SD ( stany dynamiczne) obwodów
SLS
i
1
(t)
i
2
(t)
……
i
N
(t)
u
1
(t)
u
2
(t)
……
u
N
(t)
W
e1
(t)
W
e2
(t)
……
W
eo
(t)
p
1
(t)
p
2
(t)
……
p
N
(t)
W
L1
(t)
W
L2
(t)
……
W
Ln
(t)
W
M1
(t)
W
M2
(t)
……
W
Mm
(t)
W
C1
(t)
W
C2
(t)
……
W
Cp
(t)
W
R1
(t)
W
R2
(t)
……
W
Rk
(t)
W
j1
(t)
W
j2
(t)
……
W
jr
(t)
Energia „stracona” w elementach dyssypatywnych
Energia „zgromadzona” w elementach konserwatywnych
Energia „przetworzona” w elementach źródłowych
Stany Dynamiczne w obwodzie SLS związane są z zaistnieniem KOMUTACJI.
Komutacja – jakakolwiek zmiana czegokolwiek w obwodzie !
– Zwarcie lub rozwarcie gałęzi;
– Włączenie ( wyłączenie ) autonomicznego napięciowego ( prądowego ) źródła energii;
– Zmiana parametrów własnych lub wzajemnych gałęzi ;
–
itd.
Przykłady
1). Komutacja typu rozwarcie gałęzi ( uszkodzenie elementu ):
≈
u
o
(t)
≈
u
o
(t)
Chwila komutacji
u
o
(t)
C
R
D
Ts
C
R
C
R
Komutacja !
Ts
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
2). Włączenie zasilania ( autonomicznego źródła napięcia ) w obwodzie:
Chwila przed komutacją
Chwila po komutacji !
ON !
Komutacja
t
0–
t
0
t
0+
t
3).
t
0
= 0
R
L
E
i(t)
t < 0, i(t)
≡ 0 A
t
>> 0, i(t) ≡ G
⋅E [A]
?
Stan przed komutacją
Stan ustalony
Stan dynamiczny
Chwila komutacji
t
R
L
e(t)=E⋅1(t)
i(t)
i(0
–
)
– dana początkowa
i(0
+
)
– warunek początkowy
i(∞)
– stan ustalony
e(t)
t
E
Definicja: Funkcja Heaviside’a ( skok jednostkowy, funkcja jednostkowa)
1(t)
t
⎩
⎨
⎧
≥
<
=
0
,
1
0
,
0
)
(
x
x
x
1
1
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Pseudo Funkcja Impulsowa – Delta Dirac’a
δ(t)
1
ε
t
1(t,
ε)
ε
t
δ(t,ε)
1
ε
t
δ(t)
)
ε
,
δ(
lim
)
δ(
0
ε
t
t
→
=
t
t
t
d
)
ε
,
(
d
)
ε
,
δ(
1
=
1
d
)
δ(
=
∫
+∞
∞
−
t
t
A= 1
⎩
⎨
⎧
=
∞
+
≠
=
0
dla
0
dla
0
)
δ(
t
t
t
)
ε
,
(
1
lim
)
(
1
0
ε
t
t
→
=
t
t
t
d
)
(
d
)
δ(
1
=
1
1(t,
ε)
Prawa Komutacji
Element R – możliwa skokowa zmiana napięcia i prądu;
Element L – musi być zachowana ciągłość prądu (strumienia skojarzonego)
Dowód
( przez negację )
:
Zał. – w chwili komutacji
t
= 0 następuje skokowa zmiana prądu płynącego w elemencie L:
t
I
0–
I
0+
i(t)
t = 0
i(t)|
t=0+
= I
0+
i(t)= I
0–
+ ( I
0+
– I
0–
) ⋅1(t)
Energia zgromadzona w elemencie L w chwili komutacji:
0
2
0
0
)
(
L
2
1
)
(
)
(
ψ
2
1
)
(
=
=
=
⋅
=
⋅
=
t
t
t
L
t
i
t
i
t
t
w
Moc chwilowa przetwarzania energii w elemencie L w chwili komutacji:
0
0
2
0
)
(
)
(
L
)
(
L
2
1
)
(
)
(
=
=
=
∂
∂
⋅
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
∂
∂
=
∂
∂
=
t
t
t
L
L
t
t
i
t
i
t
i
t
t
t
w
t
p
?
!
!
)
(
δ
A
)
(
0
0
∞
+
→
⋅
=
=
=
t
t
L
t
t
p
qed.
Element C – musi być zachowana ciągłość napięcia ( ładunku ).
