Pytania kontrolne do wykÃladu z algebry
Liczby zespolone
1. Podaj definicj¸e iloczynu kartezja´nskiego zbior´ow. Wyznacz zbi´or A × B, dla A = (−1, 3], B =
{1} ∪ [2, 4).
2. Podaj definicj¸e liczby zespolonej. W jakiej postaci mo˙zna zapisa´c liczb¸e zespolon¸a? Liczb¸e (−2, 2)
zapisz we wszystkich znanych postaciach.
3. Podaj definicj¸e liczby sprz¸e˙zonej i wymie´n wÃlasno´sci sprz¸e˙zenia.
4. Podaj dwie wielko´sci, kt´ore geometrycznie charakteryzuj¸a liczby zespolone. Wymie´n ich wÃlasno´sci.
Zaznacz na pÃlaszczy´znie zespolonej zbiory liczb z ∈ C speÃlniaj¸acych warunki |z −z
0
| = r, |z −z
0
| ≤ r,
r ≤ |z − z
0
| ≤ R, gdzie r, R > 0, z
0
∈ C s¸a ustalone.
5. Podaj wzory na iloczyn i iloraz liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Ile wynosi Arg(
z
1
z
2
),
je´sli Argz
1
=
2
5
π, Argz
2
=
3
2
π?
6. a) Zapisz w postaci algebraicznej liczb¸e, kt´orej moduÃl jest r´owny 2, a argument gÃl´owny π/6;
b) Zapisz w postaci trygonometrycznej liczb¸e 5 − 5i;
c) Zapisz w postaci algebraicznej liczb¸e 2(cos
353π
4
+ i sin
353π
4
);
d) Zaznacz na pÃlaszczy´znie zespolonej liczby o module r´ownym 3, kt´ore s¸a wierzchoÃlkami tr´ojk¸ata
r´ownobocznego o ´srodku w pocz¸atku ukÃladu wsp´oÃlrz¸ednych i podstawie r´ownolegÃlej do osi rzeczy-
wistej.
7. Oblicz wszystkie pot¸egi o wykÃladnikach caÃlkowitych od −4 do 4 liczby
1+i
√
2
i zaznacz ich poÃlo˙zenie na
pÃlaszczy´znie zespolonej. Wyja´snij uzyskany wynik za pomoc¸a przedstawienia trygonometrycznego
tej liczby.
8. Podaj wz´or de Moivre’a. Zastosuj ten wz´or do obliczenia (−2 − 2i)
10
.
9. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczb¸e z = −
√
3 + i i oblicz (−
√
3 + i)
24
.
10. Odgadnij warto´sci liczb i
51
i i
−53
. Uzasadnij otrzymany wynik.
11. Podaj definicj¸e pierwiastka n-tego stopnia z liczby zespolonej. Korzystaj¸ac z tej definicji oblicz
√
3 + 4i.
12. Odgaduj¸ac jeden z pierwiastk´ow stopnia 4 z liczby (1 − 4i)
4
wyznacz pozostaÃle i podaj interpretacj¸e
geometryczn¸a zbioru tych pierwiastk´ow.
13. Podaj wz´or na pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej.
14. Sprawd´z, czy liczba z
0
=
√
3 − i jest pierwiastkiem wielomianu W (z) = z
9
− 512.
15. Ile pierwiastk´ow ma wielomian zespolony stopnia n ∈ N. Znajd´z wszystkie pierwiastki wielomianu
W (z) = z
4
− 1.
16. Ile rozwi¸aza´n ma r´ownanie kwadratowe w zbiorze C? Podaj odpowiednie wzory.
Macierze
17. Podaj definicj¸e macierzy i wymie´n trzy dowolne rodzaje macierzy (podaj odpowiednie przykÃlady).
18. Czy ka˙zde dwie macierze mo˙zna doda´c, pomno˙zy´c? Je´sli nie, jakie musz¸a by´c speÃlnione warunki,
aby mo˙zna byÃlo wykona´c te dziaÃlania?
19. Jak¸a macierz nazywamy macierz¸a jednostkow¸a? Jak¸a wÃlasno´s´c ma ta macierz?
20. Podaj przykÃlady dw´och niezerowych macierzy, kt´orych iloczyn jest macierz¸a zerow¸a. Czy podobna
sytuacja mo˙ze si¸e zdarzy´c w zbiorze liczbowym?
21. Czy w zbiorze macierzy prawdziwy jest wz´or skr´oconego mno˙zenia (A + B)(A − B) = A
2
− B
2
?
Odpowied´z uzasadnij.
22. Napisz dowoln¸a macierz tr´ojk¸atn¸a doln¸a i dowoln¸a macierz tr´ojk¸atn¸a g´orn¸a, obie czwartego stopnia.
Oblicz ich iloczyn.
23. UzupeÃlnij wzory (A + B)
T
= ...., (AB)
T
= ...., (A
T
)
T
= .... (wÃlasno´sci transponowania macierzy).
Na przykÃladzie macierzy A =
·
−1 2 4 1
−2 2 1 0
¸
i B =
−1
0
3
2
2 −3
2
4
sprawd´z drugi wz´or.
