ĆWICZENIE NR
10
POMIAR REZYSTANCJI MOSTKIEM
WHEATSTONE’A
10.1. Cel ćwiczenia
Celem
ćwiczenia jest poznanie zasady i właściwości pomiaru rezystancji
mostkiem Wheatstone'a.
10.2. Podstawy teoretyczne pomiaru
Układ czterogałęźnego mostka opracowanego przez Wheatstone'a do
pomiaru rezystancji przedstawiono na rysunku 10.1.
Cztery rezystory R
1
, R
2
, R
3
, R
4
stanowią gałęzie mostka. Zwykle rezystor
badany R
x
umieszcza się w gałęzi pierwszej. W jedną z przekątnych mostka
włącza się wskaźnik stanu równowagi mostka, którym może być galwanometr
magnetoelektryczny G o rezystancji R
g
, w drugą przekątną - źródło napięcia U.
Stanem równowagi mostka nazywamy taki stan, w którym napięcie
pomiędzy punktami C i D jest równe zeru, przy niezerowej wartości napięcia U
przyłożonego do punktów A i B.
Dla stanu równowagi mostka słuszne są zależności (10.1) i (10.2).
4
4
2
2
3
3
1
R
I
R
I
R
I
R
I
x
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
(10.1)
4
3
2
1
I
I
I
I
=
=
(10.2)
Dzieląc stronami równania (10.1) i uwzględniając zależności (10.2)
otrzymuje się warunek równowagi mostka.
4
3
2
R
R
R
R
x
=
(10.3)
Z
zależności (10.3) oblicza się wartość mierzonej rezystancji
R
x
159
R
R
R
R
x
=
2
3
4
(10.4)
A
D
G
U
C
R
3
R
4
R
2
R
=R
1
X
I
1
I
2
I
3
I
4
I
I
g
Rys. 10.1. Schemat czterogałęźnego mostka typu Wheatstone'a
W
praktyce
pomiarowej
są stosowane dwa sposoby osiągania równowagi
mostka. Pierwszy z nich polega na tym, że zmienia się rezystancję
R
2
przy
stałym stosunku rezystancji w gałęziach trzeciej i czwartej. Z tego sposobu
korzysta się przy budowie dokładnych mostków laboratoryjnych. W mostkach
przeznaczonych do pomiarów mniej dokładnych, mostek doprowadza się do
równowagi przez regulację stosunku rezystancji oporników
R
3
i
R
4
wykonanych w postaci potencjometru, przy stałej wartości rezystancji
R
2
.
160
10.2.1. Dokładność pomiaru mostkiem Wheatstone'a
Przyczynami powstawania błędów przy pomiarach rezystancji mostkiem
Wheatstone'a są:
1) ograniczona
dokładność wykonania rezystorów mostka,
2) niedostateczna
czułość wskaźnika równowagi,
3) siły termoelektryczne,
4) zmiany rezystancji gałęzi mostka wskutek zmiany ich temperatury,
5) rezystancja
przewodów
łączących i styków,
6) upływność izolacji.
Ograniczona
dokładność wykonania rezystorów w gałęziach mostka jest
źródłem błędu systematycznego mostka. Największą możliwą wartość tego
błędu można wyznaczyć ze wzoru
(
)
4
3
2
max
R
R
R
x
R
δ
δ
δ
δ
+
+
±
=
(10.5)
gdzie:
δ
δ
δ
R
R
R
2
3
4
, ,
- wartości względne błędów granicznych rezystorów w
gałęziach mostka.
Przy
pomiarach
metodą zerową należy liczyć się z błędem czułości.
