plik

Charakterystyki

Charakterystyka impulsowa to odpowiedź układu na wejście u(t) = δ(t), a
charakterystyka skokowa - na wejście u(t) =

1(t). Transformaty tych wejść

przedstawiają się następująco: L {δ(t)} = 1, L {

1(t)} =

1
s

. Charakterystyką

amplitudowo-fazową nazywamy zaś wykres K(jω) na płaszczyźnie zespolonej,

gdzie K to transmitancja układu, K(s) =

Y (s)
U (s)

1 a)

Układ inercyjny

Układ inercyjny opisany jest równaniem:

y(t) + T ˙

y(t) = ku(t)

Wyznaczamy transmitancję układu:

Y (s) + T (sY (s) − 0) = kU (s)

Y (s)(1 + T s) = kU (s)

Y (s) = U (s)

1 + T s

K(s) =

Y (s)

U (s)

1 + T s

Charakterystyka impulsowa

u(t) = δ(t),

U (s) = 1

Y (s) =

1 + T s

Y (s) =

+ s

y(t) =

−

Wykres tej zależności znajduje się na rysunku 1

Charakterystyka skokowa

u(t) =

1(t), U(s) =

Y (s) =

1 + T s

s(1 + T s)

−

st + 1

= k

− k

s +

y(t) = k − ke

−t

= k(1 − e

−t

)

Wykres tej zależności znajduje się na rysunku 2

y(t)

Rysunek 1: Charakterystyka impulsowa układu inercyjnego

y(t)

Rysunek 2: Charakterystyka skokowa układu inercyjnego

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

K(s) =

1 + T s

K(jω) =

1 + T jω

k · (1 − T jω)

(1 + T jω)(1 − T jω)

k − j · (T kω)

− T

K(jω) =

k − jT kω

+ 1

Na płaszczyźnie zespolonej mamy:

x(ω) = ReK(jω) =

+ 1

> 0

y(ω) = ImK(jω) = −

T kω

+ 1

< 0

x(ω)

+ y(ω

) =

+ T

+ 1)

(1 + T

)

+ 1)

+ 1 = kx(ω)

Mamy więc:

+ y

= kx

− kx +

+ y

x −

+ y

Szukaną krzywa jest więc ta część okręgu o środku w (

k
2

, 0) i promieniu

k
2

, dla

której x > 0 i y < 0. Oprócz tego:

K(0) =

k
2

oraz

lim

ω→∞

K(ωj) = 0

Z powyższego można wyznaczyć kierunek zmian K(ωj) - w kierunku (0, 0).
Wykres K(iω) znajduje się na ryzunku 3.

−

k
2

ImK(iω)

ReK(iω)

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

Rysunek 3: Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu inercyjnego

1 b)

Układ całkujący

y(t) = k

u(τ )dτ

Y (s) = k

U (s)

K(s) =

Y (s)

U (s)

Charakterystyka impulsowa

Y (s) = k

y(t) = k ·

1(t)

Charakterystykę przedstawia wykres na rysunku 4.

y(t)

Rysunek 4: Charakterystyka impulsowa układu całkującego

Charakterystyka skokowa

Y (s) =

y(t) = k ·

1(t) · t

Charakterystykę przedstawia wykres na rysunku 5.

y(t)

Rysunek 5: Charakterystyka skokowa układu całkującego

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

K(s) =

K(jω) =

jω

= −j

ReK(jω) = 0

lim

ω→0

ImK(jω) = −∞

lim

ω→∞

ImK(jω) = 0

Wykresem tej zależności na płaszczyźnie zespolonej jest więc półprosta - ujemna
półoś urojona (w granicy - wraz z (0, 0)). Dla rosnących ω wartość K(iω) zbliża
się do 0. Wykres K(iω) znajduje się na rysunku 6.

ImK(iω)

ReK(iω)

Rysunek 6: Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu całkującego

1 c)

Układ całkujący z inercją

y(t) + T ˙

y(t) = k

u(τ )dτ

Y (s) + T (sY (s) − 0) = k

U (s)

Y (s)(1 + T s) = k

U (s)

Y (s) = k

s(1 + T s)

U (s)

Y (s)

U (s)

s(1 + T s)

Charakterystyka impulsowa

Y (s) = k

s(1 + T s)

Y (s) = k

− T 1 + sT

y(t) = k(1 − e

−

)

Charakterystyka impulsowa układu całkującego z inercją jest więc taka sama,
jak charakterystyka skokowa układu inercyjnego - patrz wykres na rysunku 2.

