MATERIAŁ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Kwiecień 2012
Czas pracy:
170 minut
Grupa A
Wypełnia zdający:
Imię:
Nazwisko:
Klasa:
Za rozwiązanie wszystkich zadań otrzymujesz 50 punktów,
aby zaliczyć musisz otrzymać minimum 15 punktów.
2
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. (1 pkt)
Wartość wyrażenia
3
12
2
jest równa
A. 3
B.
3
2
C.
3
3
D.
3
5
Zadanie 2. (1 pkt)
Iloraz
4
2
8
1
:
16
jest równy
A.
2
1
B. 2
C.
16
1
D. 16
Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba
25
log
2
log
2
jest równa
A. –2
B. 2
C. –1
D. 1
Zadanie 4. (1 pkt)
Zbiór
,
2
4
,
jest zbiorem rozwiązań nierówności
A.
3
1
x
B.
1
3
x
C.
1
3
x
D.
3
1
x
Zadanie 5. (1 pkt)
Cenę spodni obniżono o 20%, a następnie podwyższono do początkowej wartości. Podwyżka
wynosiła
A. 10%
B. 15%
C. 20%
D. 25%
Zadanie 6. (1 pkt)
Wielomian
)
1
2
)(
4
(
)
(
2
2
x
x
x
x
W
ma rozkład
A.
2
)
1
)(
2
)(
2
(
x
x
x
B.
2
)
1
)(
2
)(
2
(
x
x
x
C.
2
)
1
)(
4
)(
4
(
x
x
x
D.
2
)
1
)(
4
)(
4
(
x
x
x
Zadanie 7. (1 pkt)
Suma pierwiastków równania
0
1
)
1
)(
2
(
2
x
x
x
jest równa
A. 2
B. 3
C. 1
D. –1
Zadanie 8. (1 pkt)
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność
2
)
2
3
)(
2
(
x
x
x
jest
A. –6
B. –5
C. –4
D. –3
3
Zadanie 9. (1 pkt)
Funkcja liniowa jest malejąca i do jej wykresu należy punkt
)
5
,
0
(
A
. Wzór tej funkcji może mieć
postać
A.
5
)
(
x
f
B.
5
5
)
(
x
x
f
C.
5
5
)
(
x
x
f
D.
x
x
f
5
)
(
Zadanie 10. (1 pkt)
Liczby x
1
, x
2
są rozwiązaniami równania
0
6
2
x
x
. Iloczyn
2
2
2
1
x
x
jest równy
A. 4
B. 9
C. 36
D. 72
Zadanie 11. (1 pkt)
Na rysunku dana jest funkcja
)
(x
f
y
Wskaż zbiór wartości funkcji g, gdzie
2
)
(
)
(
x
f
x
g
A.
2
,
1
B.
4
,
1
C.
8
,
2
D.
10
,
0
Zadanie 12. (1 pkt)
Kąt α jest ostry i
3
tg
. Wartość wyrażenia
2
)
cos
(sin
jest równa
A.
5
4
B.
5
6
C.
5
8
D.
5
9
Zadanie 13. (1 pkt)
W ciągu arytmetycznym dane są
4
1
a
oraz
21
6
a
. Różnica tego ciągu jest równa
A.
5
B. –3
C.
3
D. 5
Zadanie 14. (1 pkt)
W ciągu geometrycznym (b
n
) dane są
27
3
b
i
81
4
b
. Zatem pierwszy wyraz ciągu (b
n
) jest
równy
A.
9
1
B. 9
C.
3
1
D. 3
4
Zadanie 15. (1 pkt)
Prosta przechodząca przez dwa punkty
)
,
0
( u
A
oraz
)
0
,
(u
B
, gdzie
0
u
ma wzór
A.
u
x
x
f
)
(
B.
u
x
x
f
)
(
C.
u
x
x
f
)
(
D.
u
x
x
f
)
(
Zadanie 16. (1 pkt)
Obwód prostokąta wynosi 20. Stosunek długości jego boków jest równy 2:3. Pole tego prostokąta
jest równe
A. 9
B. 18
C. 21
D. 24
Zadanie 17. (1 pkt)
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.
Miara kąta α zaznaczonego na rysunku wynosi
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
Zadanie 18. (1 pkt)
Środkiem okręgu jest punkt
)
2
,
1
(
S
i wiadomo, że punkt
)
0
,
2
(
P
należy do okręgu. Promień
tego okręgu ma długość
A. 2
B. 5
C. 13
D. 4
Zadanie 19. (1 pkt)
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o wysokości długości
3
2
. Objętość tego
stożka wynosi
A.
3
8
B.
3
3
8
C.
3
4
D.
3
3
4
Zadanie 20. (1 pkt)
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 24. Przekątna tego sześcianu ma długość
A.
3
4
B.
3
3
C.
3
2
D. 3
Zadanie 21. (1 pkt)
Niech A oznacza zdarzenie zawarte w przestrzeni
. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest 4 razy
mniejsze niż prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A, wtedy
A.
5
1
)
(
A
P
B.
4
1
)
(
A
P
C.
2
1
)
(
A
P
D.
5
4
)
(
A
P
5
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach 22. do 32. należy zapisać w wyznaczonych miejscach
pod treścią zadania.
Zadanie 22. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
0
)
4
)(
3
(
x
x
.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
Zadanie 23. (2 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
5
x
b
x
x
f
dla x
5. Ponadto wiemy, że
1
)
1
(
f
.
Oblicz wartość współczynnika b.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
6
Zadanie 24. (2 pkt)
Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 6 i 10, tangens kąta ostrego jest równy 2.
Oblicz pole tego trapezu.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
7
Zadanie 25. (2 pkt)
Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku
(w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że |AD| = |BE|.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
8
Zadanie 26. (2 pkt)
Liczby 16, x, 4 są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego.
Oblicz wartość czwartego wyrazu tego ciągu.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie:
0
36
9
4
2
3
x
x
x
.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
9
Zadanie 28. (2 pkt)
Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.
Oceny
6
5
4
3
2
1
Liczba uczniów
1
2
6
5
9
2
Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
10
Zadanie 29. (2 pkt)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A
polegającego na tym, że suma liczby oczek wyrzuconych w obu rzutach jest liczbą pierwszą.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
11
Zadanie 30. (5 pkt)
Za wynajęcie autobusu na wycieczkę uczniowie klasy 1 A mieli zapłacić 1800 złotych. Ponieważ
czterech uczniów zrezygnowało z tej wycieczki, każdy z pozostałych uczniów zapłacił o 15 zł
więcej. Oblicz, ilu uczniów liczy klasa 1 A oraz ile zapłacił każdy z uczniów za wycieczkę.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
12
Zadanie 31. (4 pkt)
Wykaż, że prosta o równaniu
2
2
x
y
ma z okręgiem o równaniu
81
)
4
(
)
3
(
2
2
y
x
dwa punkty wspólne.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
13
Zadanie 32. (4 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę 120°
oraz |AS| = |CS| = 10 i |BS| = |DS|. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny
podstawy ostrosłupa.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
14
KARTA ODPOWIEDZI
WYPEŁNIA ZDAJĄCY
NUMER
ZADANIA
ODPOWIEDZI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
WYPEŁNIA SPRAWDZAJĄCY
PUNKTY
NUMER
ZADANIA 0 1 2 3 4 5
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
SUMA
PUNKTÓW
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D