Ruch orbitalny – prawa Keplera
elementy mechaniki nieba
(Wykorzystano materiały profesora J. Rogowskiego)
Ruch orbitalny – prawa Keplera
elementy mechaniki nieba
(Wykorzystano materiały profesora J. Rogowskiego)
Podstawy dynamiki ruchu orbitalnego
Równanie ruchu - ograniczone zadanie dwóch ciał
Ograniczone zadanie dwóch ciał – założenia
W przestrzeni
znajdują się dwa ciała
Z i S (satelita).
Ciała można zastąpić masami
punktowymi odpowiednio M i m
skupionymi w ich
środkach mas.
Układ współrzędnych x,y,z jest
układem inercjalnym, to znaczy:
początek układu współrzędnych
bądź jest w spoczynku, bądź też
porusza
się ze stałą prędkością oraz
nie ma rotacji
układu.
Z
– ciało o większej masie M
tzw. ciało centralne
S
– satelita (m)
a
r
,
-
wektory wodzące ciał w
układzie inercjalnym
M, m
– masy ciał
Układ inercjalny to taki w którym wyznaczone przyspieszenie jest zgodne z
II prawem dynamiki Newtona
II prawo dynamiki Newtona
F
a
d
2
2
dt
m
=
Stosując oznaczenie
`
2
2
dt
a
d
a
=
2
a
`
2
dt
d
a
=
Otrzymamy
F
a
m
=
Prawo powszechnego ciążenia
(2.1)
M
F
r
r
m
G
3
-
=
(2.2)
gdzie: G – stała grawitacji
Przyspieszenie satelity
)
(
r
S
możemy uzyskać porównując siły opisane wzorem
(2.1) i (2.2).
Otrzymamy następujące zależności:
Mm
r
r
G
a
M
3
=
- dla satelity
r
Mm
r
r
G
m
2
-
=
-
dla ciała centralnego
po przekształceniu otrzymamy
M
r
3
r
G
a
=
(2.3)
r
m
r
3
r
G
-
=
(2.4)
różniczkując dwukrotnie względem czasu otrzymamy:
Ponieważ:
a
r
-
=
r
r
a
r
-
=
podstawiając (2.3) i (2.4) otrzymamy po uporządkowaniu:
r
3
r
(
)
m
M
G
r
+
-
=
gdzie:
(
)
m
=
+
m
M
G
(2.5)
(2.6)
to tzw. parametr grawitacyjny
Podstawiając (2.6) do (2.5) otrzymamy po uporządkowaniu:
3
r
r
0
=
+
r
m
(2.7)
Jest to wektorowe równanie ruchu w ograniczonym zadaniu dwóch ciał
(tzw. zadanie Keplera).
Przechodząc do równań skalarnych otrzymamy trzy następujące równania:
(2.8)
Dla układu Ziemia - sztuczny satelita
14
10 m
3
s
-2
986
.
3
=
m
Rozważając układ trzech równań (2.8) różniczkowych drugiego rzędu otrzymamy
6 stałych parametrów opisujących elementy tzw. orbity keplerowskiej.
Odpowiedni rozwiązując (całkując te równania) dostaniemy zarówno elementy
orbity jako stałe całkowania jak i odtworzymy prawa Keplera (wychodząc tylko
od Newtona!)
0
0
0
3
3
3
=
+
=
+
=
+
z
r
z
y
r
y
x
r
x
m
m
m
I Każda planeta porusza się po orbicie, która jest elipsa dookoła
Słońca, które znajduje się w jednym z ognisk elipsy
II Promień wodzący planety zakreśla w równych interwałach czasu
wycinki elipsy o równej powierzchni (stała prędkość polowa)
III Kwadrat okresu obiegu każdej planety jest wprost proporcjonalny
do trzeciej potęgi średniego promienia wodzącego planety (duża
półoś elipsy)
Oryginalne sformułowanie praw Keplera (lata 1609 i 1619 r.)