Bezwględny błąd czułości jest to taka zmiana rezystancji mierzonej
∆
R
x
w
zrównoważonym mostku, która powoduje zauważalne odchylenie
∆α
organu
ruchomego galwanometru od stanu równowagi. W praktyce przyjmuje się
∆
α
=
0,1 działki. Przy założeniu, że
C
i
jest stałą prądową galwanometru, przyrost
( )
∆
R
x 0 1
,
odpowiadający odchyleniu galwanometru 0,1 dz wynosi
(
)
(
)
{
(
)
[
]
(
)}
4
3
2
4
3
4
3
2
4
1
,
0
10
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
U
C
R
x
g
x
i
x
+
+
+
+
+
+
⋅
=
∆
(10.6)
Stąd względny błąd czułości
(
)
δ
cz
x
x
R
R
=
∆
0 1
,
jest określony zależnością
+
+
+
+
+
+
=
4
3
2
4
3
2
2
10
R
R
R
R
R
R
R
R
R
U
C
x
g
x
i
cz
δ
(10.7)
161
Jak wynika z zależności (10.7), błąd czułości można zmniejszyć poniższymi
sposobami:
- zwiększając napięcie U zasilające mostek,
- stosując galwanometr o większej czułości oraz
- dobierając odpowiednie wartości rezystancji poszczególnych gałęzi mostka.
Wartość napięcia U jest ograniczona ilością wydzielonego ciepła na
rezystorach mostka. Przyjmuje się, że wartość mocy dopuszczalnej dla
rezystorów zawiera się w przedziale od 0,2 W do 0,5 W na jeden element
oporowy.
Minimalny
błąd czułości układu mostkowego można uzyskać, gdy
rezystancje w poszczególnych gałęziach mostka spełniają zależności:
(
)
2
4
3
01
,
0
1
,
0
R
R
R
R
R
x
x
=
÷
=
=
(10.8)
Względny błąd czułości wyznacza się doświadczalnie. W tym celu w
zrównoważonym układzie zakłóca się równowagę mostka zmieniając
rezystancję R
2
o taką wartość, aby uzyskać określone odchylenie organu
ruchomego galwanometru np.
α. Tak uzyskaną zmianę rezystancji ∆R
2
należy
przeliczyć na wartość odpowiadającą odchyleniu 0,1 dz, zakładając
proporcjonalność zmian
(
)
α
10
2
1
,
0
2
R
R
∆
=
∆
(10.9)
Względny błąd czułości jest określony zależnością
(
)
(
)
2
1
,
0
2
1
,
0
R
R
R
R
x
x
cz
∆
=
∆
=
δ
(10.10)
gdzie:
(
)
∆ R
2 0 1,
- zmiana rezystancji w zrównoważonym mostku, powodująca
odchylenie galwanometru o 0,1 dz,
R
2
- rezystancja odpowiadająca stanowi równowagi.
Czułość układu mostkowego można uznać za wystarczającą, jeżeli wartość
względnego błędu czułości jest dziesięciokrotnie mniejsza od błędu
systematycznego granicznego określonego wzorem (10.5).
162
max
1
,
0
x
R
cz
δ
δ
≤
(10.11)
Następną przyczyną błędu, spotykanego przy pomiarach mostkiem Whe-
atstone'a, są siły termoelektryczne. Siły termoelektryczne powstają w miejscach
połączeń przewodów z rezystorami oraz ze wskaźnikiem. Wpływ sił
termoelektrycznych może być znaczny przy pomiarach małych rezystancji (
R
x
<
10
Ω). W celu wyeliminowania wpływu sił termoelektrycznych na ostateczny
wynik pomiaru wykonuje się połowę pomiarów przy jednej biegunowości źródła
zasilającego, a drugą połowę przy przeciwnej. Wynik pomiaru, to średnia
arytmetyczna obliczona z wyników tak przeprowadzonych pomiarów.
Zmiana temperatury powoduje zmianę rezystancji gałęzi mostka. Jeżeli
temperatura dowolnego rezystora w mostku jest nie określona (nie jest
kontrolowana), to jego rezystancja w pewnym zakresie też nie jest określona. W
tym sensie mówimy o błędach temperaturowych. W czasie pomiarów należy
utrzymywać temperaturę znamionową.
