2
2
4
T
L
g
π
=
LABORATORIUM FIZYKI
Ć
wiczenie 2
„Drgania proste harmoniczne: wahadło rewersyjne i wahadło torsyjne.”
Wydział Mechatroniki
Alicja Zieli
ń
ska; grupa 25; zespół 1
1. Wst
ę
p.
Ć
wiczenie składało si
ę
z dwóch cz
ęś
ci. Pierwsza z nich miała na celu wyznaczenie
warto
ś
ci przyspieszenia ziemskiego za pomoc
ą
wahadła rewersyjnego na podstawie
okresów jego drga
ń
. Warto
ść
t
ą
wyznaczamy ze wzoru:
Druga cz
ęść
polegała na wyznaczeniu modułu sztywno
ś
ci za pomoc
ą
wahadła
torsyjnego na podstawie pomiaru okresu jest drga
ń
. Warto
ść
modułu wyznaczamy ze
wzoru:
2. Układ pomiarowy.
Układ pomiarowy warto
ś
ci przyspieszenia
ziemskiego składał si
ę
z wahadła torsyjnego o
dwóch osiach. Odległo
ść
mi
ę
dzy osiami
wynosiła L. Pomi
ę
dzy osiami znajdował si
ę
ci
ęŜ
arek m
B
. W zało
Ŝ
eniu
ć
wiczenia miał on
by
ć
ruchomy jednak
Ŝ
e prowadz
ą
cy
ć
wiczenia
postanowili ułatwi
ć
wykonanie
ć
wiczenia i
ustawili ci
ęŜ
arek w odpowiednim poło
Ŝ
eniu.
Ponad osi
ą
O’ znajdował si
ę
ruchomy ci
ęŜ
arek
m
A
.
(
)
2
1
2
2
4
2
2
2
1
8
T
T
r
m
d
R
L
n
G
−
+
=
π
Układ pomiarowy wyznaczania modułu
spr
ęŜ
ysto
ś
ci składał si
ę
z wahadła torsyjnego i n
ci
ęŜ
arków umieszczanych na sztyftach wahadła.
3. Wykonanie
ć
wiczenia.
I.
Wahadło rewersyjne.
Ci
ęŜ
arek m
B
, jak wspomniałam wcze
ś
niej, został ju
Ŝ
ustawiony w odpowiedniej pozycji
przez prowadz
ą
cych tak
Ŝ
e nie musieli
ś
my wykonywa
ć
tej cz
ęś
ci
ć
wiczenia z
ustawianiem tego
Ŝ
ci
ęŜ
arka.
1. Ustawiamy ci
ęŜ
arek m
A
w poło
Ŝ
eniu najbli
Ŝ
szym osi O’.
2. Mierzymy czas 20 wahni
ęć
wokół osi O i wyznaczamy okres drga
ń
T
O
.
3. Odwracamy wahadło i mierzymy czas 20 wahni
ęć
wokół osi O’. Wyznaczamy okres
drga
ń
T
O’
.
4. Przesuwamy ci
ęŜ
arek m
A
o 2cm.
5. Powtarzamy czynno
ś
ci 2-4 do momentu, gdy ci
ęŜ
arek znajdzie si
ę
na ko
ń
cu
wahadła.
6. Sporz
ą
dzamy wykresy T
O
(x) i T
O’
(x). Znajdujemy punkt, w którym T
O
= T
O’
czyli
punkt przeci
ę
cia si
ę
wykresów: (x
0
,T).
7. Mierzymy odległo
ść
L mi
ę
dzy osiami. Otrzymane warto
ś
ci T i L podstawiamy do
wzoru podanego we wst
ę
pie, obliczamy warto
ść
przyspieszenia ziemskiego.
Wyznaczamy bł
ę
dy obliczonej warto
ś
ci. Porównujemy wynik z warto
ś
ciami
tablicowymi.
II.
Wahadło torsyjne
1. Mierzymy
ś
rednic
ę
(2r) i długo
ść
(L) badanego pr
ę
ta.
2. Wprawiamy w ruch wibrator z obci
ąŜ
eniem wst
ę
pnym, mierzymy czas t
1
dwudziestu
okresów drga
ń
.
3. Mierzymy
ś
rednice (2R) i wa
Ŝ
ymy n dodatkowych ci
ęŜ
arków oraz odległo
ść
mi
ę
dzy
sztyftami (2d), na których umieszczamy owe ci
ęŜ
arki.
4. Ponownie wprawiamy wibrator w drgania, mierzmy czas t
2
dwudziestu okresów
drga
ń
.
5. Wyznaczamy warto
ś
ci T1 i T2, obliczamy warto
ś
ci
ś
rednie r, R, D, m.
6. Wyznaczamy wielko
ść
G ze wzoru podanego we wst
ę
pie. Obliczmy bł
ę
dy,
porównujemy wynik z warto
ś
ci
ą
tablicow
ą
.
