Algebra liniowa IS
Egzamin 10.02.2010, drugi termin
1. Podać definicję grupy i ciała
Def. {S, ∗} jest grupą jeżeli
• ∀
a,b∈S
a ∗ b ∈ S,
• ∃
e∈S
∀
a∈S
a ∗ e = a = e ∗ a,
• ∀
a∈S
∃
b∈S
a ∗ b = b ∗ a = e,
• ∀
a,b,c∈S
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c,
• dodatkowo grupa jest abelowa jeżeli ∀
a,b∈S
a ∗ b = b ∗ a.
Def. {F, +, ·} jest ciałem jeżeli
• {F, +} jest grupą abelową,
• {F \{0}, ·} jest grupą abelową,
• ∀
a,b,c∈F
a · (b + c) = a · b + a · c
Niech S := {(t, 2
t
) : t ∈ R}, S zawiera więc pary liczb rzeczywistych.
Działanie ∗ między elementami S (x
1
, y
1
) i (x
2
, y
2
) zdefiniowane jest przez
(x
1
, y
1
) ∗ (x
2
, y
2
) = (x
1
+ x
2
, y
1
y
2
). Pokazać, że (S, ∗) jest grupę przemien-
ną.
• (t, 2
t
) ∗ (u, 2
u
) = (t + u, 2
t+u
) ∈ S zbiór jest zamknięty ze względu
na *,
• (0, 1) ∗ (t, 2
t
) = (t, 2
t
) = (t, 2
t
) ∗ (0, 1) element neutralny,
• (t, 2
t
) ∗ (−t, 2
−t
) = (−t, 2
−t
) ∗ (t, 2
t
) = (0, 1) element odwrotny,
• łączność:
(t, 2
t
) ∗ [(u, 2
u
) ∗ (v, 2
v
)]
=
[(t, 2
t
) ∗ (u, 2
u
)] ∗ (v, 2
v
)
(t, 2
t
) ∗ (u + v, 2
u+v
)
=
(t + u, 2
t+u
) ∗ (v, 2
v
)
(t + u + v, 2
t+u+v
)
=
(t + u + v, 2
t+u+v
)
• przemienność:
(t, 2
t
) ∗ (u, 2
u
)
=
(u, 2
u
) ∗ (t, 2
t
)
(t + u, 2
t+u
)
=
(u + t, 2
u+t
)
2. Podać postać trygonometryczną liczby zespolonej i reguły mnożenia, dzie-
lenia i potęgowania liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Omó-
wić znajdowanie pierwiastków liczb zespolonych.
(a) Przedstawić w postaci trygonometrycznej i algebraicznej wyrażenie
(
√
3 − i)
10
(1 − i)
6
(b) Znaleźć pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z liczby i. Wynik po-
dać w postaci algebraicznej.
1
3. Podać definicję przestrzeni liniowej nad ciałem liczbowym. Czy zbiór wek-
torów postaci (v + t, t − u, 2v + t + u), gdzie v, t, i u są liczbami rze-
czywistymi tworzy podprzestrzeń przestrzeni wektorowej R
3
. Jaki jest jej
wymiar? Podać przekład wektorów bazowych dla tej podprzestrzeni. Za-
pisać tą podprzestrzeń w postaci V = (x, y, z) ∈ ax + by + cz + d = 0 z
odpowiednio dobranymi a, b, c i d.
4. W bazie {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0)} wektro ma wspórzędne (1, 2, 3). Sprawdź,
czy zbiór wektorów {(0, 1, 1), (1, 0, 2), (0, 1, −1)} jest bazą i, jeżeli tak, zna-
leźć współrzedne podanego wektora w nowej bazie.
5. Podać definicję przekształcenia liniowego A : V → V
0
, jądra przekształce-
nia liniowego i obrazu przekształcenia liniowego. Pokazać, że jądro prze-
kształcenia liniowego jest podprzestrzenią V , a obraz podprzestrzenią w
V
0
.
6. Niech f : (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) ∈ R
4
→ (x
1
+ x
3
, x
2
+ x
4
) ∈ R
2
. Wyznaczyć
macierz odwzorowania w bazie kanonicznej. Wyznaczyć jądro i obraz od-
wzorowania (podać wymiary i bazy Ker f , i Im f . Znaleźć rząd odwzo-
rowania. Jaka relacja wiąże rząd odwzorowania f z dim Ker f ?
7. Znajdź macierz przekształcenia f : R
4
→ R
2
danego przez f (x, y, z, t) =
(x+3y−2z, z−y+x−t) w bazach odpowiednio {(2, 0, 1, 0), (−1, 1, 0, 3), (0, 1, 1, 0), (1, −1, 2, 3)}
i {(1, 1), (1, 0)}.
8. Co to jest rząd macierzy? Znaleźć rząd macierzy.
2
1
4
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
3
9. Znaleźć macierz odwrotną do
0
−1
1
−1
2
−1
2
−1
0
10. Znaleźć wyznacznik macierzy o wymiarze n × n (n 2)
a
−b
0
· · ·
0
0
0
a
−b
· · ·
0
0
0
0
a
· · ·
0
0
..
.
..
.
..
.
. .
.
..
.
..
.
0
0
0
· · ·
a
−b
−b
0
0
· · ·
0
a
11. Rozwiązać układ równań korzystając z metody eliminacji Gaussa
x + 2y + 3z
=
6
2x + 3y + z
=
6
3x + 2y + z
=
6
2
12. Obliczyć wartości i wektory własne macierzy
1
0
1
0
1
0
1
0
1
i sprawdzić,czy
wektory własne są ortogonalne.
13. Metodą Grama-Schmidta utworzyć zbiór ortonormalny wektorów ze zbio-
ru x
1
, x
2
, x
3
, gdzie
x
1
= (1, 1, 1), x
2
= (1, 1, −1), x
3
= (2, 1, 1)
.
3