1
KINEMATYKA
Kinematyka
Pojęcia pola prędkości
Strumień objętości i strumień masy
Równanie ciągłości
1
KINEMATYKA
Kinematyka
Pojęcia pola prędkości
Strumień objętości i strumień masy
Równanie ciągłości
2
Kinematyka
Kinematyka zajmuje się analitycznym opisem przepływów niezależnie
od przyczyn (sił) jakie ten ruch wywołały.
Główne zadanie polega na określeniu prędkości (
v
) i przyspieszenia
(
a
) dowolnego elementu płynu w dowolnej chwili (
t
)
Klasyfikacja przepływów
Wektorowe pole prędkości ogólnie opisuje funkcja
v
=
v
(
x,y,z,t
)
Różne kryteria klasyfikacji przepływów
Ze względu na zależność od czasu
nieustalone (niestacjonarne)
ustalone (stacjonarne)
Ze względu na ilość współrzędnych
trójwymiarowe (przestrzenne)
dwuwymiarowe (płaskie, osiowosymetryczne,...)
jednowymiarowe
…….
3
Opis przepływu wg Lagrange’a
Metoda analitycznego opisu
przepływów w której rozpatruje się
ruch elementów płynu wzdłuż ich
torów.
Identyfikacja elementu – za pomocą
współrzędnych w chwili
t
=
t
0
0
0
)
(
r
k
j
i
r
c
b
a
t
Wektor-promień r, określający
położenie elementu w chwili
t>t
0
zależy od
a,b,c,t
a,b,c,t
– zmienne Lagrange’a
x
z
y
O
a
r
i
j
k
b
P (t )
0
0
P(t)
c
0
r
D
r
y
x
z
Opis przepływu wg Lagrange’a
Wektor -promień
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
(
0
t
c
b
a
z
z
t
c
b
a
y
y
t
c
b
a
x
x
z
y
x
t
k
j
i
r
r
r
Jeżeli w równaniach zmieniamy
t
to otrzymujemy równania toru
elementu płynu, który w chwili
t
=
t
0
był w punkcie
P
0
(
a,b,c
)
Jeżeli zmieniamy
a,b,c
– to otrzymujemy przestrzenny rozkład
elementów płynu w chwili
t
Indywidualnie traktuje poszczególne elementy płynu, opisując ich
położenie i zmianę stanu zachodzącą w czasie
Stosuje się w przypadkach, gdy istotne jest określenie zmian
parametrów przepływu wzdłuż toru elementu
x
z
y
O
a
r
i
j
k
b
P (t )
0 0
P(t)
c
0
r
D
r
y
x
z
4
Opis przepływu wg Eulera
Polega na badaniu ruchu kolejnych elementów płynu przepływających
przez wybrany punkt przestrzeni
Metoda Eulera – analiza lokalna przepływów
Każda wielkość fizyczna jest przedstawiana w funkcji czasu i
współrzędnych położenia x,y,z
x,y,z,t – współrzędne Eulera
)
,
,
,
(
)
,
(
t
z
y
x
t
v
r
v
v
Pochodna substancjalna
Interesuje nas wyrażenie zmian dowolnej wielkości związanej z elementem
płynu w czasie
Określimy przyspieszenia elementu płynu który w danym momencie czasu
przechodzi przez punkt (x,y,z)
Prędkość elementu płynu jest funkcją
Wektor przyspieszenia jest pochodną zupełną wektora prędkości:
z
y
x
v
z
v
y
v
x
t
dt
dz
z
dt
dy
y
dt
dx
x
t
dt
d
v
v
v
v
a
v
v
v
v
v
a
)
),
(
),
(
),
(
(
t
t
z
t
y
t
x
v
v
z
y
x
v
dt
dz
v
dt
dy
v
dt
dx
Dla poruszającego się elementu
płynu jest:
pochodna lokalna
pochodna unoszenia
pochodna substancjalna
5
Tor elementu płynu, linia prądu i inne pojęcia.
Tor elementu płynu
Współrzędne Lagrange’a - tor elementu płynu określony
jest bezpośrednio przez równania parametryczne
Współrzędne Eulera – tor elementu płynu opisany jest
przez równania różniczkowe
dt
v
dz
dt
v
dy
dt
v
dx
z
y
x
,
,
Równania musimy scałkować i wyeliminować parametr
t.
Stałe całkowania określa się z warunków brzegowych.
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
t
c
b
a
z
z
t
c
b
a
y
y
t
c
b
a
x
x
Linia prądu
Linia prądu – linia do której w danej chwili w każdym jej punkcie wektory
prędkości elementów, leżących na tej linii są styczne
x
z
y
O
i
j
k
K
v
ds
z
y
x
v
v
v
dz
dy
dx
d
k
j
i
v
k
j
i
s
6
Linia prądu
Równanie różniczkowe linii prądu
0
k
j
i
k
j
i
0
s
v
)
(
)
(
)
(
dx
v
dy
v
dz
v
dx
v
dy
v
dz
v
dz
dy
dx
v
v
v
d
y
x
x
z
z
y
z
y
x
0
0
0
dx
v
dy
v
dz
v
dx
v
dy
v
dz
v
y
x
x
z
z
y
z
y
x
v
dz
v
dy
v
dx
Inne pojęcia
Rurka prądu - zbiór linii prądu poprowadzony przez punkty dowolnego
zamkniętego konturu
Struga - płyn znajdujący się wewnątrz rurki prądu
Struga jednorodna - w każdym punkcie przekroju poprzecznego strugi prędkość,
gęstość, ciśnienie są takie same.