Prawa Keplera (I)
Ruch ciał wokół ciała centralnego odbywa się po jednej z krzywych
stożkowych (koło, elipsa, parabola, hiperbola), środek masy układu ciał
znajduje się w jednym z ognisk krzywej.
Kształt i rozmiar krzywej zależy od
prędkości początkowej ciała S
(o czym będzie mowa dalej).
Z pierwszego prawa Keplera wynika,
że kształt i rozmiar orbity określony
jest przez dużą półoś orbity (a)
i jej mimośród (e).
Krzywe stożkowe
p -
parametr ogniskowy krzywej stożkowej
równanie krzywej stożkowej:
cos
1 e
p
r
+
=
, gdzie parametr ogniskowy
)
1
(
2
e
a
p
-
=
anomalia prawdziwa = 0° perycentrum
)
1
(
1
e
a
e
p
r
p
-
=
+
=
anomalia prawdziwa = 180° apocentrum
)
1
(
1
e
a
e
p
r
a
+
=
-
=
I odwrotnie:
2
a
p
r
r
a
+
=
, zaś
p
a
p
a
r
r
r
r
e
+
-
=
II prawo Keplera
Ciało porusza się ze stałą prędkością polową, tj. pole zakreślone przez wektor
wodzący w jednostce czasu jest stałe.
r(t)
r(t+
dt)
r(t)
xr(t
+dt
)
-
wektorowa całka pola (stała)
(
)
(
)
dt
t
r
t
r
C
+
=
-
prędkość polowa
C
2
1
s
=
C
const
=
Z drugiego prawa Keplera wynika, że orbita
jest krzywa płaską zajmująca stałe położenie
w przestrzeni.
W układzie współrzędnych jej
położenie będzie opisane przez
dwa stałe parametry.
II prawo Keplera
III prawo Keplera
Okres obiegu ciała jest funkcją parametru grawitacyjnego
(
)
m
i dużej półosi orbity (a)
(2.9)
2
3
2
a
T
m
=
μ = GM
nazywamy heliocentryczną stałą grawitacji
(geocentryczną dla satelitów Ziemi: wówczas M
Z
)
dla planet dokładnej:
2
3
)
(
2
a
m
M
G
T
+
=
bo III prawo Keplera:
3
2
2
)
(
4
a
m
M
G
T
+
=
Sam Kepler spostrzegł zależność:
3
2
3
1
2
2
2
1
a
a
T
T
=
W przypadku ciał nie różniących się bardzo masą oba krążą
wokół wspólnego środka mas i prawa Keplera dalej obowiązują
tyle, że względem tego środka i μ = G(M
1
+M
2
)
Zależność pomiędzy kształtem orbity i prędkością początkową.
Oznaczając przez
r – wektor wodzący satelity
h – wysokość satelity nad Ziemią
R – średni promień Ziemi
e – mimośród orbity
Możemy policzyć prędkości jakie muszą być nadane satelici by mógł się utrzymać
na orbicie kołowej.
orbita kołowa
0
=
e
r
m
v
k
=
gdzie - prędkość
v
orbita eliptyczna
1
0
<
<
e
R
h
v
v
k
e
+
>
2
2
orbita paraboliczna
orbita hiperboliczna
1
=
e
2
k
p
v
v
=
1
>
e
2
k
h
v
v
>
Mimośród (e)
kształt orbity
Energia mechniczna
0
kołowa
E < 0
(0,1)
eliptyczna
E < 0
1
paraboliczna
E = 0
>1
hiperboliczna
E > 0
Dobrą metodą wytłumaczenia rodzajów orbit jest wprowadzenie pojęcia potencjału
efektywnego, który tworzy studnię potencjału – jej najniższym punktem jest promień orbity
kołowej.
U
T
r
U
r
ml
r
m
E
~
)
(
2
2
1
2
2
2
+
=
+
+
=
gdzie l=L/m – właściwy moment pędu
2
2
2
~
mr
L
r
k
U
+
-
=
Całkę energii mechanicznej na orbicie można sprowadzić do:
-
=
a
r
GM
v
E
1
2
2
dla elipsy
r
GM
v
P
2
2
=
dla paraboli
+
=
a
r
GM
v
H
1
2
2
dla hiperboli.