Charakterystyka skokowa

Y (s) =

· k

s(1 + T s)

(1 + T s)

Y (s) = k

sT + 1

−

Y (s) = k

s +

− T

y(t) = kT e

−

+ kt − kT

y(t) = kT (e

−

− 1) + kt

Wykres y(t) znajduje się na rysunku 7.

y(t)

− k

Rysunek 7: Charakterystyka skokowa układu całkującego z inercją

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

K(s) =

s(1 + T s)

K(jω) =

jω(1 + T jω)

k · jω(1 − T jω)

−ω

(1 + (T ω)

)

K(jω) =

kT ω

+ kω

−ω

(1 + (T ω)

)

= −

1 + (T ω)

− j

ω(1 + (T ω)

)

x(ω) = ReK(jω) = −

1 + (T ω)

y(ω) = ImK(jω) = −

ω(1 + (T ω)

)

< 0

lim

ω→0

ReK(jω) = −kT

lim

ω→0

ReK(jω) = −∞

lim

ω→∞

ReK(jω) = 0

lim

ω→∞

ImK(jω) = 0

Wykres K(iω) znajduje się na rysunku 8.

−kT

ImK(iω)

ReK(iω)

Rysunek 8: Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu całkującego z inercją

1 d)

Układ różniczkujący z inercją

y(t) + T ˙

y(t) = k ˙

u(t)

Y (s) + T sY (s) = ksU (s)

Y (s)(1 + T s) = kU (s)

Y (s) = U (s)

1 + T s

K(s) =

Y (s)

U (s)

1 + T s

Charakterystyka impulsowa

Y (s) =

1 + T s

−

T (sT + 1)

1 −

sT + 1

Y (s) =

1 −

s +

y(t) =

δ(t) −

−

y(t) =

(

∞

dla t = 0,

−

dla t 6= 0.

Wykres znajduje się na rysunku 9.

Charakterystyka skokowa

Y (s) =

1 + T s

Y (s) =

+ s

y(t)

Rysunek 9: Charakterystyka impulsowa układu różniczkującego z inercją

y(t) =

−

Charakterystyka ta jest taka sama jak charakterystyka impulsowa dla układu
inercyjnego - patrz rysunek 1.

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

K(s) =

1 + T s

K(jω) =

kjω

1 + T jω

kjω(1 − T jω)

(1 + T jω)(1 − T jω)

kjω − kj

T ω)

− T

K(jω) =

kT ω

1 + T

+ j

kω

1 + T

Na płaszczyźnie zespolonej mamy:

x(ω) = ReK(jω) =

kT ω

1 + T

> 0

y(ω) = ImK(jω) =

kω

1 + T

> 0

x(ω)

+ y(ω

) =

1 + T

x(ω)

−

x(ω) +

+ y(ω

) =

x(t) −

+ y(ω

) =

Szukaną krzywa jest więc ta część okręgu o środku w (

k
2

, 0) i promieniu

k
2

, dla

której x > 0 i y > 0. Oprócz tego:

K(0) =

oraz

lim

ω→∞

K(ωj) = 0

Z powyższego można wyznaczyć kierunek zmian K(ωj) - w kierunku (0, 0).
Wykres K(iω) znajduje się na rysunku 10.

k
2

ImK(iω)

ReK(iω)

Rysunek 10: Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu różniczkującego z in-
ercją

Transmitancje

2 a)

Transmitancje poszczególnych bloków

Blok 1 to układ RLC z R = 1, L =

1
2

i C = 2. Transmitancja układu RLC

wyraża się wzorem:

(s) =

R + Ls +

Po podstawieniu:

(s) =

1 +

1
2

s +

2s + s

+ 1

(s + 1)

Blok 2 to człon całkujący z inercją I rzędu o stałej czasowej T

= 3 i wzmocnieniu

= 1. Wiemy że transmitancja członu całkującego z inercją wyraża się wzorem:

(s) =

s(1 + T

s(1 + 3s)

Blok 3 to silnik elektryczny traktowany jako układ inercyjny 1 rzędu o stałej
czasowej T

= 3 i wzmocnieniu k

= k

(s) =

1 + T

1 + 3s

Blok 4 to układ proporcjonalny idealny o współczynniku k

(s) = k

2 b)

Wzory na transmitancje zastępcze

Układy połączone szeregowo

Rozważmy dwa układy połączone szeregowo. Oznaczmy wejście pierwszego ukła-
du jako u

(t), wyjście pierwszego y

(t) = u

(t) (wejście drugiego), y

(t) - wyjście

drugiego układu.

