Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt
1
Metody wygładzania parametrycznego – skrót Cd.
8. Model Holta z trendem multiplikatywnym i sezonowością addytywną M/A w
klasyfikacji Pegelsa
Model zakłada występowanie trendu nieliniowego oraz sezonowości addytywnej. W
modelu wyrównywany jest: poziom szeregu
t
m
, indeks zmian
t
d oraz efekt sezonowy
t
p .
Wartości początkowe w addytywnym wygładzaniu sezonowym z trendem
multiplikatywnym, ustalane są w następujący sposób:
r
s
s
r
y
r
m
1
1
,
1
r
d
r
t
t
m
y
p
;
)
,...,
,
(
r
t
2
1
.
Równania wygładzające mają postać:
)
)(
(
)
(
1
1
1
t
t
r
t
t
t
d
m
p
y
m
,
1
1
1
t
t
t
t
d
m
m
d
)
(
)
/
(
)
,....,
(
T
r
t
1
,
r
t
t
t
t
p
m
y
p
)
(
)
(
1
,
gdzie
1
0
,
1
0
,
1
0
są nieznanymi parametrami wygładzania.
Prognoza wyznaczona w okresie t, na okres (t+j) wynika z trendu liniowego, tzn.
wyznaczona jest na poziomie średniej korygowanej o przyrost wynikający z trendu oraz
dodatkowo korygowana jest addytywnym efektem sezonowym:
r
j
t
j
t
t
p
j
t
p
d
m
y
)
(
,
)
,...,
...,
,
(
j
T
r
t
j
2
1
Podobnie jak w modelach poprzednich stałe wygładzania wyznacza się optymalizując
wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post. Uwaga: optymalne wartości stałych
wygładzania znalezione przez Solver Excela mogą zależeć od wartości początkowych
wybranych dla stałych wygładzania. Warto sprawdzić rozwiązania suboptymalne, jakie
produkuje Solver dla początkowych wartości stałych bliskich zeru oraz w drugiej kolejności
dla ich wartości bliskich jedności.
9. Model Holta-Wintersa z trendem multiplikatywnym i sezonowością multiplikatywną
– M/M w klasyfikacji Pegelsa
Model zakłada występowanie trendu multiplikatywnego oraz sezonowości
multiplikatywnej. W modelu wyrównywany jest zatem: poziom szeregu
t
m
, indeks zmian
t
d
oraz multiplikatywny efekt sezonowy
t
p .
Wartości początkowe w multiplikatywnym wygładzaniu sezonowym z trendem
multiplikatywnym, ustalane są w następujący sposób:
Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt
2
r
s
s
r
y
r
m
1
1
,
1
r
d
,
r
t
t
m
y
p
/
;
)
,...,
,
(
r
t
2
1
.
Równania wygładzające mają postać:
)
)(
(
)
/
(
1
1
1
t
t
r
t
t
t
d
m
p
y
m
,
1
1
1
t
t
t
t
d
m
m
d
)
(
)
/
(
,
)
,....,
(
T
r
t
1
,
r
t
t
t
t
p
m
y
p
)
(
)
/
(
1
,
gdzie
1
0
,
1
0
,
1
0
są nieznanymi parametrami wygładzania.
Prognoza wyznaczona w okresie t, na okres (t+j) wynika z trendu liniowego, tzn.
wyznaczona jest na poziomie średniej korygowanej o przyrost wynikający z trendu oraz
dodatkowo korygowana jest multiplikatywnym efektem sezonowym:
r
j
t
j
t
t
p
j
t
p
d
m
y
,
)
,...,
...,
,
(
j
T
r
t
j
2
1
.
Podobnie jak w modelach poprzednich stałe wygładzania wyznacza się optymalizując
wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.
Metody 1-9 omówione do tej pory dotyczą zatem trzech pierwszych wierszy w tablicy
klasyfikacyjnej Pegelsa, tzn;
1. N/N, N/A, N/M – modele bez trendu,
2. A/N, A/A, A/M – modele z trendem liniowym,
3. M/N, M/A, M/M – modele z trendem multiplikatywnym.
Kolejnych sześć modeli wygładzania wiąże się z koncepcją trendu gasnącego. Może on być
zastosowany zarówno w przypadku addytywnym jak i multiplikatywnym.