2
2
2
2
a
b
a
e
-
=
Okres orbitalny:
2
3
2
a
T
m
=
, gdzie μ = GM
zależy od
wysokości (LEO - 85 min, GPS – 12 h, GEO – 24h)
masy planety (np. LEO Ziemia – 85 min, Mars 5 h, Księżyc 10 h)
Prędkości na orbicie eliptycznej:
e
e
A
v
P
v
-
+
=
1
1
)
(
)
(
Np. dla Ziemi
03397
.
1
9833
.
0
0167
.
1
)
(
)
(
=
=
A
v
P
v
Trzecie prawo Keplera dla M>>m można zapisać w postaci:
n
2
a
3
=1
Pierwsza, druga i trzecia prędkość kosmiczna
I prędkość kosmiczna to prędkość jaką należałoby nadać satelicie aby utrzymał
się na orbicie kołowej
Dla
0
=
h
otrzymamy:
sek
km
6371
986
m
R
v
9
.
7
10
.
3
5
1
=
=
=
w rzeczywistości biorąc pod uwagę opór atmosfery musimy ją obliczyć dla h>0
II prędkość kosmiczna to prędkość jaką należy nadać ciału aby mogło
opuścić orbitę Ziemi (czyli osiągnęło prędkość paraboliczną)
sek
km
2
2
v
v
2
.
11
9
.
7
1
2
=
=
=
III prędkość kosmiczna – konieczna dla opuszczenia Układu Słonecznego
Z
p
v
v
v
Z
-
=
3
gdzie:
Z
p
v - prędkość paraboliczna dla okołosłonecznej
orbity po której porusza się Ziemia
Z
v -
prędkość Ziemi w jej ruchu po orbicie
sek
km
v
Z
8
.
29
=
km
2
sek
v
Z
p
3
.
42
8
.
29
=
=
sek
km
v
5
.
12
8
.
29
3
.
42
3
=
-
=
Elementy orbity Keplerowskiej, zależność położenia orbity od czasu
S
– satelita
S’ – rzut satelity na sferę niebieską
P
– perigeum (punkt największego
zbliżenia)
i – nachylenie płaszczyzny orbity
do płaszczyzny równika
- argument perigeum
- anomalia prawdziwa
P’ – rzut perigeum na sferę niebieską
- węzeł wstępujący orbity
- rektascensja węzła wstępującego orbity
- anomalia prawdziwa
– kąt pomiędzy dużą półosią orbity i kierunkiem do
satelity
Z
– leży w ognisku elipsy (orbity eliptycznej)
Dla orbity eliptycznej mamy:
Aby
powiązać położenie ciała z czasem musimy znać moment czasu
przejścia satelity przez perigeum (t
p
).
1. określają kształt i rozmiar orbity
a
– duża półoś orbity
e
– mimośród orbity
2. określają położenie płaszczyzny orbity
-
rektascensja węzła wstępującego orbity
i
– nachylenie płaszczyzny orbity do płaszczyzny równika
3. określają położenie orbity w jej płaszczyźnie
- argument perigeum
t
p
– moment przejścia satelity przez perycentrum
Elementy orbity (6
stałych parametrów w ograniczonym
zadaniu
dwóch ciał):
Anomalie:
1. Prawdziwa (
)
– zdefiniowana wyżej
2.
Średnia (M) – odpowiada poruszaniu się fikcyjnego ciała z prędkością
równa średniej prędkości ciała rzeczywistego
2
T
a
3
m
n
=
=
(2.10)
n
– średnia prędkość kątowa satelity
(2.11)
)
(
)
(
3
p
p
t
t
a
t
t
n
M
-
=
-
=
m
3.
