ĆW.1 Uzupełnienie ver. 29.11

Ćwiczenie 1

ĆWICZENIE

Uzupełnienie do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego
metodą wahadła prostego

B.Oleś i J.Kurzyk

Przybliżenie małych drgań wahadła matematycznego

Ruch wahadła matematycznego możemy opisać jak ruch obrotowy pod wpływem zmieniającego

się wraz z kątem wychylenia momentu siły. Siłą odpowiedzialną za powstanie tego momentu siły jest
składowa ciężaru punktu materialnego,

sin , styczna do łuku, po którym porusza się ten punkt

(rys.1). Pozostałe siły, czyli druga składowa siły ciężkości,

cos i siła napięcia sprężystego nici ,

leżą na kierunku przechodzącym przez oś obrotu wahadła, więc nie dają żadnego wkładu do momen-
tu siły. Moment siły jest prostopadły do płaszczyzny ruchu wahadła, a jego rzut na oś obrotu wahadła

wynosi

–

sin . Znak „

−

” w tym wzorze oznacza, że moment siły jest skierowany przeciwnie do

wychylenia kątowego

. Równanie ruchu wahadła matematycznego przyjmuje postać

= −

sin .

(1.1)

Rozwiązaniem tego równania jest skomplikowana
funkcja okresowa, której nie da się zapisać w po-
staci analitycznej.

Dla małych kątów funkcję

sin można

przybliżyć przez kąt   wyrażony w mierze łukowej
(radianach).  Wówczas  równanie  (1.1)  przyjmuje
prostszą postać

≈ −

lub po przekształceniu

≈ −

(1.2)

Jest  to  typowe  równanie  ruchu  tzw.  oscylatora
harmonicznego,  czyli  układu,  który  wykonuje
drgania  nazywane

drganiami harmonicznymi

Drgania  harmoniczne  są  szczególnym  przypad-
kiem  drgań  okresowych.  Podczas  drgań  harmo-
nicznych,  wychylenie  z  położenia  równowagi  w
funkcji czasu jest opisywane funkcją sinus

Wychylenie kątowe jest traktowane jak wektor o kierunku zgodnym z kierunkiem osi obrotu i zwrocie defi-

niowanym regułą prawej dłoni lub śruby prawoskrętnej.

Rys.1. Diagram przedstawiający siły działające na
wahadło  proste  (w  skrajnym  położeniu,  czyli
wtedy,  gdy  wahadło  jest  nieruchome).  Przy  ma-
łych  kątach  wychylenia    ruch  wahadła  można
uznać za ruch harmoniczny prosty. Siłą odpowie-
dzialną  za  ruch  wahadła  wokół  położenia  rów-
nowagi  jest  składowa  ciężaru    ciała  styczna  do
łuku, po którym się porusza i równa

sin . Siła

, z jaką nić działa na kulkę, równoważy drugą

składową

cos .

cos

sin

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego …

= sin

+ !",

gdzie

jest maksymalnym wychyleniem (amplitudą ruchu), a

! – fazą początkową. Okres małych

drgań wahadła matematycznego, czyli okres ruchu opisanego równaniem (1.2) wynosi

= 2 $ .

(1.3)

Zwróćmy uwagę, że do powyższego wzoru na okres drgań wahadła nie wchodzi amplituda

Oznacza to, że

okres drgań wahadła nie zależy od amplitudy ruchu

. Tą niezwykłą własnością charak-

teryzują się wszystkie układy wykonujące drgania harmoniczne. Własność tę nazywamy

izochroni-

zmem

. Spośród wszystkich ruchów okresowych jedynie ruchy harmoniczne posiadają własność izo-

chronizmu.

W rzeczywistości ruch wahadła nie jest ruchem harmonicznym i jego okres zależy od amplitudy.