10. Model z addytywnym trendem gasnącym bez sezonowości - AD/N w klasyfikacji
Pegelsa
Model zakłada występowanie trendu liniowego gasnącego. W modelu wyrównywany
jest poziom szeregu
t
m
oraz współczynnik kierunkowy trendu
t
d
. W modelu nie są
wygładzane efekty sezonowe.
Wartości początkowe wygładzania definiują równości:
1
1
y
m
,
0
1
d
.
Równania wygładzające mają postać:
)
)(
(
1
1
1
t
t
t
t
d
m
y
m
,
)
,....,
(
T
t
2
Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt
3
1
1
1
t
t
t
t
d
m
m
d
)
(
)
(
,
gdzie
1
0
,
1
0
,
1
0
są nieznanymi parametrami wygładzania.
Szczególne przypadki modelu oraz formuła adaptacyjna są omawiane na wykładzie.
Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu
trendu, tj. na poziomie średniej korygowanej o gasnący przyrost wynikający z trendu, co
zapiszemy:
t
h
t
p
h
t
t
d
m
y
)
....
(
|
2
,
)
,...,
...,
,
(
j
T
t
j
1
2
1
.
Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu
prognoz ex post.
11. Model z Holta-Wintera z addytywnym trendem gasnącym oraz z sezonowością
addytywną - AD/A w klasyfikacji Pegelsa
Model zakłada występowanie trendu liniowego gasnącego oraz sezonowości
addytywnej. W modelu wyrównywany jest: poziom szeregu
t
m
, indeks zmian
t
d oraz efekt
sezonowy
t
p .
Wartości początkowe w addytywnym wygładzaniu sezonowym z trendem
addytywnym, ustalane są w następujący sposób:
r
s
s
r
y
r
m
1
1
,
0
r
d
r
t
t
m
y
p
;
)
,...,
,
(
r
t
2
1
.
Równania wygładzające mają postać:
)
)(
(
)
(
1
1
1
t
t
r
t
t
t
d
m
p
y
m
,
1
1
1
t
t
t
t
d
m
m
d
)
(
)
(
,
)
,....,
(
T
r
t
1
r
t
t
t
t
p
m
y
p
)
(
)
(
1
.
gdzie
1
0
,
1
0
,
1
0
,
1
0
są nieznanymi parametrami wygładzania.
Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu
trendu gasnącego i sezonowości, tj. na poziomie średniej korygowanej o gasnący przyrost
wynikający z trendu oraz korygowanej o odchylenie sezonowe, co zapiszemy:
r
j
t
t
j
t
p
j
t
t
p
d
m
y
)
....
(
|
2
;
)
,...,
...,
,
(
j
T
r
t
j
2
1
.
Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu
prognoz ex post.
Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt
4
12. Model z Holta-Wintera z addytywnym trendem gasnącym oraz z sezonowością
multiplikatywną - AD/M w klasyfikacji Pegelsa
Model zakłada występowanie trendu liniowego gasnącego oraz sezonowości
multiplikatywnej. W modelu wyrównywany jest: poziom szeregu
t
m
, indeks zmian
t
d oraz
efekt sezonowy
t
p .
Wartości początkowe w multiplikatywnym wygładzaniu sezonowym z trendem
addytywnym, ustalane są w następujący sposób:
r
s
s
r
y
r
m
1
1
,
0
r
d
r
t
t
m
y
p
/
;
)
,...,
,
(
r
t
2
1
.
Równania wygładzające mają postać:
)
)(
(
)
/
(
1
1
1
t
t
r
t
t
t
d
m
p
y
m
,
1
1
1
t
t
t
t
d
m
m
d
)
(
)
(
,
)
,....,
(
T
r
t
1
r
t
t
t
t
p
m
y
p
)
(
)
/
(
1
,
gdzie
1
0
,
1
0
,
1
0
,
1
0
są nieznanymi parametrami wygładzania.
r
j
t
t
j
t
p
j
t
t
p
d
m
y
}
)
....
(
{
|
2
,
)
,...,
...,
,
(
j
T
r
t
j
2
1
.
Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu
prognoz ex post.