Mimośrodowa (definicję przedstawia rysunek)
Gdzie:
F1
– ognisko
e
a
OF
=
1
E
– anomalia mimośrodowa
E
a
X
cos
=
a
E
e
E
b
Y
sin
1
sin
2
-
=
=
)
(cos
cos
e
E
a
ae
E
a
-
=
-
=
x
E
e
a
sin
1
2
-
=
h
0
=
z
(2.12)
oś
z
-
prostopadła do
płaszczyzny orbity
z
,
x
,
h
-
współrzędne w układzie związanym z orbitą.
Anomalia prawdziwa (θ) i mimośrodowa (E)
Anomalię mimośrodową E liczymy na podstawie równania Keplera.
E
e
M
E
sin
+
=
gdzie:
(2.13)
M
– anomalia średnia w momencie czasu t
Dla
małych wielkości mimośrodów możemy obliczyć stosując metodę
kolejnych
przybliżeń (iteracyjnie).
i
i
E
e
M
E
sin
1
+
=
+
(2.14)
w iteracji pierwszej
=
M
E
E
1
1
Iteracje powtarzamy aż do momentu gdy w kolejnych dwóch obliczeniach
uzyskamy tę sama wielkość (z dokładnością wymaganą w konkretnym zadaniu).
Kolejnym krokiem będzie obliczenie współrzędnych w układzie orbitalnym
(
z
,
x
,
h
).
Współrzędne równikowe (
,
) satelity oraz jego promień wodzący (r) w
momencie czasu (t) obliczymy transformując układ
z
,
x
,
h
do układu x,y,z
(związanego z układem równikowym).
Zależność pomiędzy współrzędnymi
ortokartezjańskimi (x,y,z) i sferycznymi (
,
,r)
=
=
z
y
x
r
r
r
r
sin
sin
cos
cos
cos
(2.15)
y
x
arctan
=
2
y
x
+
2
arctan
z
=
2
2
2
z
y
x
r
+
+
=
(2.16)
Transformacja współrzędnych orbitalnych (
z
,
x
,
h
) na
współrzędne równikowe (
,
) i godzinne (t,
)
Zgodnie z rysunkiem 2.1 transformacja przebiega następująco:
-
=
(
,
,
z
R
r
z
y
x
z
h
x
h
x
,
,
)
(
)
(
)
r
R
i
R
-
-
,
, r
– obliczamy ze wzorów 2.16.
Obliczenie współrzędnych godzinnych (t,
).
-
=
S
t
gdzie:
t
– kąt godzinny
S
– prawdziwy miejscowy czas gwiazdowy (sposób obliczenia podany jest w
wykładzie na temat czasów)
θ
θ
Komety maja bardzo urozmaicone
orbity: duże mimośrody, różne
inklinacje.
Badaczem ich orbit był też profesor Kępiński
Znane komety krótkookresowe
Znane komety krótkookresowe (c.d.) i wybrane komety długookresowe
Kometa długookresowa
przelatując koło planety
wielkiej, może stać się
krótkookresową.