24. Podaj definicj¸e wyznacznika macierzy stopnia n ∈ R.
25. SformuÃluj twierdzenie Laplace’a o rozwini¸eciu wyznacznika. Korzystaj¸ac z tego twierdzenia oblicz
wyznacznik macierzy A =
2
1 0
3
1
4 1 −1
0
2 0
1
1 −1 1
2
.
26. Wymie´n wÃlasno´sci wyznacznika macierzy. Korzystaj¸ac z tych wÃlasno´sci okre´sl warto´s´c wyznacznika
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
2
3
4
4
3
2
1
1/2 1/2 1/2 1/2
6
4
1
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
27. Podaj definicj¸e macierzy nieosobliwej. Sprawd´z czy macierz A =
3
1
4
−1 −2
3
−3
6 −9
jest nieosobliwa.
28. Napisz dowoln¸a macierz tr´ojk¸atn¸a g´orn¸a pi¸atego stopnia i oblicz jej wyznacznik. Ile jest r´owny
wyznacznik dowolnej macierzy tr´ojk¸atnej g´ornej (dolnej)?
29. Podaj definicj¸e macierzy odwrotnej. Sprawd´z, czy macierz A =
0
1 1
1 −1 2
−1
0 2
jest odwrotna do
macierzy B =
2
2
1
0 −1
2
1
1 −2
.
30. Podaj wz´or macierzy odwrotnej do macierzy A. Wymie´n wÃlasno´sci macierzy odwrotnych.
31. Podaj definicj¸e rz¸edu macierzy.
Sprawd´z, dla jakich a ∈ R rz¸ad macierzy A =
a 4 2
1 a 1
1 2 4
jest r´owny 2.
32. Wymie´n wÃlasno´sci rz¸edu macierzy i operacje elementarne, kt´ore nie zmieniaj¸a rz¸edu.
33. Niech A ∈ M
m×n
(R). UzupeÃlnij zdanie: rz A = r ⇐⇒ ....
34. Jak¸a macierz nazywamy macierz¸a schodkow¸a? Macierz A =
1 2 3 4
5
2 4 6 8
9
2 4 6 8 12
sprowad´z do postaci
schodkowej i okre´sl jej rz¸ad.
UkÃlady r´
owa´
n liniowych
35. Jaki ukÃlad nazywamy ukÃladem m r´owna´n liniowych z n niewiadomymi? Zapisz ten ukÃlad w postaci
macierzowej.
36. Podaj definicj¸e ukÃladu jednorodnego i niejednorodnego. Co wiemy o rozwi¸azaniach ukÃladu jednorod-
nego?
37. Jaki ukÃlad nazywamy ukÃladem Cramera? SformuÃluj twierdzenie o rozwi¸azaniu tego ukÃladu.
38. SformuÃluj twierdzenie Kroneckera-Capellego.
Czy ukÃlad pi¸eciu r´owna´n liniowych z sze´scioma niewiadomymi mo˙ze nie mie´c ˙zadnego rozwi¸azania?
Czy taki ukÃlad mo˙ze mie´c dokÃladnie jedno rozwi¸azanie? Odpowied´z uzasadnij.
39. Czy ukÃlad siedmiu r´owna´n liniowych z sze´scioma niewiadomymi mo˙ze nie mie´c ˙zadnego rozwi¸azania?
Czy taki ukÃlad mo˙ze mie´c dokÃladnie jedno rozwi¸azanie? Odpowied´z uzasadnij.
40. W ka˙zdym z poni˙zszych zda´n wybierz poprawn¸a odpowied´z.
A) Jednorodny ukÃlad m r´owna´n liniowych z n niewiadomymi, kt´orego macierz wsp´oÃlczynnik´ow ma
rz¸ad r, ma dokÃladnie jedno rozwi¸azanie wtedy i tylko wtedy, gdy a) m = n = r, b) m = n > r, c)
m ≥ n = r, d) n ≥ m = r.
B) Jednorodny ukÃlad m r´owna´n liniowych z n niewiadomymi, kt´orego macierz wsp´oÃlczynnik´ow ma
rz¸ad r, jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy a) m = n = r, b) m < n < r, c) m > n > r, d)
n > m > r.
41. Ile rozwi¸aza´n mo˙ze mie´c ukÃlad n r´owna´n liniowych z n niewiadomymi? Podaj odpowiednie warunki.
Przestrzenie liniowe. PrzeksztaÃlcenia liniowe
42. Podaj definicj¸e podprzestrzeni przestrzeni wektorowej V . Sprawd´z, czy zbi´or wielomian´ow W =
{w ∈ R
3
[x] : w(0) ≥ 0} jest podprzestrzeni¸a przestrzeni wektorowej R
3
[x].
43. Podaj przykÃlady podprzestrzeni wektorowych przestrzeni R
2
i R
3
.
44. Podaj definicj¸e podprzestrzeni generowanej przez zbi´or A ⊂ V . Niech v
1
= (1, 0, 2), v
2
= (−2, 0, 4).
Wyznacz Lin({v
1
}) i Lin({v
1
, v
2
}).
