Prawdopodobieństwo i statystyka
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Zakładamy, że
,
są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładach normalnych, przy czym
10
2
1
,
,
,
X
X
X
K
15
12
11
,
,
,
X
X
X
K
1
μ
=
i
EX
i
dla
oraz
2
σ
=
i
VarX
,
10
,
,
2
,
1 K
=
i
2
μ
=
i
EX
i
dla
. Parametry
2
3
σ
=
i
VarX
15
,
,
12
,
11
K
=
i
2
1
,
μ
μ
i
σ są nieznane.
Niech
∑
=
=
10
1
1
10
1
i
i
X
X
,
∑
=
=
15
11
2
5
1
i
i
X
X
,
∑
=
=
15
1
15
1
i
i
X
X
.
Dobrać stałe a i b tak, aby statystyka
(
) (
)
2
15
1
2
1
2
2
ˆ
∑
=
−
+
−
=
i
i
X
X
b
X
X
a
σ
była estymatorem nieobciążonym parametru
.
2
σ
(A)
63
10
,
21
1
−
=
=
b
a
(B)
15
2
,
25
1
=
=
b
a
(C)
117
5
,
13
1
−
=
=
b
a
(D)
189
5
,
21
1
−
=
=
b
a
(E)
45
1
,
25
1
−
=
=
b
a
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Zakładamy, że zależność czynnika Y od czynnika x (nielosowego) opisuje model
regresji liniowej
i
i
i
x
Y
ε
β
β
+
+
=
1
0
. Obserwujemy 10 elementową próbkę, w której
1
5
2
1
=
=
=
=
x
x
x
K
i
4
10
7
6
=
=
=
=
x
x
x
K
. Zmienne losowe
są
niezależne i błędy mają rozkłady normalne o wartości oczekiwanej 0, przy czym
10
2
1
,
,
,
Y
Y
Y
K
1
=
i
Var
ε
, gdy
, i
5
,
,
2
,
1 K
=
i
9
=
i
Var
ε
, gdy
10
,
,
7
,
6 K
=
i
. Weryfikujemy hipotezę
0
:
0
0
=
β
H
przy alternatywie
0
:
0
1
≠
β
H
testem na poziomie istotności 0,05 o
obszarze krytycznym postaci
{
}
c
K
>
−
=
0
0
ˆ
β
β
,
gdzie
jest estymatorem parametru
0
ˆ
β
0
β
otrzymanym wykorzystując ważoną metodę
najmniejszych kwadratów, to znaczy minimalizując po
0
β
i
1
β
sumę
∑
=
−
−
10
1
2
1
0
)
(
i
i
i
i
Var
x
Y
ε
β
β
.
Stała c jest równa
(A)
c=0,55
(B)
c=0,65
(C)
c=1,09
(D)
c=1,46
(E)
c=2,63
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
)
,
(
Y
X
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈
≥
=
przypadku.
przeciwnym
w
0
]
2
;
1
[
i
1
gdy
2
)
,
(
3
y
x
x
y
x
f
Niech
i
. Wtedy
Y
X
S
+
=
Y
X
V
−
=
)
4
|
1
(
=
< S
V
P
jest równe
(A)
25
9
(B)
2
1
(C)
125
81
(D)
125
44
(E)
25
19
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Dysponujemy 5 identycznymi urnami. Każda z nich zawiera 4 kule. Liczba kul
białych w
tej urnie jest równa
−
i
1
−
i
, gdzie
,
5
,...,
2
,
1
=
i
pozostałe kule są czarne.
Losujemy urnę, a następnie ciągniemy z niej jedną kulę i okazuje się, że otrzymana
kula jest biała. Oblicz prawdopodobieństwo, że ciągnąc drugą kulę z tej samej urny
(bez zwracania pierwszej) również otrzymamy kulę białą.
(A)
10
3
(B)
5
2
(C)
5
3
(D)
3
2
(E)
2
1
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Obserwujemy niezależne zmienne losowe
Zmienne
losowe
mają ten sam rozkład o dystrybuancie
, a zmienne losowe
mają ten sam rozkład o dystrybuancie
. Dystrybuanta
spełnia
warunek
5
4
3
2
1
4
3
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
Y
Y
Y
Y
Y
X
X
X
X
.
4
3
2
1
,
,
,
X
X
X
X
1
μ
F
5
4
3
2
1
,
,
,
,
Y
Y
Y
Y
Y
2
μ
F
μ
F
)
(
)
(
μ
μ
−
=
x
F
x
F
dla pewnej ustalonej, nieznanej, ciągłej, ściśle rosnącej dystrybuanty F.