Rezystancje
przewodów
łączących i styków dodają się do poszczególnych
rezystancji w gałęziach mostka. Nieuwzględnienie tych rezystancji przy
pomiarach małych rezystancji (
R
x
< 10
Ω) może spowodować znaczne błędy
pomiaru. Przeciętne wartości rezystancji przewodów łączących poszczególne
elementy mostka oraz rezystancji styków są rzędu 10-3... 10-4
Ω.
Upływność izolacji powoduje bocznikowanie poszczególnych rezystorów
mostka. Celem zmniejszenia błędu, spowodowanego upływnością izolacji,
stosuje się odpowiednie starannie dobrane materiały izolacyjne. Wpływ
upływności izolacji na wynik pomiaru występuje przy pomiarach rezystancji
rzędu 106
Ω i większych.
10.2.2. Dobór elementów mostka
Z punktu widzenia wymaganej dokładności pomiaru dokonuje się doboru:
1) wartości rezystancji w poszczególnych gałęziach mostka,
2) wskaźnika stanu równowagi,
3) napięcia źródła zasilania.
Przy doborze wartości rezystancji poszczególnych gałęzi należy kierować
się:
- dostateczną płynnością regulacji rezystorem
R
2
, wartość
R
2
rezystancji musi
spełniać nierówność
R
2
≥ 500Ω oraz
- kryterium czułości wyrażonym zależnościami (10.8).
Dobór
galwanometru
magnetoelektrycznego polega na zastosowaniu
galwanometru o takiej czułości, aby względny błąd czułości układu mostkowego
163
był dziesięciokrotnie mniejszy od wartości względnego błędu systematycznego
granicznego (należy to sprawdzić doświadczalnie) oraz o takiej rezystancji
zewnętrznej krytycznej, aby była zbliżona do wartości rezystancji
R
CD
jaką
przedstawia mostek "widziany" z zacisków galwanometru, przy założeniu, że
wartość rezystancji źródła zasilania jest pomijalnie mała, a mianowicie:
4
3
4
3
2
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
x
x
CD
+
=
(10.12)
W przypadku trudności z doborem galwanometru o odpowiedniej wartości
rezystancji zewnętrznej krytycznej należy zastosować rezystancję dodatkową .
Wartość napięcia zasilającego mostek dobiera się tak, aby nie przekroczyć
dopuszczalnych wartości mocy wydzielanych w rezystorach w każdej z gałęzi
mostka. W praktyce jest to wartość (5
÷60)V.
10.3. Wykonanie ćwiczenia
10.3.1. Badanie wpływu rezystancji gałęzi mostka na czułość układu
mostkowego
Układ połączeń
V
G
MW
B
G
R
x
R
x
p
r
U
Rys. 10.2. Schemat połączeń do pomiaru rezystancji za pomocą
mostka Wheatstone'a
164
Oznaczenia
MW - laboratoryjny mostek Wheatstone'a,
G - galwanometr,
V - woltomierz,
p - przełącznik,
r - rezystor regulowany,
R
x
- rezystor badany,
U - źródło napięcia stałego.
Uwaga: w czasie ćwiczenia należy wpisać obok podanych oznaczeń,
wartości charakteryzujące użyte przyrządy.
Postępowanie podczas pomiaru
Sprawdzić w układzie pomiarowym rys.10.2, dla jakich wartości rezystancji
R
3
i
R
4
układ mostkowy ma największą czułość (najmniejszy błąd czułości
δ
cz
).
W tym celu dla każdej z 9-ciu par wartości
R
3
i
R
4
podanych w tabeli 10.1
doprowadzić mostek do równowagi przez zmianę wartości rezystancji
R
2
, przy
stałej wartości napięcia zasilającego mostek.
W
zrównoważonym mostku należy zmieniać wartość rezystancji
R
2
o
wartości “+
∆R
2
” i “ -
∆R
2
” podane w tabeli i odczytać odpowiadające tym
zmianom odchylenia galwanometru “
α
+
” i “
α
−
”.