Przykładowy wykres zależności okresu rzeczywistych (anharmonicznych) drgań wahadła o długości
ok. 1m od amplitudy przedstawia rysunek 2a. Zaś rysunek 3b prezentuje różnicę

− między rze-

czywistym okresem drgań tego wahadła a okresem drgań

hipotetycznego wahadła harmonicz-

nego w funkcji amplitudy drgań. Obie zależności przedstawiono w zakresie amplitud od

0° do 15°.

Przybliżenie ruchu wahadła ruchem harmonicznym, a tym samym uznanie wzoru (1.3) za wystar-

czająco dokładny możemy uznać za uzasadnione, jeśli błąd okresu drgań wahadła wynikający z tego
przybliżenia będzie co najmniej o rząd wielkości mniejszy od niepewności pomiaru okresu drgań wa-
hadła. Mierząc okres drgań wahadła metodą opisaną w następnym punkcie jesteśmy w stanie osią-
gnąć dokładność pomiaru okresu rzędu kilku setnych sekundy. Jak widzimy z rysunku 2b dla wahadła
o długości rzędu

1 m wychylonego o 15° różnica między okresem drgań wahadła, a okresem drgań

(harmonicznych) wyliczonym ze wzoru (1.3) jest rzędu

0,01 s. A zatem stosowanie przybliżonego

wzoru (1.3) w przypadku tak dużej amplitudy byłoby nieuzasadnione. Dla amplitudy ok.

10° błąd

okresu wynikający z przybliżenia (1.3) jest rzędu

0,005 s, a dla amplitudy ok. 5° rzędu 0,001 s. Tak

małych odstępstw od

2,000

2,002

2,004

2,006

2,008

2,010

(

)

[

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

-T

]

(a)

(b)

Rys. 2. (a) Zależność okresu drgań wahadła o długości ok.

1 m od amplitudy drgań. (b) Różnica

− między okresem drgań wahadła o długości ok. 1 m, a okresem drgań hipotetycznego wa-

hadła harmonicznego o tej samej długości. W obu przypadkach ograniczono się do amplitudy
mniejszej lub równej

15°

Ćwiczenie 1

anharmoniczności nie jesteśmy już w stanie wykryć metodą pomiaru okresu drgań wahadła, jaką
zastosujemy w naszym eksperymencie. W związku z tym, w przypadku wahadła o długości rzędu

1 m

wychylonego o kilka stopni (nie więcej niż

10°) przybliżenie ruchu wahadła ruchem harmonicznym i

stosowanie wzoru (1.3) na okres drgań tego wahadła wydaje się być przybliżeniem bardzo dobrym w
warunkach naszego eksperymentu. Ponadto, spełniając powyższe założenia, nie musimy przejmować
się tym, że amplituda wskutek m.in. oporu powietrza, będzie malała w trakcie pomiarów, a także nie
musimy starać się, aby wychylenie początkowe wahadła podczas kolejnych prób było takie samo.

Przybliżenie małych drgań wahadła prostego

W przypadku każdego wahadła tzw. małe drgania możemy przybliżyć drganiami harmonicznymi,

tak jak zrobiliśmy to w przypadku wahadła matematycznego w punkcie 1.1. Rozwiązując problem
małych drgań wahadła o długości , złożonego z kulki o średnicy zawieszonej na nierozciągliwej nici,
dostaniemy w pierwszym przybliżeniu ruch harmoniczny o okresie

= 2 $ 1 +

" = $1 +

(2.1)

gdzie

oznacza okres małych drgań wahadła matematycznego. Użycie prostszego wzoru (1.3) za-

miast wzoru (2.1) będzie uzasadnione, jeśli błąd, jaki w ten sposób popełniamy będzie co najmniej o
rząd wielkości mniejszy niż niepewność pomiaru okresu. Przy niepewności pomiaru okresu rzędu
setnych części sekundy, z jakim będziemy mieć do czynienia, warunek ten będzie spełniony już przy
stosunku

/ rzędu 0,3. Dla wahadła prostego o długości rzędu 1 m z kulką o średnicy rzędu 2 cm

różnica między okresem małych drgań wahadła prostego a okresem małych drgań wahadła matema-
tycznego jest rzędu

0,00004 s. Jest to wartość o trzy rzędy wielkości mniejsza od naszej niepewności

wyznaczenia okresu. A zatem stosowanie wzoru (1.3) jest w pełni usprawiedliwione.

