Zasada zachowania energii
Środek masy:
definicja,
ruch środka masy,
Zasada zachowania pędu
Zderzenia:
sprężyste, niesprężyste,
centralne, niecentralne,
Podstawy dynamiki
Zasada zachowania energii
Środek masy:
definicja,
ruch środka masy,
Zasada zachowania pędu
Zderzenia:
sprężyste, niesprężyste,
centralne, niecentralne,
Podstawy dynamiki
Zasada zachowania energii
Układ odosobniony:
jest to układ, na który nie działają żadne
siły zewnętrzne.
Układ zachowawczy:
jest to układ, w którym działające siły
wewnętrzne są siłami zachowawczymi
praca wykonana przez
te siły nie zależy od drogi przemieszczenia.
Energią potencjalną
ciała w punkcie
A
względem punktu
O
nazywamy pracę, jaką wykonuje siła zachowawcza przy
przesunięciu ciała od punktu
A
do punktu
O
:
AO
p
W
A
E
)
(
A
O
1
Jeżeli ciało o masie
m
ulega przesunięciu z punktu
A
do
B
,
to różnica energii potencjalnej w tych punktach, względem
punktu
O
wynosi:
BA
AO
BO
p
p
W
W
W
A
E
B
E
)
(
)
(
2
O
A
B
Zasada zachowania energii
Zasada zachowania energii
Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, że dla
ciała podlegającego działaniu siły zachowawczej,
suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała.
Energia mechaniczna układu odosobnionego
i zachowawczego jest stała.
const
E
E
P
K
Zasada ta obowiązuje dla pojedynczego ciała, ale jest też bardziej ogólna
i obowiązuje dla wszystkich odosobnionych układów ciał. W takich
układach suma energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał
pozostaje stała bez względu na oddziaływania w nich zachodzące.
Energia może być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie może być
wytworzona ani niszczona.
Zasada zachowania energii -
przykład
Rzut ukośny:
Wahadło:
Środek masy
n
i
i
n
i
i
i
n
n
n
s
m
x
m
m
m
m
x
m
x
m
x
m
x
1
1
2
1
2
2
1
1
.....
.....
Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jako punkty materialne.
W rzeczywistości ciała są układami ogromnej liczby atomów.
Rozważmy ruch złożony ciała (obrotowo – postępowy).
n
i
i
i
s
x
m
M
x
1
1
Istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej ze
stałą prędkością -
środek masy.
2
1
2
2
1
1
m
m
x
m
x
m
x
s
Dla mas rozłożonych wzdłuż jednej prostej:
x
s
m
1
m
2
x
1
x
2
x
0
O
Środek masy
n
i
i
i
s
m
M
1
1
r
r
Ogólnie możemy napisać:
i
i
i
i
z
y
x
r
s
s
s
s
z
y
x
r
Środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych
punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia, a nie zależy od wyboru
układu odniesienia
Aby obliczyć położenie środka masy ciała rozciągłego dzielimy je (w myśli)
na
n
małych części o masach
D
m
1
,
D
m
2
, …,
D
m
n
D
D
n
i
i
n
i
i
i
s
m
r
m
r
1
1
Dla brył o regularnym kształcie środek masy pokrywa się ze środkiem symetrii
Ruch środka masy
zew
s
F
a
M
Środek masy układu
punktów materialnych
porusza się w taki sposób,
jakby cała masa układu
była skupiona w
środku
masy
i jakby wszystkie
siły zewnętrzne nań
działały
Zasada zachowania pędu
Pęd punktu materialnego:
Jeżeli mamy do czynienia z układem punktów materialnych, to:
i
i
i
m
p
v
n
1
i
i
v
i
m
p
Całkowity pęd układu punktów materialnych jest równy iloczynowi
całkowitej masy układu i prędkości jego środka masy.
n
i
i
i
s
m
1
v
v
M
Ponieważ
s
v
M
p
to:
dt
p
d
dt
M
d
dt
d
M
a
M
F
s
zew
)
v
(
v
s
s
II zasada dynamiki :
Zasada zachowania pędu
II zasada dynamiki :
dt
p
d
F
zew
Jeżeli nie działają siły zewnętrzne (lub wypadkowa jest równa zero):
dt
p
d
F
zew
0
const
p
Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych
działających na układ jest równa zeru, to
całkowity wektor pędu układu jest stały.
Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych
działających na układ jest równa zeru, to
pęd układu w stanie początkowym jest
równy
pędowi
układu
w
stanie
końcowym.