13. Model z Holta-Wintera z multiplikatywnym trendem gasnącym - MD/N w
klasyfikacji Pegelsa
Model zakłada występowanie trendu multiplikatywnego gasnącego. W modelu
wyrównywany jest: poziom szeregu
t
m
oraz indeks zmian
t
d .
Wartości początkowe w addytywnym wygładzaniu sezonowym z trendem
multiplikatywnym, ustalane są w następujący sposób:
1
1
y
m
,
1
r
d
.
Równania wygładzające mają postać:
)
)(
(
1
1
1
t
t
t
t
d
m
y
m
,
Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt
5
11
1
1
t
t
t
t
d
m
m
d
)
(
)
/
(
,
)
,....,
(
T
t
2
.
gdzie
1
0
,
1
0
,
1
0
są nieznanymi parametrami wygładzania.
Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu
trendu gasnącego i sezonowości, tj. na poziomie średniej korygowanej o gasnący przyrost
wynikający z trendu oraz korygowanej o odchylenie sezonowe, co zapiszemy:
)
....
(
|
j
t
t
p
j
t
t
d
m
y
2
;
)
,...,
...,
,
(
j
T
r
t
j
2
1
.
Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu
prognoz ex post.
14. Model z Holta-Wintera z multiplikatywnym trendem gasnącym oraz z sezonowością
addytywną - MD/A w klasyfikacji Pegelsa
Model zakłada występowanie trendu multiplikatywnego gasnącego oraz sezonowości
addytywnej. W modelu wyrównywany jest: poziom szeregu
t
m
, indeks zmian
t
d oraz efekt
sezonowy
t
p .
Wartości początkowe w addytywnym wygładzaniu sezonowym z trendem
multiplikatywnym, ustalane są w następujący sposób:
r
s
s
r
y
r
m
1
1
,
1
r
d
r
t
t
m
y
p
;
)
,...,
,
(
r
t
2
1
.
Równania wygładzające mają postać:
)
)(
(
)
(
1
1
1
t
t
r
t
t
t
d
m
p
y
m
,
11
1
1
t
t
t
t
d
m
m
d
)
(
)
/
(
,
)
,....,
(
T
r
t
1
r
t
t
t
t
p
m
y
p
)
(
)
(
1
.
gdzie
1
0
,
1
0
,
1
0
,
1
0
są nieznanymi parametrami wygładzania.
Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu
trendu gasnącego i sezonowości, tj. na poziomie średniej korygowanej o gasnący przyrost
wynikający z trendu oraz korygowanej o odchylenie sezonowe, co zapiszemy:
r
j
t
t
t
p
j
t
t
p
d
m
y
j
)
(
)
....
(
|
2
;
)
,...,
...,
,
(
j
T
r
t
j
2
1
.
Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu
prognoz ex post.
Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt
6
15. Model z Holta-Wintera z multiplikatywnym trendem gasnącym oraz z sezonowością
multiplikatywną - MD/M w klasyfikacji Pegelsa
Model zakłada występowanie trendu multiplikatywnego gasnącego oraz sezonowości
multiplikatywnej. W modelu wyrównywany jest: poziom szeregu
t
m
, indeks zmian
t
d oraz
efekt sezonowy
t
p .
Wartości początkowe w multiplikatywnym wygładzaniu sezonowym z trendem
multiplikatywnym, ustalane są w następujący sposób:
r
s
s
r
y
r
m
1
1
,
1
r
d
r
t
t
m
y
p
/
;
)
,...,
,
(
r
t
2
1
.
Równania wygładzające mają postać:
)
)(
(
)
/
(
1
1
1
t
t
r
t
t
t
d
m
p
y
m
,
11
1
1
t
t
t
t
d
m
m
d
)
(
)
/
(
,
)
,....,
(
T
r
t
1
r
t
t
t
t
p
m
y
p
)
(
)
/
(
1
.
gdzie
1
0
,
1
0
,
1
0
,
1
0
są nieznanymi parametrami wygładzania.
Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu
trendu gasnącego i sezonowości, tj. na poziomie średniej korygowanej o gasnący przyrost
wynikający z trendu oraz korygowanej o odchylenie sezonowe, co zapiszemy:
r
j
t
t
t
p
j
t
t
p
d
m
y
j
)
....
(
|
2
;
)
,...,
...,
,
(
j
T
r
t
j
2
1
.
Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu
prognoz ex post.