Dla określenia błędu czułości obliczyć:
2
−
+
+
=
α
α
α
sr
oraz
sr
R
R
α
10
2
1
,
0
2
∆
=
∆
Na podstawie wyników pomiarów i obliczeń błędu czułości, wybrać
wartości
R
3
i
R
4
, dla których układ mostkowy ma największą czułość.
Wyznaczone w ten sposób wartości rezystancji rezystorów stosunkowych
R
3
i
R
4
będą zastosowane do pomiaru rezystancji badanej w następnym punkcie
ćwiczenia
165
Protokół wyników pomiaru
U = ... V, t
o
=... K.
Tabela 10.1
Lp.
R
3
4
R
2
R
2
R
∆
+
α
−
α
sr
α
xśś
R
cz
δ
Ω
Ω
Ω
Ω
dz dz dz
Ω
%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1000
100
10
100
10
1
1000
100
10
1000
100
10
1000
100
10
100
10
1
1
1
1
10
10
10
0,1
0,1
0,1
Wzory i przykłady obliczeń
Układ mostkowy ma największą czułość przy:
R
3
= ...
Ω, R
4
= ...
Ω.
Błąd czułości układu mostkowego dla tych wartości
R
3
i
R
4
wynosi:
( )
δ
cz
R
R
=
=
∆
2 0 1
2
,
...
10.3.2. Pomiar rezystancji R
x
Postępowanie podczas pomiaru
W
układzie połączeń jak dla punktu 10.3.1. oraz wartościach
R
3
i
R
4
,
przy
których układ mostkowy ma największą czułość zmierzyć wartość rezystancji
R
x
.
Wykonać po pięć pomiarów dla obu położeń przełącznika
p.
166
Protokół wyników pomiarów
R
3
= ...
Ω, R
4
= ...
Ω, U = ... V.
Tabela 10.2
Lp.
pr
R
2
R
lew
2
śr
R
2
xi
R
śr
x
R
x
i
R
∆
( )
2
x
i
R
∆
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
2
1
2
3
4
5
Wzory i przykłady obliczeń
Uwaga:
R
2pr
i
R
2lew
- to dwie wartości rezystora
R
2
w zrównoważonym mostku
otrzymane przy dwóch przeciwnych biegunowościach napięcia zasilania.
(
)
lew
pr
r
ś
R
R
R
2
2
2
2
1
+
=
4
3
2
R
R
R
R
r
ś
i
x
=
R
x
- wartość średnia rezystancji z pięciu pomiarów,
∑
=
=
5
1
5
1
i
i
x
r
xś
R
R
∆
i
x
xi
x
R
R
R
=
−
Niepewność standardowa typu A
(
) (
)
1
1
1
2
∑
=
∆
−
=
n
i
x
i
A
R
n
n
u
167
Niepewność standardowa typu B (wynikająca z dokładności użytego
mostka)
3
100
3
x
mg
mg
B
R
u
⋅
=
∆
=
δ
gdzie:
δ
mg
- względny błąd graniczny mostka.
Niepewność standardowa łączna
2
2
B
A
u
u
u
+
=
τ
Niepewność całkowita
...
=
⋅
=
τ
α
τ
u
k
u
c
Wartość zmierzonej rezystancji
u
R
R
c
śr
x
x
τ
±
=
Podać przykłady obliczeń wyżej podanych wielkości.
10.4. Uwagi o wynikach pomiaru
10.5. Literatura
[1] Chwaleba A., Poniński M., Siedlecki A.: Metrologia elektryczna WNT,
Warszawa 1998.
[2] Kalus-Jęcek B., Nowicki R.: Podstawy miernictwa elektrycznego dla
elektryków. Skrypty dla Szkół Wyższych PŁ. Łódź 1995.
[3] Lebson S.: Podstawy miernictwa elektrycznego. WNT, Warszawa 1970.