45. Czy przeci¸ecie i suma podprzestrzeni V
1
i V
2
przestrzeni wektorowej V s¸a tak˙ze podprzestrzeniami.
Odpowied´z uzasadnij.
46. Podaj definicj¸e liniowej niezale˙zno´sci wektor´ow. Sprawd´z, czy wektory (1, 2), (−1, 4) ∈ R
2
s¸a liniowo
niezale˙zne.
47. SformuÃluj warunek konieczny i wystarczaj¸acy na to, aby wektory v
1
, ..., v
n
∈ V byÃly liniowo zale˙zne.
48. Uzasadnij, ˙ze zbi´or wektor´ow v
1
, ..., v
n
∈ V zawieraj¸acy wektor zerowy jest liniowo zale˙zny.
49. Podaj definicj¸e bazy przestrzeni wektorowej. Podaj przykÃlady baz kanonicznych znanych przestrzeni
wektorowych.
50. SformuÃluj twierdzenie o r´ownoliczno´sci baz. Ile element´ow liczy dowolna baza przestrzeni R
n
, R
n
[x],
n ∈ N? Jakie s¸a wymiary tych przestrzeni?
51. Co to s¸a wsp´oÃlrz¸edne wektora w bazie B? Podaj wsp´oÃlrz¸edne wektora (4, 5) w bazie B = {(1, 1), (1, 0)}.
52. SformuÃluj i uzasadnij twierdzenie o jednoznaczno´sci przedstawienia wektora w bazie.
53. Jaki jest warunek na to, by ukÃlad n wektor´ow v
1
, ..., v
n
tworzyÃl baz¸e przestrzeni wektorowej R
n
.
54. Podaj definicj¸e przeksztaÃlcenia liniowego. Sprawd´z, czy L : R
2
→ R
2
okre´slone wzorem L(x, y) =
(2x + y, x − y) jest przeksztaÃlceniem liniowym.
55. Co to jest j¸adro i obraz odwzorowania liniowego? Podaj zwi¸azek mi¸edzy ich wymiarami.
56. Podaj definicje monomorfizmu, epimorfizmu oraz izomorfizmu.
57. SformuÃluj warunki wystarczaj¸ace na to, aby odwzorowanie liniowe byÃlo:
(a) monomorfizmem,
(b) epimorfizmem,
(c) izomorfizmem.
58. Wyznacz KerL i ImL dla odwzorowania z pytania 54. Czy to odwzorowanie jest izomorfizmem?
59. W przestrzeni wektorowej V = R
3
[x] okre´slone jest odwzorowanie L : V → V wedÃlug wzoru
(L(f ))(x) = f
00
(x)−f (x). Wyznacz macierz tego odwzorowania wzgl¸edem kanonicznej bazy przestrzeni
R
3
[x].
Geometria analityczna
60. Podaj definicj¸e iloczynu skalarnego i om´ow jego wÃlasno´sci. Jaki jest zwi¸azek mi¸edzy prostopadÃlo´sci¸a
wektor´ow a iloczynem skalarnym tych wektor´ow?
61. Oblicz iloczyn skalarny u ◦ v, je´sli kuk = 2, kvk = 3, ^(u, v) = π/3.
62. Korzystaj¸ac z wÃlasno´sci iloczynu skalarnego uzasadnij twierdzenie kosinus´ow.
63. Podaj definicj¸e iloczynu wektorowego i wyprowad´z wz´or na jego wsp´oÃlrz¸edne. Jaka jest interpretacja
geometryczna dÃlugo´sci wektora u × v?
64. Znajd´z wektor jednostkowy prostopadÃly do dw´och danych wektor´ow u = (1, 2, 3) i v = (−1, 0, 2).
65. Podaj definicj¸e iloczynu mieszanego wektor´ow u, v, w ∈ R
3
. Oblicz obj¸eto´s´c r´ownolegÃlo´scianu
rozpi¸etego na wektorach u = (1, 0, 2), v = (0, 1, 3), w = (−1, 2, 1).
66. Napisz r´ownanie og´olne, odcinkowe i parametryczne pÃlaszczyzny.
Napisz r´ownanie pÃlaszczyzny przechodz¸acej przez punkt P = (1, 2, −1) i prostopadÃlej do wektora
n = (−1, 0, 3).
67. Napisz r´ownanie pÃlaszczyzny przechodz¸acej przez trzy punkty P
1
= (1, 1, 1), P
2
= (−1, 0, 1), P
3
=
(5, 6, 7).
68. Podaj r´ownanie parametryczne, kraw¸edziowe i kierunkowe prostej w przestrzeni. Napisz r´ownanie
parametryczne prostej przechodz¸acej przez punkt P = (1, 2, −1) i r´ownolegÃlej do wektora v =
(−1, −2, 4).
69. Prost¸a opisan¸a r´ownaniem kraw¸edziowym
½
x + 2y + z − 3 = 0
−x + 4y − z + 2 = 0
zapisz w postaci parametrycznej
i kierunkowej.
70. Oblicz odlegÃlo´s´c punktu (2, 4, −1) od pÃlaszczyzny 2x + y − z + 3 = 0.