Błędy systematyczne związane z metodą pomiaru

Przeanalizujmy błędy związane z wyznaczaniem przyspieszenia metodą wahadła matematycz-

nego. Przypomnijmy, że wzór na okres (1.3) ma charakter przybliżony i stosując go do wyznaczenia
przyspieszenia  ziemskiego  godzimy  się  na  popełnienie  błędu  systematycznego.  Jest  to  uzasadnione
jedynie wówczas, gdy niepewność wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego będzie co najmniej o rząd
wielkości większa od błędu systematycznego wynikającego z zastosowania wzoru (1.3) nie uwzględ-
niającego anharmoniczności drgań, rozmiarów kuleczki jak również szeregu innych czynników. Należą
do  nich  opory  powietrza  i  tarcie  wewnętrzne  w  nitce,  siła  wyporu  powietrza,  masa  nitki  i  jej  nie-
znaczna rozciągliwość, fakt, że ruch nie odbywa się dokładnie w jednej płaszczyźnie.

Błędy procentowe wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego, wynikające z zaniedbania anharmo-

niczności drgań dla większych amplitud dla kulki o zaniedbywalnych rozmiarach oraz wynikające z
zaniedbania rozmiarów kulki podano w Tabelach 3 i 4.

Tabela 3. Błędy procentowe wyznaczania wynikające z zaniedbania anharmoniczności drgań

./0

(

Błąd (%)

0,004

0,015

0,034

0,061

0,095

0,14

0,19

0,24

0,31

0,38

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego …

Tabela 4. Błędy procentowe wyznaczania wynikające z zaniedbania rozmiarów kulki

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,1

Błąd (%)

0,002

0,008

0,018

0,032

0,05

0,072

0,098

0,13

0,2

Błędy wynikające z pozostałymi wyżej wymienionymi czynnikami są również małe. Dla przykładu,

błąd procentowy wynikający z nieuwzględnienia siły wyporu powietrza dla kulki stalowej jest rzędu
0,017%. Wszystkie błędy, o których była mowa mają ten sam znak, przez co wzajemnie się nie kom-
pensują i prowadzą do zaniżenia wartości . Całkowity błąd systematyczny wynikający z zastosowa-
nia wzoru

(3.5)

do obliczenia przyspieszenia ziemskiego jest w przybliżeniu sumą poszczególnych błędów.

Spróbujmy oszacować wielkość błędu popełnionego w trakcie naszych pomiarów. Jeśli zadbali-

śmy o to, żeby amplituda była mniejsza od 5

°, stosunek średnicy kulki do długości wahadła był nie

większy niż 0,02, a kulka była wykonana ze stali, to błąd procentowy jaki popełnimy będzie rzędu
0,1%. Jeśli niepewność wyznaczenia będzie rzędu 1% lub większa, to wymienione błędy systema-
tyczne możemy zaniedbać.

Błędy związane z pozostałymi, wyżej wymienionymi czynnikami są również małe. Dla przykładu,

Na zakończenie analizy błędów systematycznych w naszej metodzie pomiarowej zwróćmy jesz-

cze uwagę na liczbę występującą we wzorze, z którego wyliczamy . Stosowanie przybliżonych
wartości stałych fizycznych lub matematycznych jest również źródłem błędów systematycznych. Jeśli
satysfakcjonuje nas błąd procentowy rzędu 0,01%, wówczas musi być spełniona nierówność

2∆

∙ 100 < 0,01% ,

gdzie

∆ jest różnicą między wartością dokładną a naszym przybliżeniem liczby . Dostajemy stąd, że

nie wystarczy użyć popularnego przybliżenia 3,14, ale przybliżenia z dokładnością do czwartego miej-
sca po przecinku lub lepszego.