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Prawa komutacji dla niezdegenerowanych obwodów SLS
i
L
(0
–
)
≡ i
L
(0
+
)
u
C
(0
–
)
≡ u
C
(0
+
)
Jeśli znamy wartości prądów i napięć bezpośrednio przed komutacją,
to znamy je także bezpośrednio po komutacji.
Degeneracje w obwodach SLS
są to obwody w których występują:
–
Oczka pojemnościowe ( OC );
–
Pęki indukcyjne ( PL )
i mogące generować odpowiedzi zawierające delty Dirac’a.
C
1
C
2
C
3
e
!
NPK (!): u
C1
+ u
C2
+ u
C3
+ e = 0
Oczko Pojemnościowe
L
1
L
2
j
Pęk Indukcyjny
!
PPK (!): i
L1
+ i
L2
+ j = 0
W OC elementy: C, e
– są zależne ( NPK ) !
W PL elementy: L, j
– są zależne ( PPK )!
Prawa komutacji dla zdegenerowanych obwodów SLS
i
L
(0
–
)
→ i
L
(0
+
)
u
C
(0
–
)
→ u
C
(0
+
)
Jeśli znamy wartości prądów i napięć bezpośrednio przed komutacją,
to musimy wyliczyć ich wartości bezpośrednio po komutacji.
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Rząd obwodu SLS: r = ( n
C
– n
OC
) + ( n
L
– n
PL
)
Modele elementów konserwatywnych
T
→0
–
T
→0
+
t
→ + ∞
L
i(0
–
)
A
B
J = i(0+) ≠ 0
A
B
A
B
J = i(0+) = 0
A
B
U = 0
UWAGA !!!
Jeśli wszystkie wymuszenia są
postaci:
w(t)= A
⋅1(t) i w
obwodzie nie powstaną drgania
samowzbudne.
C
u(0
–
)
A
B
A
B
U = u(0+) ≠ 0
A
B
U = u(0+) = 0
A
B
J = 0
UWAGA !!!
Jeśli wszystkie wymuszenia są
postaci:
w(t)= A
⋅1(t) i w
obwodzie nie powstaną drgania
samowzbudne.
Przykład
W pokazanym na rysunku obwodzie SLS nie jest zgromadzona energia. W
chwili
t = 0 zostaje włączone autonomiczne źródło napięcia stałego. Wyznaczyć wartości
początkowe prądów i napięć oraz ich pochodnych. Dane: E, R
1
, R
2
, L, C.
e(t)=E1(t)
R
1
R
2
L
C
E
R
1
R
2
L
C
i(t)
i
C
(t)
u
C
(t)
i
RL
(t)
u
L
(t)
u
2
(t)
u
1
(t)
i(0
+
)
i
C
(0
+
)
u
C
(0
+
)
i
RL
(0
+
)
u
L
(0
+
)
u
2
(0
+
)
u
1
(0
+
)
Chwila: t = 0
–
Chwila: t = 0
+
Bezpośrednio PRZED komutacją ( włączeniem źródła e(t) ):
e(0
–
)= 0 [V];
i(0
–
)= i
C
(0
–
)= i
RL
(0
–
)= 0 [A];
u
1
(0
–
)= u
C
(0
–
)= u
R
(0
–
)= u
L
(0
–
)= 0 [V];
Bezpośrednio PO komutacji ( włączeniu źródła e(t) ):
Prądy: i(0
+
)= i
C
(0
+
)= G
1
⋅E
i
RL
(0
+
)= 0
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Napięcia:
u
1
(0
+
)= R
1
⋅
i(0
+
)= R
1
⋅
G
1
⋅E = E
u
2
(0
+
)= R
2
⋅
i
RL
(0
+
)= R
2
⋅
0= 0
0
)
0
(
)
(
C
1
)
0
(
0
0
=
+
=
∫
+
→
−
+
t
C
C
C
u
dt
t
i
u
u
L
(0
+
)= u
C
(0
+
) – u
2
(0
+
)= 0
Pochodne:
0
d
)
0
(
d
L
)
0
(
RL
L
=
=
+
+
t
i
u
→
0
d
)
0
(
d
RL
=
+
t
i
0
0
R
d
)
0
(
d
R
d
)
0
(
d
2
RL
2
2
=
⋅
=
⋅
=
+
+
t
i
t
u
→
0
d
)
0
(
d
2
=
+
t
u
u
L
(0
+
) = u
C
(0
+
) – u
2
(0
+
)
)
0
(
C
1
d
)
0
(
d
d
)
0
(
d
d
)
0
(
d
d
)
0
(
d
C
C
2
C
L
+
+
+
+
+
=
=
−
=
i
t
u
t
u
t
u
t
u
→
E
G
t
u
⋅
⋅
=
+
1
L
C
1
d
)
0
(
d
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
∂
∂
∫
t
t
i
t
t
i
d
i
t
0
RL
2
RL
C
)
(
R
d
)
(
d
L
)
(
C
1
τ
τ
t
t
i
t
t
i
t
i
d
)
(
d
R
d
)
(
d
L
)
(
C
1
RL
2
2
RL
2
C
+
=
→
1
2
RL
2
R
E
LC
1
d
)
0
(
d
=
+
t
i
t
i
t
u
2
RL
2
2
2
2
2
d
)
0
(
d
R
d
)
0
(
d
+
+
⋅
=
→
1
2
2
2
2
R
E
LC
1
R
d
)
0
(
d
⋅
=
+
t
u
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Przykład
Obwód SLS pokazany na rysunku znajduje się w stanie ustalonym. W chwili t=
0 zamknięto wyłącznik W. Wyznaczyć wartości początkowe prądów.
