Katedra Mechaniki Konstrukcji 

 

Strona 

Politechniki Białostockiej 

 

1

 

 

Mechanika teoretyczna 

Zadanie nr 3 

 
W tym zadaniu naszym celem jest wyznaczenie sił w prętach kratownicy płaskiej.  
 
Wiadomości ogólne 
 
1) Co to jest kratownica ??? 
 
Def.: 
Kratownicą  nazywamy  układ  złoŜony  z  prętów  prostych*,  połączonych  między  sobą 
w węzłach przegubowo (przegubami bez tarcia), obciąŜony siłami skupionymi w przegubach; 
siły przekrojowe w prętach kratownicy redukują się do stałej siły podłuŜnej. 
 
* prętem  nazywamy  element,  którego  jeden  wymiar  (długość)  jest  znacznie  większy  od 

pozostałych (grubość i szerokość). 

 

Pręty  zewnętrzne  ograniczające  kratownice  od  góry  nazywamy    pasem  górnym  (rys.  1  – 

czerwone), pręty ograniczające kratownice od dołu – pasem dolnym (rys.  1 – zielone). Pręty 
pionowe  łączące  oba  pasy  nazywamy  słupkami  (rys.  1  –  niebieskie),  ukośne  krzyŜulcami 
(rys. 1 – pomarańczowe). 

 

 

Rys. 1. Kratownica. 

 

ObciąŜenia  zewnętrzne  przekazuje  się  na  kratownice  w  postaci  sił  skupionych 

przyłoŜonych  w  jej  węzłach  i  działających  w  płaszczyźnie  kratownicy  (w  przypadku 
kratownic  płaskich).  RównieŜ  cięŜar  własny  kratownicy  zastępuje  się  siłami  skupionymi, 
przyłoŜonymi w jej węzłach.  
 
2) Sprawdzenie stopnia statycznej niewyznaczalności kratownicy 
 
 Sprawdzenie stopnia statycznej wyznaczalności kratownicy dokonujemy wzorem 

w

2

p

r

n

s

−

+

=

 

gdzie: 

n

s

 – stopień statycznej niewyznaczalności, 

  r – liczba prętów reakcyjnych (reakcji podporowych), 

  p – liczba prętów prostych kratownicy, 

  w – liczba węzłów kratownicy. 

Dla kratownicy przedstawionej na rys. 1 stopień ten wynosi   

0

8

2

13

3

n

s

=

⋅

−

+

=

,

 

gdzie r = 3, p = 13 (4 pręty pasa górnego, 4 pręty pasa dolnego, 3 słupki, 2 krzyŜulce), w = 8.  

Katedra Mechaniki Konstrukcji 

 

Strona 

Politechniki Białostockiej 

 

2

 

3) Pręty zerowe 
 

W  kratownicy  mogą  występować  pręty,  w  których  pod  danym  obciąŜeniem  siły 

podłuŜne są równe zero, pręty te nazywamy prętami zerowymi. 
Zasady określania tych prętów są następujące: 
a)  jeśli w węźle schodzą się dwa pręty pod pewnym kątem 

α

 i węzeł jest nieobciąŜony siłą 

zewnętrzną, to siły przekrojowe w obu prętach są równe zeru (rys. 2a), 

b)  jeśli w węźle schodzą się dwa pręty i węzeł jest obciąŜony siłą zewnętrzną, równoległa do 

jednego z nich, to w drugim pręcie siła przekrojowa jest równa zero (rys. 2b), 

c)  jeśli  w  węźle  schodzą  się  trzy  pręty,  z  których  dwa  są  równoległe  i  węzeł  jest 

nieobciąŜony  siłą  zewnętrzną,  to  siła  przekrojowa  w  pręcie  trzecim  jest  równa  zero 
(rys. 2c). 

 

c)

b)

a)

N

N

N

N

N

N

N

P

1

1

2

1

2

2

3

α

  

Rys. 2. 