(s) = K

(s)U

(s) = K

(s)Y

(s) = K

(s)K

(s)U

(s)

Stąd transmitancja zastępcza wyraża się wzorem

(s) = K

(s)K

(s)

co można łatwo uogólnić na połączenie szeregowe n układów:

(s) =

i=1

(s)

Dwa układy połączone równolegle

Jeżeli wejścia n układów są takie same, a ich wyjścia sumują się, to mamy:

(t) = u(t)

dla i = 1, 2, 3, . . . , n

y(t) =

i=1

(t)

Y (s) = L

(

i=1

(s)

)

i=1

(s)

(s) =

i=1

(s)K

(s) =

i=1

U (s)K

(s) = U (s)

i=1

(s) = U (s)K

(s)

Stąd transmitansja zastępcza n układów połączonych szeregowo K

to:

(s) =

i=1

(s)

Układ ze sprzężeniem zwrotnym ujemnym

Oznaczmy wejście układu jako u(t), a wyjście jako y(t). Wejściem członu o zna-
nej transmitancji K jest różnica u

(t) = u(t) − y(t). Transformując uzyskujemy:

Y (s) = U

(s)K(s) = (U (s) − Y (s))K(s) = U (s)K(s) − Y (s)K(s)

Y (s)(1 + K(s)) = U (s)K(s)

Y (s) = U (s)

K(s)

1 + K(s)

Stąd:

(s) =

K(s)

1 + K(s)

2 c)

Transmitancja zastępcza całego układu

= K

+ K

(połączenie równoległe)

1 + K

(sprz. zwrotne ujemne)

= K

· K

(połączenie szeregowe)

+ K

1 + K

(s+1)

s(1+3s)

1+3s

1 + k

(s+1)

1+k

s(1+3s)

1 + k

(1 + k

(s + 1)

(1 + 3s)(1 + k

)

Układy o zadanym opisie

Należy zaprojektować co najmniej dwa różne układy, których opis w postaci
równania różniczkowego przedstawia się następująco:

+ ay

= bu

+ cu

przy założeniach: y(0) = 0, y

(0) = 0, c > ab. Transformując zadane równanie

wyznaczamy transmitancję:

L {y

(t)} + L {ay

(t)} = L {bu

(t)} + L {cu(t)}

Y (s) − sy(0) − y

(0) + asY (s) − ay(0) = bsU (s) − bu(0) + cU (s)

Y (s)(s

+ as) = U (s)(bs + c) − bu(0)

/przyjmuję u(0) = 0

K(s) =

Y (s)

U (s)

bs + c

s(s + a)

Wykorzystując wiadomości z zadania 2., możemy łatwo podać kilka przykłado-
wych układów o takiej transmitancji.

3 a)

Układ 1

Można spróbować tak dobrać parametry kilku bloków, aby w wyniku pomnoże-
nia ich transmitacji otrzymać szukaną transmitancję K (połączenie szeregowe).
Np. układ złożony z dwóch bloków połączonych szeregowo:

1. blok złożnony z dwóch podbloków połączonych równolegle:

(a) blok różniczkujący o wzmocnieniu k = b

(s) = ks = bs

(b) blok proporcjonalny o wzmocnieniu k = c

(s) = k = c

Transmitancja bloku 1 jest więc sumą:

(s) = K

(s) + K

(s) = bs + c

2. całkującego z inercją 1. rzędu o stałej czasowej T

1
a

i wzmocnieniu

k =

1
a

(s) =

s(1 + T s)

1
a

s(1 +

1
a

s(a + s)

Transmitancja całego układu wynosi:

K(s) = K

(s)K

(s) = (bs + c)

s(a + s)

bs + c

s(s + a)

co równe jest szukanej transmitancji.

Rysunek 11: Schemat układu 1

3 b)

Układ 2

Możemy do docelowej transmitancji dojśc następująco:

1. blok inercyjny z inercją 1. rzędu o stałej czasowej T =

1
a

i wzmocnieniu

k =

1
a

(s) =

1 + sT

1
a

1 + s

1
a

a + s

2. blok całkujący z inercją 1. rzędu o stałej czasowej T =

1
a

i wzmocnieniu

k =

(s) =

s(1 + sT )

s(1 + s

1
a

)

c
b

s(s + a)

3. blok proporcjonalny o wzmocnieniu k = b

(s) = k = b

Bloki 1 i 2 są połączone równolegle, a blok 3 - szeregowo z nimi. Transmitancja
całego układu to:

K = (K

+ K

a + s

c
b

s(s + a)

b =

bs + c

bs(a + s)

b =

bs + c

s(a + s)