Ciekawostki mechaniki nieba
1a) perturbacja rektascenzji węzła wstępującego orbity ze względu na spłaszczenie Ziemi
(orbita heliosynchroniczna - „sun-synchronous”)
1b) ruch ciał spłaszczonych: precesja osi obrotu i precesja orbity
2) eliptyczna orbita transferowa (orbita Hohmanna) – przykład Marsa: okresy okien
startowych w latach opozycji, w przypadku Ziemi analogią jest: GTO (geostationary transfer
orbit)
3) punkty Lagrange’a (problem 3 ciał) – L1, L2 oraz L3 (po drugiej stronie) na linii dwu ciał
masywnych, oraz L4, L5 tworzące z nimi trójkąt równoboczny, ciało pozornie spoczywa
– wykorzystanie przez próbnik Genezis, SOHO (L1), WMAP i Gaia (L2)
4) tory satelitów w układzie ECEF (pętle i siodła):
- strefy ‘martwe’ dla satelitów GPS (na równiku wokół punktu N i S; na średnich
szerokościach nad N i na biegunie wokół zenitu)
- scieżki na powierzchni ziemi (groundtrack), np. dla startu na orbitę geostacjonarną (na
GTO) w najwyższej fazie satelita porusza się wolniej niż obrót ziemi (groundtrak ze wschodu
na zachód)
5) manewry grawitacyjne (Voyager (szczególnie nr 2), Galileo, Cassini, Nozomi)
Najprostszy szacunek grawitacyjnego ‘encounter’ z Jowiszem:
initial
J
final
v
v
v
-
=
2
6) perturbacje (teoria zaburzeń orbit przez niewielkie siły – problem iteracyjny):
- odpalenie silnika styczne do toru- zwiększenie lub zmniejszenie eliptyczności orbity
- atmospheric drag – przykłady Skylab, ISS, MGS, Odyssey itp. (trzeba uwzględniać już od
ok. 1500 km)
- ciśnienie promieniownania (modele dla satelitów GPS, znaczenie w ruchu drobnych ciał,
żagiel słoneczny)
7) doświadczenie Shapiry – promień radiowy muskający Słońce ze względu na GRT (General
Relativity) ulega opóźnieniu o ok. 240
m
s = 36 km, co zostało mierzone z dużą dokładnością
dla próbników Wenus i Marsa (np. Vikingi) w trakcie koniunkcji Marsa/Wenus ze Słońcem.
8) strefy oddziaływania: Ziemia - Księżyc, Słońce – Ziemia (różne od obszarów większej siły
grawitacyjnej)
8a) Siły pływowe
Granica Roche’a (nie mylić ze strefą):
R
const
r
p
k
R
=
3
r
r
gdzie R promień planety; const dla satelity płynnego 2.44, małego ‘stałego’ praktycznie 1.4
Implikacje: księżyce Jowisza (Io, Europa), oraz Saturna (Enceladus) – grzanie pływowe
9) śledzenie bliskich Ziemi obiektów (NEO) – rola rezonansów w orbitach planetoid
10) rezonanse (np. układ Saturna i Jowisza) i chaos (długie prognozy niewykonalne)
Najważniejsze rezonanse:
Merkury: 3 obroty= 2 obiegi Słońca = 1 doba słoneczna
5 obiegów Jowisza = 2 obiegi Saturna
Okresy satelitów Jowisza: 1 Io = 2 Europa = 4 Ganimedes
Fenomeny w układzie Saturna (rola rezonansów od satelitów 'pasterskich' dla stabilności
pierścienia), także inne pierścienie planetarne (wszystkie planety wielkie mają pierścienie!)
11) dynamika gromad gwiazd (konfiguracje izotermiczne, gromady otwarte i zamknięte –
kuliste, teoria kollapsu-kryteria Jeans’a)
12) dynamika Galaktyki (fale gęstości – teoria ramion spiralnych, rezonanse).
Lindblada
Zmiany elementów orbity pod wpływem sumy sił perturbujących R
(niesferyczność Ziemi: spłaszczenie/geoida, deformacje Ziemi: pływy
litosfery i oceaniczne, Słońce, Księżyc, planety, atmosfera, ciśnienie
promieniowania, relatywistyka i inne.) (Kaula)
Perturbacje orbity
Siły perturbujące orbitę
satelity Ziemi.
Źródło: Seeber
Perturbacje dzielimy na:
- wiekowe (siła zewnętrzna
nieokresowa)
- okresowe (długookresowe -
wiekowe) i krótkookresowe
- mieszane
Wartości sił perturbujących satelity
na orbicie Ziemi zależy przede
wszystkim od wysokości orbity.
Stąd satelity realizujące układ
odniesienia (GNSS i SLR)
są na orbitach pośrednich
h = 7-25 tys. km.
Źródło: Seeber
Typy
orbit:
LEO
MEO
GEO
GTO
Okres orbitalny:
Błysk satelity systemu Iridium
W początkach geodezji satelitarnej prowadzono
obserwacje optyczne teraz robią to amatorzy.