2
2
2
2
2
2
9,97456
16
,
2
18
,
1
*
14
,
3
*
4
4
s
m
s
m
T
L
g
=
=
=
π
4. Wyniki i ich opracowanie.
I.
Wahadło rewersyjne.
L [cm] = 118
n =
20
x [cm]
0
2
4
6
8
10
12
14
16
t
0
[s]
38,32
39,37
40,12
40,81
41,21
42,12
42,72
43,32
44,48
T
0
[s]
1,916
1,9685
2,006
2,0405
2,0605
2,106
2,136
2,166
2,224
t
0
' [s]
41,84
42,06
42,1
42,44
42,57
42,72
42,97
43,21
43,38
T
0
' [s]
2,092
2,103
2,105
2,122
2,1285
2,136
2,1485
2,1605
2,169
Tabela 1. Wyniki pomiarów okresu drga
ń
.
Wykres zale
Ŝ
no
ś
ci okresu drga
ń
wahadła od poło
Ŝ
enia ci
ęŜ
arka m
A
.
Punkt przeci
ę
cia si
ę
dwóch prostych b
ę
d
ą
cych przybli
Ŝ
eniami funkcji To(x) i
To’(x) jest równy (13,39 ; 2,16). Warto
ść
odczytana przy pomocy funkcji Screen Reader
programu Origin.
Ze wzoru podanego we wst
ę
pie obliczamy warto
ść
przyspieszenia ziemskiego:
II.
Wahadło torsyjne.
2r [mm] L [cm]
2R
[mm]
m [g]
d [cm]
t1 [s]
t2 [s]
T1 [s]
T2[s]
3,59
88,5
24,94
21
8,75
21,19
0,4375
1,0595
3,59
88,4
24,95
192,5
21,2
8,75
21,21
0,4375
1,0605
3,59
88,4
24,98
21,1
8,84
21,19
0,442
1,0595
3,57
88,4
24,97
190,5
21,2
8,78
21,15
0,439
1,0575
3,6
88,5
24,96
8,75
21,19
0,4375
1,0595
3,59
24,94
183
3,58
24,98
3,58
24,99
184,2
3,59
3,6
Tablela 2. Wyniki pomiarów wahadła torsyjnego.
Wyznaczamy warto
ś
ci
ś
rednie:
Obliczamy warto
ść
modułu sztywno
ś
ci:
4
2113
,
0
125
,
21
188
,
0
55
,
187
0125
,
0
5
,
12
844
,
8
44
,
88
0018
,
0
8
,
1
0593
,
1
4387
,
0
T
2
1
=
≈
=
≈
=
=
≈
=
=
=
≈
=
=
n
m
cm
d
kg
g
m
m
mm
R
m
cm
L
m
mm
r
s
T
s
(
)
(
)
Pa
s
s
m
kg
m
m
m
T
T
r
m
d
R
L
n
G
11
2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
2
1
2
2
4
2
2
10
*
68
,
7
)
(
*
*
)
(
*
4387
,
0
0593
,
1
0018
,
0
188
,
0
*
2113
,
0
0125
,
0
*
2
1
844
,
8
*
14
,
3
*
4
*
8
2
1
8
=
=
−
+
−
+
=
−
+
=
π
( )
(
)
1
2
−
−
Σ
=
n
n
x
x
s
i
x
5. Rachunek bł
ę
dów.
I.
Wahadło rewersyjne.
Maksymalne bł
ę
dy bezwzgl
ę
dne wielko
ś
ci mierzonych bezpo
ś
rednio [w naszym
przypadku s
ą
to: długo
ść
zredukowana wahadła rewersyjnego (L) oraz okres drga
ń
tego
Ŝ
wahadła (T)] mo
Ŝ
na wyznaczy
ć
z odległo
ś
ci pomi
ę
dzy działkami przedmiotu.
Z tego wynika,
Ŝ
e
∆
L = ± 0,5mm, poniewa
Ŝ
odległo
ść
mi
ę
dzy działkami na
miarce wynosi 1mm; jeste
ś
my w stanie odczyta
ć
wynik z dokładno
ś
ci
ą
do połowy
działki.
Bł
ą
d pomiaru okresu drga
ń
mo
Ŝ
emy przyj
ąć
,
Ŝ
e wynosi
∆
T = ± 0,2s wynikaj
ą
cy z
niedokładno
ś
ci obserwatora (za pó
ź
no lub za szybko mógł zatrzymywa
ć
stoper).
Bezwzgl
ę
dny bł
ą
d maksymalny przyspieszenia ziemskiego g zale
Ŝ
nego od L i T
obliczamy za pomoc
ą
metody pochodnej logarytmicznej:
g = 9,97 ± 1,85 m/s
2
II.
Wahadło torsyjne.