 
4) Metody rozwiązywania kratownic 
 

Metody rozwi

ą

zywania kratownic

analityczne

metoda równowa

Ŝ

enia 

w

ę

złów

plan sił Cremony

metoda Rittera 

metoda Culmanna 

metody wyznaczaj

ą

ce

siły w całej kratownicy

metody wyznaczaj

ą

ce

siły w wybranych pr

ę

tach

wykre

ś

lne

 

 

4a) Metoda równowaŜenia węzłów 
 

Metoda  ta  polega  na  wypisywaniu  równań  równowagi  dla  kaŜdego  myślowo 

wyciętego węzła kratownicy. 
 
Postępowanie: 
1)  Z równań równowagi wyznaczenie składowych reakcji podporowych, 
2)  W  poszczególnych  myślowo  wyciętych  węzłach  kratownicy  zapisuje  się  dwa  równania 

równowagi: 

Σ

X = 0, 

Σ

Y = 0. W tym celu w węźle zakłada się odpowiednie zwroty sił w 

poszczególnych prętach, 

3)  Z  zapisanych  równań  równowagi  wyznacza  się  siły  we  wszystkich  prętach  kratownicy. 

Rozwiązywanie  najlepiej  zacząć  od  węzła,  w  którym  zbiegają  się  tylko  dwa  pręty 
o nieznanych siłach, a następnie rozpatrywać kolejne węzły spełniające ten warunek. 

 
 
 

Katedra Mechaniki Konstrukcji 

 

Strona 

Politechniki Białostockiej 

 

3

 

4b) Metoda Rittera (metoda przekrojów) 
 

Metoda Rittera, podobnie jak metoda równowaŜenia węzłów jest sposobem analitycznym, 

polega  ona  na  wykorzystaniu  twierdzenia  o  równowadze  układu  sił  zewnętrznych 
i wewnętrznych przyłoŜonych do jednej części kratownicy. Analitycznych równań równowagi 
mamy  trzy,  jeśli  więc  kratownice  przetniemy  przez  nie  więcej  niŜ  trzy  pręty,  to  z  równań 
równowagi  moŜemy  wyliczyć  szukane  siły  przekrojowe.  Metoda  ta  jest  wygodniejsza 
w przypadku, jeśli poszukiwane są siły w konkretnych prętach kratownicy. 
 
Postępowanie: 
1)  Z równań równowagi wyznaczenie składowych reakcji podporowych, 
2)  Przeprowadza  się  przekrój 

α

-

α

  przez  trzy  pręty  kratownicy  nie  zbiegające  się  w  jednym 

punkcie,  w  tym  przez  pręt  (lub  pręty),  w  których  siłę  chcemy  wyznaczyć.  Część 
kratownicy  oddzielona  przekrojem 

α

-

α

  znajduje  się  w  równowadze  pod  działaniem  sił 

zewnętrznych,  składowych  reakcji  podpór  oraz  sił  w  prętach,  przez  które  poprowadzono 
przekrój (rys. 3b), 

3)  W odniesieniu do wydzielonej części kratownicy zapisuje się równania sumy momentów 

wszystkich  sił  względem  trzech  punktów,  w  których  przecinają  się  parami  kierunki 
poszukiwanych  sił  w  prętach.  Punkty  te  są  nazywane  punktami  Rittera.  Jeśli  dwa 
z prętów, przez które poprowadzono przekrój, są do siebie równoległe, to zapisuje się dwa 
równania  sumy  momentów  wszystkich  sił  działających  na  daną  część  kratownicy 
względem  punktów,  w  których  trzeci  pręt  przecina  się  z  prętami  równoległymi,  oraz 
trzecie równanie sumy rzutów wszystkich sił na oś prostopadłą do prętów równoległych.  

 

a)

b)

P

P

P

R

R

D

D

K

K

R

G

G

x

x

y

α

α

α

α

α

α

 

Rys. 3. Metoda Rittera 

a) kratownica b) obie części kratownicy w równowadze  

(na czerwono zaznaczono punkty Rittera) 

 
  

Opracował: mgr inŜ. Andrzej Leonczuk