Zasada zachowania pędu
Popęd siły
:
dt
p
d
F
zew
Wyrażenie po lewej stronie jest popędem siły
p
d
dt
F
zew
Przyrost
pędu ciała równa się popędowi
działającej na nie siły.
p
t
F
D
D
Zasada zachowania pędu
- przykład
m
1
m
2
2
2
1
1
v
v
0
m
m
p
x
Zderzenia
Zderzenie
– krótkotrwałe oddziaływanie dwóch ciał.
Podział:
zderzenia bezpośrednie – (mechaniczne)
zderzenia „bezstykowe” (rozproszenie) –
za pośrednictwem wszelkiego rodzaju pól
zderzenia sprężyste (elastyczne) – spełniona jest
zasada zachowania pędu i energii kinetycznej
zderzenia niesprężyste (nieelastyczne) –
spełniona jest zasada zachowania pędu:
idealnie niesprężyste – ciała łączą się
zderzenia centralne
– ciała poruszają się
wzdłuż linii łączącej środki
zderzenia niecentralne
– ukośne
Zderzenia sprężyste
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
u
m
u
m
v
m
v
m
u
m
u
m
v
m
v
m
Centralne zderzenia sprężyste dla kul o masach
m
1
i
m
2
oraz ich prędkości
przed zderzeniem
v
1
i
v
2
.
Szukamy prędkości
u
1
i
u
2
obu kul po zderzeniu.
W zderzeniu sprężystym – zasada zachowania energii kinetycznej oraz
pędu.
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
v
u
m
u
v
m
v
u
m
u
v
m
/
:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
v
u
m
u
v
m
v
u
v
u
m
u
v
u
v
m
0
D
E
0
D
p
Zderzenia sprężyste
2
1
1
2
2
2
1
1
)
(
)
(
v
u
v
u
v
u
u
v
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
)
2
(
)
(
v
m
u
m
v
m
u
m
v
m
v
u
v
m
u
v
m
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
)
(
2
2
m
m
v
m
m
v
m
u
u
m
u
m
v
m
v
m
v
m
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
m
m
v
m
m
v
m
u
m
m
v
m
m
v
m
m
m
v
v
u
Zderzenia sprężyste
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
)
(
2
)
(
2
m
m
v
m
m
v
m
u
m
m
v
m
m
v
m
u
i ostatecznie:
Zbadajmy zachowanie się prędkości końcowych w zależności od mas
i prędkości początkowych:
Niech
m
1
=
m
2
1
2
2
1
v
u
v
u
wtedy:
czyli kule o jednakowych masach wymieniają wzajemne swe prędkości
Zderzenia sprężyste
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
)
(
2
)
(
2
m
m
v
m
m
v
m
u
m
m
v
m
m
v
m
u
niech
v
2
= 0
wtedy:
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
)
(
m
m
v
m
u
m
m
v
m
m
u
jeśli dodatkowo
m
1
=
m
2
1
2
1
0
v
u
u
Zderzenia sprężyste
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
)
(
2
)
(
2
m
m
v
m
m
v
m
u
m
m
v
m
m
v
m
u
gdy druga kula ma masę znacznie większą od pierwszej i jest nieruchoma
jeśli dodatkowo
(odbicie od ściany)
0
2
2
1
v
i
m
m
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
v
m
m
m
m
u
v
m
m
m
m
u
2
m
0
lim
2
1
2
m
m
m
0
2
1
1
u
v
u
Zderzenia niesprężyste
Zmiana energii kinetycznej
D
E
:
Zderzenia niesprężyste kul o masach
m
1
i
m
2
o prędkościach przed
zderzeniem
v
1
i
v
2
.
Niech obie prędkości mają te same kierunki i niech
v
1
>
v
2
. Po zderzeniu następuje trwałe odkształcenie i ciała poruszają się razem.
Obliczyć wspólną prędkości
u
.
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
)
(
m
m
v
m
v
m
u
u
m
m
v
m
v
m
2
)
(
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
u
m
m
E
v
m
E
v
m
E
kk
k
k
0
)
(
)
(
2
)
(
2
2
1
2
1
2
1
2
1
D
v
v
m
m
m
m
E
E
E
E
k
k
kk
Zderzenia ukośne
Rozpatrzymy ukośne zderzenie sprężyste kuli o masie
m
z
identyczną
spoczywającą kulą.
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
u
m
u
m
v
m
u
m
u
m
v
m
2
1
1
2
2
2
1
2
1
u
u
v
u
u
v
Po zderzeniu wektory prędkości
u
1
i
u
2
są do siebie prostopadłe.
Zderzenia -
przykłady