Analiza numeryczna

Ćwiczenia nr 8

Słowa kluczowe:

Splajn, splin kubiczny,

1. Skonstruować splajn kubiczny taki, że S(0) = 1, S(1) = 0, S(2) = 2 oraz S

00

(0) = S

00

(2) = 0.

2. Wyznaczyć splajn S o własnościach:

(a) S(x

i

) = y

i

, dla i = 1, . . . , n, x

1

< x

2

< . . . < x

n

,

(b) S ∈ C

(n−1)

(R),

(c) S

(n)

=

(

a

x < ξ

b

x ≥ ξ

, dla ξ ∈ {x

1

, . . . , x

n

}.

3. Niech A ∈ M (n, R) jest macierzą trójdiagonalną symetryczną a

ii

= 4, a

i,i+1

= a

i+1,i

= 1.

Zbadać określoność macierzy A.

4. Niech macierz powstająca przy obliczaniu splajnu kubicznego naturalnego jest postaci

A =








2

λ

0

µ

1

. .. ...
. ..

λ

n−2

µ

n−1

2








, λ

0

≤ 1, µ

n−1

≤ 1, µ

i

+ λ

i

= 1 ∀i, λ

i

, µ

i

> 0.

Pokazać, że macierz A ma rzeczywiste wartości własne leżące w przedziale [a, b].

5. Sprawdzić, czy wzór określa funkcję sklejaną stopnia 2

f (x) =











x

x ∈ (−∞, 1)

−

1
2

(2 − x)

2

+

3
2

x ∈ [1, 2]

3
2

x ∈ (2, ∞)

.

6. Sprawdzić, dla jakich wartości parametrów a, b, c, d, e

f (x) =











a(x − 2)

2

+ b(x − 1)

3

x ∈ (−∞, 1]

c(x − 1)

2

x ∈ (1, 3]

d(x − 2)

2

+ e(x − 3)

3

x ∈ (3, ∞)

jest funkcją sklejaną sześcienną.