
,
0
2
1
2
:
n
n
x
x
X
x
π
Funkcja
x
x
ctgx
sin
cos
=
jest określona dla
=
≠
ℜ
∈
=
∈
...
2
,
1
,
0
:
n
n
x
x
X
x
π
Przeciwdziedziną
ctgx
tgx
jest
ℜ
=
Y
x
x
f
sin
)
(
=
x
x
f
cos
)
(
=
tgx
x
f
=
)
(
30
ctgx
x
f
=
)
(
Odwrotnością funkcji trygonometrycznych sin x, cos x
=
"
"
cos
1
sec
x
sekans
x
def
=
"
"
sin
1
cos
x
kosekans
ecx
def
g) FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE
Są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych przy odpowiednim
zawężeniu ich dziedziny.
>
−
=<
>→
−
=<
=
2
,
2
1
,
1
:
sin
)
(
π
π
Y
X
x
arc
x
f
>
=<
>→
−
=<
=
π
,
0
1
,
1
:
cos
)
(
Y
X
x
arc
x
f
)
2
,
2
(
)
,
(
:
)
(
π
π
−
=
→
+∞
−∞
=
=
Y
X
tgx
arc
x
f
)
,
0
(
)
,
(
:
)
(
π
=
→
∞
−∞
=
=
Y
X
ctgx
arc
x
f
h) FUNKCJA WYKŁADNICZA
)
0
(
)
(
>
=
a
a
x
f
x
31
Dziedziną f jest
ℜ
=
X
Przeciwdziedziną jest zbiór
(
)
{ }
1
1
1
0
,
0
=
=
≠
>
∞
=
a
gdy
Y
oraz
a
a
gdy
Y
x
a
x
f
=
)
(
Oznaczmy
{
}
0
:
>
ℜ
∈
=
ℜ
+
x
x
Jeżeli
{ }
+
+
ℜ
∈
ℜ
∈
b
a
1
\
to
b
a
c
b
c
a
=
⇔
=
log
LOGARYTMEM DODATNIM liczby
b
przy podstawie a , gdzie
{ }
1
\
+
ℜ
∈
a
jest wykładnik potęgi c do którego należy podnieść a , aby
otrzymać b.
Jeżeli
0
1
0
>
≠
>
b
a
a
32
to
0
1
log
=
a
0
1
log
=
a
b
a
b
a
=
log
Logarytm dziesiętny to logarytm przy podstawie a=10 :
log b = c
10
c
=b
Logarytm naturalny to logarytm przy podstawie równej liczbie e.
przy czym
...
7
,
2
1
1
lim
.
=
+
=
∞
→
n
n
def
n
e
oznaczamy go symbolem
b
e
c
b
c
=
⇔
=
ln
PRAWA DZIAŁAŃ NA LOGARYTMACH
1) Logarytm iloczynu
(
)
1
0
,
log
log
log
2
1
2
1
2
1
≠
>
ℜ
∈
+
=
⋅
+
a
a
b
b
b
b
b
b
a
a
a
2) Logarytm ilorazu
1
0
,
log
log
log
2
1
2
1
2
1
≠
>
ℜ
∈
−
=
+
a
a
b
b
b
b
b
b
a
a
a
3) Logarytm potęgi
( )
1
0
0
log
log
≠
>
>
ℜ
∈
=
a
a
b
b
b
a
a
α
α
α
4) Zamiana podstawy logarytmu
33
{ }
+
+
ℜ
∈
ℜ
∈
=
b
c
a
a
b
b
c
c
a
1
\
,
log
log
log
i) FUNKCJA LOGARYTMICZNA
Ponieważ funkcja wykładnicza
( )
x
a
x
f
=
jest wzajemnie jednoznaczna dla
a>0, a≠1 więc tylko wtedy posiada funkcje odwrotną.
Jest nią funkcja logarytmiczna
( )
1
,
0
,
0
log
≠
>
>
=
a
a
x
x
x
f
a
j) FUNKCJE HIPERBOLICZNE
2
sinh
x
x
e
e
x
−
−
=
2
sinh
x
x
e
e
x
−
−
=
x
x
x
x
e
e
e
e
x
tgh
−
−
+
−
=
x
x
x
x
e
e
e
e
x
ctgh
−
−
−
+
=
gdzie
...
7
,
2
1
1
lim
.
=
+
=
∞
→
n
n
def
n
e
34
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY RZECZYWISTEJ
Wartością bezwzględną lub modułem liczby rzeczywistej
ℜ
∈
x
nazywamy
liczbę nieujemną
x
przy czym
Własności:
1)
a
x ≤
jest równoważna nierówności podwójnej
a
x
a
≤
≤
−
2)
y
x
y
x
+
≤
+
3)
y
x
y
x
−
≤
−
4)
y
x
y
x
+
≥
+
5)
y
x
y
x
−
≥
−
6)
y
x
y
x
−
≤
−
Funkcja wartości bezwzględnej (moduł)
INDUKCJA ZUPEŁNA
Zasada Indukcji Zupełnej- niech każdej liczbie naturalnej n będzie
przyporządkowane zdanie p(n)
Jeżeli :
<
−
≥
=
0
0
gdy
x
gdy
x
x
( )
<
−
≥
=
0
0
gdy
x
gdy
x
x
f
35
a. zdanie p(1) jest prawdziwe
b. jeżeli zdanie p(n) jest prawdziwe, to zdanie p(n+1) jest prawdziwe,
to zdanie p(n) jest prawdziwe dla każdego n=1,2,3…
Wniosek:
Jeżeli
a. zdanie p(n) jest prawdziwe dla liczby całkowitej n
0
b. z prawdziwości p(n) dla liczby całkowitej k wynika prawdziwość p(n) dla
k+1, gdzie k≥n
0
to zdanie p(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych n≥n
0