Obserwacje satelitów – tu ścieżka ISS (Międzynarodowej Stacji Kosmicznej)
Orbita heliosynchroniczna
(synchroniczna ze Słońcem)
ang. sun-synchronous
Orbita ‘sun-synchronous’
Perturbacja rektascenzji węzła wstępującego orbity ze względu na spłaszczenie Ziemi =
‘nadmiar’ masy wokół równika (equatorial bulge):
(
)
i
e
a
a
R
GM
J
dt
d
cos
1
1
2
3
2
2
5
2
2
-
-
=
Odpowiednio dobierając i możemy zsynchronizować rotację linii węzłów ze zmianą kierunku
do Słońca tak aby oświetlenie punktu ‘podorbitalnego’ było zawsze takie samo. Trzeba by:
sec
rad
10
2
2422
.
365
2
5
-
=
dt
d
Np. dla h = 800 km dostajemy i = 98.5°
Inklinacja krytyczna (brak precesji linii węzłów): i
0
= 63°26’.
Efekty relatywistyczne
upływu czasu na
orbicie okołoziemskiej:
- transformacja Lorentza
(STW - czerwony)
- grawitacyjny
(OTW - zielony)
Dla małych ciał o rozmiarach 10 cm- 100 m dominującym
czynnikiem zmieniającym ich orbity jest tzw. efekt Jarkowskiego
Jarkowski (1844-1902) polski inżynier budownictwa pracujący
w Rosji carskiej.
Ciało obracające się w trakcie ruchu orbitalnego zmienia orbitę
ze względu na pęd termicznego promieniowania ze strony oświetlanej
przez Słońce (taki mini-silnik rakietowy).
Jeśli kierunek obrotu jest zgodny z kierunkiem obiegu wypadkowy
pęd powoduje oddalanie od Słońca w tempie 0.1-0.5 AU / 10 mln lat
w obrębie Pas Głównego.
Jeśli kierunek obiegu jest przeciwny do obrotu ciało porusza się po
spirali do wewnątrz Układu Słonecznego.
Dla ciał centymetrowych decydujący jest ciśnienie promieniowania
słonecznego i efekt Pointinga-Robertsona.
Jarkowski
i jego efekt
Ewolucja orbity
‘wycofanego’ satelity GPS
Wykres współrzędnych horyzontalnych
satelitów GPS w ciągu doby
Przykład obrazu orbity w układzie ECEF
(Earth Centered Earth Fixed) – tj. sztywno
związanym z Ziemią
Ścieżka pod-satelitarna (groundtrack) podczas startu satelity GPS RII -13
‘Groundtrack’ przy bezpośrednim starcie na orbitę geostacjonarną
‘Groundtrack’ przy starcie na orbitę biegunową
Orbita typu Mołnia
(groundtrack u dołu)
Orbita (okres 3 dni)
obserwatorium gamma
Integral
- chodzi o uzyskanie
kilkudziesięciu godzin
poza pasami (van Allena)
promieniowania
wokół Ziemi
Orbita (‘transferowa’) Hohmanna
Gm
r
r
T
8
)
(
3
2
1
+
=
Orbita transferowa.
Widać miejsca
gdzie konieczne
jest odpalenie
silnika
(zmiana prędkości).
Energia na orbicie
transferowej pozostaje
stała…
Okna startowe na Marsa trwają ok. 1.5 miesiąca co 2 lata…
(dokładniej 26 miesięcy)
Punkty Lagrange’a (punkty równowagi w uproszczonym modelu 3 ciał)
Punkt L2 jest szczególnie korzystny
dla obserwacji astronomicznych
Wejście na orbitę wokół punktu L2 (WMAP)
Często mówi się po prostu o Trojanach, stąd ‘satelity trojańskie’.
Obiekt może orbitować wokół punktów Lagrange’a.
Trajektoria misji Dawn do planetoid Westa i Ceres
Trajektoria
misji Dawn
Manewry grawitacyjne sondy NOZOMI
Zmiana orbity próbnika
Pionier-10 w trakcie
przelotu koło Jowisza
w 1973 r.
Sondy kosmiczne Voyager-1/2 opuszczające Układ Słoneczny