Bł
ę
dy warto
ś
ci zmierzonych bezpo
ś
rednio przyjmujemy jak przy wahadle rewersyjnym:
∆
L = ± 0,5 mm = ±0,0005 m;
∆
T
1
=
∆
T
2
= ± 0,2 s;
Ś
rednie bł
ę
dy warto
ś
ci
ś
rednich obliczamy ze wzoru:
∆
r = ± 0,57 m;
∆
R = ± 7,65 * 10
-6
m;
∆
m = ± 0,0023 kg;
∆
d = ± 0,00048 m;
(prosz
ę
wybaczy
ć
mi brak zapisu wszystkich oblicze
ń
po kolei ale z powodu
ś
wi
ę
ta Politechniki Warszawskiej i przesuni
ę
cia terminu
laboratoriów mieli
ś
my mniej czasu na przygotowanie sprawozdania)
Bezwzgl
ę
dny bł
ą
d maksymalny modułu sztywno
ś
ci obliczamy metod
ą
ró
Ŝ
niczki
zupełnej ze wzoru:
G = 76,8 ± 1,5 GPa
2
2
s
m
1,85137
97456
,
9
*
2
*
16
,
2
2
,
0
18
,
1
0005
,
0
*
2
1
2
1
=
=
+
=
−
∆
+
∆
=
∆
⇒
−
∆
+
∆
=
∆
s
m
g
T
T
L
L
g
T
T
L
L
g
g
m
m
GPa
Pa
T
T
G
T
T
G
r
r
G
m
m
G
d
d
G
R
R
G
L
L
G
G
m
47
,
1
10
*
47
,
1
10
*
3
10
*
4
,
1
10
*
9
10
*
5
,
9
10
*
5
,
3
10
*
6
,
1
10
*
3
,
4
9
11
11
8
9
9
6
7
2
2
1
1
±
=
±
=
=
−
+
−
+
+
+
=
=
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
∆
−
6. Wnioski.
I.
Wahadło rewersyjne.
Z naszych pomiarów i oblicze
ń
uzyskali
ś
my warto
ść
przyspieszenia ziemskiego
g = 9,97 ± 1,85 m/s
2
. W porównaniu z wielko
ś
ci
ą
tablicow
ą
, wynosz
ą
c
ą
9,81 m/s
2
, jest
to bardzo dobry i dokładny wynik. Niepokoi
ć
mo
Ŝ
e jedynie wielko
ść
bł
ę
du, która wynosi
około 18,5 procenta obliczonej przez nas warto
ś
ci g, jednak
Ŝ
e ten zakres bł
ę
du
obejmuje wynik tablicowy.
Uwa
Ŝ
am,
Ŝ
e zastosowana metoda pomiarowa jest poprawna. Mogliby
ś
my
jedynie popracowa
ć
nad zwi
ę
kszeniem jej dokładno
ś
ci poprzez zastosowanie jakiego
ś
czujnika mierz
ą
cego czas wahni
ęć
, który byłby dokładniejszy od człowieka.
II.
Wahadło torsyjne.
Z naszych pomiarów i oblicze
ń
uzyskali
ś
my warto
ść
modułu sztywno
ś
ci G =
76,8 ± 1,5 GPa. W porównaniu z warto
ś
ci tablicow
ą
, wynosz
ą
c
ą
80 GPa, mo
Ŝ
emy
stwierdzi
ć
, i
Ŝ
jest to bardzo dokładny wynik. Niestety, warto
ść
tablicowa nie zawiera si
ę
w granicach bł
ę
du naszego pomiaru aczkolwiek jest bardzo blisko nich. Warto
ść
bł
ę
du,
jak
ą
uzyskali
ś
my jest bardzo mała, poniewa
Ŝ
wynosi ona niecałe 2% warto
ś
ci
otrzymanej.
Uwa
Ŝ
am,
Ŝ
e zastosowana metoda pomiarowa jest poprawna. Mieli
ś
my w niej
wi
ę
cej czynników mog
ą
cych wywoływa
ć
bł
ę
dy ni
Ŝ
przy wahadle rewersyjnym (wi
ę
cej
warto
ś
ci mierzonych bezpo
ś
rednio, od których zale
Ŝ
ała warto
ść
mierzona po
ś
rednio) a
jednak otrzymali
ś
my dokładniejszy wynik. Jednak
Ŝ
e nie był to wynik idealny, poniewa
Ŝ
jak ju
Ŝ
zwróciłam uwag
ę
warto
ść
tablicowa nie mie
ś
ciła si
ę
w granicach bł
ę
du.
Propozycj
ę
poprawienia dokładno
ś
ci mam tak
ą
sam
ą
jak przy wahadle rewersyjnym –
zwi
ę
kszy
ć
dokładno
ść
pomiaru okresu wahni
ęć
, poprzez zastosowanie jakiego
ś
czujnika, poniewa
Ŝ
to wła
ś
nie bł
ę
dy pomiaru czasu były najwi
ę
ksze.