TWIERDZENIE O ISTNIENIU RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ
Twierdzenie
(
o istnieniu różniczki zupełnej
)
Niech
U
x
U
f
U
s
n
0
,
:
,
Top
R
R
j
x
f
n
j
,...,
1
niech
oraz
w każdym punkcie zbioru U.
pochodne
cząstkowe
Jeśli
0
...,
,
1
x
C
x
f
n
j
j
każda pochodna cząstkowa
jest ciągła w punkcie x
0
f
d
x
0
o
1
to
istnieje różniczka
w punkcie x
0
.
...,
,
dla
2
oraz
1
1
0
o
0
n
n
j
n
j
j
x
R
h
h
h
h
x
x
f
h
f
d
Dowód
Wystarczy rozważyć przypadek s=1, a poźniej utworzyć kombinację liniową rozwiązań
utworzonych dla poszczególnych składowych.
Niech s=1.
1
0
Załóżmy, że n=2.
Wybieramy punkt
.
)
,
(
2
1
U
x
x
x
Wtedy
.
)
,
(
:
0
U
r
x
K
r
Niech
)).
0
,
0
(
)
,
(
tzn.
(
0
i
)
),
0
,
0
((
)
,
(
2
1
2
1
h
h
h
r
K
h
h
h
Przedstawmy przyrost f
funkcji f w punkcie x w postaci sumy dwóch różnic:
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
,
,
,
,
x
x
f
x
h
x
f
x
h
x
f
h
x
h
x
f
x
f
h
x
f
f
Ponieważ funkcja
,
1
1
h
x
f
jest ciągła i różniczkowalna w [x
2
, x
2
+h
2
] zatem, na podstawie
twierdzenia Lagrange'a
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
,
)
,
(
)
,
(
:
,
c
h
x
x
f
h
x
h
x
f
h
x
h
x
f
h
x
x
c
Podobnie, ponieważ funkcja
2
, x
f
jest ciągła i różniczkowalna w [x
1
, x
1
+h
1
] zatem, na
podstawie twierdzenia Lagrange'a otrzymujemy
.
,
)
,
(
)
,
(
:
,
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
x
c
x
f
h
x
x
f
x
h
x
f
h
x
x
c
Stąd
.
,
,
)
(
)
(
2
1
1
2
2
2
1
1
1
c
h
x
x
f
h
x
c
x
f
h
x
f
h
x
f
Obliczamy resztę
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
,
,
,
,
,
,
,
,
)
(
x
x
x
f
c
h
x
x
f
h
x
x
x
f
x
c
x
f
h
h
x
x
x
f
h
x
x
x
f
c
h
x
x
f
h
x
c
x
f
h
h
f
d
x
f
h
x
f
h
r
x
x
a następnie sprawdzamy, czy jest o(h),
2
1
2
2
1
1
0
)
,
(
gdy
2
1
2
2
1
1
2
ogr.
2
2
1
1
1
1
1
.
ogr
1
,
,
0
,
,
,
,
2
1
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
c
h
x
x
f
h
h
x
x
x
f
x
c
x
f
h
h
h
h
r
h
h
x
Przy obliczaniu granicy skorzystaliśmy z następujących implikacji:
2
0
2
2
0
2
2
2
1
0
1
1
0
1
1
1
2
2
1
1
0
0
x
c
x
h
x
h
x
c
x
h
x
h
h
h
h
h
2
0
Dla n > 2 stosujemy tzw. “zasadę łańcucha”. tzn. przyrost funkcji rozkładamy na sumę n
różnic:
],
[
1
1
0
1
1
0
0
0
j
k
k
k
n
j
j
k
k
k
e
h
x
f
e
h
x
f
x
f
h
x
f
gdzie e
1, ... ,
e
n
- wektory bazy kanonicznej w
n
R i postępujemy analogicznie jak w punkcie 1
0
.
c
opracował Jacek Zańko
2