Weryfikujemy hipotezę
2
1
0
:
μ
μ
=
H
przy alternatywie
2
1
1
:
μ
μ
<
H
stosując test o
obszarze krytycznym
}
16
:
{
<
=
S
S
K
,
gdzie S jest sumą rang zmiennych losowych
w próbce złożonej ze
wszystkich obserwacji ustawionych w ciąg rosnący. Wyznaczyć rozmiar testu.
4
3
2
1
,
,
,
X
X
X
X
(A)
126
18
(B)
126
17
(C)
126
16
(D)
126
19
(E)
126
15
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Załóżmy, że
są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie jednostajnym na przedziale [0; 1], zaś
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
N jest zmienną losową o rozkładzie
geometrycznym,
(
)
k
p
p
k
N
P
)
1
(
−
=
=
gdy
K
,
2
,
1
,
0
=
k
,
niezależną od zmiennych losowych
. Liczba
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
)
1
,
0
(
∈
p
jest ustalona.
Niech
⎩
⎨
⎧
=
>
=
⎩
⎨
⎧
=
>
=
.
0
gdy
0
0
gdy
}
,
,
,
max{
,
0
gdy
0
0
gdy
}
,
,
,
min{
2
1
2
1
N
N
X
X
X
Z
N
N
X
X
X
Y
N
N
N
N
K
K
Obliczyć
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
−
2
1
N
N
Y
Z
P
.
(A)
p
p
p
+
−
−
1
)
1
(
2
1
(B)
2
)
1
(
4
1
p
p
+
−
(C)
p
p
+
−
1
2
1
(D)
2
)
1
(
2
1
p
p
+
−
(E)
2
2
)
1
(
4
1
p
p
+
−
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
7.
Załóżmy, że
są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 1, zaś
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
N jest zmienną losową o
rozkładzie Poissona o wartości oczekiwanej
3
, niezależną od zmiennych losowych
. Niech
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
.
0
gdy
0
0
gdy
2
1
⎩
⎨
⎧
=
>
+
+
+
=
N
N
X
X
X
S
N
N
K
Współczynnik spłaszczenia
3
)
(
)
(
2
4
−
−
=
N
N
N
VarS
ES
S
E
κ
zmiennej
jest równy
N
S
(A) -1
(B)
3
2
(C) 4
(D) 2
(E) 1
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
8.
Cyfry 1, 2, 3, …, 9 ustawiamy losowo na miejscach o numerach 1, 2, 3, …, 9. Niech
X będzie zmienną losową równą liczbie cyfr stojących na miejscach o numerach
równych cyfrom. Wariancja zmiennej X jest równa
(A)
18
16
(B) 1
(C)
18
17
(D)
18
20
(E)
18
9
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
9.
Niech
będą zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto
a
będą zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto
, gdzie
są
nieznanymi parametrami. Wszystkie zmienne są niezależne. Na poziomie ufności
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
)
,
1
(
1
a
m
Y
Y
Y
,
,
,
2
1
K
)
,
1
(
2
a
0
,
2
1
>
a
a
α
−
1
budujemy przedział ufności dla parametru
]
,
[
cT
dT
2
1
a
a
na podstawie estymatora
największej wiarogodności T tegoż parametru w ten sposób, że
2
)
(
)
(
2
1
,
2
1
,
2
1
2
1
α
=
>
=
<
a
a
dT
P
a
a
cT
P
a
a
a
a
.
Jeśli 1
,
0
=
α
i m=4 i n=5, to przedział ufności ma długość
(A) 4,42T
(B) 2,77T
(C) 6,06T
(D) 5,03T
(E) 3,02T
Uwaga:
Rozkład Pareto
)
,
(
θ
λ
jest rozkładem o gęstości
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
+
=
+
0
gdy
0
0
gdy
)
(
)
(
1
x
x
x
x
f
θ
θ
λ
θ
λ
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
10.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym
rozkładzie geometrycznym postaci
4
3
2
1
,
,
,
X
X
X
X
(
)
k
p
p
k
X
P
)
1
(
−
=
=
gdy
K
,
2
,
1
,
0
=
k
,
gdzie jest nieznanym parametrem. Hipotezę
)
1
,
0
(
∈
p
2
1
:
0
=
p
H
przy alternatywie
2
1
:
1
>
p
H
weryfikujemy testem jednostajnie najmocniejszym na poziomie istotności
0,1875. Moc tego testu przy alternatywie
5
4
=
p
jest równa
(A) 0,66667
(B) 0,49152
(C) 0,50000
(D) 0,99840
(E) 0,73728
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi
*
Imię i nazwisko : .......................K L U C Z O D P O W I E D Z I...............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Odpowiedź Punktacja
♦
1 A
2 D
3 C
4 D
5 A
6 B
7 D
8 B
9 E
10 E
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
♦
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11