Struga elementarna - jeśli kontur otacza elementarne pole
dF
Powierzchnia prądu - ciągły zbiór linii prądu
x
z
y
O
i
j
k
K
v
ds
7
Strumień objętości przepływu
Powierzchnia F
nie jest powierzchnią prądu
Obliczamy strumień objętości przepływu
przez powierzchnię F
Elementarny strumień objętości
przepływu:
F
dF
v
n
v
t
v
n
dQ
dF
v
dF
v
d
n
cos
F
v
Całkowity strumień objętości
przepływu przez powierzchnię
F
:
F
n
F
dF
v
d
Q
F
v
F
n
śr
dF
v
F
v
1
s
m
F
v
Q
śr
/
3
V
Q
Używane nazwy:
strumień objętości przepływu
objętościowe natężenie przepływu
Strumień masy przepływu
Dla płynów ściśliwych ze względu na zmienną gęstość stosujemy
strumień masy przepływu:
Jeżeli płyn jest nieściśliwy:
]
[
kg/s
dF
v
d
Q
F
n
F
m
F
v
Uwaga na symbole:
m
Q
m
F
v
Q
d
Q
m
sr
F
m
F
v
Używane nazwy:
strumień masy przepływu
masowe natężenie przepływu
8
Równanie ciągłości
Vdt
z
v
Vdt
y
v
Vdt
x
v
zdt
y
x
x
v
v
zdt
y
v
z
y
x
x
x
x
D
D
D
D
D
D
D
D
)
(
,
)
(
)
(
)
(
Analogicznie dla
pozostałych kierunków
Równanie ciągłości
Vdt
z
v
y
v
x
v
z
y
x
D
)
(
)
(
)
(
Dla wszystkich trzech kierunków:
Przyrost ilości substancji zmagazynowanej w objętości
D
V
w czasie
dt
:
dt
t
V
D
)
(
Uwzględniając, że objętości
D
V
nie zmienia się w czasie
dt
:
Vdt
t
D
Otrzymane wyrażenia (*) i (**) muszą być sobie równe:
(*)
(**)
Vdt
z
v
y
v
x
v
Vdt
t
z
y
x
D
D
)
(
)
(
)
(
9
Równanie ciągłości
Słuszne dla płynu idealnego oraz lepkiego
0
)
(
)
(
)
(
z
v
y
v
x
v
t
z
y
x
0
z
v
y
v
x
v
z
y
x
Dla przepływu nieściśliwego ustalonego
i nieustalonego
Równanie ciągłości dla nieustalonego przepływu przestrzennego płynu
ściśliwego
Przepływ jednowymiarowy (struga jednorodna)
Struga jednorodna, więc:
prędkość i gęstość w każdym punkcie przekroju
poprzecznego strugi jest jednakowa (w danej chwili)
Równanie ciągłości strugi jednorodnej
w nieustalonym przepływie płynu
ściśliwego:
0
)
(
)
(
s
vF
t
F
Dla płynu nieściśliwego:
0
)
(
)
(
s
vF
t
F
Dla przepływu ustalonego płynu ściśliwego:
0
)
(
s
vF
czyli
const
m
Q
vF
m
10
Równanie ciągłości strugi
Masowe natężenie przepływu płynu ściśliwego w każdym przekroju
poprzecznym strugi ma stałą wartość.
Dla płynu nieściśliwego, możemy stosować objętościowe natężenie
przepływu
W przypadku płynu nieściśliwego prędkość ustalonego przepływu w
strudze zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do przekroju strugi
W ruchu ustalonym struga nie może ulec przerwaniu
Jeżeli struga o przekroju
F
i prędkości v
rozdziela się na
n
strug o
przekrojach
F
i
w których płyn porusza się z prędkością v
i
to:
const
Q
vF
n
i
i
i
v
F
Fv
1
Równanie ciągłości strugi
Jeżeli zastosujemy równanie ciągłości do układu krwionośnego możemy stwierdzić dlaczego w
naczyniach włoskowatych prędkość krwi jest bardzo mała (przyjmujemy pewne uproszczenie
złożonego układu).
Średnica aorty wynosi ok. 2,3cm – powierzchnia przekroju poprzecznego F=4 cm
2
Zakładając że przez aortę płynie Q=5 Litrów/minutę to prędkość krwi w aorcie wynosi:
Q=v*F v=Q/F=20,8 cm · s
-1
Zakładając, że całkowita powierzchnia poprzeczna wszystkich naczyń włoskowatych wynosi
F
k
=4800 cm
2
,to średnia prędkość w tych naczyniach wyniesie:
v
k
=Q/F
k
=0,017 cm ·s
-1
.
11