Dane:
u
(
t
)= E 1(
t
), R
1
, R
2
, L, C
1
, C
2
.
R
2
C
1
C
2
L
R
1
W
E
⋅1(t)
t=0
R
2
C
1
L
R
1
W
E
C
2
Stan ustalony – przed komutacją
i
L
u
C1
u
C2
Stan ustalony – przed komutacją:
2
1
L
R
R
E
)
0
(
+
=
−
i
;
E
R
R
R
)
0
(
)
0
(
2
1
1
C
C
2
1
+
=
+
−
−
u
u
Ładunki w kondensatorach połączonych szeregowo:
)
0
(
C
)
0
(
C
2
1
C
2
C
1
−
−
⋅
=
⋅
u
u
E
C
C
C
R
R
R
)
0
(
2
1
2
2
1
1
C
1
+
+
=
−
u
,
E
C
C
C
R
R
R
)
0
(
2
1
1
2
1
1
C
2
+
+
=
−
u
Po komutacji:
R
2
R
1
W
E
Bezpośrednio po komutacji
u
C1
(0
+
) = u
C1
(0
–
)
u
C2
(0
+
) = u
C2
(0
–
)
i
L
(0
+
) = i
L
(0
–
)
i
2
(0
+
)
i
C1
(0
+
)
i
C2
(0
+
)
i
W
(0
+
)
i
1
(0
+
)
(
)
2
1
2
C
C
2
R
R
E
R
)
0
(
)
0
(
E
)
0
(
2
1
+
=
+
−
=
+
+
+
u
u
i
;
2
1
2
2
1
1
C
1
C
C
C
R
R
E
R
)
0
(
)
0
(
1
+
+
=
=
+
+
u
i
;
2
1
1
2
1
C
C
C
C
R
R
E
)
0
(
1
+
+
=
+
i
2
1
1
2
1
1
L
W
C
C
C
R
R
E
)
0
(
)
0
(
)
0
(
+
+
=
−
=
+
+
+
i
i
i
;
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
L
2
C
1
=
−
=
+
+
+
i
i
i
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Liniowe Równanie Różniczkowe ( LRR )
( )
[
]
tkowe
począ
warunki
-
)
1
(
1
0
dla
),
0
(
;
)
(
)
(
)
(
1
0
)
(
−
=
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
∑
∑
=
=
r
,
,
,
k
f
t
w
b
dt
t
df
a
k
m
n
n
n
r
k
k
k
k
K
Rozwiązanie ogólne
Źródła
autonomiczne
Pseudo źródła
związane z
warunkami
początkowymi
R, C,
L (M),
ZS
Źródła
autonomiczne
R, C,
L (M),
ZS
Pseudo źródła
związane z
warunkami
początkowymi
R, C,
L (M),
ZS
SLS
f
w
(t)
f
p
(t)
f(t)
)
,
0
dla
)
(
)
(
)
(
0
m
p
+∞
∈<
+
=
+
=
∑
t
t
f
t
f
t
f
n
m
W
f
p
(t)
– składowa przejściowa odpowiedzi ( RRJ );
f
W
•
(t) –
składowa wymuszona odpowiedzi ( RRN );
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Stany dynamiczne (nieustalone, przejściowe) w obwodach SLS
Obwód RL (o
bwód rzędu pierwszego )
R
L
e(t)
u
R
u
L
i
u
L
(t) + u
R
(t) = e(t)
)
(
)
(
R
t
d
)
(
d
L
t
e
t
i
t
i
=
⋅
+
I
0
1). e(t) = E
⋅1(t); I
0
≠ 0
( przed komutacją w elemencie L jest energia ).
Składowa przejściowa i
p
(t) prądu i(t):
0
)
(
R
t
d
)
(
d
L
p
p
=
⋅
+
t
i
t
i
RRJ:
Równanie charakterystyczne:
L
⋅s + R = 0
GL
1
−
=
s
→
GL
e
e
t
t
s
−
⋅
=
→
GL
e
)
(
p
t
A
t
i
−
=
[ ]
R
L
GL
s
T
=
=
– stała czasowa obwodu RL.
Składowa wymuszona ( ustalona ) i
w
(t) prądu i(t):
R
E
)
(
w
=
t
i
Pełna odpowiedź obwodu RL
R
E
e
R
E
I
R
E
e
)
(
GL
GL
0
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
+
=
−
−
t
t
A
t
i
( )
GL
GL
e
I
e
1
R
E
)
(
0
t
t
t
i
−
−
⋅
+
−
⋅
=
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Przykład E= 10 V, R= 1
Ω, L= 1 H, I
0
= –5 A
Rozwiązanie:
T = GL = 1 s; E/R = 10 A
[A]
0
1
e
15
)
(
+
⋅
−
=
−t
t
i
→
[A]
10
)
(
[A]
5
)
0
(
+
=
∞
−
=
i
i
T
I
0
E
R
t
i(t)
-1
1
2
3
4
5
6
7
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
-1
1
2
3
4
5
6
7
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
-1
1
2
3
4
5
6
7
-5
5
10
15
20
-1
1
2
3
4
5
6
7
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Obwód RC (o
bwód rzędu pierwszego )
R
C
e(t)
u
R
u
i
R
t
u
t
e
t
u
)
(
)
(
t
d
)
(
d
C
−
=
U
0
)
(
t
d
)
(
d
C
t
i
t
u
=
1). e(t) = E
⋅1(t); U
0
≠ 0
( przed komutacją w elemencie C jest energia
).
Składowa przejściowa u
p
(t) napięcia u(t):
0
)
(
t
d
)
(
d
RC
p
p
=
+
t
u
t
u
RRJ:
Równanie charakterystyczne:
RC
⋅s + 1 = 0
RC
1
−
=
s
→
RC
e
e
t
t
s
−
⋅
=
→
RC
e
)
(
p
t
A
t
u
−
=
[ ]
RC
s
T
=
– stała czasowa obwodu RC.
Składowa wymuszona ( ustalona ) i
w
(t) prądu i(t):
E
)
(
w
=
t
u
Pełna odpowiedź obwodu RC
(
)
E
e
E
U
E
e
)
(
GL
RC
0
+
⋅
−
=
+
=
−
−
t
t
A
t
u
( )
GL
RC
e
U
e
1
E
)
(
0
t
t
t
u
−
−
⋅
+
−
⋅
=
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Przykład E= 10 V, R= 1
Ω, C= 1 F, U
0
= –5 V
Rozwiązanie:
T = RC = 1 s; E = 10 V
[V]
e
15
0
1
)
(
t
t
u
−
⋅
−
=
→
[V]
10
)
(
[V]
5
)
0
(
+
=
∞
−
=
u
u
T
U
0
E
t
u(t)
-1
1
2
3
4
5
6
7
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
-1
1
2
3
4
5
6
7
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
-1
1
2
3
4
5
6
7
-5
5
10
15
20
-1
1
2
3
4
5
6
7
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Pierwiastki równania
charakterystycznego
Funkcje należące do układu
podstawowego rozwiązań
s= –
α
,
α∈
ℜ
e
–
αt
s
k
= –
α
, k=1,2,…m,
α∈
ℜ
e
–
αt
, te
–
αt
, t
2
e
–
αt
, …, t
(m-1)
e
–
αt
s= –
α
±
j
ω
,
α∈
ℜ
,
ω∈
ℜ
+
e
–
αt
cos
ω
t, e
–
αt
sin
ω
t
s
k
= –
α
k
±
j
ω
k
, k=1,2,…,m,
α
k
∈
ℜ
,
ω
k
∈
ℜ
+
e
–
αt
cos
ω
t, te
–
αt
cos
ω
t,…, t
(m-1)
e
–
αt
cos
ω
t,
e
–
αt
sin
ω
t, te
–
αt
sin
ω
t,…, t
(m-1)
e
–
αt
sin
ω
t,
2
4
6
8
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
e
- a
t
2
4
6
8
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
e
- a
t
,
te
- a
t
,
t
2
e
- a
t
1
2
3
4
5
6
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ă
-
a t
Cos
@
w
t
D
,
ă
-
a t
Sin
@
w
t
D
,t
ă
-
a t
Cos
@
w
t
D
,t
ă
-
a t
Sin
@
D
w
t
1
2
3
4
5
6
-1
-0.5
0.5
1
ă
-
a t
Cos
@
w t
D
,
ă
-
a t
Sin
@
w t
D
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE